CÁLCULOS

Se trata de diseñar un aerogenerador eólico que, tomando en

consideración que las condiciones en las que opere el dispositivo son las

siguientes:

Velocidad del viento en la locación (V 1 ) : V 1=4,5ms

Densidad del aire (ρaire ) : ρaire=1,292Kg

m3

Viscosidad dinámica del aire a 15 °C (μaire ) : μaire=1,8×10−5 Kg

m∙s

Viscosidad cinemática del aire a 15 °C (υaire ) : υaire=1,4×10−5m

2

s

COEFICIENTE DE POTENCIA (CP) Y RELACIÓN DE VELOCIDADES (λ)

El coeficiente de potencia Cp permite representar las principales

características de las hélices, en combinación con otro importante parámetro

adimensional λ. Este último, establece la relación entre la velocidad de la

punta de la pala y la velocidad del viento.

λ=ωRV 1

Donde: ω es la velocidad angular expresada en rads

y R es el radio de la

hélice en m.

Para determinar de forma correcta la relación de velocidades λ en función

del coeficiente de potencia CP se debe considerar el tipo de aerogenerador

que se pretende diseñar, luego, haciendo uso del la Figura 1 se determinará

de forma aproximada ambos valores.

Figura 1. Rendimientos de hélices de molinos y turbinas de viento. Bastianón, R (2008)

En 1937, Glauert (1937) comenzó el estudio del rendimiento de las hélices

para turbinas eólicas en función de λ. Posteriormente, este estudio fue

completado por diversos autores y en la Figura 1 se han representado los

resultados de estos trabajos. Se puede observar que el molino multipala y el

Savonius alcanzan su máxima eficiencia para un valor de λ

aproximadamente igual a 1 mientras que la hélice de 2 palas o la Darrieus

alcanzan su máximo para valores de λ = 5. Puede notarse en la Figura 1, que

los máximos valores de CP para turbinas rápidas con elevado λ, son mayores

que las de bajo valor de λ.

Los valores de CP(Máx) representan el rendimiento aerodinámico máximo

de la hélice. Los altos valores de λ con los que se obtienen mayores

rendimientos, se hacen significativos cuando se debe generar electricidad, ya

que por la característica propia de las máquinas eléctricas, requieren elevada

velocidad de giro (Hütter, U. 1961).

En el caso particular del aerogenerador a diseñar, se considerará que éste

constará de 3 palas y un radio de la hélice de 0.8 m por lo que, de acuerdo a

la Figura 1, una buena elección del valor de la relación de velocidades λ

puede fijarse en 5.

Mediante el valor establecido para la relación de velocidades λ se puede

calcular la velocidad angular expresada en Revmin

(rpm) de acuerdo a la

siguiente relación:

ω=λ ∙V 1

R

Sustituyendo los valores conocidos se tiene que:

ω=5∙4,5

ms

0.8m=28,125

Rads

Para expresar este último resultado en RevMin

(rpm) se hace uso de la

siguiente relación:

n=ω∙30π

Sustituyendo los valores conocidos, se obtiene:

n=28,125

Rads

∙30

π=268,57 rpm

CÁLCULO DE LA SOLIDEZ (S)

Para una hélice dada, se denomina solidez a la relación entre la superficie

proyectada por las palas sobre el disco de la hélice y la superficie frontal

barrida por la hélice, es decir:

S=Ap

A fb

Donde: Ap es la superficie proyectada de las palas y viene dada por la

siguiente relación:

Ap=N∫0

R

C ∙dr

Para N (número de palas) igual a 3, C (Cuerda del perfil de la hélice) igual

a 0,08 m y el radio de la hélice (R) igual a 0.8 metros, se tiene que:

Ap=N ∙C ∙ R ; A p=3 ∙0.08m∙0.8m=0.192m2

Además, A fb (área frontal barrida) pude determinarse a partir de la

relación:

A fb=π ∙D2

4

Donde: D=2∙ R ; D=2 ∙0,8m=1,6m.

Sustituyendo los valores conocidos para A fb se obtiene:

A fb=π ∙(1,6m)2

4=2,01m2

Con los valores obtenidos para la superficie proyectada de las palas ( Ap ) y

el área frontal barrida ( A fb ) se puede establecer la solidez del aerogenerador

de la siguiente manera:

S=Ap

A fb

=0.192m2

2,01m2 =0,095

Los aparatos de elevada solidez poseen un fuerte momento de arranque y

giran a baja velocidad. Estas máquinas se adaptan bien para el bombeo de

agua pues en el arranque pueden necesitar desplazar un importante volumen

de fluido y además es preferible la circulación del líquido por las cañerías a

baja velocidad, para disminuir las pérdidas.

A medida que disminuye la solidez, la hélice puede girar a mayor

velocidad. Esta característica es importante pues para la generación de

electricidad se requiere alta velocidad de rotación, con lo cual la máquina

eléctrica disminuye sus dimensiones, su peso y consecuentemente su precio.

Al disminuir la solidez de la hélice, deberá tenerse en cuenta que el

momento de arranque también se reduce. Éste no deberá descender por

debajo del mínimo que permita arrancar, si bien es cierto que en algunos

casos se puede recurrir a otros elementos adicionales que ayudan a la

puesta en marcha.

Adicionalmente, al disminuir la solidez, las palas se hacen cada vez más

delgadas, con valores de cuerda reducidos y por lo tanto más frágiles. A

partir de un cierto punto, por razones de resistencia estructural, la pala no

puede hacerse más delgada y su forma se aparta de la configuración óptima.

NÚMERO DE PALAS (N)

Las hélices de elevada solidez son multipalas, pudiendo llegar a tener

unas 25, mientras que las de baja solidez son de una, dos o tres palas. Entre

las de baja solidez debe mencionarse que si bien, el rendimiento

aerodinámico aumenta al aumentar el número de palas, este incremento se

hace poco significativo para hélices con más de tres palas según se aprecia

en la Figura 2.

Figura 2. Rendimiento Aerodinámico (Cp) vs. λ, para diferente número de palas.

Bastianón, R (2008)

Hélice de una pala: Estas hélices requieren un contrapeso que

compense a la pala y el balanceo debe realizarse con mucho cuidado y

precisión debido a la extremada sensibilidad que tienen a las vibraciones.

Resultan atractivas económicamente por necesitar sólo una pala, que es

un elemento costoso pero las dificultades producidas por las vibraciones,

las hacen poco prácticas.

Hélice de dos palas: Son más económicas que las de 3 palas pero son

más sensibles que éstas a las vibraciones. En turbinas de baja potencia,

con hélice de 2 palas y de paso fijo, la hélice puede construirse entera

con un solo larguero pasante, mientras que si es de paso variable esto

ya no es posible pero todo el mecanismo de cambio de paso resulta más

simple que en una de mayor número de palas.

Hélices de tres palas: Su característica principal es su mayor suavidad de

funcionamiento y ésta es una importante cualidad.

Por todo lo que antecede, para hélices rápidas, de alta velocidad de giro,

son recomendables las hélices de dos o tres palas.

TAMAÑO DE LA HÉLICE

Para determinar el tamaño de la hélice es necesario conocer la potencia

eléctrica requerida por el usuario y los rendimientos de los distintos

elementos que integran la turbina.

El generador eléctrico para máquinas de más de 10 Kw tiene un

rendimiento del 92 % pero para potencias menores, en el mercado nacional

puede llegar a valores tan bajos como el 50 %. Estos generadores eléctricos

de poca potencia provienen de la industria automotor y sus rendimientos son

normalmente bajos.

Como para la generación eléctrica es necesario alcanzar un alto número

de revoluciones suele ser necesario incorporar un multiplicador de

velocidades. Si éste es una caja de engranajes el rendimiento puede

alcanzar el 90 %.

Por su parte, la hélice de eje horizontal adecuadamente diseñada puede

captar hasta un 42 % de la potencia disponible en el viento mientras que

hélices calculadas y realizadas con poco cuidado pueden bajar su

rendimiento hasta un 10 %. El rendimiento global de la turbina será:

η=ηe ηmCP

El rendimiento eléctrico ηe puede estimarse con cierto grado de

aproximación en un 60%. El rendimiento mecánico debido a una caja de

engranaje se estima en un 90%. Para calcular el CP (Coeficiente de potencia)

máximo se puede emplear la siguiente relación debida a Wilson (1976)

CP (Máx )=0,593 [ λ N 0,67

1,48+(N 0,67−0,04 ) λ+0,0025 λ2−1,92 λ

2N1+2 λN

∙CD

CL ]Para poder emplear esta fórmula es necesario primeramente, elegir el

perfil aerodinámico más adecuado a las necesidades. La elección del perfil

aerodinámico para hélices de aerogeneradores, se inicia seleccionando

aquellos que poseen un elevado coeficiente de sustentación (CL) y

simultáneamente un bajo coeficiente de resistencia (CD). Esto normalmente

se obtiene tomando aquellos perfiles que poseen altos valores de la relación

sustentación sobre resistencia, CL/CD y luego, se deberá considerar otras

propiedades relacionadas con la forma en que CL y CD varían con el ángulo

de ataque.

Para las turbinas eólicas se sugieren aquellos perfiles en los cuales el

coeficiente CL alcanza su valor máximo en forma suave, evitando los que

tienen picos agudos de CL en función de α, en los cuales la abrupta caída de

la sustentación pueden producir fuertes vibraciones.

Las exigencias para lograr coeficientes aerodinámicos óptimos, conducen

a perfiles muy delgados pero como éstos por lo general no son lo

suficientemente resistentes como para soportar los considerables esfuerzos

a que serán sometidos, se deberá realizar un compromiso entre la

aerodinámica y la resistencia estructural. Un cuidadoso análisis es requerido

en este punto pues la resistencia estructural está íntimamente asociada con

el diseño de la pala y con los materiales empleados en su construcción.

Se requiere un proceso iterativo comenzando con la aerodinámica. Luego

se calculan los esfuerzos sobre la pala para las condiciones de mayor

exigencia posible durante la vida útil y se establece el diseño adecuado, por

ejemplo, de largueros y costillas que resistan estos esfuerzos con los

materiales seleccionados. Si estos requerimientos no son satisfechos habrá

que optar por un perfil aerodinámico más resistente y rehacer nuevamente el

proceso. El costo de fabricación también debe ser considerado.

En la siguiente Tabla se muestran los distintos valores para las cuerdas en

función del diámetro de las paletas del aerogenerador. Estos valores son

obtenidos de la evidencia experimental que muestra que el ancho promedio

del perfil de la paleta es del orden del 5% del diámetro de las paletas en

conjunto.

Diámetro de las paletas (en metros)1.2 1.3

1.4

1.51.6

1.71.8

1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2

Cu

erd

a

(en

mm

)

60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110115

120 125 130 135 140 145 150 155 160

Tabla 1. Diámetros y cuerdas para hélices.

El perfil elegido es el perfil aerodinámico NACA 4412. Este perfil presenta

las ventajas de su fácil fabricación y considerable resistencia debido a los

esfuerzos durante la vida útil del dispositivo. Una muestra del perfil elegido

es mostrada a continuación en la Figura 3.

Figura 3. Perfil NACA 4412

Mediante la utilización del software Javafoil se obtienen las principales

características del citado perfil como se muestra a continuación:

Tabla 2. Valores característicos para el perfil NACA 4412. Re=24000

Se observa en la Tabla 1 que los valores de CL y CD son 1,352 y 0,04190

respectivamente. Con estos valores, se puede calcular el valor de CP (Máx).

Sustituyendo se obtiene:

CP (Máx )=0,593 [ 5 ∙ (3 )0,67

1,48+( (3 )0,67−0,04 )5+0,0025 (5 )2−1,92 (5 )2 ∙31+2∙5 ∙3

∙0,041901,352 ]

CP (Máx )=0,44

CÁLCULO DE LOS FACTORES DE VELOCIDAD ANGULAR a y a’

El factor de velocidad angular a viene dado por la siguiente expresión:

1+(1−a ) (8a−2 )

λ2−√1+ 4a−4 a2λ2

=0

Sustituyendo el valor de la relación de velocidades λ ya determinado se

tiene que:

1+(1−a ) (8a−2 )

25−√1+ 4a−4 a225

=0

Resolviendo la ecuación planteada, se obtienen las raíces para este

polinomio cuyos valores son:

a1=1 y a2=0.332367

El segundo valor del factor de velocidad angular (a ' ) viene dado por:

a '2+a '=a (1−a )

λ2

De las raíces obtenidas para a, se considerará únicamente la que tiene el

valor de 0,332367 debido a que la otra raíz anularía el valor del segundo

factor de velocidad angular. Sustituyendo los valores ya conocidos, se tiene

que:

a '2+a '=(0,332367 ) (1−0,332367 )

25=8,876×10−3

a '2+a '−8,876×10−3=0

Cuyas raíces son:

a1' =−1,0088 y a2

' =0,00879855

CÁLCULO DEL ÁNGULO DE ATAQUE Φ

Para determinar el valor del ángulo de ataque α se hace uso de la

siguiente relación:

cot2Φ=a (1+a ' )a ' (1−a )

Sustituyendo los valores conocidos se obtiene:

cot2Φ=0,332367 (1−0,00879855 )0,00879855 (1−0,332367 )

=56,08

cotΦ¿√56,08=7,49

tanΦ ¿ 17,49

=0,1335

Φ=tan−10,1335=7,6 °

Con los valores obtenidos para los factores de velocidad angular y el

ángulo de ataque, se procede a calcular los valores de la velocidad axial (V)

y la velocidad de rotación del aire rotativa (V tr). Para ello, se debe observar la

Figura 4

Figura 4. Ángulos y componentes de la velocidad sobre un perfil aerodinámico

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD AXIAL (V)

V=V 1 (1−a )

Sustituyendo los valores conocidos para la velocidad del viento en la

locación (V 1−4,5ms ) y el valor del factor de velocidad angular (a=0,332367 ) se

obtiene:

V=4,5 ms

(1−0,332367 )=3,00ms

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD DE ROTACIÓN DEL AIRE ROTATIVA (Vtr).

V tr= λR (a'−1 )

Sustituyendo los valores conocidos se tiene que:

V tr=5 ∙0,8m (0,00879855−1 )=−3,96ms

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD RELATIVA (Vr)

V r=√V 2+V tr2

Sustituyendo valores

V r=√(3,00 ms )2

+(−3,96 ms )2

=4,97ms

CÁLCULO DEL NÚMERO DE REYNOLDS (Re)

Re=V r ∙C

ν

Sustituyendo valores se obtiene:

Re=4,97

ms∙0,08m

1,4×10−5m2

s

=28425,8

Con este valor obtenido para el número de Reynolds, se replantean los

valores mostrado en la Tabla 2 usando la Tabla 3

Tabla 3. Valores característicos para el perfil NACA 4412 para Reynolds 28425,8

CÁLCULO DEL ESFUERZO AXIAL O EMPUJE (FA)

F A=12ρaireN ∙V r

2 (CLcosΦ+Cd sinΦ )C ∙R

Sustituyendo valores se obtiene:

F A=12∙1,292

Kgm3

∙3 ∙(4,97 ms )2

(1,358∙cos (8° )+0,03953 ∙ sin (8 ° ) )0,08m∙0,8m

F A=8,27N

m2

CÁLCULO DEL ESFUERZO TANGENCIAL (FT)

FT=14∙ ρaire ∙ N ∙V r

2 (CL ∙ sin (Φ )−Cd ∙cos (Φ ) )C ∙R

Sustituyendo valores se obtiene:

FT=14∙1,292

Kgm3

∙3 ∙(4,97 ms )2

(1,358∙ sin (8 ° )−0,03953 ∙cos (8 ° ) ) ∙0,08m∙0,8m

FT=0,23N

m2

CÁLCULO DEL TORQUE (T0)

T 0=14∙ ρaire ∙N ∙V r

2 ∙C ∙ (CL ∙ sin (Φ )−Cd ∙cos (Φ ) ) ∙3 R2

Sustituyendo valores se obtiene:

T 0=14∙1,292

Kgm3 ∙3 ∙(4,97 ms )

2

∙0,08m∙ (1,358 ∙ sin (8° )−0,03953 ∙cos (8 ° ) )∙3 ∙ (0,8m)2

T 0=5,51N ∙m

CÁLCULO DE LA POTENCIA DISPONIBLE POR EL AEROGENERADOR

(Pd)

Pd=12∙ ρaire ∙ A fb ∙V 1

3

Sustituyendo valores:

Pd=12∙1,292

Kgm3 ∙2,01m

2 ∙(4,5 ms )3

Pd=118,32Watts

CÁLCULO DE LA POTENCIA CAPTADA POR EL AEROGENERADOR (Pc)

Pc=C p ∙12∙ ρaire ∙ A fb ∙V 1

3

Sustituyendo valores:

Pc=0,44 ∙12∙1,292

Kgm3

∙2,01m2 ∙(4,5 ms )3

Pc=52,06Watts