3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für die Risikoeinstellung · Prof. Dr. H. Rommelfanger:...

Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3

54

3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für die Risikoeinstellung

å Risikoverhalten bisher grob kategorisert nach Risikoneutralität, -sympathie und –aversion

⇒ bei Risikoaversion: E(X) < SÄ

⇒ Risikoprämie π = E(X) - SÄ å Versuch von K.J. ARROW und J.W. PRATT [1964]

eine Maßgröße für differenziertere Aussagen zu entwickeln

⇒ Arrow-Pratt-Maß r(x) für die lokale

Riskioaversion an der Stelle x ∈ R:

)x(u)x(u

)x(r′′′

−=


55

Verlauf des BERNOULLI-Nutzens u(x)

E(X) und SÄ

Einstel-lung zum

Risiko

Risiko-prämie

ARROW-PRATT-

Maß r(x)

linear E(X)...= SÄ

Risiko-neutral π = 0 r(x) = 0

streng konkav

E(X)...> SÄ

Risiko-avers π > 0 r(x) > 0

streng konvex

E(X)...< SÄ

Risiko-freudig π < 0 r(x) < 0

Welche Risikoeinstellung hat ein Entscheider mit der Nutzenfunktion 10x2)x(u += ?

Bestimmen Sie das ARROW-PRATT-Maß für diese Nutzenfunktion.


56

3.2.9 Bernoulli-Prinzip und Fuzzy-Ergebnisse

s1

p1 = 0,5 s2

p2 = 0,3 s3

p3 = 0,2

a1 (170; 180; 200; 220; 225; 230)

(70; 83; 90; 100; 110; 120)

(-110; -97; -90; -77; -60, -50)

a2 (140; 155; 165; 175; 180; 190)

(85; 93; 100; 110; 115; 125)

(-85; -80; -70; -58; -50; -40)

a3 (120; 135; 145; 150; 160; 170)

(115; 130; 135; 140; 145; 150)

(-30; -20; -10; 0; 5; 10)

a4 (85; 90; 100; 110; 115; 125)

(85; 93; 100; 105; 108; 115)

(-15; -10; -5; 5; 10; 15)

a5 (45; 48; 50; 53; 58; 60)

(40; 45; 50; 50; 53; 55)

(35; 40; 45; 50; 55; 60)

å Bernoulli – risikoneutraler Entscheider

Erwartete Gewinne ]X[E i~~

a1 (84 ; 95,5 ; 109 ; 124,6 ; 133,5 ; 141) a2 (78,5 ; 89,4 ; 98,5 ; 108,9 ; 114,5 ; 124,5) a3 (88,5 ; 102,5 ; 111 ; 117 ; 124,5 ; 132) a4 (65 ; 70,9 ; 79 ; 87,5 ; 91,9 ; 100) a5 (41,5 ; 45,5 ; 49 ; 51,5 , 55,9 ; 58,5)


57

å a1, a2, a3, a4 ρf a5 (mit ρ = ε)

å2123414342 aa,aa,aa,aa,aa εεεεε fffff

d.h. Entscheidung zwischen a1 und a3 ??!! å Niveau-Ebenen-Verfahren:

6,1146

1415,1336,1241095,9584E1 =

+++++=

58,1126

1325,1241171115,1025,88E3 =

+++++=

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 ε=0,05

λ=0,5

1 5 4 2 3 1


58

å Bernoulli – risikoscheuer Entscheider

u(x) = )110x(2340

)110x( 2++

+−

d.h. Umrechnung von )s,a(G~X~ jiij = in ijU~ :

s1

p1 = 0,5 s2

p2 = 0,3 s3

p3 = 0,2

a1 (329; 333; 337; 340; 340; 340)

(265; 276; 282; 290; 298; 304)

(0; 26; 39; 63; 93; 109)

a2 (316; 323; 328; 331; 333; 335)

(278; 285; 290; 298; 301; 308)

(48; 57; 75; 96; 109; 126)

a3 (304; 313; 319; 321; 326; 329)

(301; 311; 313; 316; 319; 321)

(141; 156; 171; 184; 191; 198)

a4 (278; 282; 290; 298; 301; 308)

(278; 285; 290; 294; 296; 301)

(163; 171; 178; 191; 198; 204)

a5 (239; 243; 245; 248; 253; 255)

(234; 239; 245; 245; 248; 250)

(228; 234; 239; 245; 250; 255)


59

Fuzzy-Nutzenerwartungswerte

jj

ijijij pU~]U~[E~E~ ⋅∑==

a1 (244; 254; 261; 270; 278; 283) a2 (251; 259; 266; 274; 279; 285) a3 (271; 281; 288; 292; 297; 301) a4 (255; 261; 268; 275; 279; 285) a5 (235; 240; 244; 246; 251; 253)

å a3 εf a2, a3, a4, a5

å a3 ρf a2, a3, a4, a5 (mit ρ = λ)

å Zur Anwendung des Bernoulli-Prinzips reichen Ergebnisse in Form von Fuzzy-Intervallen aus!!!

240 250 260 270 280 290 =0,05

=0,5

1 5 4 2 3 1


60

3.3 Entscheidungen bei Fuzzy-Wahrscheinlich-keitsverteilung

sj Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten

?e,ej

?j

1j

1j

?j

ejj )p;p;p;p;p;p()(sP =~

s1 λε= ,1 )55,0;53,0;51,0;49,0;48,0;45,0()s(P~

s2 λε= ,2 )33,0;31,0;3,0;29,0;28,0;26,0()s(P~

s3 λε= ,3 )23,0;21,0;2,0;2,0;18,0;17,0()s(P~

erweiterte Multiplikation: λεελλε ,11 )a,a,a,a,a,a( ⊗ λεελλε ,11 )b,b,b,b,b,b(

= λεεελλλλεε ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ,1111 )ba,ba,ba,ba,ba,ba(

å λεελλε= ,ii

1i

1iii

Ai )E;E;E;E;E;E(E~

= ),s(PU~...)s(P~U~ nin11i ⋅⊕⊕⋅ wobei

∑ ⋅==

n

1jjij

1i puE , ∑ ⋅=

=

λλλ n

1jjiji puE , ∑ ⋅=

=

εεε n

1jjiji puE

∑ ⋅==

n

1jjij

1i puE , ∑ ⋅=

=

λλλ n

1jjiji puE , ∑ ⋅=

=

εεε n

1jjiji puE .


61

Mit Tabelle 3.7 von Seite 64 (Beispiel 3.1)

Fuzzy-Gewinnerwartungswerte

?e,ei

?i

1i

1i

?i

ei

Ai )E;E;E;E;E;E(E =~

a1 (106,9 ; 114,4 ; 115,9 ; 121,1 ; 125,5 ; 130,1) a2 (93,6 ; 100,2 ; 101,75 ; 106,2 ; 110,05 ; 114,35) a3 (102,2 ; 109,4 ; 112,1 ; 116,5 ; 120,8 ; 126,4) a4 (73,77 ; 78,96 ; 81,03 ; 84,15 ; 87,27 ; 91,41) a5 (44 ; 47 ; 49 ; 50,5 ; 52,5 ; 55,5)

å a1 εf a2, a3, a4, a5

å a1 ρf a4, a5 (mit ρ = ε)

å a1 ρf a2 (mit ρ = λ)

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 ε=0,05

λ=0,5

1 5 4 2 3 1


62

bisher: Verwendung der Angaben des Entscheiders als Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten Problem?? keine Garantie, daß sich die Summe der Wahrschein-lichkeiten auf den einzelnen Niveaus zu 1 addiert Resultat:

einfach zu berechnende Fuzzy-Erwartungswerte AiE~ ;

aber nur Näherungslösung, da Spannweiten im Vergleich zu Erwartungswertkonzept zu groß daher Berücksichtigung der Bedingung

1pn

1jj =∑

=

α

Durch die Berücksichtigung dieser Restriktion wird die Fuzziness der Erwartungswerte i.a. geringer. D.h.: Präferenzaussagen nach der ρ-Präferenz mit dem Niveau ρ = ε werden verschärft.


63

Idee:

å α-Schnitte eines Fuzzy-Intervalls auf ε-, λ- und 1- Niveau beschreiben Intervall möglicher Ergebniswerte

å Auswahl der Werte so, daß sich Summe von 1 auf allen Niveaus ergibt !!!

åRechenalgorithmus zur Berechnung der Fuzzy-

Erwartungswerte • Zur Berechnung der Nutzenerwartungswerte

1iii E;E;E λε muss die Wahrscheinlichkeitsmasse

vergrößert werden und daher sind nach dem Vorsichtsprinzip den kleinsten Ergebniswerten die höchsten Eintrittswahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

• Bei Gewinnerwartungswerten ελii

1i E;E;E liegt die

Wahrscheinlichkeitsmasse ursprünglich über 1, so daß jetzt den hohen Nutzenwerten auch die höchsten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.


64

Exakte Berechnung der Nutzenerwartungswerte λεελλε= ,

ii1i

1iii

Pi )E;E;E;E;E;E(E~

über:

}1pund]p,p[ppu{MinEn

1jjjjj

n

1Jjiji =∑∈∑ ⋅=

=

εε

=

εε


1jjjjj

n

1Jjiji =∑∈∑ ⋅=

=

λλ

=

λλ


1jj

1j

1jj

n

1Jj

1ij

1i =∑∈∑ ⋅=

==

}1pund]p,p[ppu{MaxEn

1jj

1j

1jj

n

1Jj

1ij

1i =∑∈∑ ⋅=

==


1jjjjj

n

1Jjiji =∑∈∑ ⋅=

=

λλ

=

λλ


1jjjjj

n

1Jjiji =∑∈∑ ⋅=

=

εε

=

εε .


65

Berechnung der (i)paj zur Kalkulation der

Erwartungswerte 1i

?i

ei E;E;E

• Zunächst setzt man alle Eintrittswahrscheinlichkei-ten auf den kleinsten Wert, d. h. αα = jj p)i(p .

• Dann erhöht man die Wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand mit dem niedrigsten Nutzenwert so weit wie möglich. Sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) ns dieser Zustand, so gilt

}1pp|]p,p[p{Max)i(p1n

1jjnnn ≤+∑∈=

−

=

αααα

• Gilt in der vorstehenden Bedingung das Ungleich-heitszeichen im strengen Sinne, dann ist im nächsten Schritt die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit dem zweitniedrigsten Nutzen zu berechnen. Dies sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) 1ns − .

}1ppp|]p,p[p{Max)i(p n2n

1jj1n1n1n ≤++∑∈= α−

=

αα−

α−

α−

• Dieses Verfahren ist bei analoger Vorgehensweise solange fortzusetzen, bis die Ungleichung als Gleichung erfüllt ist.


66

Berechnung der (i)paj zur Kalkulation der

Erwartungswerte ei

?i

1i E;E;E :

• Zunächst setzt man alle Eintrittswahrscheinlichkei-

ten auf den kleinsten Wert, d. h. αα = jj p)i(p .

• Dann erhöht man die Wahrscheinlichkeit für den Umweltzustand mit dem höchsten Nutzenwert so weit wie möglich. Sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) 1s dieser Zustand, so gilt

}1pp|]p,p[p{Max)i(pn

2jj111 ≤∑ +∈=

=

αααα

• Gilt in der vorstehenden Bedingung das Ungleich-heitszeichen im strengen Sinne, dann ist im nächsten Schritt die Wahrscheinlichkeit für den Zustand mit dem zweithöchsten Nutzen zu berechnen. Dies sei (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) 2s .

}1ppp|]p,p[p{Max)i(pn

3jj1222 ≤∑++∈=

=

ααααα

• Dieses Verfahren ist bei analoger Vorgehensweise solange fortzusetzen, bis die Ungleichung als Gleichung erfüllt ist.


67

Beispiel

sj ?e,e

j?j

1j

1j

?j


s1 λε= ,1 )55,0;53,0;51,0;49,0;48,0;45,0()s(P~

s2 λε= ,2 )33,0;31,0;3,0;29,0;28,0;26,0()s(P~

s3 λε= ,3 )23,0;21,0;2,0;2,0;18,0;17,0()s(P~

Hier immer 3i2i1i xxx ≥≥ für alle i = 1, 2,...,5.

e ? 1 1 ? e a1p a

1p

a2p a

2p

a3p a

3p

Achtung!!!! Die Zahlen )i(pund)i(p jj

αα sind rein rechnerische

Größenzur Bestimmung der Erwartungswerte!! å aufsteigende Ordnung der "Wahrscheinlichkeits"-

werte nicht zwingend notwendig


68

Fuzzy-Gewinnerwartungswerte PiE~

?e,ei

?i

1i

1i

?i

ei

Pi )E;E;E;E;E;E(E =~

a1 (108,1 ; 115 ; 119 ; 120,1 ; 125,9 ; 129,9)

a2 (96,3 ; 101,6 ; 104,5 ; 105,2 ; 109,8 ; 112,7)

a3 (110 ; 113,3 ; 115 ; 115,1 ; 118,3 ; 120)

a4 (79,9 ; 82 ; 83,1 ; 83,1 ; 85,2 ; 86,3)

a5 (50 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50 ; 50)

å Fuzzy-Gewinnerwartungswerte PiE~ sind weniger

fuzzy als die Näherungswerte AiE~

50 60 70 80 90 100 110 120 130 ε=0,05

λ=0,5

1 5 4 2 3 1


69

Fuzzy-Erwartungswerte aus Fuzzy-Nutzen und Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten Tabelle 3.5 aus Beispiel < 3.21 > von S. 91

s1 s2 s3

a1 (170; 180; 200; 220; 225; 230)

(70; 83; 90; 100; 110; 120)

(-110; -97; -90; -77; -60, -50)

a2 (140; 155; 165; 175; 180; 190)

(85; 93; 100; 110; 115; 125)

(-85; -80; -70; -58; -50; -40)

a3 (120; 135; 145; 150; 160; 170)

(115; 130; 135; 140; 145; 150)

(-30; -20; -10; 0; 5; 10)

a4 (85; 90; 100; 110; 115; 125)

(85; 93; 100; 105; 108; 115)

(-15; -10; -5; 5; 10; 15)

a5 (45; 48; 50; 53; 58; 60)

(40; 45; 50; 50; 53; 55)

(35; 40; 45; 50; 55; 60)

und


70

Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten aus Tabelle 3.23 auf Seite 95

sj Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten

?e,ej

?j

1j

1j

?j


s1 λε= ,1 )55,0;53,0;51,0;49,0;48,0;45,0()s(P~

s2 λε= ,2 )33,0;31,0;3,0;29,0;28,0;26,0()s(P~

s3 λε= ,3 )23,0;21,0;2,0;2,0;18,0;17,0()s(P~

? ? e

?1p (4) 0,51 a

1p (5) 0,53 0,55

?2p (4) 0,28 a

2p (5) 0,28 0,26 ?3p (4) 0,21 a

3p (5) 0,19 0,19

Matrix der Berechnungsgrößen

(5)pund(5)p(4),p ej

?j

?j


71

?e,ei

?i

1i

1i

?i

ei

Pi )E;E;E;E;E;E(E =~

a1 (73,6 ; 91,8 ; 109 ; 125,8 ; 140,4 ; 151,6) a2 (70,7 ; 86,4 ; 98,5 ; 109,6 ; 119,8 ; 132,7) a3 (83,9 ; 100,9 ; 111 ; 117,1 ; 127,8 ; 137,2) a4 (62 ; 69,8 ; 79 ; 87,6 ; 94,1 ; 103,5) a5 (41,1 ; 45,4 ; 49 ; 51,5 ; 56 ; 58,7)

Matrix der Fuzzy-Gewinnerwartungswerte PiE~ bei

Vorgabe von Fuzzy-Gewinnen des e-?-Typs

å Möglichkeit der Vorselektion

å Konzentration auf wesentliche Alternativen

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 ε=0,05

λ=0,5

1 5 4 2 3 1


72

3.4 Entscheidung bei unzuverlässigen Wahrschein-lichkeiten

HODGES-LEHMANN-Regel I

]umin)1(pu[max)a( ijjj

jiji

k ⋅λ−+∑⋅λ=Φ

å Kombination zwischen dem Nutzenerwartungswert und dem Maximin-Kriterium:

• λ ist von dem Entscheidungsträger individuell festzulegen

• λ = Vertrauensparameter (Je größer λ, desto größer das Vertrauen in die Wahrscheinlichkeitsverteilung)

• Für λ = 1 HODGES-LEHMANN-Regel I = BERNOULLI-Aktion

• Für λ = 0 HODGES-LEHMANN-Regel I = Maximin-Regel


73

< 3.27 > λ = 0,5

p(s1) = 0,5, p(s2) = 0,3, p(s3) = 0,2; λ = 0,5

1s 2s 3s )a(E i ∑ ⋅+⋅j

ijj2

1jij2

1 uminpu

a1 210 100 -80 119 19,5 a2 170 105 -60 104,5 22,25 a3 150 140 -10 115 52,5 a4 105 102 0 83,1 41,55 a5 50 50 50 50 50

HODGES-LEHMANN-Regel I mit Fuzzy-Nutzenwerten

∑ −⋅λ−+⋅⋅λ−=Φj

iji

jiji

k ]U~ni~MR)1(pU~[xa~MR)a(


74

< 3.28 > λ = 0,5

p(s1) = 0,5, p(s2) = 0,3, p(s3) = 0,2; λ = 0,5

Maximin BERNOULLI HODGES-LEHMANN I

a1 (-110; -97; -90; -77; -60, -50)

(84; 95,5; 109; 124,6; 133,5; 141)

(-13; -0,8; 9,5; 23,8; 36,8; 45,5)

a2 (-85; -80; -70; -58; -50; -40)

(78,5; 89,4; 98,5; 108,9; 114,5; 124,5)

(-3,3; 4,7; 14,3; 25,5; 32,3; 42,3)

a3 (-30; -20; -10; 0; 5; 10)

(88,5; 102,5; 111; 117; 124,5; 132)

(29,3; 41,3; 50,5; 58,5; 64,8; 71)

a4 (-15; -10; -5; 5; 10; 15)

(65; 70,9; 79; 87,5; 91,9; 100)

(25; 30,5; 37; 46,3; 51,0; 57,5)

a5 (35; 40; 45; 50; 55; 60)

(41,5; 45,5; 49; 51,5; 55,9; 58,5)

(38,3; 42,8; 47; 50,8; 55,5; 59,3)


75

HODGES-LEHMANN-Regel II

1. Schritt: • Bestimmung eines individuellen Mindestnutzen-

niveaus u0 , • Obergrenze 0u = Maximum der schlechtesten

Werte aller Alternativen - ijji

uminmax

• Bei 0u minimal, d. h. ijji

0 uminminu = , ist jede

BERNOULLI-Aktion optimal. 2. Schritt:

• Anwendung des Erwartungswertkriteriums

∑ ∑≥j j

jijjkj pupu

für alle i, die 0ijjuumin ≥ erfüllen.


76

< 3.29 > Setze in Beispiel < 3.1 > 0u = -10,

HODGES-LEHMANN-Regel II mit Fuzzy-Nutzenwerten

}uU~ni~MR|pU~{xa~MR)a( 0ij

j jjij

ik ≥∑ −⋅−=Φ

< 3.30 >

• Fuzzy-Matrix

• scharfe Grenze u0 = -10 • unscharfe Schranke der Form

e,?e0

?0

10

10

?0

e00 )u,u,u,u,u,u(U~ = mit

e0

?0

10

10 uuuu ===

• bei λε−−−−−−= ,0 )10,10,10,10,20,35(U~ ,

Fuzzy-Matrix und Fuzzy-Erwartungswerte

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