Aula 2 A matemática do movimento ondulatório - IF toni/  · Com base no slide anterior ψ ... com

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  • Aula 2Aula 2A matemtica do movimento ondulatrioA matemtica do movimento ondulatrio

    Referncia: E. Hecht, ptica, Fundao Calouste Gulbekian, segunda edio portuguesa (2002);

  • Muitos fenmenos fsicos, aparentemente distintos, podem ser descritosmatematicamente em termos de ondas.

  • O aspecto essencial da propagao de uma que esta consiste numaperturbao auto-sustentada do meio atravs do qual se propaga.

  • Se h propagao, a perturbao deve ser expressa como funo do espao e do tempo:

    ),( txf=( l-se psi)

    A forma da perturbao em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da varivel tempo: (por exemplo t =0)

    )()0,(|),( 0 xfxftx t ===

    Representa a forma (perfil) da onda

    0 2 4 6 8 10

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    F1

    0,1010101010101

  • S S'

    vt

    x'

    vS se desloca com o pulso com a mesmaVelocidade v. Neste sistema (psi) no funo do tempo, = f(x)

    S um sistemafixo

    Considere um pulso caminhando para a direita

    x

    X= X -Vt

    x X

  • Com base no slide anterior

    )()'(),( vtxfxftx ==

    Esta equao representa a forma mais geral da funo de onda emuma dimenso.

    Basta apenas escolher a forma f(x,o) =f(x) e substituir x por (x-vt) em

    f(x)!

  • Do mesmo modo, se a onda se desloca para a esquerda:

    )(),( vtxftx += Com v > 0

    Isto permite obter a forma geral da equao de ondas a uma dimenso:

    '

    '

    ' x

    f

    x

    x

    x

    f

    x

    =

    =

    x= x vt

    = 1

    Se x se mantiver constante, a derivada parcial de (x,t) no tempo :

    '

    '

    ' x

    fv

    t

    x

    x

    f

    t

    =

    =

    v

  • Combinando ambas as equaes:

    xv

    t

    =

    Mas como so necessrias duas constantes para especificar totalmente umaonda , a equao mais geral deve ser de segunda ordem. Calculando assegundas derivadas parciais:segundas derivadas parciais:

    2

    2

    2

    2

    'x

    f

    x

    =

    =

    =

    t

    f

    xv

    x

    fv

    tt ''2

    2

  • Uma vez que

    dt

    df

    dt

    d=

    xv

    t

    =

    E lembrando que

    xv

    t =

    2'

    22

    2

    2

    x

    fv

    t

    =

    Ento

  • Combinando estas equaes, obtemos:

    2

    2

    22

    2 1

    tvx

    =

    A equao de ondas!

    Que admite solues da forma

    )()( vtxBgvtxAf ++=

  • FASE E VELOCIDADE DE FASEFASE E VELOCIDADE DE FASE

    (x,t) = A sen (kxt +)

    Fase = kxt + =

    Variao da fase com o tempo Fase = kxt +

    Constante de fase

    kv

    dt

    dx

    dt

    dxk

    dt

    d

    kx

    t

    ==

    ==

    =

    =

    0

    Variao da fase com o tempo

    Variao da fase com a posio

    fase constante

    velocidade de fase

  • VELOCIDADE DE GRUPOVELOCIDADE DE GRUPO

    Em meios dispersivos a velocidade de fase depende do comprimento de onda .

    dk

    dvg

    =

    dk

    A moduladora, ou sinal, propaga-se a uma velocidade vg , que pode ser superior, igual ou inferior velocidade de fase da transportadora, v

    dk

    dvkvv

    kv

    g +=

    =como

    ento

  • Em particular em meios no dispersivos em que v no

    depende de ,

    dv/dk =0 e vg = v

    Em meios dispersivos onde n = n(k) , =kv =kc/nvg pode ser escrito na forma:vg pode ser escrito na forma:

    =

    =

    dk

    dn

    n

    kvv

    dk

    dn

    n

    kc

    n

    cv

    g

    g

    1

    2

  • =

    =

    dk

    dn

    n

    kvv

    dk

    dn

    n

    kc

    n

    cv

    g

    g

    1

    2

    Em meios ticos e em regimes de disperso normal, o ndice de refrao aumenta com a frequncia(dn/dk > 0 ), logo vg < v. (dn/dk > 0 ), logo vg < v.

    Podemos definir ento um ndice de refrao de grupo,

    ng = c/vg

  • A relatividade restrita no permite a propagao de sinais com velocidade superior a c. Todavia, em certas circunstncias a velocidade de fase pode ser maior do que c. A contradio apenas aparente, e resulta do fato de uma onda monocromtica, apesar de se poder propagar a uma velocidade superior da luz no vcuo, c, no poder transportar informao.

    Disperso em grupos bicromticos de ondas. O ponto vermelho move-se com velocidade de fase enquanto que o ponto verde se propaga com velocidade de grupo. Neste caso, a velocidade de fase duas vezes a velocidade de grupo. O ponto vermelho ultrapassa dois pontos verdes.

  • A velocidade de grupo frequentemente vista como avelocidade na qual a energia e a informao so transportadasna onda.

    No entanto, se a onda est atravessando um meio absorverdor,isto nem sempre verdade. Vrios experimentos mostram que possvel que a velocidade de grupo de uma luz laser em certosmateriais podem exceder a velocidade da luz no vcuo!

    Mas a comunicao superluminal no possvel, pois aMas a comunicao superluminal no possvel, pois avelocidade do sinal permanece menor do que a velocidade daluz. possvel tambm reduzir a velocidade de grupo da luz azero, parando o pulso, ou ter uma velocidade de grupo negativa,parecendo que o pulso se propaga para trs.

    Mas, em todos estes casos, os ftons continuam se propagandocom a velocidade da luz no meio.

    Ateno!Ateno!

  • REPRESENTAO COMPLEXAREPRESENTAO COMPLEXA

    Im(z)

    y z = x + iy

    Re(z)x

    i2 = -1

  • REPRESENTAO COMPLEXAREPRESENTAO COMPLEXA

    Im(z)

    y

    x = r cos

    y = r sen

    z = r(cos + i sen)

    z

    r

    Re(z)x

    r

  • z = r(cos + i sen)

    dz = r(-sen +i cos) d

    dz =i r(isen+cos)d

    dz =izd

    diferenciando

    Colocando i em evidncia

    Re-escrevendo em termos de z dz =izd

    dz/z=id

    lnz=i

    z= rei

    Re-escrevendo em termos de z

    Frmula de Euler

  • z= rei

    Mdulo de z |z| = r|z| = r

    Complexo conjugado

    z* = re-i

    z* = x -iy

  • Adio e subtrao:

    z1 z2 = (x1 + x2 ) i(y1 + y2)

    Multiplicao e diviso:

    Z1 .Z2 = r1 r2 ei(

    1+

    2)

    Z1 /Z2 = (r1 /r2 )ei(

    1-

    2)

  • Temos ainda:

    ii

    zzzz

    isenee

    zzz

    eee

    =+==

    =

    =

    +

    1cos

    *

    2121

    0

    ziziz

    i

    ii

    eeee

    ie

    isenee

    ==

    =

    =+==

    +

    22

    2

    1cos

  • Z = Re(z)+i Im(z)

    Re(z) = (z + z*)

    Im(z)= (1/2i)(z - z*)

    Ento, quer a parte real, quer a parte imaginria podem representar ondas harmnicas. habitual escolher a parte real, e descrever a onda como...

  • ( )[ ]( )

    i

    kxti

    AekxtAtx

    Aetx

    =+=

    = +

    cos),(

    Re),(

    Apenas no final dos clculos se extrair a parte real das equaes.

  • ONDAS PLANASONDAS PLANAS

    Constituem provavelmente os mais simples exemplos de ondas tridimensionais.

  • Para ondas planas, as superfcies de igual fase so planos, em geral perpendiculares direo de propagao da perturbao

    kr

    (x,y,z)

    rr

    orr

    (xo ,yo ,zo )

    ( )orrrr

    ( ) 0= orrkrrr

  • A forma mais reduzida da equao do plano perpendincular k

    k.rk.r =constante = a

    possvel construir um conjunto de planos para os quais (rr) dependa senoidalmente das variveis espaciais:senoidalmente das variveis espaciais:

    rkiAer

    rkAr

    rkAsenr

    rrr

    rrr

    rrr

    .)(

    ).cos()(

    ).()(

    =

    =

    =

  • A natureza peridica das funes harmnicas no espao pode ser expressa na forma:

    )()( krr +=rr

    rr

    kr

    kk

    k

    =

    r

  • ( )

    2

    1

    )()(

    2

    ...

    =

    ==

    ==

    +=+

    k

    ee

    eAeAeAe

    krr

    iki

    kirkikrkirkirrrrrr

    rr

    2

    2

    =

    =

    k

    k

  • Para que os planos de igual fase se propaguem necessrio que (rr) varie no tempo, o que se consegue introduzindo a dependncia temporal :

    [ ]

    [ ].)( .

    =

    =

    =

    const

    trk

    Aer trki

    rr

    r rr

    fase

    0

    0

    ==

    =

    =

    dt

    drk

    dt

    d

    dt

    d

    const

  • dr

    dt

    drk

    dt

    d

    == 0

    kv

    dt

    drfase

    ==

  • ( )tzkykxki zyxAetzyx ++=),,,(

    Uma onda plana harmnica representada em coordenadas cartesianas, na forma:

    ou

    ( )[ ]tzyxkiAetzyx ++=),,,(

    ou

  • Onde ,, e so os co-senos diretores de kk

    kr

    z

    1222

    222

    =++

    ++==

    zyx kkkkkr

    kr

    x

    y

    Problema 2.19 (Hecht)

  • ONDAS ESFRICASONDAS ESFRICAS

    z

    r

    rr

    x = r sen cosy = r sen senz = r cos

    x

    y

  • 2

    2

    222

    2

    2

    2 111

    +

    +

    =senr

    sensenrr

    rrr

    O laplaciano em coordenadas esfricas:

  • Procura-se construir uma descrio de ondas esfricas, ou seja,

    ( rr ) = (r, , ) = ( r)

    2

    2

    222

    2

    2

    2 111

    +

    +

    =senr

    sensenrr

    rrr

    0 0

    =r

    rrr

    2

    2

    2 1

  • Onda esfrica harmnica:

    )(cos),( vtrkr

    Atr

    =

  • ONDAS CILNDRICASONDAS CILNDRICAS

    coordenadas cilindricasz

    zz

    x = cos

    x

    y

    zz

    seny

    =

    =

  • ONDAS C