Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2009 I Facultad de Ingeniería Mecánica Ma.26/05/2009 Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades MB148

Los Profesores 1

EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO VECTORIAL

_________ _______________________________ ______ ___________ CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES SECC FIRMA ***************************************************************************************************

1.- La función vectorial r (t) para t > 0, describe la curva C en R3 con rapidez ‖ ′( )‖ = y vector ( ) = ( ) − , − , √ . Además la

torsión τ(t) en cada punto de C es positiva. a) Determine la ecuación de la torsión de C para t >0.

)()()()( tNtsttB ′−=′ τ = − ( ) + ( ) = + − , − , −

Al tomar modulo en la última ecuación ( ) = ( + ) + + ( − )

tt

21)( =τ

b) Cuando t tiende al infinito ¿Cuál será el comportamiento de la torsión? Si t → +∞, ocurre que τ (t) → 0. 2. Sea Nn ∈ y sea la función RRf →2: dada por

( , ) = ⎩⎪⎨⎪⎧( − ) + , ( , ) ≠ ( , )

( , ) = ( , )

a) ¿Para qué valores de n la función f es continua en (0,0)?

Si f fuera continua en (0,0) debería cumplir lo siguiente

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2009 I Facultad de Ingeniería Mecánica Ma.26/05/2009 Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades MB148

Los Profesores 2

( , )→( , ) ( , ) = ( , ) =

Consideramos el siguiente conjunto

S = {(x, y)∈R2 / y = mx, m ε R} ( , )→( , ) ( , ) = ( , )→( , )( , )∈ ( , ) = → ( , )

( , )→( , ) ( , ) = ( − ) ( + )

El límite anterior existirá y será cero si n ≥ 3.

Por lo tanto ( , )→( , ) ( , ) = si n ≥ 3.

Demostrar que: ( , )→( , ) ( , ) = si n ≥ 3.

Por lo tanto la función f es continua en (0,0) cuando n = 3, 4, 5,…; en otro caso f es discontinua en (0,0). b) Calcular D1 f (0,0) y D2 f (0,0) si es que existen.

Existen si n≥3. Por lo tanto:

c) Para n =1, 2. ¿ f es diferenciable en (0,0)?

Dado que la función no es continua en (0,0) para n=1 y n=2 entonces f no es diferenciable en (0,0).

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2009 I Facultad de Ingeniería Mecánica Ma.26/05/2009 Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades MB148

Los Profesores 3

3. Dada la función

( , ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ ( − ) + , ( , ) ≠ ( , )

( , ) = ( , )

a) Defina las funciones D1 f (x, y) y D2 f (x, y).

( , ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ + − ( + ) , ( , ) ≠ ( , )

( , ) = ( , )

( , ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ − − ( + ) , ( , ) ≠ ( , )

( , ) = ( , )

b) Calcule D1 2 f (0,0) y D2 f (0,0). ( , ) = ∆ → ( ,∆ ) − ( , )∆ = −

( , ) = ∆ → (∆ , ) − ( , )∆ =

4. a) La temperatura en cada punto (x, y, z) viene dada por: ( , , ) = + ( + ) Determinar la dirección en que la temperatura decrece más rápidamente a partir del punto (1, 4, 8). ( , , ) = − ; − ; − ( + ) ( , , ) = ; ;

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com

Universidad Nacional de Ingeniería P.A 2009 I Facultad de Ingeniería Mecánica Ma.26/05/2009 Dpto. de Ciencias Básicas y Humanidades MB148

Los Profesores 4

b) Calcular el valor máximo y mínimo de la razón de cambio para la función ( , ) = − en el punto (-2, 3).

( , ) = ( ; − ) (− , ) = ( ; − )

‖ (− , )‖ = √ Máxima razón de cambio: √ Mínima razón de cambio: − √ c) Obtenga las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva de

intersección de las superficies S1: x2 + y2 – z = 8 y S2: x - y2 + z2 = -2 en el punto (2, -2, 0).

F(x, y, z) = x2 + y2 – z – 8 = 0 ( , , ) = ( , , − ), ( , − , ) = ( , − , − ) G(x, y, z) = x - y2 + z2 +2 = 0 ( , , ) = ( , − , ), ( , − , ) = ( , , ) ( , − , ) ( , − , ) = ( , − , ) Ecuación simétrica de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies − = + − =

PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com