Beweis für die Additionstheoreme der Trigonometrie

α

k

xpq

αβ

1

s

r

ySkizze: S δ * t A C P B O Beweis: Die Strecke OS habe die Länge 1 (Einheitskreis), und die Dreiecke OPS, OAS, OBA und CAS seien rechtwinklig. Damit gilt für die Summe der Winkel: α + β + δ = 90° = α* + β + δ also: α* = α Additionstheorem der sin-Funktion:

NR: Aus den Dreiecken OBA und OAS ergibt sich:

cosβsinα

1cosβk mit; ksinαr⋅=

⋅=⋅=

( )

sinβcosαcosβsinαtcosαksinα

srβαsin

⋅+⋅=⋅+⋅=

+=+

sin(α + β) = sinα ⋅ cosβ + cosα ⋅ sinβ (1)

Aus den Dreiecken CAS und OAS ergibt sich:

sinβcosα

1sinβt mit; tcosαs⋅=

⋅=⋅=

Additionstheorem der cos-Funktion:

NR: Aus den Dreiecken OBA und OAS ergibt sich:

cosβcosα

1cosβk mit; kcosαq⋅=

⋅=⋅=

( )

sinβsinαcosβcosαtsinαkcosα

pqβαcos

⋅−⋅=⋅−⋅=

−=+

cos(α + β) = cosα ⋅ cosβ – sinα ⋅ sinβ (2)

Aus den Dreiecken CAS und OAS ergibt sich:

sinβsinα

1sinβt mit; tsinαp⋅=

⋅=⋅=

Nach (1) gilt:

( ) ( )( )( ) ( )

( )sinβcosαcosβsinα

sinβcosαcosβsinαβsincosαβcossinα

βαsinβαsin

⋅−⋅=−⋅+⋅=

−⋅+−⋅=−+=−

sin(α – β) = sinα ⋅ cosβ – cosα ⋅ sinβ (3) Nach (2) gilt:

( ) ( )( )( ) ( )

( )sinβsinαcosβcosα

sinβsinαcosβcosαβsinsinαβcoscosα

βαcosβαcos

⋅+⋅=−⋅+⋅=

−⋅+−⋅=−+=−

cos(α – β) = cosα ⋅ cosβ + sinα ⋅ sinβ (4)

Additionstheorem der tan-Funktion:

mit cosα

αα sintan = folgt aus (3) und (4):

( ) ( )( )

( )

( )

( )tanβtanα1

tanβtanαβαtan

1βαtan

sinβsinαcosβcosαsinβcosαcosβsinαβαtan

βαcosβαsinβαtan

cosβ

sinβ

cosα

sinαcosβ

sinβ

cosα

sinα

cosβcosα

1cosβcosα

1

⋅+−

=−

+=−

⋅⋅+⋅⋅−⋅

=−

−−

=−

⋅

−

⋅

⋅

; mit tanα ⋅ tanβ ≠ – 1