Bloque 3 Anlisis de circuitos alimentados en corriente...

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  • Bloque 3 Anlisis de circuitos

    alimentados en corriente alterna

    Teora de CircuitosIngeniera Tcnica Electrnica

  • 3.1 Introduccin. Representacin de ondas sinusoidales mediante fasores

  • Corriente alterna

    ++=

    2)( 0

    tsenUtu

    o bien

    =

    2cos sen

    Corriente alterna

    ( ) += tUtu cos)( 0

    u

    t

    Corriente continua

    0)( Utu =

    u

    t

    U0

  • Caractersticas de una onda sinusoidal

    y

    t

    Ym

    T)cos()( += tYty m

    Ym=Valor mximo= valor de pico=valor de cresta

    y(t)= Valor instantneo

    T=Periodo= tiempo que se tarda en completar un ciclo completo [s]

    f= Frecuencia= nmero de ciclos que se describen por segundo=1/T [Hz]

  • Caractersticas de una onda sinusoidal

    y

    t

    Ym

    T)cos()( += tYty m

    = Pulsacin; T= 2 => = 2f [rad s-1]

    =ngulo de fase [rad]

    (El ngulo de fase en ocasiones se expresar en grados por comodidad, pero no es correcto dimensionalmente)

  • Desfase relativo

    )cos()( um tUtu +=

    )cos()( im tIti +=

    u(t)

    i(t)

    30 -45

    70

    IU =Desfase entre u e i

    0 u en adelanto resp i =0 en fase =90 en cuadratura =180 en oposicin

    u est adelantada 70 respecto a i

  • Valor medio y valor eficaz

    Valor medio

    0)cos(1)(1

    00

    =+== tdtYTtdtyTYT

    m

    T

    medio

    )cos()( += tYty m

    2)(1 max

    0

    2 YdttyT

    YT

    ==

    Valor eficaz

    El valor eficaz de una corriente peridica es el valor de una corriente continua que al circular por una resistencia R produce en un tiempo T la misma cantidad de energa disipada

  • Significado fsico de valor eficaz

    tIti m cos)( = Resistencia R atravesada por una corriente

    tdtRiWT

    AC =0

    2 )( Energa disipada en T:

    Cunto vale la corriente continua que debe circular por R para disipar en un tiempo T la misma energa?

    TRItdRIWT

    DC2

    0

    2 == Igualando WAC con WDC tdtRiTRI

    T

    =0

    22 )(

    eficaz

    T

    ItdtRiT

    I == 0

    2 )(1

  • Resumen de notacin

    )cos(2)cos()( +=+= tYtYty m

    Valor instantneo: y Valor eficaz: Y Valor mximo: Ym Fasor: Y

  • Repaso nmeros complejos

    !onencial

    j

    polarbinmica

    ezzbjazexp

    ==+= "#$"#$

    1=j 1=2j |z|

    Im

    Rea

    b

    Frmula de Euler:

    jsene j += cos

    senzjzezbjaz j +==+= cos

  • Anlisis de circuitos con excitacin alterna

    +u(t)

    uLuc

    i Conocemos u(t) y queremos calcular i(t)

    =t

    tc diC

    u0

    )(1dt

    tdiLuL)(

    =

    RLC uuutu ++=)(

    uR RiuR =

    Ridt

    tdiLdiC

    tut

    t

    ++= )()(1)(

    0

    Para obtener el valor de i(t) se debe resolver la ecuacin diferencial:

    dttdiR

    dttidLi

    Cdttdu )()(1)( 2

    ++=i(t)=ih+ip

    (Reg. permanente+Reg.transitorio)

  • Analoga senoides fasoresEn corriente alterna las tensiones y corrientes sern

    funciones sinusoidales del tipo:

    ( )( ) 2 cosy t Y t = +amplitud desfase respecto al

    origen

    Ym

    y

    t

    f 2= viene impuesta por la fuente de alimentacin

    Las magnitudes de inters son Y y

  • Representacin fasorial)cos(2)( += tYty

    Vamos a demostrar que existe una correspondencia entre una funcin sinusoidal y(t) y un nmero complejo Y que se defina como:

    = YY

  • Representacin fasorialDefinimos un nmero complejo Y que gira en el plano complejo a velocidad w y vamos analizando cuanto vale su parte real en los

    distintos instantes de tiempoy(t)

    Ym

    0 t/2 3/2

    Re(Y)=Y

    t=0

    t=/2Re(Y)=0

    t=

    Re(Y)=-Y

    t=3/2 Re(Y)=0

    Im

    Re

    tYty cos2)( =

  • Analoga entre senoides y fasores giratorios

    Existe una correspondencia entre una funcin sinusoidal y un vector complejo.

    Una funcin sinusoidal es la proyeccin de un vector giratorio sobre los ejes de un sistema coordenado (eje real y eje imaginario)

  • Definicin de fasor Se denomina fasor a la cantidad compleja jYe=Y

    En corriente alterna representaremos las funciones sinusoidales u(t), i(t) mediante fasoresequivalentes

    Im

    Y

    t

    =

    2mYYY=Y

    ReYcos(t+)

  • Relacin entre senoides y fasores

    ( ) += tYty cos2)( jYeY ==Y multiplicando por ejt

    ( ) ( )( )tjsentYYeeYe tjtjj +++== + cos)(relacin de Euler

    ( ) ( )tYe tj += cos2Re Y2Una funcin sinusoidal queda unvocamente representada por su fasorequivalente

  • Suma de sinusoides mediante sus fasores correspondientes

    ( ) ( )221121 cos2cos2)()( +++=+ tYtYtyty

    22Y=2Y11 Y=1YFasores correspondientes

    ( ) ( ) ( )( )( ) )cos(Re

    ReReRe

    +=+=

    =+=+

    tYe

    eeeetj

    tjtjtjtj

    2YY2

    YY2Y2Y2

    21

    2121

    21 YY +=Y 21 YY +=

  • Diagrama fasorial

    Diagrama en el que se representan los fasorescorrespondientes de las tensiones y corrientes de un circuito en el plano complejo

    Fuente: Wikipedia

  • 3.2. Respuesta de los elementos pasivos a una

    excitacin de tipo sinusoidal. Impedancia y admitancia

  • Relacin entre senoides y fasores

    ( ) += tYty cos2)( jYeY ==Y multiplicando por ejt

    ( ) ( )( )tjsentYYeeYe tjtjj +++== + cos)(relacin de Euler

    ( ) ( )tYe tj += cos2Re Y2Una funcin sinusoidal queda unvocamente representada por su fasorcorrespondiente

  • Resumen elementos pasivos Resistencia

    )()( tGuti =)()( tRitu =

    Bobina

    dttdiLtu )()( = dttu

    Ltii

    t

    t+=0

    )(1)( 0

    Condensador

    dttduCti )()( =+=

    t

    t

    dttiC

    tutu0

    )(1)()( 0

  • Respuesta de los elementos pasivos

    Vamos a analizar la respuesta de los tres elementos pasivos (resistencia, inductancia y capacidad) a una excitacin sinusoidal en el domino del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

    Imaginemos que conocemos la corriente que circula por cada uno de ellos que es de la forma

    ( )itIti += cos2)( Y queremos calcular la tensin entre sus terminales,

    que ser del tipo

    ( )utUtu += cos2)(

  • Respuesta de los elementos pasivos

    A partir de las relaciones entre u(t) e i(t) en cada uno de los elementos pasivos determinaremos su respuesta.

    Buscamos encontrar los valores de U y u en funcin de I, i y los valores de los parmetros R, L y C.

    Los fasores corriente y corriente son:

    ( ) ( )tji etIti IRe2cos2)( =+=( ) ( )tju etUtu URe2cos2)( =+=uU =U

    iI =I

  • Resistencia

    ( ) ( ) ( )Re Re Rej t j t j te R e R e = =U I IReR

    Riu =

    ( )( ) 2 Re j tu t e = U( )( ) 2 Re j ti t e = I

    RIU =

    iu =IU R= iu RIU ==>

    En una resistencia la tensin y la intensidad

    estn en fase

    u(t) i(t)

    Iu=i

    UIm

    Re

    u, i

    t

  • Bobina

    dtdiLu =

    ( )( ) 2 Re j tu t e = U( )( ) 2 Re j ti t e = I

    ( ) ( )2 Re Re 2 Re 2j t j t j tdi d de e edt dt dt = = =

    I I Ij

    I no depende del tiempo

    ( ) ( ) ( )tjtjtj eLeLe IjIjU ReReRe ==ReL

    dtdiLu = =>

    IU Lj= 9090 +=== ijj

    iu LIeLIejLIU i =>

  • Bobina

    LIU =

    )( iu >

    En una bobina la tensin est adelantada 90

    respecto a la corriente90+= iu LIU 90+= iu

    i(t) u(t)

    Ii

    UIm

    Re

    u

    u, i

    t

  • Condensador

    dtduCi =

    ( )tjetu URe2)( =( )tjeti IRe2)( = U no depende del tiempo

    ( ) ( )tjtjtj eedtde

    dtd

    dtdu UjUU Re2Re2Re2 =

    ==

    ( ) ( )tjtj Cee UjI ReRe =dtduCi = =>

    ReC

    CUjI ==>

    IUCj

    = 9011 90 === ijj

    iu ICeIe

    CI

    CjU i

    =>

  • Condensador

    IL

    U1

    =

    90= iu 901 = iu IC

    U

    En un condensador la

    tensin est retrasada 90 respecto a la corriente

    )( iu = LX L

    01

  • Tringulo de impedancias

    jX

    Im

    Z jXR +=Z

    ReR

    RXarctg=22 XR +=Z

    cosZR = ZsenX =

  • Impedancia y admitancia

    jXR +=Z

    jBG +==Z1

    Y( ) G=YRe

    ( ) B=YIm

    ConductanciaAdmitancia

    Susceptancia

    Y , G y B se expresan en [S]

    GR =Y

    Resistencia

    LjL =Y

    Bobina

    CjC =Y

    Condensador

  • Lemas de Kirchhoff en forma fasorial

    Primer Lema de Kirchhoff: La suma algebraica de los fasores corriente en un nudo es igual a cero

    = 0I Segundo Lema de Kirchhoff: En un lazo o malla, la

    suma de las elevaciones de tensin de los generadores, expresadas en forma fasorial, es igual a la suma de las cadas de tensin en las impedancias complejas

    = ZIU

  • Asociacin de impedancias en serie y en paralelo

    En rgimen sinusoidal permanente es posible agrupar elementos pasivos de distinta naturaleza (resistencias y/o inductancias y/o capacidades) una vez que cada uno de ellos ha sido caracterizado por su impedancia correspondiente.

    Las reglas para determinar las impedancias equivalentes de combinaciones de elementos pasivos, son idnticas a las estudiadas para los elementos resistivos, sustituyendo las resistencias por las impedancias complejas.

  • Asociacin de impedancias en serie

    Se dice que dos o ms impedancias estn en serie si por ellas circula la misma intensidad

    I

    Zeq

    U

    IZ1 Z2 ZN. . . .U2 UNU1

    U

    eqn21n21n21 IZ)Z...ZI(ZIZ...IZIZU...UUU =+++=+++=+++=

    n21eq Z...ZZZ +++=

  • Divisor de tensin La tensin que cae en cada resistencia es una