b) Filtre passe-bande : généralisationLa fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre peut s’écrire sous la forme :

H(jx) =H0

1 + jQ(x− 1x)

=j xQH0

1− x2 + j xQ

La deuxième expression fait apparaître le dénominateur utilisé dans la forme canonique.On en déduit les valeurs du gain G = |H| et de ϕ = arg(H)

G =|H0|√

1 +Q2(x− 1x)2

ϕ = arg(H0)− arg

(1 + jQ(x− 1

x)

)

soit α = arg

1︸︷︷︸>0

+j Q(x− 1

x)︸ ︷︷ ︸

>0 ou <0

. On en déduit α ∈ [−π2, π2]. On peut alors utiliser la fonction

arctan pour exprimer ϕ :

ϕ = arg(H0)− arctan

(Q(x− 1

x)

)avec arg(H0) = 0 pour H0 > 0 et arg(H0) = π pour H0 < 0.

Résonance :Dans l’expression de G, le numérateur étant constant (égal à |H0|), G admettra un maximumsi le dénominateur admet un minimum et donc si 1 +Q2(x− 1

x)2 admet une valeur minimale.

Or Q2(x− 1x)2 > 0. La valeur minimale est donc atteinte pour (x− 1

x) = 0, soit pour x2 = 1

et donc, puisque x > 0 pour x = 1, ce qui correpond à ω = ω0.

∀Q G = Gmax = |H0| pour x = 1

c) Diagramme de Bode asymptotiqueOn détermine tout d’abord les expressions approchées de H, suivant les différents domainesde fréquence :

x� 1 H(jx) ' H0

−jQx

= jxH0

Qω � ω0 H(jω) ' jω H0

Qω0

comportement dérivateur

x = 1 H(jx) = H0 ω = ω0 H(jω) = H0

x� 1 H(jx) ' H0

jxQω � ω0 H(jω) ' 1

jω

H0ω0

Q

comportement intégrateur

1

On en déduit les expressions approchées– du gain G = |H|

x� 1 G = |H0|xQ

GdB = 20 log |H0| − 20 logQ+ 20 log x

droite de pente +20 dB/dec

x = 1 G = |H0| GdB = 20 log |H0|

x� 1 G ' |H0|Qx

GdB = 20 log |H0| − 20 logQ− 20 log x

droite de pente −20 dB/dec

Remarque : l’intersection des deux asymptotes avec la verticale x = 1 (log x = 0) correspondà un point d’ordonnée 20 log |H0| − 20 logQ.

– de la phase ϕ, en se plaçant dans le cas où H0 > 0

x� 1 ϕ = arg

(jxH0

Q

)= π

2(pour H0 > 0)

x = 1 ϕ = arg(H0) = 0 (pour H0 > 0)

x� 1 ϕ = arg

(H0

jQx

)= −π

2(pour H0 > 0)

d) Courbes (pour H0 = 1)

10-2 10-1 100 101 102x

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

G(dB)

+20dB/dec -20dB/decQ=10

Q=1

Q=0.1

2

10-2 10-1 100 101 102x

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

ϕ

Q=10

Q=1

Q=0.1

. quel que soit le facteur de qualité, la résonance a toujours lieu pour x = 1 (ω = ω0). Larésonance est d’autant plus aiguë que le facteur de qualité est élevé.

. l’amplitude de variation de ϕ est de π. Le saut de π/2 à −π/2 est d’autant plus prononcéque le facteur de qualité est élevé. Pour x = 1, ω = ω0, ϕ = 0 : le déphasage entre l’entrée etla sortie est nul à la résonance (pour H0 > 0).

. dans le domaine des basses fréquences (x � 1, ω � ω0), la pente de l’asymptote vaut+20 dB/dec et ϕ = +π/2 car H(jω) ' jω H0

Qω0: le filtre se comporte comme un dérivateur.

. dans le domaine des hautes fréquences (x � 1, ω � ω0), la pente de l’asymptote vaut−20 dB/dec et ϕ = −π/2 car H(jω) ' 1

jωH0ω0 : le filtre se comporte comme un intégrateur.

e) Bande passante à -3dBLa bande passante correspond au domaine de fréquence pour lesquelles

Gmax√2

6 G 6 Gmax

GdBmax − 3dB 6 GdB 6 GdBmax

car −20 log√

2 = −3.Gmax = |H0|, les pulsations de coupures vérifient donc l’équation :

|H0|√1 +Q2(x− 1

x)2

=|H0|√

2

En inversant et en élevant au carré :

1 +Q2

(x− 1

x

)2

= 2

3

Q

(x− 1

x

)= ±1

1er cas : Q(x− 1

x

)= −1

x2 +1

Qx− 1 = 0

on ne conserve que la racine positive : x1 = − 12Q

+ 12

√1Q2 + 4

2eme cas : Q(x− 1

x

)= 1

x2 − 1

Qx− 1 = 0

on ne conserve que la racine positive : x2 = 12Q

+ 12

√1Q2 + 4

On en déduit ∆x = x2 − x1 = 12Q

+��

����12

√1Q2 + 4−

(− 1

2Q+

������

12

√1Q2 + 4

)= 1

Q

∆x =∆ω

ω0

=∆f

f0=

1

Q

avec ∆ω = ω2 − ω1 différence entre les deux pulsations de coupures, ∆f = f2 − f1 différenceentre les deux fréquences de coupures.

Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est étroite.

Remarque : Q(x1 − 1

x1

)= −1, ϕ(x1) = − arctanQ

(x1 − 1

x1

)= − arctan(−1) = π

4.

Q(x2 − 1

x2

)= 1, ϕ(x2) = − arctanQ

(x2 − 1

x2

)= − arctan(1) = −π

4.

(en supposant H0 > 0)

f) Entrainez-vousSur une feuille de papier semi-log, tracer le diagramme de Bode d’un filtre passe-bande decaractéristiques :H0 = 10, fréquence de résonance f0 = 102 Hz, facteur de qualité Q = 5.

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