Sector circular

Un sector circular es la porción de círculo limitada por dos radios.

Área del sector circular

Ejercicios del sector circularHallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.

El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

Calcular el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.

Segmento circular

Un segmento circular es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Área de un segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Ejercicios del segmento circularSobre un círculo de 4 cm se traza un ángulo central de 60°. Calcular el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.

Halla el área de la parte sombreada, siendo AB = 10 cm, ABCD un cuadrado y APC Y AQC arcos de circunferencia de centros B y D.

La parte sombreada se compone de dos segmentos circulares.

Área del segmento circular = Área del sector circular − Área del triángulo.

Corona circular

Una corona circular es la porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Área de una corona circular

El área de una corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

Ejercicios de la corona circular

En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.

A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.

Trapecio circular

Un trapecio circular es la porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Área de un trapecio circular

El área del trapecio circular es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

Ejemplo

Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

CÁLCULO DEL ÁREA DE LA LÚNULA

Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.

Creando una lúnula

1º Dibujamos un cuadrante (se trata del primer cuadrante en color gris):

Unimos los puntos A y B:

Hallamos el punto medio del segmento que mide 5,66 cm., y trazamos con esta medida un semicírculo que pase por los puntos A y B y la zona en color verde de la figura siguiente es la lúnula:

Para calcular el área de color verde (lúnula) tenemos que restar le área del segmento circular en color rojo.

Comenzamos el cálculo del área de lúnula:1º. Calculamos el área del semicírculo del que forma parte la lúnula  (la zona en color rojo y verde) que tiene 2,85 cm., de radio:

Dividimos por 2 por tratarse de un semicírculo.

2º Para calcular el área del segmento circular hallamos antes el área del sector circular correspondiente a un ángulo de 90º; en gris tienes el primer cuadrante, es decir, la cuarta parte de todo el círculo que tiene por radio un segmento de 4 cm., cuya área es:

Hemos dividido al área de todo el círculo de radio 4 cm., por 4 porque queremos saber el área de uno de los 4 cuadrantes.

3º) Ahora calculamos el área del triángulo cuya altura es de 2,85 cm., y su base 5,66:

La diferencia entre el área del sector circular y el área del triángulo será el área del segmento circular:

4º) El área de la  lúnula la obtendremos al restar, el área del semicírculo menos el área del segmento circular:

Otra forma de calcular el área de lúnula es:

Área del semicírculo:

Le quitamos el área del sector circular: 

Hallamos el área del triángulo:

A este resultado le sumamos la diferencia entre el área del semicírculo y del sector circular:

15(2).33  Dibuja las lúnulas correspondientes a los catetos de un triángulo rectángulo cuyas medidas en centímetros las tienes en la figura siguiente y demuestra que la suma de sus áreas corresponden  al área del triángulo.

Hallamos el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo, es decir, el circuncentro o el lugar donde se cortan las mediatrices (mediatriz es la recta perpendicular a un segmento y que pasa por su punto medio) y trazamos  la circunferencia:

Las mediatrices, en color negro, son perpendiculares a los lados del triángulo pasando por los puntos medios A, B y C de cada lado. Una vez trazada la circunferencia ves que el triángulo ha quedado inscrito.A partir de los puntos medios de los catetos trazamos 2 circunferencias color magenta con radio igual a la mitad del lado:

De este modo hemos conseguido las lúnulas correspondientes a los catetos A y B:

Vamos a eliminar curvas y segmentos que para nuestro cálculo no los necesitamos.

Al mismo tiempo, sirviéndonos del transportador de ángulos, una regla y un compás calculamos algunas medidas de las que vamos a necesitar:

Calculamos el área de la lúnula 1:

1º) Hallamos el área de la superficie del semicírculo en rojo de la siguiente figura en la que el

radio vale

y el  área del semicírculo es:

2º) Hallamos el área del sector circular en verde de la figura siguiente, sabiendo que el radio vale

Si a 360º corresponde un área de

a 103º corresponderá un área de   

3º) Hallamos el área del triángulo en color gris que como vemos en la figura siguiente conocemos la base la altura:

4º) El área de la lúnula 1 será:

 Calculamos el área de la lúnula 2:1º) Hallamos el área de la superficie del semicírculo en rojo de la siguiente figura en la que el radio vale la mitad del lado: 3,44 cm.

y el  área del semicírculo es:

2º) Hallamos el área del sector circular en verde de la figura siguiente, sabiendo que el radio vale

Si a 360º corresponde un área de

a  77º corresponderá un área de   

3º) Hallamos el área del triángulo en color gris que como vemos en la figura siguiente conocemos la base la altura:

4º) El área de la lúnula 2 será:

La suma de las áreas de las dos lúnulas es: 

El área del triángulo rectángulo de la siguiente figura es:

que como vemos tiene 5,22 cm., de altura y 11 cm., de base, el  área es:

Puedes comprobar que la suma de las  áreas de las lúnulas correspondientes a los catetos del  triángulo rectángulo es igual al área del triángulo.