CES - Lafaiete Lançamentos e MCU

Fundamentos de Mecânica - Prof. Aloísio Elói

Lançamento Horizontal Vx = V0 Vy = gt

yx VVV += 222yx VVV +=

tgα = Vy/Vx

X = Vxt Y = gt2/2 Obs.: O tempo de queda NÃO depende do valor de V0.

Lançamento Oblíquo

Vx = V0x = V0cosθ Vy = V0senθ - gt

yx VVV += 222yx VVV += tgα = Vy/Vx

X = Vxt Y = V0senθt - gt2/2

Acelerações Centrípeta e Tangencial

Tangencial: aT = ∆V/∆t (O módulo de V varia)

Centrípeta: ac = V2/R (A direção de V varia: curva)

Resultante: a2 = aT2 + ac

2 TC aaa +=

Movimento Circular Uniforme - MCU

V = d/t = 2πR/T= 2πRf ω = θ/t = 2π (rad)/T = 2πf V = ωR f = 1/T ac = V2/R = ω2R

v

v

Contato e correia: VA = VB

Eixo: wA = wB

01) Um corpo é lançado horizontalmente de uma plataforma de 45 m de altura, com velocidade v0 = 12 m/s, conforme mostra a figura. Despreze a resistência do ar, adote g = 10 m/s2. Determine: A) O tempo que o corpo leva para atingir o solo. B) A distância AB indicada na figura. 02) Uma pequena bola foi rolada numa marquise de 5,0 m de altura, indo chocar-se com o solo a 4,0 m da marquise, conforme a figura. Despreze a resistência do ar e adote g = 10 m/s2. Determine: A) O tempo de queda da bola. B) A velocidade v0 que a bola possuía ao deixar a marquise. 03) Um projétil é atirado horizontalmente com velocidade inicial de 1000 m/s. Calcule quanto ele cai durante o primeiro segundo de movimento. Seja g =10 m/s2 e despreze a resistência do ar. 04) Uma bola é lançada horizontalmente, do alto de um elevado, com velocidade de 2,45 m/s. Sendo a aceleração da gravidade no local de 9,80 m/s2, a velocidade da bola após 1/4 s vale, em m/s:

a) 4,9 b) 4,0 c) Zero d) 2,45 2 e) 2,45. 05) Um projétil é lançado obliquamente, com velocidade inicial vo = 50 m/s, inclinado de θ =37° com a horizontal. Despreze a resistência do ar. Dados: g =10 m/s2, sen37° = 0,6; cos37° = 0,8. Determine:

a) Os componentes das velocidades 0v e Av , segundo os eixos Ox e Oy (A é o vértice da parábola); b) O tempo que o projétil gasta para ir de O até A (tempo de subida) e a altura máxima (hmáx); c) A distância a=OB (alcance horizontal). 06) Um projétil é lançado com velocidade inicial de 400 m/s, segundo um ângulo de 45° com a horizontal no ponto de lançamento.

Considerando g =10 m/s2 e sen45° = cos45° = 2 /2, determine: a) o tempo gasto pelo projétil para atingir o ponto mais alto da trajetória; b) a altura máxima alcançada pelo projétil; c) o alcance horizontal do projétil. 07) Um móvel é lançado obliquamente, com uma velocidade que vale 10 m/s, formando um ângulo de 60° com a horizontal. Após o lançamento, fica sujeito unicamente à ação da força-peso. Considere sen60° = 0,87 e cos 60° = 0,50. A velocidade do projétil no ponto mais alto da trajetória vale, em m/s: a) zero b) 5,0 c) 7,0 d) 8,6 e) 10 08) Lança-se uma bola, com velocidade de 10 m/s, numa direção que faz um ângulo de 45° com a horizontal. A bola bate numa parede que se encontra a 3,0 m da posição de lançamento. Sendo g =10 m/s2, a altura da bola, no momento do impacto contra a parede, em relação ao nível de referência, é: a) 10m acima; b) 2,1m acima; c) 5,1m abaixo; d) 1,6m abaixo. 09) Um projétil é lançado com velocidade v0 = 100 m/s, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Dados:

sen30° = 0,50; cos30° = 0,87 e g =10m/s2. Determine os componentes da velocidade v do projétil, no instante

t = 3,0 s, e o módulo de v . 10) Um corpo é lançado obliquamente, com velocidade v0 = 50 m/s, inclinado de 30° com a horizontal. Sendo sen37° = 0,60; cos37° = 0,80 e g = 10m/s2, determine os componentes da velocidade do corpo nos instantes 2,0 s e 4,0 s. Nesses instantes, o corpo está subindo ou descendo? 11)Ganhou destaque no voleibol brasileiro a jogada denominada “jornada nas estrelas”, na qual a bola, arremessada de um lado da quadra, sobe cerca de 20 m de altura antes de chegar ao adversário do outro lado. Quanto tempo, em segundos, a bola permanece no ar?

02

A

12) Determine o período, a freqüência e a velocidade angular do MCU realizado: a) pelo ponteiro dos segundos de um relógio; b) por um ponto do equador terrestre, em torno do eixo da Terra (R=6.400 km). 13) A velocidade angular, em radianos por segundo, de um antigo disco de 45 rpm é: a) π/4 b) π/3 c) π/2 d) 2π/3 e) 3π/2 14) Um disco gira com velocidade angular constante. Sobre esse disco colocam-se dois objetos, A e B, às distância r/3 e r/2 do centro, respectivamente. Com relação aos períodos desses objetos, podemos afirmar que: a) TA = TB b) TA = 2 TB/3 c) TA =3TB/2 d) TA = 4TB/9 e) TA = 9TB/4 15) Quando há transmissão de movimento circular entre duas rodas, seja por contato, seja através de uma correia, a velocidade escalar se conserva, variando a velocidade angular se os raios são diferentes. No sistema de engrenagens da figura temos RA = RB/3 e o período da engrenagem B é 0,25 s. Com base na informação dada, determine as freqüências e as velocidades angulares das engrenagens. 16) (UFRN) A figura representa uma correia passando pelas roldanas A e B. Sabendo que RA = 2RB, a velocidade angular da roldana A em relação à da roldana B é: a) ωA = 4ωB b) ωA = 2ωB c) ωA = ωB d) ωA = ωB /2 e) ωA = ωB/4 17) Dois móveis A e B percorrem a mesma pista circular de 25 m de raio, partindo de um mesmo ponto. Verifica-se que os dois móveis se cruzam a cada 50 s quando se movimentam no mesmo sentido e a cada 25 s quando os movimentos têm sentidos opostos. Determine as velocidades vA e vB dos móveis, sabendo que vA> vB . 18) (PUCC) Dois corredores percorrem uma mesma pista circular de raio R = 60 m.Partindo de um mesmo ponto, os corredores se encontram a cada 30 s quando os movimentos ocorrem no mesmo sentido e a cada 9 s quando os movimentos ocorrem em sentido contrário. Determine as velocidades escalares e as velocidades angulares dos corredores. 19) (PUCC) Uma pista circular é percorrida por dois ciclistas que circulam em sentidos opostos com velocidades de 16 m/s e 4 m/s, respectivamente. Eles partem de dois pontos, A e B, diametralmente opostos, e se cruzam num ponto C, distante 140 m de B, ao longo da curva. Determine o comprimento da pista. 20) ((FEI-SP)) Uma partícula incide horizontalmente, com velocidade v = 200 m/s. sobre um cilindro de raio R=π/10 m, conforme indica a figura. O cilindro possui um orifício por onde a partícula entra. Determine o menor valor da velocidade angular ω do cilindro para que a partícula saia pelo mesmo cilindro pelo qual penetrou. A ação da gravidade sobre a partícula pode ser desprezada. 21) (Vunesp-SP) Um disco horizontal de raio R = 0,50 m gira em torno de seu eixo com velocidade angular ω = 2π rad/s. Um projétil é lançado de fora, no mesmo plano do disco e rasante a ele, sem toca-lo, com velocidade vo (figura), passando sobre o ponto P. O projétil sai do disco pelo ponto Q, no instante em que o ponto P está passando por aí pela primeira vez. Qual é a velocidade vo ?

15

21

16

22

20

22) (Vunesp-SP) Duas engrenagens, A e B, têm números de dentes que estão entre si na razão de 9 para 5. A roda A dá 10 voltas por hora. Sobre as duas rodas dentadas, foram pintadas flechas, conforme está ilustrado na figura. Qual é o intervalo de tempo necessário para que as pontas das duas setas voltem a ocupar a mesma posição simultaneamente? 23) (UFPA) A hélice de um avião gira a 2100/π rpm, estando o avião parado. Sabendo que a distância entre o eixo de rotação e a extremidade da hélice é de 2 m, determine o módulo da aceleração na extremidade. 24) Um corpo realiza um MCU com velocidade angular de 50rad/s e raio da trajetória igual a 2m. Determine o módulo da aceleração centrípeta desse corpo. 25) Um corpo de massa m = 5 kg, preso a um fio ideal, realiza um MCU de raio R = 0,5 m, com velocidade angular ω = 2 rad/s, sobre um plano horizontal sem atrito, conforme a figura. Determine: a) a velocidade escalar do móvel. b) o módulo da aceleração centrípeta.

c) a intensidade da tração no fio *. 26) (Santa Casa-SP) *Dois corpos, de massas M e M’, ligados por fios f e f’, de massas desprezíveis, ao ponto fixo O, como se representa na figura, giram com velocidades angulares iguais, numa superfície horizontal sem atrito. F e F” são os módulos das trações em f e f’, respectivamente. A razão F/F’ é igual a: a) 2M/3M’ b) 3M/2M’ c) 2M’/3M d) 3M’/2M e) 2M’/N 27) (UFGO) *Na figura, um disco de 3,0 kg de massa encontra-se preso a uma mola de constante elástica 3.104 N/m, podendo mover-se em torno do ponto O, num plano horizontal sem atrito. Para que o disco possa executar um MCU com velocidade escalar de 5,0 m/s, numa trajetória de 10 cm de raio, qual deverá ser a deformação apresentada pela mola? 28)* A figura a seguir mostra um corpo preso à extremidade de um fio fino, executando um MCU de raio R, num plano horizontal. Determine a velocidade angular do corpo. Dado: tg45° = sen45°/cos45° = 1. 29)* (Cesgranrio-RJ) Uma esfera de aço suspensa por um fio descreve uma trajetória circular de centro O em um plano horizontal no laboratório. As forças exercidas sobre a esfera (desprezando-se a resistência do ar) são (assinale): 30)* Uma partícula suspensa por um fio ideal, como mostra a figura, descreve um MCU num plano horizontal, de raio R = 2 m. Sendo o ângulo θ tal que senθ = 0,6 e cosθ = 0,8, determine a velocidade escalar e a velocidade angular da partícula. 31) * (Cesesp-SP) Um caminhão transporta em sua carroceria uma carga de 2,0 t. Determine a intensidade da força normal exercida pela carga sobre o piso da carroceria

quando ele passa, a 30 m/s, pelo ponto mais baixo de uma depressão com raio de 300 m. 32) *(UFMG) Uma pedra é amarrada em um cordão e posta a girar em um plano vertical. Qual a velocidade mínima da pedra no ponto mais alto da trajetória para que ela possa descrever uma trajetória circular? 33) Um veículo de massa m =1500 kg deve fazer uma curva de raio R = 40 m, no plano, numa estrada sem inclinação. Se o coeficiente

de atrito entre os pneus e a estrada for µ = 0,50, com que velocidade máxima v o motorista pode fazer a curva sem derrapar?(g = 9,8 m/s2).

25

26

27

28

30

29

31

34) * (UFSC) No globo da morte, o conjunto “motociclista-moto” não cai ao atingir o ápice do globo porque: a) o peso do conjunto é maior que a força centrípeta. b) o peso do conjunto é menor ou igual à força centrípeta. c) a força centrípeta sobre o conjunto é nula. d) o peso do conjunto é nulo. e) o conjunto está em equilíbrio dinâmico.

35) *(UFPA) Considere que um automóvel de 1000 kg de massa vai descrever uma curva, cujo raio é R = 250 m, em uma estrada plana e horizontal.. O coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada vale 0,50. Qual a máxima velocidade que o automóvel pode atingir nessa curva sem derrapar? 36)*Para permitir velocidades maiores nas curvas, evitando situações perigosas, as estradas são freqüentemente construídas com sobrelevação (sua margem externa é mais elevada em relação à interna), isto é, a pista é inclinada de um certo ângulo θ em relação ao plano horizontal. Determine o ângulo de sobrelevação de uma pista de raio R = 60 m, para que um automóvel possa realizar uma curva com segurança, com velocidade de 108km/h. Dê como resposta uma função trigonométrica do ângulo. 37) * (PUCC) O raio de uma curva ferroviária é de 400 m e um trem deve percorre-la com velocidade de 72 km/h. De quanto deve estar

elevado o trilho externo, para reduzir a um mínimo a força para fora sobre ele? A distância entre os trilhos é de 1,2 m. 38)* Determine a inclinação θ que deve ter uma rua em uma curva de 100 m de raio, para que a ciclista da figura, com velocidade de 36 km/h, não derrape, independentemente do coeficiente de atrito. 39) O ponteiro das horas de um relógio mede 0,360 m e o dos minutos, 0540 m. Quais são os módulos das velocidades das extremidades dos ponteiros das horas (vH) e dos minutos (vM)m respectivamente?(Vunesp-SP).

vH(m/s) vM(m/s) A 1,45.10-4 1,75.10-3

B 5,24.10-4 5,24.10-4

C 5,24.10-5 9,42.10-4 D 9,42.10-4 5,24.10-5

E 5,24.10-2 9,42.10-1

40) (PUC-SP) Após 50 min de uma prova ciclística, um participante percorreu 15,70 km. Se o raio das rodas da bicicleta mede 0,25 m, a a freqüência média das rodas, em rotações por minuto (rpm) vale: a) 0,02 b) 1,57 c) 10 d) 200 e) 10.000 41) Os pneus de um carro giram sem deslizar com freqüência de 10 Hz. Sendo de 30 cm o raio dos mesmos, a velocidade do carro é, aproximadamente, de: a) 44 m/s b) 36 m/s c) 30 m/s d) 22 m/s e) 19 m/s (MACK-SP) 42)(PUCC) Uma menina brinca com um bambolê que possui um adesivo colado. Sabe-se que o bambolê possui 1,50 m de perímetro e que, com o corpo, a menina consegue impulsiona-lo de forma que mantenha a velocidade média de 3,0 m/s. O número de voltas dadas pelo adesivo em 5 min de movimento é : a) 1500 b) 900 c) 600 d) 450 e) 300 43) (UFPA) Uma partícula em MCU realiza um percurso de 250 cm em πs, sob uma aceleração centrípeta de 500 cm/s2. Nestas condições, o período do movimento, em segundos, é de: a) 0,5 b) 1,0 c) 1,25 d) 1,50 e) 2,0

34

35

36

38

CES - Lafaiete

Fundamentos de Mecânica Gabarito – Lançamentos e MCU

Prof. Aloísio Elói

01 a) t = 3 s 21 sm /35,1

b) AB = 36 m 22 0,5 h 02 a) t = 1 s 23 9 800 m/s2 b) v0 = 4 m/s 24 ac = 5 000 m/s2 03 dy = 5 m 25 a) 1 m/s 04 D b) 2 m/s2 05 a) v0x = 40 m/s; v0y = 30 m/s; vAx = 40 m/s; vAy = 0 c) 10 N b) ts = 3 s; H = 45 m 26 B c) a = 240 m 27 2,5 cm 06 a) ts = sm /220 ≅ 28 s 28 Rg /=ω

b) H = 4 000 m/s 29 E c) A = 16 km 30 sm /15 ;

215 rad/s

07 B 31 2,6 x 104 N 08 B 32 v = 20 m/s, com um cordão de 40 cm. 09 Vx = 87 m/s; vy = 20 m/s; v ≅ 89 m/s 33 v = 50, 4 km/h 10 t = 2 s: vx = 40 m/s; vy = 10 m/s; subindo. 34 B t = 4 s: vx = 40 m/s; vy = - 10 m/s; descendo. 35 sm /225 11 t = 4 s 36 tgθ = 1,5 12 a) T = 1 min = 60s 37 12 cm f = 1 rpm = (1/60) Hz 38 tg θ = 0,1 w = 2π rad/min = (π/30) rad/s 39 C v = (2π/3) cm/s (ponto da periferia de ponteiro de 20 cm 40 D b) T = 1 dia = 24 h 41 E f = 1 rot/dia = (1/24) rot/hora 42 C w = 2π rad/dia = (π/12) rad/hora 43 B v = (1600π/3) km/h ≅ 1675 km/h c) T = 1 dia = 24 h f = 1 rot/dia = (1/24) rot/hora w = 2π rad/dia = (π/12) rad/hora v = (800π/3) km/h ≅ 837 km/h (latitude de 60°) 13 w = (3π/2) rad/s 14 A 15 12 Hz; 24 π rad/s; 4 Hz; 8 π rad/s 16 D 17 vA = (3π/2) m/s; vB = (π/2) m/s 18 (26π/3) m/s; (14π/3) m/s; (13π/90) rad/s; (7π/90) rad/s 19 1 400 m 20 w = 1 000 rad/s