6. OPTIKA FOURIER

6.2. OPTIKA FOURIER

1. Transformasi Fourier 1D (Review)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ''sin';''cos'

sincos1

0 0

dxkxxfkBdxkxxfkA

dxkxkAdxkxkAxf

∫∫

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞ ∞

==

+=

π

Dalam bentuk fungsi kompleks :

( ) ( )

( ) ( )

xx

dxexfkF

dkekFxf

ikx

ikx

=

=

=

∫

∫∞+

∞−

−+∞

∞−

'

2

1

πF(k) adalah transformasiFourier dari f(x)

F(k) = Y Y Y Y { f(x)}

• Karena F(k) adalah fungsi kompleks :

F(k) = A(k) + iB(k)A(k) bagian riil dari F(k) dan B(k) bagian imajinernya.

• Dalam bentuk amplitudo dan fasa :

• Invers Fourier Transform

• FT untuk fungsi waktu, f (t) → f(ω)

( ) ( ) ( )kiekFkF φ=

f(x) = Y Y Y Y -1{ F(k)} = Y Y Y Y -1{YYYY {f(k)}}

( ) ( ) ( ) ( ) dtetfFdeFtf titi ωω ωωω ∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

== ;

Contoh : Campuran fungsi(komposit) dan FT-nya

Fungsi Gauss (Distribusi Gauss 1D)

( ) aCeCxf ax /;2

π== −

FT-nya :

( ) ( ) ( )

ak

ak

ak

ikxaxikxax

e

ea

C

aikaxdeea

C

dxeCdxeeCkF

4/

4/

4/

2

2

22

22

2/;

−

−

∞+

∞−

−−

+∞

∞−

+−+∞

∞−

−

=

=

−==

==

∫

∫∫

π

βββ

FT

Fungsi Gauss (a) dan FT-nya (b)

2. FT 2D

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )dydxeyxfkkF

dkdkekkFyxf

ykxkiyx

yxykxki

yx

yx

yx

+∞+

∞−

∞+

∞−

+−+∞

∞−

+∞

∞−

∫ ∫

∫ ∫

=

=

,,

,2

1, 2π

dengan kx dan ky adalah frekuensi sudut ruang(angular spatial frequencies) dari sumbu-x dansumbu-y

FT Fungsi Silindris

( )

>+

≤+=

ayx

ayxyxf

22

22

;0

;1,

y

x

( )yxf ,

a1

θθθ

αα

α

α

ddrrdydx

ry

rx

kk

kk

y

x

===

==

sin

cos

sin

cos

Fourier Transform-nya

( ) ( ) drrdekFa

r

rik

∫ ∫= =

−

=

0

2

0

cos, θαπ

θ

αθα

α

Karena fungsinya simetris, maka FT-nya jugasimetris, sehingga F(kα,α) tidak bergantung pada α.

( )

( ) drrrkJ

drrdekF

a

arik

α

πθ

α

π

θα

∫

∫ ∫

=

=

0

0

0

2

0

cos

2

( )rkJ α0 Fungsi Bessel orde-nol

Definisikan :

( ) ( )

( )

( )

=

=

= ∫=

ak

akJa

akJakk

dwwwJk

kFak

w

α

α

ααα

αα

π

π

α

12

12

0

02

2

2

1

dwkdrrkw 1−=→= αα

APLIKASI DALAM OPTIK1. LENSA

Difraksi cahaya oleh celah sempit transparanmelalui sebuah lensa konvergen membentuk poladifraksi pada layar (titik fokus lensa).

Distribusi medan listrik dari celah (fungsi apertur) ditransformasi oleh lensa menjadi pola difraksi.

Jika celah/objek memiliki kerapatan yang hanyabervariasi sepanjang satu sumbunya, maka profile transmisinya adalah segitiga.

(a). Fungsi segitiga, dan (b) Transformasi Fourier-nya

FUNGSI DELTA DIRAC• Banyak fenomena fisis terjadi

pada durasi yang sangatpendek. Sehingga diperlukanfungsi Delta-Dirac

• Contoh : bagaimana responrangkaian tertentu berperilakujika diberi input arussingkat/pulsa.

( )

( ) 1

0;

0;0

=

=∞≠

=

∫∞+

∞−

dxx

x

xx

δ

δ

( ) ( ) ( )00 xfdxxfxx =−∫+∞

∞−

δ

• Bentuk kompleks fungsi Delta-Dirac

( )

( ){ } ( )∫

∫∫∞+

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−

−

−=−

==

dkexxxx

dkedkex

ikx

ikxikx

00

2

1

2

1

δδ

ππδ

YYYY

FOURIER TRANSFORM dapat merubah sinyaldiskrit (spektrum) menjadi kontinu atausebaliknya dengan fungsi Delta-Dirac.

Contoh : 1. Fungsi Cosinus dan Sinus

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdx

xxxfj

j

−−++−=

−=∑

δδ

δ

FT

( ){ } ( )2/cos22/2/ kdeexf ikdikd =+= −YYYY

FT

( ) ( )[ ] ( )[ ]2/2/ dxdxxf −−−+−= δδ

( ){ } ( )2/sin22/2/ kdieexf ikdikd =−= −YYYY

2. FT beberapa fungsi

2. FT beberapafungsi (lanj.)

2. Sistem Linier

• Teknik Fourier menyediakan kerangkakerja yang elegan untuk menggambarkanpembentukan citra.

• Kunci dari analisis adalah konsep sistemlinier, yang menggambarkan hubunganinput-output.

( ) ( ){ }zyfZYg ,, = L

• Jika sinyal input f(y,z) melewati suatu sistemoptik menghasilkan output g(Y,Z). Sistemdisebut linier jika :– Mengalikan fungsi f(y,z) dengan suatu

konstanta a menghasilkan ag(Y,Z)– Jika inputnya af1(y,z)+ bf2(y,z) menghasilkan

output ag1(Y,Z)+ bg2(Y,Z) , dimana f1(y,z) danf2(y,z) mengenerate g1(Y,Z) dan g2(Y,Z)

Secara umum ditulis :

Contoh :

Fourier Transform dalam kasus Difraksi

1. Celah tunggal 1D

>

≤=

2/;0

2/;)(

0

bx

bxAzA

θsinkkz =

( ) { }

( )2/sinc

)(

0

2/

2/

0

bkbA

dzeA

zAkE

z

b

b

zik

z

z

=

=

=

∫+

−

Y

2. Celah tunggal 2D

>

≤=

2/;0

2/;),(

0

bx

bxAzyA

( ) { }( )

=

=

=

∫ ∫+

−=

+

−=

R

akZ

R

bkYbaA

dzeAA

zyAkkEb

by

zkkia

az

zy

zy

2sinc

2sinc

),(,

0

2/

2/

2/

2/

00

ba = luas celah

3. Eksperimen Young

(Celah Ganda)

Fungsi aperturg(x) diperolehdari konvolusifungsi h(x).

G(k) adalahpola difraksicelah ganda(FT dari g(x)).

3. Tiga celah

Bandingkan pola difraksi secara analitik

(Bahasan 4. Difraksi)

Rujukan utama : E. Hechts,”Optics”, wesley, 2002