SINTEZE ŞI PROBLEME

pentru

SEMINAR

la disciplina

ELASTICITATE ŞI REZISTENŢA MATERIALELOR

G

G1

Y1=a

Y2=5a

Z

O

2

1

G2

h1=2a

b=b1=3a

Z1,2=ZG=1.5a

b2=a

h2=6a

YG

z

Y y

h=8a T,M

σ τ

σmax=M/Wz max

PREFAŢĂ, BIBLIOGRAFIE ŞI CUPRINS

Obiective • Aplicaţii practice a unor relaţii teoretice de calcul stabilite la orele de curs. Instrumentele de evaluare formativă (pe parcurs): Verificare orală la fiecare lucrare Instrumentele de evaluare finală: Examen Standarde de performanţă

Standarde minime: Parcurgerea aproximativă a tuturor etapelor de rezolvare a problemelor Standarde maxime: Parcurgerea coerentă a tuturor etapelor de rezolvare a problemelor

Bibliografie 1. *** Notiţe de la curs şi Suporturi de studiu elaborate în cadrul laboratorului 2. Diaconescu, E., N., Rezistenţa materialelor, Partea I, cota II-26.477, 50 buc. 3. Deutsch, I. ;I colectiv, Probleme de Rezistenţa materialelor, cota III-8.569., 20 buc. 4 Popovici, M., M., Rezistenţa materialelor. Program de autoinstruire prin descoperire dirijată, cota I-7.455, 10 buc. 6. Tudose, I., Atanasiu, C., Iliescu, N., Rezistenţa materialelor, cota III-9.003, 30 buc. 7. Neculau, A Câmpul universitar şi actorii săi

Bibliografie minimală

1. Suporturi de studiu elaborate în cadrul laboratorului 2. *** Noti ţe de la curs

CUPRINS - TEME DE SEMINAR ERM – PARTEA I Probleme recapitulative din mecanică: ecuaţiile de echilibru static, calculul reacţiunilor Mărimi secţionale Diagrame de eforturi secţionale axiale şi torsionale Diagrame de forţe tăietoare şi momente încovoietoare la bare încărcate cu sarcini concentrate Diagrame de forţe tăietoare şi momente încovoietoare la bare cu sarcini distribuite Diagrame de forţe tăietoare şi momente încovoietoare la sisteme de bare Probleme de elasticitate, aplicaţii la teoria tensiunilor Probleme de elasticitate, aplicaţii la teoria deformaţiilor Probleme de elasticitate, aplicaţii la legea generalizată a lui Hooke Probleme de elasticitate, aplicaţii la energii specifice Tracţiune - compresiune: criterii de calcul şi problemele RM Tracţiune - compresiune: energii şi solide de egală rezistenţă Răsucire sau torsiune: criterii de calcul şi problemele RM Răsucire sau torsiune: energii şi solide de egală rezistenţă

TEME DE SEMINAR ERM – PARTEA a II-a Incovoiere, tensiuni (Navier, Juravski), criteriul de calcul si problemele RM Incovoiere, energii si solide de egala rezistenta Deformatii la incovoiere, metoda grinzii fictive si probleme simplu static nedeterminate Metode energetice de calcul al deformatiilor Sisteme elastice static nedeterminate, ecuatii canonice in caz general Sisteme elastice static nedeterminate, ecuatii canonice in cazul sistemelor cu simetrii Solicitari compuse Solicitari dinamice Oboseala materialelor la solicitari simple Oboseala materialelor la solicitari compuse Flambajul barelor drepte solicitate la compresiune Aplicatii ale T.E. Vase cu pereti subtiri Aplicatii ale T.E. Tuburi cu pereti grosi si fretaj Aplicatii ale T.E. Contact

CALCULUL REACŢIUNILOR ŞI TRASAREA DIAGRAMELOR DE EFORTURI SECŢIONALE LA SISTEME ELASTICE STATIC DETERMINATE

Generalităţi Calculul reacţiunilor se prezintă doar pentru cazul sistemelor elastice (corpurilor solide) static determinate exterior, la care numărul reacţiunilor (forţelor de legătura) nu întrece pe cel al ecuaţiilor de echilibru disponibile. Pentru calculul reacţiunilor se rezolvă ecuaţiile de echilibru ale corpului supus acţiunii unor forţe exterioare, în care intră si reacţiunile. In RM (Rezistenţa Materialelor) se fac următoarele două simplificări: corpurile sunt numai sub formă de bare iar forţele exterioare efectiv date sunt numai coplanare, situate în plan vertical, notat cu V. Ca urmare, cele 3 tipuri de reazeme, se înlocuiesc prin următoarele reacţiuni; reazemul simplu introduce o reacţiune verticală, notată cu V; articulaţia este cilindrică şi introduce două reacţiuni, orizontală H şi verticală V; încastrarea este plană şi se înlocuieşte prin trei reacţiuni, H, V şi momentul încovoietor M, De asemenea, în cazul coplanar, numărul ecuaţiilor de echilibru este de maxim trei, astfel: ΣH=0, ΣV=0, ΣM=0. Barele şi sistemele de bare din RM, sunt desenate prin axa lor longitudinală. Pot fi încastrate sau dublu rezemate în punctele A şi B. In cazul barelor orizontale, rezemate este preferabil un alt sistem de ecuaţii de echilibru, echivalent, de forma ΣH=0, ΣMA=0, ΣMB=0, din care rezultă explicit cele trei reacţiuni, H, VA, VB. Ecuaţia suplimentară, echivalentă, ΣV=0 se va utiliza la verificarea valorilor reacţiunilor VA si VB. Pentru calculul eforturilor secţionale Nx≡N, Ty≡T şi Mz≡M, ce corespund forţelor exterioare coplanare, se foloseşte metoda secţiunilor. Abscisa sau axa de referinta x este identică cu axa barei. Graficul eforturilor sectionale N,T,M, în funcţie de abscisa , se traseaza astfel: N+ şi T+ deasupra axei de referinţă, iar M+ sub axă. Probleme rezolvate Să se afle reacţiunile pentru barele încastrată si rezemată din figură şi să se traseze diagramele de eforturi secţionale. Se dau: a= lungime de referinţă în [m] şi q=sarcină distribuită în [N/m]. D C D B C TAD=1,5qa NCD=2qa T± N± NDA=−F=−qa TA stg=−1,5qa TDA=−2qa TCD=−F=−qa MA=−1,5qa2

T± Mµ pc TC=−2qa pp MC=−2qa2 ETAPELE DE REZOLVARE cuprind schema de Mµ calcul, calculul reactiunilor si eforturilor sectionale, trasarea diagramei 1. Schema de calcul cuprinde: 1-Desenarea barei sau sistemului de bare prin axa sa longitudinală (aici cu linie continua groasa l.c.g.); 2-Reprezentarea rezemărilor prin semnele grafice ştiute de la mecanică; 3-Reprezentarea sarcinilor sau forţelor ext. efectiv date (forte si momente concentrate F si M , sarcini distribuite în lungul barei q uniform, liniar etc, date în N/m); 4-Cotarea lungimii tronsoanelor a, 2a, 3a; 5-Introducerea reacţiunilor sau forţelor de legatură, după tipul de reazem, cu l.i.g, astfel: o reacţiune normală pe axa barei VA VB în punctele de reazem simplu A si B de la bara din dreapta, două reacţiuni perpendiculare la articulaţia cilindrică (nefigurată), trei reacţiuni HA VA MA la încastrarea barei cotite din stanga figurii; 6-Linii de referinţă. 2. Calculul reacţiunilor şi al eforturilor secţionale se face: 1-Rezolvand ecuatiile de echilibru disponibile si 2-Aplicand metoda secţiunilor (eforturile secţionale sunt date de suma algebrică a forţelor ext. corespunzătoare, luate dintr-o parte sau din cealaltă parte a secţiunii, de regulă din partea unde forţele ext se cunosc, iar nr. lor este mai mic). La bare orizontale N=ΣFH, T=ΣFv, M=ΣM i, etc. 3-Diagramele de eforturi sunt în figurile de sus.

VB

qmax≡q

3 F=1,A 4

a a 3a VA

x x`

A

2a F=qa

q [N/m] HA MA

VA a

a

M=2qa2

DIAGRAME DE EFORTURI SECŢIONALE

Anexa nr D1 Anexa nr D2 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale 2F 2F F F a 2a a a 2a a Anexa nr D3 Anexa nr D4 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale F 2F 2F F a 2a a a 2a a Anexa nr D5 Anexa nr D6 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale M=Fa F F M=Fa a 2a a a 2a a Anexa nr D7 Anexa nr D8 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale M=Fa F F M=Fa a 2a a a a 2a a

Anexa nr D9 Anexa nr D10 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale q q F=qa F=qa a a 2a 2a a a Anexa nr D11 Anexa nr D12 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale F=qa q q F=qa a a 2a 2a a a Anexa nr D13 Anexa nr D14 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale M=qa2 q q M=qa2 a a 2a 2a a a Anexa nr D15 Anexa nr D16 Să se traseze diagramele de eforturi secţionale Să se traseze diagramele de eforturi secţionale M=qa2 q q M=qa2 a a 2a 2a a a

MĂRIMI SECŢIONALE

Mărimi secţionale uzuale Secţiunea

Mărimea secţională

Secţiune inelară cu k=d/D<1 Secţiune circulară cu k=0

Secţiune dr. cu k=h/b≠1; Secţiune pătrată cu k=1

b=h=a

Secţiune triunghiulară

1.

Poziţia lui G La intersecţia diametrelor La intersecţia diagonalelor

3

hyG =

2.

Aria A=∫A dA Momentul static

Sz=∫A y dA Sy=∫A z dA

( ) )k1(D8.0k14

DA 222

2

−≅−π=

Sz=0 si Sy=0 (este nul fata de axele centrale z si y)

bhA =

Sz=0 si Sy=0 (este nul fata de axele centrale z si y)

2

bhA =

Sz=0 (este nul fata de axa centrala z)

3.

Momente de inerţie axiale Iz=∫A y2 dA Iy=∫A z2 dA

( ))k1(D05.0

k164

DII

44

44

yz

−≅

≅−π== 12

hbI;

12

bhI

3

y

3

z == 36

bhI

3

z =

4.

Module de rez. la încovoiere Wz=Iz/ymax

Wy=Iy/zmax

( ))k1(D1.0

k132

DWW

43

43

yz

−≅

≅−π== 6

hbW;

6

bhW

2

y

2

z == 24

bhW

2

z =

5.

Raze de giraţie sau inerţie

A/Ii =

214

kD

ii yz +== 3232

bi;

hi yz ==

23

hi z =

6.

Momente de inerţie polare sau la torsiune

( )44

132

kD

II tp −π== It=γ h b3

k 1 2 4 ≥10 γ 0.141 0.229 0.281 0.33

Pt. triunghi echilateral

80

34bI t =

7.

Module de rezistenţă la

torsiune ( )4

3

116

kD

WW tp −π== Wt=α h b2

k 1 2 4 ≥10 α 0.208 0.246 0.281 1/3

Pt. triunghi echilateral

20

3bWt =

Secţiuni compuse - relaţii de calcul ale unor mărimi secţionale 1. Momentul static al sectiunii compuse din n sectiuni simple este: S∆=YGA=Y1A1+Y2A2+…YnAn

2. Momentul de inerţie al sectiunii compuse din n sectiuni simple este: I=I1+I2+…+In 3. Relaţia lui Steiner l: Iz=Ipropriu+a2A, Iy=Ipropriu+b2A, Iz y=Iz y propriu+abA

4.Momente de inerţie principale: ( ) 2221 4

2

1

2 zyyzyz

, IIIII

I +−±+

= si direcţii principale: zy

zy

II

Itg

−=α

22

5. Raze de giraţie sau de inerţie curente: A

Ii y,z

y,z = si raze principale de inerţie: A

Ii ,

,21

21 =

h

yG

G z

b

z

y

b

h G

G

D

d

z

y

Anexa MS1 Anexa MS2 Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. Se dau: d, λ=d Se dau: d, λ=d Anexa MS3 Anexa MS3 Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. Se dau: d, λ=d si L=3d Se dau: d, λ=d si L=3d Anexa MS5 Anexa MS6 Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. Se dau: λ si d=2λ Se dau: λ si d=2λ Anexa MS7 Anexa MS8 Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de Calculaţi momentele de inerţie axiale faţă de axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. axele de simetrie ale secţiunii compuse din figură. Se dau: d si D=2d Se dau: d si D=2d

RELAŢII ÎNTRE TENSIUNI ŞI EFORTURI SECŢIONALE

( ) ∫∫∫∫∫∫ σ=σ−=τ−τ=τ=τ=σ=A

xzA

xyA

xyxzxA

xzzA

xyyA

xx ydAM;zdAM;dAzyM;dAT;dAT;dAN

Anexa nr.Relaţii 1 Anexa nr.Relaţii 2 Pe secţiune pătrată de latură a, raportată Pe o secţiune dreptunghiulară de dimensiuni sistemul de axe centrale Gzy, paralele cu laturile b şi h, raportată la sistemul de axe centrale Gzy, figurii, se dă distribuţia de tensiuni: paralele cu laturile, se dă distribuţia de tensiuni:

σ σx

y

a=

0

2. σ σ

x

y

h=

0

2

Să se reprezinte figura şi să se calculeze eforturile Să se reprezinte figura şi să se calculeze eforturile secţionale în funcţie de tensiunea de referinţă σ0 secţionale în funcţie de tensiunea de referinţă σ0 şi dimensiunile secţiunii. şi dimensiunile secţiunii. Anexa nr.Relaţii 3 Anexa nr Relaţii 4 Pe secţiune circulară de rază R, raportată Pe o secţiune inelară de raze exterioară R şi sistemul de axe centrale Gzy, se dă distribuţia interioară R√2/2, raportată la sistemul central de

tensiuni: σ σx

y

R=

0. axe Gzy, se dă distribuţia de tensiuni: σ σ

x

y

R=

0

Să se reprezinte figura şi să se calculeze eforturile Să se reprezinte figura şi să se calculeze eforturile secţionale în funcţie de tensiunea de referinţă σ0 secţionale în funcţie de tensiunea de referinţă σ0 şi dimensiunile secţiunii. şi dimensiunile secţiunii. Anexa nr.Relaţii 5 Anexa nr.Relaţii 6 Pe secţiune pătrată de latură a, raportată Pe o secţiune dreptunghiulară de dimensiuni sistemul de axe centrale Gzy, paralele cu laturile b şi h, raportată la sistemul de axe centrale Gzy, figurii, se dă distribuţia de tensiuni: paralele cu laturile, se dă distribuţia de tensiuni:

σ σx

z

a=

0

2. σ σ

x

z

b=

0

2

z

y

G

TRACŢIUNE COMPRESIUNE

Calcul la rezistenţă şi problemele RM: σ =N

A aA

N σ≤=σ AN

a

=σ

N Aa

= σ ca

λσ=σ

Calcul la rigiditate şi problemele RM: ∆λλ

=N

EA ∆ ∆λ

λλ= ≤

N

EA a A

N

Ea

=λλ∆

NEA l

a=∆

λ

Dilatarea împiedecată: ∆λN=∆λT’ TT ∆α=∆ λλ aTE σ≤∆α=σ

Anexa nr TC1 Anexa nr TC2 Verificaţi la rezistenţă bara din figură, de Dimensionaţi la rezistenţă bara din figură, de secţiune pătrată constantă, cu latura h=20 mm şi secţiune circulară constantă, cu diametrul d, aflaţi deplasarea capătului liber, cunoscând: şi aflaţi rotirea capătului liber, cunoscând: F=104N, E=2 1011Pa, σc=300MPa, a=1m, c=3. F=104N, E=2 1011Pa, σc=300MPa, a=1m, c=3. 2F F 2F F a a a a Anexa nr TC3 Anexa nr TC4 O bară se montează cu joc între doi pereţi O bară se montează cu joc între doi pereţi rigizi rigizi şi se încălzeşte. Aflaţi care este creşterea de şi se încălzeşte. Aflaţi care este creşterea de temperatură ∆T la care se elimină jocul şi verificaţi temperatură ∆T la care se elimină jocul şi calculaţi bara la rezistenţă dacă creşterea temperaturii este tensiunile din bară dacă creşterea temperaturii este 2∆T, cunoscând: j=1mm, α=10-5K-1, E=2 1011Pa, 2∆T, cunoscând: j=2mm, α=10-5K-1, E=2 1011Pa, σc=300MPa, a=1m, c=3. a=1m. a j a j Anexa nr TC5 Anexa nr TC6 O bară se montează cu joc între doi pereţi O bară se montează cu joc între doi pereţi, se rigizi şi se încălzeşte cu ∆T=100 K. Aflaţi cât trebuie încălzeşte cu ∆T=100 K. Aflaţi cât trebuie să fie lungimea a la care se elimină jocul şi verificaţi să fie lungimea a la care se elimină jocul şi calculaţi bara la rezistenţă dacă creşterea temperaturii este tensiunile din bară dacă creşterea temperaturii este 2∆T, cunoscând: j=1mm, α=10-5K-1, E=2 1011Pa, 2∆T, cunoscând: j=2mm, α=10-5K-1, E=2 1011Pa. σc=300Mpa şi coeficientul de siguranţă c=3.. a j a j

INCOVOIERE

Calcul la rezistenţă şi problemele RM: zW

M=σ azW

M σ≤=σ a

zM

Wσ

= zaWM σ= caλσ

=σ

INC 1

Pe o secţiune transversală, tubulară pătrată, , cu grosimea pereţilor “a” şi lăţimea egală cu înălţimea b=h=3a, normală pe axa unei bare solicitată la încovoiere simplă, acţionează momentul încovoietor Mz≡M şi forţa tăietoare Ty≡T. Se cere: Să se figureze alura tensiunilor normale şi tangenţiale pe înălţimea secţiunii; Neglijand forfecarea si ştiind că M=0.4 kNm, a=10 mm, σc=300 MPa, c=3, să se verifice bara la rezistenţă în secţiunea dată.

INC 2 Pe o secţiune transversală, de tip profil H, cu grosimea pereţilor “a” şi lăţimea egală cu înălţimea b=h=3a, normală pe axa unei bare solicitată la încovoiere simplă, acţionează momentul încovoietor Mz≡M şi forţa tăietoare Ty≡T. Se cere: Să se figureze variaţia tensiunilor normale şi tangenţiale pe înălţimea secţiunii; Neglijand forfecarea si ştiind că M=0.55 Nm, a=10 mm, σc=300 MPa, c=1.5, să se verifice bara la rezistenţă în secţiunea dată.

INC 3 Pe o secţiune transversală, de forma unui profil , cu grosimea pereţilor “a” şi lăţimea egală cu înălţimea b=h=3a, normală pe axa unei bare solicitată la încovoiere simplă, acţionează momentul încovoietor Mz≡M şi forţa tăietoare Ty≡T. Se cere: Să se reprezinte alura tensiunilor normale şi tangenţiale pe înălţimea secţiunii; Să se dimensioneze secţiunea barei (valoarea lui a) dacă momentul încovoietor este M=0.79 kNm, σc=360 MPa, c=2 si forfecarea este neglijabila.

INC 4 Să se dimensioneze bara rotundă din figură, de diametru d, confecţionată din oţel cu tensiunea limită de curgere σc=300 MPa, dacă F=10 KN, a=1 m, se adoptă un coeficient de siguranţă c=3 şi se ia π=3.2. F M=Fa a a

INC5 Să se dimensioneze bara de secţiune pătrată din figură, de latură h, confecţionată din oţel cu tensiunea limită de curgere σc=300 MPa, dacă F=10 KN, a=1 m, se adoptă un coeficient de siguranţă c=3. F M=Fa a 2a a

ÎNCOVOIERE DEFORMAŢII: INTEGRARE DIRECTĂ, GRINDĂ FICTIVĂ SAU CONJUGATĂ

Integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate a barei v"=φ′=-M/EIz

D1

Să se determine săgeata şi rotirea la capătul liber al unei bare încastrate de lungime λ, rigiditate EIz, încărcată pe capătul liber cu o forţă F şi un moment încovoietor M=Fλ, sensul lor fiind aleatoriu (la alegere). Să se determine săgeata şi rotirea la capătul liber al unei bare încastrate de lungime λ, rigiditate EIz, încărcată pe toată lungimea cu o sarcină uniform distribuită q şi pe capătul liber cu o forţă F=qλ, sensul lor fiind aleatoriu (la alegere).

Metoda grinzii conjugate sau fictive: Inclinarea φ=TBARAT şi Săgeata v=MBARAT

DI 1

Să se determine săgeata în dreptul unei forţe cu metoda grinzii conjugate F F a 2a a

DI 2 Să se determine săgeata în dreptul unei forţe cu metoda grinzii conjugate F F a 2a a

DI 3

Să se determine înclinarea în dreptul unei forţe cu metoda grinzii conjugate F F 3a 6a 3a

METODE ENERGETICE

DI 4

Să se determine săgeata în dreptul forţei cu teorema lui Castigliano F M=Fa a a

DI 5

Să se determine săgeata în dreptul forţei cu teorema lui Castigliano F M=Fa a a

DI 5 Să se determine săgeata la mijlocul deschiderii barei cu regula lui Vereşceaghin F M=Fa a 2a a

DI 6 Să se determine săgeata la mijlocul deschiderii barei cu regula lui Vereşceaghin F M=Fa a 2a a

PROBLEME STATIC NEDETERMINATE LA ÎNCOVOIERE

PSN 1

Să se ridice nedeterminarea sistemului elastic şi să se traseze diagramele de momente încovoietoare M 2a a

PSN 2 Să se ridice nedeterminarea sistemului elastic şi să se traseze diagramele de momente încovoietoare

a F a a

PSN 3 Să se ridice nedeterminarea sistemului elastic şi să se afle săgeata în planul de simetrie

2a a F F a

PSN 4 Să se ridice nedeterminarea sistemului elastic şi să se afle deplasarea orizontală în planul de simetrie

2a a F F a

SOLICITĂRI DINAMICE

SCD 1 Un cablu de ascensor, format din 10 fire de oţel rotund, cu limita de curgere σc=500 Mpa, trebuie să ridice o masă m=1000 kg cu o acceleraţie la pornire a=g (g=10 m/s2). Să se dimensioneze firul cablului dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=5. Se ia în calcule π=3.2.

SCD 2 Un cablu de ascensor este format din 10 fire de oţel rotund. Fiecare fir are diametrul d=5 mm şi limita de curgere σc=500 Mpa. Cablul trebuie să ridice o masă m=1000 kg cu o acceleraţie la pornire a=g (g=10 m/s2). Să se verifice cablul la rezistenţă, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=4. Se ia în calcule π=3.2.

SCD 7 Un volant tip obadă din oţel (σc=390 MPa şi ρ=7800 Kg/m3) are diametrul exterior d=1000 mm şi se roteşte cu viteza unghiulară ω=200 rad/s. Să se afle coeficientul de siguranţă la rezistenţă al volantului.

SCD 8 Care este diametrul exterior ‘’d’’ al unui volant tip obadă, din oţel (σc=390 MPa şi ρ=7800 Kg/m3), dacă se roteşte cu o viteză unghiulară ω=100 rad/s şi se adoptă un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=5.

SCD 11 O osie este solicitată la încovoiere rotativă (alternant – simetrică). Ea este confecţionată din oţel cu limita la oboseală σ-1=250 MPa. În secţiunea periculoasă, de formă circulară, cu d=100 mm, cu concentratorii de tensiuni kσ=1.6 şi εσ=0.8 (ceilalţi coeficienţi fiind unitari), acţionează momentul Mmax=5 KNm. Să se verifice secţiunea la oboseală dacă ca=2.

SCD 12 O bară de flexiune este solicitată la încovoiere plană pulsantă. Ea este confecţionată din oţel cu limitele statice şi la oboseală σc=σ0 =400 MPa σ-1=300 MPa. În secţiunea periculoasă, de formă pătrată, cu latura a=100 mm, cu concentratorii de tensiuni kσ=1.6 şi εσ=0.8, (ceilalţi coeficienţi fiind unitari), acţionează momentul Mmax=10 KNm. Să se verifice secţiunea la oboseală dacă ca=2.

SCD 15 bară de torsiune este solicitată la răsucire pulsantă. Materialul barei are limitele τc=τ0=400 MPa si τ-1=300 MPa. În secţiunea periculoasă, de formă circulară, cu d=100 mm, cu concentratorii de tensiuni kτ=1.6 şi ετ=0.8, (ceilalţi coeficienţi fiind unitari), acţionează momentul Mtmax=12 KNm. Să se verifice secţiunea la oboseală dacă ca=2.

SCD 18

Un capăt de arbore este solicitat la încovoiere alternant – simetrică şi răsucire pulsantă. Materialul are σr=σ+1=600 MPa şi τr=τ+1=450 MPa, iar, generic notate (ρ=σ,τ), ρc=0.8ρr si ρ-1=0.5ρr. În secţiunea periculoasă, de formă circulară, cu d=100 mm, cu concentratorii de tensiuni kρ=1.6 si ερ=0.8 (ceilalti coef. fiind unitari) acţionează momentele M=Mt=5 KNm. Se cere coef. de siguranta la ob.

SCD 21 Să se verifice la rezistenţă, după ip. III, bara rotundă din figură cu diametrul d=100 mm şi a=1 m, solicitată cu M i=Mt=M=10 KNm, dacă materialul are σc=300 MPa şi de adoptă c=2. Mt Mi Mt

a a a

SCD 22 Bara rotundă din figură cu diametrul d=100 mm şi a=1 m, este solicitată cu Mi=Mt=M. Care este capacitatea portantă (valoarea lui M) după ip. III, dacă materialul are σc=300 MPa şi de adoptă c=3. Mt M Mt

a a a

SCD 23 Bara rotundă din figură cu diametrul d=100 mm şi a=1 m, este solicitată cu Mi=Mt=M. Care este capacitatea portantă (valoarea lui M) după ip. IV, dacă materialul are σc=300 MPa şi de adoptă c=3. Mt Mi Mt

a a a

SCD 24 Să se verifice la rezistenţă, după ip. IV, bara rotundă din figură cu diametrul d=100 mm şi a=1 m, solicitată cu M i=Mt=M=4 KNm, dacă materialul are σc=300 MPa şi de adoptă c=2. Mt M Mt

a a a

SCD 25

Să se dimensioneze, după ip. III, bara rotundă din figură cu diametrul d şi a=1 m, solicitată cu Mi=Mt=M=5 2 KNm, dacă materialul are σc=300 MPa şi de adoptă c=3. Mt Mi Mt

a a a

FLAMBAJ

FL 1

Care este capacitatea portantă la compresiune, cu pericol de flambaj, a unei bare rotunde cu d=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=50 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

FL 2 Care este capacitatea portantă la compresiune, cu pericol de flambaj, a unei bare rotunde cu d=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=100 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

FL 3 Să se verifice la compresiune, cu pericol de flambaj, o bară rotundă cu d=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=50 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60. Se adoptă un coeficient de siguranţă c=2, iar forţa de compresiune este F=10 kN.

FL 4 Să se verifice la compresiune, cu pericol de flambaj, o bară rotundă cu d=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=100 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60. Se adoptă un coeficient de siguranţă c=2, iar forţa de compresiune este F=10 kN.

FL 5 Care este capacitatea portantă la compresiune, cu pericol de flambaj, a unei bare de secţiune transversală pătrată, cu latura h=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=50 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

FL 6 Care este capacitatea portantă la compresiune, cu pericol de flambaj, a unei bare de secţiune transversală pătrată, cu latura h=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=100 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

FL 7 Să se verifice la compresiune, cu pericol de flambaj, o bară de secţiune transversală pătrată, cu latura h=10 mm, încastrată la un capăt, de lungime λ=50 mm, din oţel cu: σc=300 MPa, σp=200 MPa, E=200 GPa, a=300 MPa, b=1 MPa, λ1=60. Se adoptă un coeficient de siguranţă c=2, iar forţa de compresiune este F=10 kN.

APLICAŢII ALE TEORIEI ELASTICITĂŢII

VASE DE REVOLUŢIE CU PEREŢI SUBŢIRI

ATE 1 Un vas sferic cu pereţi subţiri, h=1 mm, din oţel cu σc=300 MPa, este solicitat cu presiunea interioară p=10 MPa. Care trebuie să fie diametrul sferei d, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=3.

ATE 2 Un vas cilindric cu capetele semisferice, cu pereţi subţiri, h=10 mm, din oţel cu σc=300 MPa, are diametrul cilindrului d=200 mm şi, evident, raza sferei R=0,5d=100mm. Să se verifice vasul la rezistenţă ştiind că presiunea interioară este p=10 MPa, şi se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 3 Un vas cilindric, cu pereţi subţiri, h=1 mm, din oţel, are presiunea interioară p=1 MPa şi diametrul cilindrului d=200 mm. Să se afle limita de curgere σc a oţelului din care trebuie confecţionat vasul, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=3.

ATE 4 Un vas sferic, cu pereţi subţiri, h=1 mm, din oţel, are presiunea interioară p=1 MPa şi diametrul sferei d=200 mm. Să se afle limita de curgere σc a oţelului din care trebuie confecţionat vasul, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=3.

ATE 5 Un vas cilindric cu pereţi subţiri, h=10 mm, din oţel cu σc=300 MPa, are diametrul cilindrului d=200 mm Care este coeficientul de siguranţă la rezistenţă al vasului, ştiind că presiunea interioară este p=10 MPa

ATE 6 Un vas sferic cu pereţi subţiri, h=10 mm, din oţel cu σc=300 MPa, are diametrul cilindrului d=200 mm Care este coeficientul de siguranţă la rezistenţă al vasului, ştiind că presiunea interioară este p=10 MPa

ATE 7 Un vas cilindric cu pereţi subţiri, h=1 mm, din oţel cu σc=250 MPa, este solicitat cu presiunea interioară p=10 MPa. Care trebuie să fie diametrul cilindrului d, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.5.

ATE 8 Un vas sferic cu pereţi subţiri, h=10 mm, din oţel cu σc=250 MPa, este solicitat cu presiunea interioară p=10 MPa. Care trebuie să fie diametrul sferei d, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.5.

ATE 9

Un vas cilindric cu capetele semisferice, cu pereţi subţiri, h=10 mm, are diametrul cilindrului d=200 mm şi, evident, raza sferei R=0,5d=100mm. Să se afle tensiunea maximă din vas ştiind că presiunea interioară este p=10 MPa

ATE 10 Un vas cilindric, cu pereţi subţiri, h=1 mm, din oţel, are presiunea interioară p=10 MPa şi diametrul cilindrului d=20 mm. Să se afle limita de curgere σc a oţelului din care trebuie confecţionat vasul, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 11 Un vas sferic, cu pereţi subţiri, h=10 mm, din oţel, are presiunea interioară p=1 MPa şi diametrul sferei d=200 mm. Să se afle limita de curgere σc a oţelului din care trebuie confecţionat vasul, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=3.

ATE 12 Un vas cilindric cu pereţi subţiri, h=10 mm, din oţel cu σc=300 MPa, are diametrul cilindrului d=200 mm Care este coeficientul de siguranţă la rezistenţă al vasului, ştiind că presiunea interioară este p=10 MPa

ATE 13 Un vas sferic cu pereţi subţiri, h=1 mm, din oţel cu σc=300 MPa, are diametrul cilindrului d=20 mm Care este coeficientul de siguranţă la rezistenţă al vasului, ştiind că presiunea interioară este p=10 MPa

TUBURI CU PEREŢI GROŞI

ATE 14 Un tub cu pereţi groşi, cu diametrele interior d=80 mm şi exterior D=100 mm, din oţel cu limita de curgere σc=300 MPa, are o presiune interioară p=18 MPa. Aflaţi coeficientul de siguranţă la rezistenţă.

ATE 15 Un tub cu pereţi groşi, cu diametrele interior d=50 mm şi exterior D=100 mm, din oţel cu limita de curgere σc=300 MPa, are o presiune interioară p=30 MPa. Să se verifice tubul la rezistenţă dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=3.

ATE 16 Un tub cu pereţi groşi, cu diametrele interior d=80 mm şi exterior D=100 mm, din oţel cu limita de curgere σc=300 MPa, are o presiune exterioară p=18 MPa. Să se verifice tubul la rezistenţă dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 17

Un tub cu pereţi groşi, cu diametrele interior d=50 mm şi exterior D=100 mm, din oţel cu limita de curgere σc=400 MPa, are o presiune exterioară p=75 MPa. Calculaţi coeficientul de siguranţă la rezistenţă.

ATE 18 Un tub cu pereţi groşi, cu diametrele interior d=50 mm şi exterior D=100 mm, are o presiune interioară p=75 MPa. Care trebuie să fie limita de curgere σc a mat. la un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=1.5.

ATE 19 Un tub cu pereţi groşi, cu diametrele interior d=70 mm şi exterior D=100 mm, are o presiune interioară p=51 MPa. Care trebuie să fie limita de curgere σc a mat. la un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=2.

ATE 20 Un tub cu pereţi groşi are o presiune interioară p=36 MPa şi limita de curgere a materialului σc=400 MPa Care trebuie să fie raportul diametrelor k=d/D la un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=2.

ATE 21 Un tub cu pereţi groşi are o presiune exterioară p=64 MPa şi limita de curgere a materialului σc=300 MPa Care trebuie să fie raportul diametrelor k=d/D la un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=1.5.

ATE 22 Un tub cu pereţi groşi are o presiune interioară p=36 MPa şi limita de curgere a materialului σc=400 MPa Care trebuie să fie diametrul interior d dacă diametrul exterior este D=100 mm şi de adoptă un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=2.

FRETAJ

ATE 23 Un bolţ se montează într-un manşon şi sunt din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Diametrul nominal al

îmbinării d=20 mm, diametrul exterior al manşonului de=d 2 şi presiunea de fretaj p=25 MPa. . Se cere strângerea diametrală necesară ∆=2δ şi verificarea manşonului la rezistenţă, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 24 Un bolţ se montează într-o placă, ambele elemente fiind din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Strângerea diametrală este ∆=2δ=10 µm şi diametrul nominal al îmbinării d=20 mm. Se cere presiunea de fretaj p şi verificarea plăcii la rezistenţă, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 25

Un bolţ se montează într-o placă, ambele elemente fiind din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Diametrul nominal al îmbinării este d=20 mm şi presiunea de fretaj p=50 MPa. Se cere strângerea diametrală necesară ∆=2δ şi verificarea plăcii la rezistenţă, dacă se adoptă un coef. de siguranţă c=2.

ATE 26 Un tub se montează într-o placă, ambele elemente fiind din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Strângerea diametrală este ∆=2δ=10 µm şi presiunea de fretaj p=50 MPa. Se cere diametru nominal d al îmbinării şi

tensiunea maximă din tub, ştiind că diametrul interior al tubului este di=d2

2.

ATE 27 Un tub se montează într-o placă, ambele elemente fiind din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Strângerea diametrală este ∆=2δ=10 µm, diametrul nominal al îmbinării d=10 mm, iar diametrul interior al tubului

di=d2

2. Se cere presiunea de fretaj p şi tensiunea maximă din tub.

ATE 28 Un tub se montează într-o placă, ambele elemente fiind din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Diametrul

nominal al îmbinării d=10 mm, diametrul interior al tubului di=d2

2 şi presiunea de fretaj p=50 MPa. . Se cere

strângerea diametrală necesară ∆=2δ şi tensiunea maximă din tub.

ATE 29 Un bolţ se montează într-un manşon şi sunt din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Strângerea diametrală este ∆=2δ=10 µm şi presiunea de fretaj p=25 MPa. Se cere diametru nominal d al îmbinării şi verificarea

manşonului la rezistenţă, dacă diametrul exterior al manşonului este de=d 2 şi se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 30 Un bolţ se montează într-un manşon şi sunt din oţel cu E=200 GPa şi σc=300 MPa. Se dă: strângerea diametrală

este ∆=2δ=10 µm, diametrul nominal al îmbinării d=20 mm şi diametrul exterior al manşonului de=d 2 . Se cere presiunea de fretaj p şi verificarea manşonului la rezistenţă, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

DISCURI ÎN MIŞCARE DE ROTAŢIE

ATE 31 Un disc plin din oţel (σc=340 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3) are diametrul exterior d=2000 mm şi se roteşte cu viteza unghiulară ω=100 rad/s. Să se verifice discul la rezistenţă, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 32

Un disc plin din oţel (σc=340 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3) are diametrul exterior d=1000 mm şi se roteşte cu viteza unghiulară ω=200 rad/s. Să se afle coeficientul de siguranţă la rezistenţă al discului.

ATE 33 Care este diametrul exterior d al unui disc plin, din oţel (σc=390 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3), dacă se roteşte cu o viteză unghiulară ω=100 rad/s şi se adoptă un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=5.

ATE 34 Cât trebuie să fie limita minimă de curgere σc a oţelului (ν=0,28, ρ=7800 Kg/m3) din care este confecţionat un disc plin, care are diametrul exterior d=2000 mm, viteza unghiulară ω=100 rad/s şi coeficientul de siguranţă la rezistenţă c=5.

ATE 35 Care poate fi viteza unghiulară maximă ωmax a unui disc plin, din oţel (σc=390 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3), dacă are diametrul exterior d=2 m şi se adoptă un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=5.

ATE 36 Un disc cu gaură mică din oţel (σc=340 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3) are diametrul exterior d=2000 mm şi se roteşte cu viteza unghiulară ω=100 rad/s. Să se verifice discul la rezistenţă, dacă se adoptă un coeficient de siguranţă c=2.

ATE 37 Un disc cu gaură mică din oţel (σc=340 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3) are diametrul exterior d=1000 mm şi se roteşte cu viteza unghiulară ω=200 rad/s. Să se afle coeficientul de siguranţă la rezistenţă al discului.

ATE 38 Care este diametrul exterior d al unui disc cu gaură mică, din oţel (σc=390 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3), dacă se roteşte cu o viteză unghiulară ω=100 rad/s şi se adoptă un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=5.

ATE 39 Care poate fi viteza unghiulară maximă ωmax a unui disc cu gaură mică, din oţel (σc=390 MPa, ν=0,28 şi ρ=7800 Kg/m3), dacă are diametrul exterior d=2000 mm şi se adoptă un coeficient de siguranţă la rezistenţă c=5.

ATE 40 Cât trebuie să fie limita minimă de curgere σc a oţelului (ν=0,28, ρ=7800 Kg/m3), din care este confecţionat un disc cu gaură mică, care are diametrul exterior d=2000 mm, viteza unghiulară ω=100 rad/s şi coef. de siguranţă la rezistenţă c=5.

CONTACT HERTZIAN

ATE 41 Pe suprafaţa plană ce mărgineşte un semispaţiu elastic este apăsată o bilă, ambele corpuri fiind din acelaşi

material cu E=200 GPa şi 1,0=ν . Să se afle diametrul d al bilei şi forţa F de apăsare pentru a rezulta un

contact circular cu raza r=1 mm şi o presiune maximă p0=1 GPa.

ATE 42 Pe suprafaţa plană ce mărgineşte un semispaţiu elastic este apăsată o bilă cu o forţă F=π kN, ambele corpuri

fiind din acelaşi material cu E=200 GPa şi 1,0=ν . Să se afle diametrul d al bilei şi presiunea maximă p0

dacă contactul e circular cu raza r=1 mm.

ATE 43

Două bile de diametre diferite, d şi D=2d, făurite din acelaşi material (E=200 GPa şi 1,0=ν ) sunt apăsate reciproc cu o forţă F. Să se afle diametrele bilelor şi forţa de apăsare pentru un contact circular cu raza r=1 mm şi o presiune maximă p0=1 GPa.

ATE 44

Două bile de diametre diferite, d şi D=2d, făurite din acelaşi material (E=200 GPa şi 1,0=ν ) sunt apăsate

reciproc cu o forţă F=π kN. Să se afle diametrele bilelor şi presiunea maximă p0 pentru a rezulta un contact circular cu raza r=1 mm.