Asymptotische Notation (1) multiple choice p . Was...

Asymptotische Notation (1) multiple choice

Es seien f (n) = 987 · log n + 654 und g(n) =√

321 · n0.2. Was giltdann?

(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung: (1) & (2)

24. Juni 2019 1 / 25




(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung:

(1) & (2)

24. Juni 2019 1 / 25




(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))


24. Juni 2019 1 / 25


Es seien f (n) = 22 log2 n und g(n) =∑n

i=0 2 · i . Was gilt dann?

(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung: (1) & (3) & (5)

24. Juni 2019 2 / 25




(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung:

(1) & (3) & (5)

24. Juni 2019 2 / 25




(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung: (1) & (3) & (5)

24. Juni 2019 2 / 25

Rekursionsgleichungen (1) demogr.

A3(i , j) bestimmt den Wert einer maximalen Teilfolge für ai . . . ,aj .(1) Wenn i = j , dann return(ai ).(2) Ansonsten setzte mitte = b i+j

2 c;(3) opt1 = maxf (k ,mitte) | i ≤ k ≤ mitte ;

opt2 = maxf (mitte + 1, l) | mitte + 1 ≤ l ≤ j;(4) return(maxA3(i ,mitte),A3(mitte + 1, j),opt1 + opt2 )

Rekursionsgleichung zur Laufzeit?(1) ZeitA3(n) = 2 · ZeitA3

(n2

)+ Θ(1)

(2) ZeitA3(n) = 2 · ZeitA3

(n2

)+ Θ(n)

(3) ZeitA3(n) = 2 · ZeitA3(n − 1) + Θ(n)

(4) ZeitA3(n) = (n − 1) · ZeitA3

(n2

)+ Θ(1)

(5) ZeitA3(n) = (n − 1) · ZeitA3

(n2

)+ Θ(n)

24. Juni 2019 3 / 25


A3(i , j) bestimmt den Wert einer maximalen Teilfolge für ai . . . ,aj .(1) Wenn i = j , dann return(ai ).(2) Ansonsten setzte mitte = b i+j

2 c;(3) opt1 = maxf (k ,mitte) | i ≤ k ≤ mitte ;

opt2 = maxf (mitte + 1, l) | mitte + 1 ≤ l ≤ j;(4) return(maxA3(i ,mitte),A3(mitte + 1, j),opt1 + opt2 )

Rekursionsgleichung zur Laufzeit?(1) ZeitA3(n) = 2 · ZeitA3

(n2

)+ Θ(1)

(2) ZeitA3(n) = 2 · ZeitA3

(n2

)+ Θ(n)

√

(3) ZeitA3(n) = 2 · ZeitA3(n − 1) + Θ(n)

(4) ZeitA3(n) = (n − 1) · ZeitA3

(n2

)+ Θ(1)

(5) ZeitA3(n) = (n − 1) · ZeitA3

(n2

)+ Θ(n)

24. Juni 2019 3 / 25


Die Rekursion T (1) = c,T (n) = a · T(n

b

)+ t(n) sei zu lösen. n ist eine

Potenz der Zahl b > 1 und a ≥ 1, c > 0 gelte.(a) Wenn t(n) = O

(n(logb a)−ε

)für eine Konstante ε > 0,

dann ist T (n) = Θ(nlogb a).(b) Wenn t(n) = Θ(nlogb a), dann ist T (n) = Θ(nlogb a · logb n).(c) Wenn t(n) = Ω

(n(logb a)+ε

)für eine Konstante ε > 0 und

a · t(n

b

)≤ α · t(n) für eine Konstante α < 1, dann T (n) = Θ(t(n)).

Lösung für T (1) = 5,T (n) = 3 · T (n/9) + n/2?

(1) T (n) = Θ(n9/2)

(2) T (n) = Θ(n3)

(3) T (n) = Θ(n · log9 n)

(4) T (n) = Θ(n)

(5) T (n) = Θ(√

n · log n)

24. Juni 2019 4 / 25



b



(n(logb a)−ε



(n(logb a)+ε


a · t(n

b


Lösung für T (1) = 5,T (n) = 3 · T (n/9) + n/2?

(1) T (n) = Θ(n9/2)

(2) T (n) = Θ(n3)

(3) T (n) = Θ(n · log9 n)

(4) T (n) = Θ(n)√

(5) T (n) = Θ(√

n · log n)

24. Juni 2019 4 / 25



b



(n(logb a)−ε



(n(logb a)+ε


a · t(n

b


Lösung für T (1) = Θ(1),T (n) = T (n − 1) + 7 · n ?

(1) T (n) = Θ(n2)

(2) T (n) = Θ(n log n)

(3) T (n) = Θ(n)

(4) T (n) = Θ(n6/7)

(5) T (n) = Θ(log7 n)

24. Juni 2019 5 / 25



b



(n(logb a)−ε



(n(logb a)+ε


a · t(n

b


Lösung für T (1) = Θ(1),T (n) = T (n − 1) + 7 · n ?

(1) T (n) = Θ(n2)√

(2) T (n) = Θ(n log n)

(3) T (n) = Θ(n)

(4) T (n) = Θ(n6/7)

(5) T (n) = Θ(log7 n)

24. Juni 2019 5 / 25



b



(n(logb a)−ε



(n(logb a)+ε


a · t(n

b


Lösung für T (1) = Θ(1),T (n) = T (n/2) + 3 · n ?

(1) T (n) = Θ(n log2 n)

(2) T (n) = Θ(n)

(3) T (n) = Θ(n2/3)

(4) T (n) = Θ(n1/2)

(5) T (n) = Θ(log2 n)

24. Juni 2019 6 / 25



b



(n(logb a)−ε



(n(logb a)+ε


a · t(n

b


Lösung für T (1) = Θ(1),T (n) = T (n/2) + 3 · n ?

(1) T (n) = Θ(n log2 n)

(2) T (n) = Θ(n)√

(3) T (n) = Θ(n2/3)

(4) T (n) = Θ(n1/2)

(5) T (n) = Θ(log2 n)

24. Juni 2019 6 / 25

Deques im Array demogr.

Anfangs6 6

left right

275

Führe removeleft() und insertright(3) aus. Danach:

(1)6 6

leftright

273 (2)6 6rightleft

273

(3)6 6

leftright

327 (4)6 6right left

273

Auflösung: (1)

24. Juni 2019 7 / 25


Anfangs6 6

left right

275


(1)6 6

leftright

273 (2)6 6rightleft

273

(3)6 6

leftright


273

Auflösung:

(1)

24. Juni 2019 7 / 25


Anfangs6 6

left right

275


(1)6 6

leftright

273 (2)6 6rightleft

273

(3)6 6

leftright


273

Auflösung: (1)

24. Juni 2019 7 / 25

HochTief demogr.

Bestimme für Knoten v die

Tiefe: 1 Höhe: 3

24. Juni 2019 8 / 25

HochTief demogr.

Bestimme für Knoten v die Tiefe:

1 Höhe: 3

24. Juni 2019 8 / 25

HochTief demogr.

Bestimme für Knoten v die Tiefe: 1

Höhe: 3

24. Juni 2019 8 / 25

HochTief demogr.

Bestimme für Knoten v die Tiefe: 1 Höhe:

3

24. Juni 2019 8 / 25

HochTief demogr.

Bestimme für Knoten v die Tiefe: 1 Höhe: 3

24. Juni 2019 8 / 25


Es seien f (n) =√

n · 2sin(n) und g(n) = 10 · 2log4 n. Was gilt dann?

(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung: (1) & (3) & (5)

24. Juni 2019 9 / 25


Es seien f (n) =√


(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung:

(1) & (3) & (5)

24. Juni 2019 9 / 25


Es seien f (n) =√


(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung: (1) & (3) & (5)

24. Juni 2019 9 / 25


Es seien f (n) = (log2 n)log2 n und g(n) = n4 log2 n. Was gilt dann?

(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))


24. Juni 2019 10 / 25



(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))

Auflösung:

(3) & (4)

24. Juni 2019 10 / 25



(1) f (n) = O(g(n))

(2) f (n) = o(g(n))

(3) f (n) = Ω(g(n))

(4) f (n) = ω(g(n))

(5) f (n) = Θ(g(n))


24. Juni 2019 10 / 25

Traversierungen demogr.

Welches ist eine Postorder-Traversierung?

Auflösung: (3)

24. Juni 2019 11 / 25



Auflösung:

(3)

24. Juni 2019 11 / 25



Auflösung: (3)

24. Juni 2019 11 / 25

Kreise demogr.

?

?

HHH

HY

-

?

1 2

3 4

5

Was gilt für diesen gerichteten Graphen?(1) azyklisch, kein Eulerkreis.(2) azyklisch, hat Eulerkreis.(3) nicht azyklisch, kein Eulerkreis(4) nicht azyklisch, hat Eulerkreis

Auflösung: (3) nicht azyklisch, kein Eulerkreis

24. Juni 2019 12 / 25

Kreise demogr.

?

?

HHH

HY

-

?

1 2

3 4

5


Auflösung:

(3) nicht azyklisch, kein Eulerkreis

24. Juni 2019 12 / 25

Kreise demogr.

?

?

HHH

HY

-

?

1 2

3 4

5


Auflösung: (3) nicht azyklisch, kein Eulerkreis

24. Juni 2019 12 / 25

Kreise demogr.

?

?

HHHHY

-

?

1 2

3 4

5

Wieviele Kreise hat dieser Graph?

Auflösung: 3

24. Juni 2019 13 / 25

Kreise demogr.

?

?

HHHHY

-

?

1 2

3 4

5


Auflösung:

3

24. Juni 2019 13 / 25

Kreise demogr.

?

?

HHHHY

-

?

1 2

3 4

5


Auflösung: 3

24. Juni 2019 13 / 25

Kreise multiple choice

?

?

-

?

1 2

3 4

5

Dieser Graph...(1) ... ist azyklisch.(2) ... hat einen Eulerkreis.(3) ... hat eine topologische Sortierung.(4) ... ist mir unheimlich.

Auflösung: (2) hat einen Eulerkreis

24. Juni 2019 14 / 25


?

?

-

?

1 2

3 4

5


Auflösung:

(2) hat einen Eulerkreis

24. Juni 2019 14 / 25


?

?

-

?

1 2

3 4

5


Auflösung: (2) hat einen Eulerkreis

24. Juni 2019 14 / 25

Fake News? multiple choice

Professor Pinocchio macht aufsehenerregende Behauptungen inseiner Vorlesung:

(1) Jeder gerichtete Graph ohne Kreis hat eine topologischeSortierung.

(2) Jeder gerichtete Graph ohne Eulerkreis hat eine topologischeSortierung.

(3) Postorder terminiert auf jedem gerichteten Graphen.(4) Jeder ungerichtete Graph hat einen Eulerkreis.

Was stimmt?

Auflösung: (1) Gerichtet azyklisch⇒ Topologische Sortierung

24. Juni 2019 15 / 25






Was stimmt?

Auflösung:

(1) Gerichtet azyklisch⇒ Topologische Sortierung

24. Juni 2019 15 / 25






Was stimmt?

Auflösung: (1) Gerichtet azyklisch⇒ Topologische Sortierung

24. Juni 2019 15 / 25

Laufzeit Topologische Sortierung demogr.

Laufzeit T (n,m) des schnellsten Algorithmus für topologischeSortierung bei einem Graphen mit n Knoten und m Kanten?

(1) T (n,m) = Θ(n · (n + m))

(2) T (n,m) = Θ(n ·m)

(3) T (n,m) = Θ(n + m)

(4) T (n,m) = Θ(n log(n + m))

Auflösung: (3) T (n,m) = Θ(n + m)

24. Juni 2019 16 / 25



(1) T (n,m) = Θ(n · (n + m))

(2) T (n,m) = Θ(n ·m)

(3) T (n,m) = Θ(n + m)

(4) T (n,m) = Θ(n log(n + m))

Auflösung:

(3) T (n,m) = Θ(n + m)

24. Juni 2019 16 / 25



(1) T (n,m) = Θ(n · (n + m))

(2) T (n,m) = Θ(n ·m)

(3) T (n,m) = Θ(n + m)

(4) T (n,m) = Θ(n log(n + m))

Auflösung: (3) T (n,m) = Θ(n + m)

24. Juni 2019 16 / 25

Tiefensuche und Darstellung multiple choice

Wie lange dauert eine Tiefensuche in einem Graphen mit n Knotenund m Kanten, je nach Darstellungsform des Graphen?

m = Θ(n3/2), Adjanzenzliste: (1) Θ(n + m) (2) Θ(n1.5)

m = Θ(n3/2), Adjanzenzmatrix: (3) Θ(n) (4) Θ(n1.5)

m = Θ(n2), Adjanzenzliste: (5) Θ(n) (6) Θ(n2)

m = Θ(n), Adjanzenzmatrix: (7) Θ(n + m) (8) Θ(n2)

Auflösung: (1), (2), (6), (8)

24. Juni 2019 17 / 25







Auflösung:

(1), (2), (6), (8)

24. Juni 2019 17 / 25







Auflösung: (1), (2), (6), (8)

24. Juni 2019 17 / 25

Kantenklassifizierung multiple choice

Betrachte die möglichen Abläufe der Tiefensuche mit Startknoten w .

Je nach Sortierung der Nachbarknoten wird Kante (a,b) zu einer

(1) Baumkante(2) Rückwärtskante(3) Vorwärtskante(4) Querkante

Auflösung: (1), (4)

24. Juni 2019 18 / 25





Auflösung:

(1), (4)

24. Juni 2019 18 / 25





Auflösung: (1), (4)24. Juni 2019 18 / 25


Neues von Professor Pinocchio:

(1) In jedem Graphen G mit n Knoten und m Kanten läuftBreitensuche in Zeit Θ(max(n,m)).

(2) Für jeden Startknoten v in jedem Graphen G sind die Bäumevon Breiten- und Tiefensuche unterschiedlich.

(3) Für jeden Startknoten v in jedem Graphen G sind die Bäumevon Breiten- und Tiefensuche gleich.

(4) Die Ende-Nummerierung entspricht einer Postorder-Traversierung des Baums der Tiefensuche.

(5) In jedem gerichteten Graphen G ist die Anzahl der Rückwärts-kanten einer Tiefensuche genau die Anzahl der Kreise von G.

Was stimmt?

Auflösung: (1), (4)

24. Juni 2019 19 / 25








Was stimmt?Auflösung:

(1), (4)

24. Juni 2019 19 / 25








Was stimmt?Auflösung: (1), (4)

24. Juni 2019 19 / 25

Heapstruktur multiple choice

(1)

n nn nn

@@

HHH

n(2)

n nn nn

@@

@@

(3)

nn nn

HHH

n(4)

n nn nn

@@

HHH

n n@@Welcher Baum hat keine Heapstruktur?

Auflösung: (3)

24. Juni 2019 20 / 25


(1)

n nn nn

@@

HHH

n(2)

n nn nn

@@

@@

(3)

nn nn

HHH

n(4)

n nn nn

@@

HHH


Auflösung:

(3)

24. Juni 2019 20 / 25


(1)

n nn nn

@@

HHH

n(2)

n nn nn

@@

@@

(3)

nn nn

HHH

n(4)

n nn nn

@@

HHH


Auflösung: (3)

24. Juni 2019 20 / 25

Heap als Array demogr.

Betrachte die Darstellung eines Heaps im Array H.

Wo finden Sie den rechten Kindknoten von H[3]?

(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[6]

(4) H[7]

Auflösung: (4) H[7]

Wo finden Sie den Elternknoten von H[8]?

(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[5]

(4) H[9]


24. Juni 2019 21 / 25




(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[6]

(4) H[7]

Auflösung:

(4) H[7]


(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[5]

(4) H[9]


24. Juni 2019 21 / 25




(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[6]

(4) H[7]



(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[5]

(4) H[9]


24. Juni 2019 21 / 25




(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[6]

(4) H[7]



(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[5]

(4) H[9]

Auflösung:

(2) H[4]

24. Juni 2019 21 / 25




(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[6]

(4) H[7]



(1) H[1]

(2) H[4]

(3) H[5]

(4) H[9]

Auflösung: (2) H[4]24. Juni 2019 21 / 25


Betrachte den folgenden Heap im Array H.

i 1 2 3 4 5 6 7H[i] 100 55 80 30 61 69 72

Bei welchen Indizes ist die Heapordnung verletzt?

Auflösung: 2 und 5. H[5] rechtes Kind von H[2], aber H[2] < H[5].

24. Juni 2019 22 / 25



i 1 2 3 4 5 6 7H[i] 100 55 80 30 61 69 72


Auflösung:

2 und 5. H[5] rechtes Kind von H[2], aber H[2] < H[5].

24. Juni 2019 22 / 25



i 1 2 3 4 5 6 7H[i] 100 55 80 30 61 69 72


Auflösung: 2 und 5. H[5] rechtes Kind von H[2], aber H[2] < H[5].

24. Juni 2019 22 / 25

Kürzeste Wege multiple choice

Der Algorithmus von Dijkstra benötigt zur korrekten Ausführung

(1) Nicht-negative Kantengewichte.(2) Kreisfreiheit bei negativen Kantengewichten.(3) Einen ungerichteten Graphen.(4) Keine dieser Bedingungen.

Auflösung: (1)

24. Juni 2019 23 / 25




Auflösung:

(1)

24. Juni 2019 23 / 25




Auflösung: (1)

24. Juni 2019 23 / 25

Minimale Spannbäume multiple choice

Der Algorithmus von Kruskal benötigt zur korrekten Ausführung


Auflösung: (3)

24. Juni 2019 24 / 25




Auflösung:

(3)

24. Juni 2019 24 / 25




Auflösung: (3)

24. Juni 2019 24 / 25

Union-Find demogr.

Bei union(i,j) wird der kleinere Baum an die Wurzel des größerenBaumes gehängt. Hier gibt es zwei Strategien:

(A) Der “kleinere Baum” ist immer der Baum mit weniger Tiefe(B) Der “kleinere Baum” ist immer der Baum mit weniger Knoten

Welche Strategie garantiert eine worst-case Laufzeit von Θ(log2 |V |)für die find(u)-Operation?

(1) Nur (A)(2) Nur (B)(3) Beide

Auflösung: (3)

24. Juni 2019 25 / 25

Union-Find demogr.





Auflösung:

(3)

24. Juni 2019 25 / 25

Union-Find demogr.





Auflösung: (3)

24. Juni 2019 25 / 25

Asymptotische Notation (1) multiple choice p . Was...

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