CAPITULO 14CAPITULO 14OS ELEMENTOS BÁSICOS E OS FASORES

Como foi definido anteriormente a derivada dx/dt como sendo a taxa de variação de x em relação aotempo. Se não houver variação de x em um instante particular, dx=0, e a derivada será nula. No casode uma senoide, dx/dt sera zero somente nos pontos de maximo e mínimo ( ωt = ¶/2 e ωt = 3¶/2 )

Portanto podemos concluir que a derivada de uma senoide, é uma co-senoide, e ela tem o mesmoperíodo e a mesma freqüência que a função senoide.

No caso de uma tensão senoidal a derivada pode ser obtida por diferenciação:

Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada

RESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L e C A UMA TENSÃO OU CORRENTERESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L e C A UMA TENSÃO OU CORRENTE SENOIDAL

RESISTOR:

No caso das freqüências utilizadas em linhas de transmissão e tambémpara freqüências ate umas poucas centenas de quilohertz, o efeito dafreqüência sobre o valor da resistência é praticamente nulo. Portanto nocircuito ao lado podemos considerar a resistência como sendoconstante:

No caso de um elemento puramente resistivo a tensãoe a corrente no dispositivo estão em fase, sendo a

Em um elemento resistivo a corrente e a tensão estão em fase.

relação entre seus valores de pico dada pela lei deohm.

INDUTOR:INDUTOR:

A tensão Vdispositivo do dispositivoA tensão Vdispositivo, do dispositivono interior da caixa se opõe a da fonte“e” e assim, reduz a corrente “i”Logo:

Vdispositivo = iR

Portanto a tensão no indutor é diretamenteproporcional a freqüência (ou maisespecificamente a freqüência angular da correnteespecificamente, a freqüência angular da correntealternada senoidal nele) e a indutância doenrolamento. Para valores crescentes de “f” e “L”,conforme a figura ao lado, o valor da tensão VLaumenta conforme descrito anteriormente.

Comparando as duas figuras acima, vemos que a valores maiores de VL correspondem maioresvalores de oposição Como VL aumenta tanto em função de ω (= 2¶ f ) quanto de “L” a oposição devalores de oposição. Como VL aumenta tanto em função de ω (= 2¶ f ) quanto de L a oposição deum dispositivo indutivo tem a forma definida pela figura acima.

No caso do indutor visto no circuito ao lado, vimos nocapitulo 12 que:

Derivando:

Portanto:

ouonde

Observe que o valor de pico de VL é diretamente proporcional a ω (=2¶ f) e a “L”, comoobservado anteriormente.

Para um indutor VL esta adiantada 90º em relação a iPara um indutor, VL esta adiantada 90º em relação a iL

ou iL esta atrasada 90º em relação a VL.

Se um ângulo de fase for incluído naexpressão senoidal para iL A oposição causada por um indutor em um

circuito de corrente alternada senoidalpode ser calculada a partir de:pode ser calculada a partir de:

A grandeza ωL, denominada reatância indutiva é simbolizada por XL e medida em ohms:

A reatância indutiva é uma oposição a corrente que resulta em uma troca continua de energia entre afonte e o campo magnético do indutor.

CAPACITOR:No caso do capacitor, determinamos a corrente iPara uma dada tensão entre seus terminais. Deste Na figura abaixo estão ilustrados os parâmetros quePara uma dada tensão entre seus terminais. Destemodo a relação entre tensão e corrente seráconhecida e a tensão de oposição (V elemento)poderá ser determinada para qualquer correntesenoidal.

g p qdeterminam a oposição de um elemento capacitivo apassagem de corrente.

se o daE como a capacitância é uma medida da rapidezcom que um capacitor armazena carga em suasplacas.“ Para uma dada variação da tensão entre osçterminais de um capacitor, quanto maior ovalor da capacitância, maior será a correntecapacitiva resultante”

O gráfico “Vc” e “ic” da figura ao lado mostraque:“para um capacitor, ic esta adiantada depara um capacitor, ic esta adiantada de90º em relação a Vc”

oposição

Se a corrente esta adiantada em relação a tensão aplicada, o circuito é capacitivo; se acorrente esta atrasada em relação a tensão, o circuito é indutivo; se a corrente e a tensãoestão em fase, o circuito é resistivo.

EXEMPLO14 1 EXEMPLO14 3EXEMPLO14.1 EXEMPLO14.3

EXEMPLO14.5EXEMPLO14.5

COMPORTAMENTO DE INDUTORES E CAPACITORES EM REGIMES DE CORRENTECOMPORTAMENTO DE INDUTORES E CAPACITORES EM REGIMES DE CORRENTECONTINUA, ALTA FREQÜÊNCIA E BAIXA FREQÜÊNCIA:

Nos circuitos de corrente continua, a freqüência é nula e a reatância de um indutor é dada por

Nos circuitos de corrente continua, a reatância de um capacitor é dada por:

Justifica se portanto a substituição de capacitores por curtos circuitos em circuitos de correnteJustifica-se portanto a substituição de capacitores por curtos-circuitos em circuitos de correntecontinua. Em altas freqüências é muito pequena, e em algumas aplicações praticas o capacitorpode ser substituído por um curto-circuito

Efeito das freqüências altas e baixas sobre o comportamento de indutores e capacitores.

MEDIDAS DO ÂNGULO DE FASE ENTRE A TENSÃO APLICADA E A CORRENTE FORNECIDAMEDIDAS DO ÂNGULO DE FASE ENTRE A TENSÃO APLICADA E A CORRENTE FORNECIDA POR UMA FONTE

Uso de um osciloscópio para determinar a diferença de fase entre a tensão aplicada e a corrente da fonte.

RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS DISPOSITIVOS BÁSICOS

Ate aqui vimos que a resistência de umAte aqui vimos que a resistência de umresistor independe da freqüênciaaplicada , mas do ponto de vista praticotodo resistor tem capacitânciasparasitas e indutâncias que sãof d l f üê i li dafetadas pela freqüência aplicada, os

valores dessas capacitâncias eindutâncias são desprezíveis ate umcerto valor de freqüência, conformepodemos ver na figura ao lado.p gGráfico das curvas de variação daresistência com a freqüência pararesistores de carbono.

Gráfico de R em função da freqüência para a nossafaixa de estudo.

Para os indutores:

A equação tem a forma de uma equação dereta

Para os capacitores

Portanto em resumo, a medida que a freqüência do sinalli d t i tê i d i taplicado aumenta, a resistência de um resistor

permanece constante, a reatância de um indutor aumentalinearmente e a reatância de um capacitor diminui deforma não-linear.

EXEMPLO14.8EXEMPLO 14.9

Circuito equivalente de um indutor real. ZL em função da freqüência para o circuito equivalente (a).

Na figura “a” Rs representa as perdas no cobre devido as correntes parasitas, Cp é a capacitância

(a)(b)

parasita que existe entre as espiras do indutor.No caso de indutores na faixa de microhenries, uma freqüência de 1Mhz pode ocasionar efeitosindesejáveis. A figura “b” mostra um gráfico da impedância em função da freqüência, observamos queum indutor de 100 microhenries se comporta como um indutor ideal.

Circuito equivalente de um capacitor real.Variação da impedância com a freqüência para um capacitor de filmeç p q p pmetalizado de 0,01 µ F.

POTENCIA MEDIA E FATOR DE POTENCIAPOTENCIA MEDIA E FATOR DE POTENCIA

O valor da potencia media não depende do fato de a tensão estar atrasada ou adiantada emrelação a corrente.

Agora aplicando as equações anteriores da potencia, aos dispositivos básicos R, L eAgora aplicando as equações anteriores da potencia, aos dispositivos básicos R, L eC.

RESISTOR: INDUTOR: CAPACITOR:

A potencia media ou potencia dissipadapor um indutor ideal (sem resistênciaassociada) é zero.

Pelo fato de v estar adiantada de 90º emrelação a i (isto num circuito puramenteindutivo).

A potencia media oupotencia dissipada numcapacitor ideal (semresistência associada) éindutivo).zero.

Pelo fato de i estaradiantada 90º em relação av (isto num circuitov (isto num circuitopuramente capacitivo).

EXEMPLO 14.10EXEMPLO 14.11

FATOR DE POTENCIA

Para uma carga puramente resistiva, como a ilustradaem (a), a diferença de fase entre v e i é 0º

Para uma carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva), como a ilustrada em (b), a diferença de fase entre v e i é 90º

(a)(b)

EXEMPLO14.12(b)

NUMEROS COMPLEXOSUm numero complexo pode ser representado por um ponto em um plano, referido a um sistema de eixoscartesianos. Este ponto também determina um raio vetor a partir da origem

Existem duas maneiras de representar um numero complexo:

FORMA RETANGULAR:

EXEMPLO 14.13:

FORMA POLAR:

EXEMPLO 14.14:

CONVERSÃO ENTRE AS DUAS FORMAS:As equações abaixo mostram a relação entre as duas formas, polar e retangular.As equações abaixo mostram a relação entre as duas formas, polar e retangular.

Polar para retangular

Retangular para PolarEXEMPLO 14.15:EXEMPLO 14.16:EXEMPLO 14.17:EXEMPLO 14.18:

OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS:OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS:As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas, a seguirmostraremos as regras utilizadas, antes porem iremos associar o símbolo j aos númerosimaginários:

Complexo conjugado: É obtido simplesmentetrocando-se o sinal da parte imaginária, na formaretangular ou o sinal do ângulo, na forma polar

INVERSO OU RECÍPROCO:INVERSO OU RECÍPROCO:É 1 dividido pelo numero complexo.

ADIÇÃO:ADIÇÃO:Para adicionar dois números complexos, basta apenas adicionar as partes reais e imaginariasseparadamente:

EXEMPLO 14.19:

SUBTRAÇÃO:Na subtração as partes reais e imaginarias também são consideradas separadamente:Na subtração, as partes reais e imaginarias também são consideradas separadamente:

EXEMPLO 14.20:

MULTIPLICAÇÃO:Para multiplicar dois números complexos na forma retangular, multiplique as partes real e imaginariaPara multiplicar dois números complexos na forma retangular, multiplique as partes real e imaginariade um pelas partes do outro:

Quando os números estão na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos algebricamente osângulos:

EXEMPLO 14.22:EXEMPLO 14.23:

DIVISÃO:Para dividir dois números complexos na forma retangular, multiplique o numerador e o denominador peloconjugado do denominador, identificando depois as partes real e imaginaria.

Para dividir um numero complexo na forma retangular por um numero real, tanto a parte real quanto a parteimaginaria tem de ser divididas por esse numero.

Na forma polar, a divisão é realizada simplesmente dividindo o modulo do numerador pelo modulo dodenominador e subtraindo os respectivos ângulos.

EXEMPLO14.24:EXEMPLO 14.25:EXEMPLO 14.26:

FASORESFASORES

Quando precisamos somar tensões e correntes senoidais num circuito CA Um método validoQuando precisamos somar tensões e correntes senoidais num circuito CA. Um método validoporem longo é o de traçar as duas ondas senoidais num mesmo gráfico e somaralgebricamente as ordenadas em cada ponto, como mostrado na figura ao lado (c=a+b)

Usando a álgebra vetorial podemosUsando a álgebra vetorial podemosmostrar que:

Em (a) esta a representação fasorial de duas formas de onda senoidais. (b) obtenção da soma de duas tensões alternadas senoidais. ( esta representação mostra quando os ângulos tem fase de 0o e 90º

Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º

Em geral, a forma de onda fasorial de uma tensão ou corrente senoidal será:

Onde V e I são valores rms e θ eh o angulo de fase. Devemos lembrar que a notação defasores as grandezas envolvidas, sempre variam de forma senoidal, e a freqüência não ehrepresentada.

“A álgebra de fasores só pode ser aplicada a formas de onda senoidais de mesmafreqüência”

EXEMPLO 14.30EXEMPLO 14.31EXEMPLO 14.32

CAPITULO 15CIRCUITOS AC EM SERIE E PARALELOCIRCUITOS AC EM SERIE E PARALELO

ELEMENTO RESISTIVO:Para um circuito puramente resistivo como o daPara um circuito puramente resistivo como o da figura ao lado:V e I estão em fase e suas amplitudes são dadas por:

Em forma fasorial:

Onde:

Aplicando a definição de resistência eutilizando a álgebra dos fasores:

Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deveser também 0º . Para isto é necessário que θR sejaigual a zero.

De modo que no domínio do tempo:

A grandeza Z que tem um modulo e umaA grandeza ZR, que tem um modulo e umafase, é denominada impedância.

Exemplo 15.1:Usando a álgebra dos números complexos, encontre a corrente i no circuito da figura 15.1. Faca umesboço das formas de onda de i e v.

Exemplo 15 2:Exemplo 15.2:Usando a álgebra dos números complexos encontre a tensão v no circuito da figura 15.4. Faça umesboço das formas de onda de v e i.

REATÂNCIA INDUTIVA

No caso do indutor vimos no cap.13 que a tensão esta adiantada de 90º em relação a corrente e que a reatância do indutor X é dada por w :a reatância do indutor XL é dada por wL :

Na forma fasorial

Utilizando a definição de resistência:

Em função de v estar adiantada em relação a i (devemos associar a ele uma fase inicial de 90º )(devemos associar a ele uma fase inicial de – 90º )

No domínio do tempo:

EXEMPLO 15.3:EXEMPLO 15.3:Usando a álgebra dos números complexos obtenha a corrente i no circuito da figura 15.8. Faça ográfico de v por i.

EXEMPLO 15.4Usando a álgebra dos números complexos, encontre a tensão v no circuito da figura 15.10 esboce as curvas de v e i.

Reatância capacitiva

Como vimos no cap. 13 no capacitor puro a corrente i fica adiantada de 90º em relação a tensão v, e a reatância capacitiva Xc é dada por

Na forma fasorial:

Aplicando a álgebra fasorial e a definição de resistência:

No domínio do tempo:No domínio do tempo:

EXEMPLO 15 5:EXEMPLO 15.5:Usando a álgebra dos números complexos, obtenha a corrente i no circuito da figura 15.14. Trace os gráficos de v e i. :

Exemplo 15.6:Usando a álgebra dos números complexos, encontre a tensão v no circuito da figura 15.16. Esboce as curvas de v e i .