N⊂⊂⊂⊂Z⊂⊂⊂⊂Q⊂⊂⊂⊂R

+∞-∞ ππππ

N=mulţimea numerelor naturale

Z=mulţimea numerelor întregiZ=mulţimea numerelor întregi

Q=mulţimea numerelor raţionale

R=mulţimea numerelor reale

R-Q=mulţimea numerelor iraţionale

N⊂⊂⊂⊂Z⊂⊂⊂⊂Q⊂⊂⊂⊂R

NZ

QR*ππππ

Adevărat sau fals ?

• Un număr scris cu virgulă nu este întreg.

Exemple: 0,516; -1,9; +34,78.

• Un număr scris cu liniuţă de fracţie nu este întreg.• Un număr scris cu liniuţă de fracţie nu este întreg.

Exemple:

• Un număr scris cu radical nu este raţional.

Exemple:

• numere întregi scrise cu virgulă:

51,0; -852,0; +6174,0.

• numere întregi scrise cu liniuţă:

Afirmaţiile anterioare sunt false. Demonstrăm cu metoda contraexemplului.

numere raţionale scrise cu radical:

Atenţie ! Nu asociaţi automat numerele scrise cu radical cu numerele iraţionale!

• Georg Cantor (1845-1918) a avut o contribuţie remarcabilă în fundamentarea teoriei mulţimilor. În acelaşi timp el a dat o construcţie a numerelor reale printr-o metodă diferită de cele realizate de predecesorii săi.

• Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însă

N⊂⊂⊂⊂Z⊂⊂⊂⊂Q⊂⊂⊂⊂R

• Creator al teoriei numerelor reale, poate fi însă considerat matematicianul grec

Eudoxus (408-355 î.Hr.)• Ideile sale inspirate din geometrie au fost

preluate de Karl Weierstrass (1815-1897) şi de Richard Dedekind (1831-1916) şi dezvoltate prin metode aritmetice şi analitice moderne.

Mulţimea numerelor naturale

N = { 0, 1, 2, 3, …}

• 0 este cel mai mic număr natural.• 0 este cel mai mic număr natural.• Nu există cel mai mare număr natural.• Numere care aparţin mulţimii N:

58; 724; 100; 32689; 106.• Numere care nu aparţin mulţimii N:

-3; -12; 0,7; -5,2(6); ; ; .

Mulţimea numerelor întregi

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

• Oricărui număr întreg pozitiv îi corespunde • Oricărui număr întreg pozitiv îi corespunde un număr întreg negativ.• Numere care aparţin mulţimii Z:

24; -43; 625; -100; 27314; -106.• Numere care nu aparţin mulţimii Z:

8,1; -0,5; 9,(7); -1,3(26); ; ; .

Mulţimea numerelor raţionale

• Se notează cu Q• Orice număr raţional se poate scrie sub forma:

, a∈Z, b ∈Z*• Numerele raţionale pot avea după virgulă:- un număr finit de zecimale;- o infinitate de zecimale care se repetă periodic;- o infinitate de zecimale care se repetă periodic;- o parte finită urmată de o parte periodică.

• Numere care aparţin mulţimii Q:0; 1; 10; -1; -106; 2-3; -0,5; 3,(74); 1,8(2); .

• Numere care nu aparţin mulţimii Q:

; ; ; ; .ππππ

Mulţimea numerelor reale

• Se notează cu R• Un număr real este sau raţional, sau iraţional.• Numerele iraţionale au după virgulă o infinitate de zecimale fără parte periodică.• Numere care aparţin mulţimii R:• Numere care aparţin mulţimii R:

0; 1; 10; -1; -106; 2-3 ; -0,5; 3,(74); 1,8(2); ;

• Numere care nu aparţin mulţimii R:soluţii ale unor ecuaţii precum: x2+1=0.

ππππ

Un număr de forma , a∈N, este iraţional dacă:

• Numărul a are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8.

∈R-Q pentru că u(152)=2.

• Numărul a este cuprius între două pătrate perfecte consecutive.perfecte consecutive.

72<56<82, deci ∈R-Q.

• Numărul a admite un divizor p, dar nu admite ca divizor pătratul lui p.

∈R-Q pentru că 115 5 şi 115 25.

Ce este axa numerelor reale ?

x

origineasens pozitiv

O dreaptă pe care am fixat:

• un punct O numit origine;• un sens pozitiv (indicat de săgeată);• o unitate de măsură.

OA=1sens pozitiv

x

Abscisa punctului D este . Scriem

• Oricărui număr real i se poate asocia un punct de pe axa Ox şi reciproc, oricărui punct de pe axa Ox i se poate asocia un număr real;• Numerele reale “ocupă” toate punctele dreptei Ox

Abscisa punctului D este . Scriem

Cum reprezentăm pe axănumerele iraţionale ?

+∞-∞ ππππ

Folosindconstrucţii geometrice

aproximări

Aproximări

În funcţie de precizia cu care dorim să lucrăm, putem înlocui un număr real cu aproximări ale sale, care să aibă un ordin de mărime dat.

De cele mai multe ori, nu avem nevoie de o precizie atât de mare încât să folosim rigla şi compasul pentru a reprezenta un număr pe axă. În compasul pentru a reprezenta un număr pe axă. În aceste situaţii, recurgem la încadrarea numărului dat între două numere raţionale care îl aproximează prin lipsă, respectiv prin adaos. Astfel putem reprezenta pe axă numărul dat printr-un punct situat între punctele corespunzătoare unei încadrări date.

3< 10 < 4

3,1< 10 < 3,2

încadrare prin aproximare la unităţi

încadrare prin aproximare la zecimi

aproximareprin lipsă

aproximareprin adaos

3,1< 10 < 3,2

3,16< 10 < 3,17

încadrare prin aproximare la zecimi

încadrare prin aproximare la sutimi

Dacă avem nevoie de o precizie maimare, atunci folosim rigla şi compasul.

Construcţii geometrice

Anumite numere iraţionale, cum sunt radicalii, pot fi reprezentate “exact” pe axa numerelor. Folosim teorema lui Pitagora, rigla şi compasul pentru a construi un segment de lungime :

+∞-∞

Într-un triunghi dreptunghic suma pătratelorlungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

Teorema stabileşte echivalenţa între o proprietategeometrică (a fi un triunghi dreptunghic) şi o proprietatenumerică (suma pătratelor a două numere este pătratulunui alt număr), trasând o legătură între

geometrie şi aritmetică.

matematician şi filozof grec, spunea:

• Cedează întotdeauna cuvintelor blânde şi faptelorfolositoare.

• Obişnuieşte-te să domini: lăcomia în primul rând,apoi lenea, luxul şi mânia.

• Prietenul care ne ascunde defectele, ne slujeştemai rău decât duşmanul care ni le reproşează.

(Vezi I. Dăncilă “Matematica gimnaziului”-pag. 108)

Desenul următor vă sugerează un procedeu pentrua construi segmente de lungime

• a fost nu numai un mare matematician al Siracuzei şi al antichităţii, dar şi unul al tuturor timpurilor.

• Pliniu l-a numit “zeul matematicii”, iar Leibniz a scris că, dacă cunoşti opera lui Arhimede, nu mai scris că, dacă cunoşti opera lui Arhimede, nu mai poţi admira descoperirile noi.

• Legendele şi anecdotele care au împodobit invenţiile sale sunt aproape singurele izvoare de unde putem afla amănunte despre opera sa matematică şi inginerească.(Vezi I. Dăncilă “Matematica gimnaziului”-pag. 141)

Folosiţi spirala lui ARHIMEDE pentru a reprezenta pe axa numerelor:

Un procedeu pentru a construi, cât mai rapid, un segment de lungime

34 = 25 + 9 = 52+32

Desenul următor vă sugerează cum putem construi,cât mai rapid, un segment de lungime

15 = 32 + 22 + 12 + 1215 = 32 + 22 + 12 + 12

AC2 = BC2 - AB2

AC2 = 82 – 72

AC2 = 15

SAU: 15 = 15 1 = (8+7)(8-7) = 82 - 72

AC2 = 15

AC = 15

Construiţi asemănător segmente de lungime:

INDICAŢII

17=16+141=25+1635=25+9+1, sau 35=132-122

INDICAŢII

35=25+9+1, sau 35=13 -1239=36+1+1+1, sau 39=202-192

86=81+4+1106=81+25

Numărul 12 345 678 987 654 321 este un număr remarcabil. Dar şi rădăcina luieste un număr remarcabil. Dar şi rădăcina luipătrată este tot aşa: este un număr întreg !

Voi îl puteţi calcula ?

Numărul 12 345 678 987 654 321

• este pătrat perfect şi se citeşte astfel:• este pătrat perfect şi se citeşte astfel:12 biliarde, 345 bilioane, 678 miliarde,

987 milioane, 654 mii, 321.

• rădăcina lui pătrată este: 111 111 111.

112=1211112=1232111112=1234321111112=123454321111112=1234543211111112=1234565432111111112=1234567654321111111112=1234567876543211111111112=12345678987654321

Ai ajuns la sfârşit.

ALEGE !

IEŞIRE

ÎNAPOI