Teorema di Gauss per il campo gravitazionale

(Questo argomento fara parte dei complementi.)

1 Enunciato e dimostrazione del teorema di Gauss

Dato un campo vettoriale ~v che attraversa una superficie

S, dato il versore n normale all’infinitesimo di superficiedS,

vn

S

si definisce il flusso del vettore ~v attraverso la superficie

S il valore

Φ~v ≡

∫S~v · n dS .

Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo grav-

itazionale uscente da una superficie chiusa non dipendedalla superficie ne dalla posizione dei corpi che lo gener-

ano, ma dipende solo dalla massa contenuta all’internodella superficie.

Dimostrazione. Consideriamo inizialmente il campogravitazionale generato da una massa M puntiforme. M

generera nello spazio un campo gravitazionale

~g(~r) = −GM

r2r = −gr

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dove ~r = rr e il raggio vettore del generico punto, con

primo estremo nell’origine posta sulla massa M . Calco-liamo il flusso di ~g attraverso S, dove S e una qualsiasi

superficie chiusa che ha M al suo interno.

Φ~g =∫S~g · ndS = −

∫Sgr · ndS

(spesso il suffisso ~g sotto Φ si sottintende).Sia θ e l’angolo che il versore radiale r forma con la nor-

male n alla superficie - e che naturalmente dipende dalpunto di S considerato. Allora r · n = cos θ, e

Φ = −

∫sg cos θdS =

∫S

GM

r2cos θdS .

dS

S

M

θdSr n

Osserviamo ora che

cos θdS = dS⊥

proiezione dell’elemento di superficie dS sul piano per-pendicolare a r, poiche θ e l’angolo tra r e n. Esso, a

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meno di infinitesimi di ordine superiore, e quindi l’infinitesimodi superficie della sfera intercettata dal cono di centro M

che intercetta anche la superficie dS.

dS

M

r

Infatti, cosı come per un angolo infinitesimo la lunghezza

della corda e uguale a quella dell’arco a meno di infinites-imi di ordine superiore, cosı la superficie dS⊥ ortogonalea r intercettata da un cono e uguale alla superficie della

sfera intercettata dallo stesso cono, a meno di infinitesimidi ordine superiore.

Facciamo una parentesi, in cui vi anticipiamo una pro-prieta che vi verra dimostrata piu avanti, nei corsi di

matematica del secondo anno. Dato un cono, la super-ficie della sfera di raggio r intercettata da esso, dSn, e

proporzionale a r2:

n1dS

dSn2

r2

r1

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dSn1

r21

=dSn2

r22

≡ dΩ .

Questo rapporto dΩ misura l’ampiezza angolare del cono,

ed e detto angolo solido del cono. Questo naturalmentevale anche per coni finiti, e l’angolo solido totale, dell’intera

sfera, e4πr2

r2= 4π .

Detto questo, e chiaro che il flusso del campo gravi-tazionale generato dalla massa M e

Φ = −GM∫S

dS⊥

r2= −GM

∫dΩ = −4πGM :

un valore indipendente dalla forma della superficie S e

dalla posizione di M dentro S, dipende solo da M , e anzie proporzionale a M .

Se invece M si trova all’esterno della superficie chiusaS, il flusso attraverso S e nullo:

S2

M

S1

si puo dividere S in due superfici S1 ed S2 tali che gliangoli solidi con centro in M che insistono su S1 ed S2

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sono uguali, per cui i flussi attraverso queste due super-fici sono uguali in modulo, e di segno opposto; infatti il

teorema di Gauss si riferisce al flusso uscente dalla su-perfice S, quindi il versore normale punta verso l’esterno

della superficie S, e quindi rispetto al punto M ha ori-entazioni opposte per S1 ed S2; nel caso in figura, n · r e

positivo per S1, negativo per S2.Lo stesso ragionamento puo essere fatto se invece di

un punto materiale ve ne sono diversi, di masse Mi (i =1, ·, n); la risultante delle forze e la somma delle forzegenerate dai singoli punti, quindi il campo gravitazionale

totale e la somma di quelli generati dai singoli punti,quindi il flusso totale e la somma di quelli generati dai

singoli punti:Φ = −4πG

∑i

Mi .

Consideriamo ora un corpo esteso di massa M ; esso puoessere considerato come suddiviso in tante parti piccole

a piacere; nel limite in cui queste parti diventano di di-mensioni infinitesime, e quindi punti materiali, potremo

scrivereΦ = −4πG

∫M

dM = −4πGM .

Il teorema di Gauss e cosı dimostrato.

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Sfruttiamo il teorema di Gauss per calcolare il campogravitazionale terrestre in un punto P al di sopra della

superficie terrestre.

r

gS

O

P

Consideriamo la superficie sferica S passante per P con-centrica con la terra; per simmetria, in ogni punto di

questa superficie il campo gravitazionale ~g ha lo stessomodulo, ha la direzione del raggio vettore e verso op-posto. Quindi ~g(~r) = −g(r)r, e

Φ =∫S~g(~r)·ndS = −g(r)

∫S

r·n = −g(r)∫SdS = −g(r)4πr2

ma il teorema di Gauss ci dice che

Φ = −4πGM

quindi

−g(r)4πr2 = −4πGM ⇒ g(r) =GM

r2

e

~g(~r) = −GM

r2r .

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Possiamo concludere che il campo gravitazionale in unpunto al di sopra della superficie della terra, o piu in

generale di qualsiasi corpo sferico la cui densita ρ dipendasolo da r, e uguale a quello che si avrebbe se tutta la

massa fosse situata al suo centro.Calcoliamo ora il campo gravitazionale in un punto P

all’interno della superficie terrestre (o del corpo sferico).Consideriamo la superficie sferica S passante per P con-

centrica con la terra; per simmetria, in ogni punto diquesta superficie il campo gravitazionale ~g ha lo stessomodulo, ha la direzione del raggio vettore e verso op-

posto. Quindi ~g(~r) = −g(r)r, e, ripetendo i passaggi diprima, troviamo che

Φ = −g(r)∫SdS = −g(r)4πr2 .

Tuttavia in questo caso solo la materia all’interno della

superficie contribuisce al flusso:

Φ = −4πGm(r)

con m(r) massa contenuta in S. Se consideriamo che la

terra abbia densita uniforme ρ e raggio R,

M = ρV = ρ4

3πR3

mentre

m = ρ4

3πr3 = M

r3

R3

Quindi,

Φ = −g(r)4πr2 = −4πGm(r) = −4πGMr3

R3

per cui

g(r) =GM

R3r ,

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varia linearmente con r. L’andamento di g(r) con r,all’interno e all’esterno della superficie, e mostrato in

figura.

g(r)

rR

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