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Le GalassieLezione 4
AA 2009/2010 Astronomia Extragalattica
!2!("x) = 4#G$("x)
W = ! 18!G
!
V|""#|2d"x3 =
12
!
V$("x)#("x)d"x3
Il potenziale gravitazionaleDalla brillanza superficiale (con alcune assunzioni) si può determinare la densità di massa (a meno del fattore Υ, ovvero il rapporto M/L).
In generale, dalla densità di massa ρ(x) si può ottenere il potenziale gravitazionale risolvendo l’equazione di Poisson:
2
In generale, noto ϕ si può ricavare l’energia potenziale gravitazionale del sistema
Nel caso di simmetria sferica ρ=ρ(r) l’equazione si semplifica a
1r2
d
dr
!r2 d!(r)
dr
"= 4"G#(r)
!2!("x) = 4#G$("x)
1r2
d
dr
!r2 d!(r)
dr
"= 4"G#(r)
W = ! 18!G
!
V|""#|2d"x3 =
12
!
V$("x)#("x)d"x3
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M(r) =! r
0!(r!)4"r!2dr!
Caso particolare: simmetria sferica
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1o teorema di Gauss: una particella test all’interno di una “shell” sferica di materia non risente di alcuna forza gravitazionale.2o teorema di Gauss: la forza gravitazionale esercitata su un corpo fuori da una shell sferica è la stessa che si avrebbe se tutta la massa della shell fosse concentrata nel centro della sfera.
Consideriamo una distribuzione di massa a simmetria sferica con ρ = ρ(r).La massa racchiusa nella sfera di raggio r è:
Consideriamo una particella test al raggio r:per il 1o teorema di Gauss la massa “esterna” M(r’>r) non esercita alcuna attrazione gravitazionale;per il 2o teorema di Gauss l’attrazione della massa “interna” M(r’<r) è la stessa di quella che si avrebbe se la massa fosse concentrata a r=0 per cui
!F (r) = !GM(r)mr2
!ur = !m!""(r) = !md"(r)
dr!ur
M(r) =! r
0!(r!)4"r!2dr!
!F (r) = !GM(r)mr2
!ur = !m!""(r) = !md"(r)
dr!ur
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integrando membro a membro tra r e ∞, con ϕ(∞)=0 si ricava che
!(r !") # GMtot
r! 0
Caso particolare: simmetria sferica
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d!(r)dr
=GM(r)
r2!F (r) = !GM(r)m
r2!ur = !m!""(r) = !m
d"(r)dr
!ur
!(r) = !GM(r)r
! 4"G
! !
r#(r")r"dr"
Quindi, nota ρ nel caso di simmetria sferica si può facilmente ricavare ϕ.
1r2
d
dr
!r2 d!(r)
dr
"= 4"G#(r)
Se viceversa è noto ϕ e si vuole ricavare ρ si usa l’equazione di Poisson che in simmetria sferica è
!F (r) = !GM(r)mr2
!ur = !m!""(r) = !md"(r)
dr!ur
d!(r)dr
=GM(r)
r2
!(r) = !GM(r)r
! 4"G
! !
r#(r")r"dr"
!(r !") # GMtot
r! 0
1r2
d
dr
!r2 d!(r)
dr
"= 4"G#(r)
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Velocità circolare e di fugaNoto il potenziale ϕ(r) ci sono due quantità importanti che si possono ricavare: la velocità circolare e la velocità di fuga
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a(r) =Vc
2
r= !d!
dr= !GM(r)
r2
Vc =
!
r
""""d!
dr
""""
Vc =
!GM(r)
r
E =12mV 2 + m!(r)
La particella è “legata” se E<0, per cui la velocità di fuga si ha per E=0
Vf =!
2|!(r)| Vf =
!2GM(r)
r
a(r) =Vc
2
r= !d!
dr= !GM(r)
r2
Vc =
!
r
""""d!
dr
""""
Vc =
!GM(r)
r
E =12mV 2 + m!(r)
Vf =!
2|!(r)| Vf =
!2GM(r)
r
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Alcuni semplici potenziali
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!(r) = !GM
r
Vc =!
GM
rVelocità “Kepleriana” V~r -1/2
periodo orbitale indipendente dal raggio (rotazione di corpo “rigido”, V~r)
T =2!r
Vc=
!3!
G"
Vc =!
4!
3G" r
1) Massa puntiforme M
2) Sfera omogenea densità costante ρ
!(r) = !GM
r
Vc =!
GM
r
Vc =!
4!
3G" r
T =2!r
Vc=
!3!
G"
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Alcuni semplici potenziali3) Sfera isoterma (Singular isothermal sphere)
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!(r) = V 2H ln(r/r0)
!(r) =!(r0)
(r/r0)2 V 2H = 4!Gr2
0"(r0)
Vc = VH = costante!
4) Potenziale dell’alone oscuro
!(r) =1
4"G
V 2H
r2 + a2H
!(r >> aH) ! 14"G
V 2H
r2
V 2(r) = V 2H [1! (aH/r) arctan(r/aH)] V 2(r >> aH) ! V 2
H
Vc = VH = costante!
!(r) =!(r0)
(r/r0)2
!(r) = V 2H ln(r/r0)
V 2H = 4!Gr2
0"(r0)
!(r) =1
4"G
V 2H
r2 + a2H
!(r >> aH) ! 14"G
V 2H
r2
V 2(r) = V 2H [1! (aH/r) arctan(r/aH)] V 2(r >> aH) ! V 2
H
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!(r) =1
4"G
1r2
d
dr
!r2 d#
dr
"=
3a2
4"
M
(a2 + r2)5/2
I(R) =1
4!!
! +!
"!"(s)ds =
M
4!2!a2
(a2 + R2)2
Vc =
!GM(r)
r=
"GM
r (1 + a2/r2)3/2
Alcuni semplici potenziali5) Potenziale di Plummer
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!(r) = ! GM"a2 + r2
Massa totale? Ricordare che:
!(r !") # GMtot
r! 0
E’ possibile ottenere una formula analitica per la brillanza superficiale
log I(R)
log R
~ cost. (core)
~ R-4
a
!(r) = ! GM"a2 + r2
!(r !") # GMtot
r! 0
!(r) =1
4"G
1r2
d
dr
!r2 d#
dr
"=
3a2
4"
M
(a2 + r2)5/2
Vc =
!GM(r)
r=
"GM
r (1 + a2/r2)3/2
I(R) =1
4!!
! +!
"!"(s)ds =
M
4!2!a2
(a2 + R2)2
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Proprietà di una galassiaE’ possibile ottenere spettri ed immagini di una galassia a tutte le lunghezze d’onda (dal radio ai raggi X).Si possono quindi avere due tipi di osservazioni complementari per misure quantitative:
Fotometria (da immagini)morfologia (→ braccia a spirale, barre, bulge → classificazione di Hubble; presenza di reddening, interazione con altre galassie ecc.)fotometria (→ profili di brillanza -> luminosità della galassia e delle sue componenti, raggi scala → SED spectral energy distributions)
Spettroscopia (da spettri)cinematica del gas e delle stelle (→curve di rotazione, dispersione di velocità, ecc.)condizioni fisiche del gas (→ meccanismo di ionizzazione → sorgente ionizzante)popolazioni stellari (→ storia di formazione stellare → evoluzione)
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Spettri di galassiaLo spettro di una galassia è il risultato della somma degli spettri dei singoli costituenti: stelle, nebulose digas ionizzato, eventuale “nucleo attivo”.In un tipico spettro ottico/infrarosso si possono distinguere:continuo (stelle, emissione AGN, polvere calda - oltre 2μm);righe di assorbimento (in genere stelle);righe di emissione (gas fotoionizzato).
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Spettri di Galassie
righe di emissione
continuo
righe di assorbimento
emissione delle stelle
continuo AGN
continuo stelle
righe di emissione
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Cinematica del gasL’andamento con λ di una riga di emissione è, in genere, ben descritto da una o più funzioni gaussiane:
Fline(λ) = A+B exp[ -1/2 ( (λ-λ0)/σ )2 ]
λ0 è la lunghezza d’onda media da cui la velocità media del gas è (effetto Doppler):
v = (λ0-λrest)/λrest c
σ è legata alla dispersione di velocità del gas σV (velocità quadratica media) da:
σV = σ/λ0 c
L’integrale sotto la curva gaussiana è il “flusso” della riga:
Fline = (2π)1/2 B σ
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B
A
λ0
2σ
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Per misurare le proprietà delle righe di assorbimento è necessario utilizzare lo spettro di una stella di tipo opportuno, il “template” T(λ), e lo spettro della galassia si può scrivere come: Fgal(λ) = T(λ) ⊗ ϕ(λ)
ϕ(λ) è la distribuzione della velocità delle stelle (λ→v) lungo la linea di vista ed è in genere ben descrivibile con una gaussiana. Da ϕ(λ) si ottengono v e σ (dispersione di velocità).Per le righe delle stelle non si parla di flusso (negativo!) ma di larghezza equivalente (Equivalent Width)W = flusso/continuo [ (erg cm-2 s-1) / (erg cm-2 s-1 Å-1) = Å ]
Cinematica delle stelle
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Spettro di una stella G0V (Template)
Spettro della Galassia
v Template ⊗ ϕ(λ)
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Per ogni galassia possiamo misurare i parametri strutturali come:luminosità totale, luminosità del bulge e del disco (spirale);raggio scala del bulge e del disco (spirale), raggio efficace;V media → redshift della galassia;σ (dispersione di velocità media nel raggio efficace)Ma anche cinematica risolta spazialmente ovvero V, σ in varie punti della galassia.Nel caso delle galassie a spirale dove c’è rotazione del disco si può determinare V(r)ovvero la curva di rotazione.
Parametri strutturali
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!v = Vsys!n + V (R)!! sin"!i + cos "!j
"
!n = sin i!j + cos i!k
Vobs = !v · !n = Vsys + V (R) sin i cos "
Le curve di rotazioneConsideriamo un disco in rotazione circolare con V = V(R). I moti non circolari sono piccoli rispetto a V(R).Per ottenere V(R) dalle osservazioni dobbiamo correggere per gli effetti di proiezione geometrica.
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i
z
x
yR
V(R)
n
ϕ
(linea di vista)
Adesso è necessario esprimere R e cosϕ in funzione delle coordinate sul piano del cielo che sono quelle effettivamente misurate.
!n = sin i!j + cos i!k
Vobs = !v · !n = Vsys + V (R) sin i cos "
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Possiamo quindi ottenere R e cosϕ dalle coordinate x′,y′ sul piano del cielo
R2 = x2 + y2 = x!2 +!
y!
cos i
"2
Le curve di rotazione
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cos ! =x
R=
x!
R
y′
x′P (x′, y′)•Proiezione di xy
sul piano del cielo
i
y′
z
Vista lungo x
y
i
La proiezione di xy sul piano del cielo definisce il riferimento x′y′ e risulta:
i
z
x
yR
V(R)
n
ϕ•
P (x, y)
cos ! =x
R=
x!
R
R2 = x2 + y2 = x!2 +!
y!
cos i
"2
y! = y cos ix! = x
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Le curve di rotazione
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4!G"H(r) =V 2
H
a2H + r2
V 2(r) = V 2H
!1! aH
rarctan
"r
aH
#$
Esempio: potenziale di alone oscuro
“Spider diagram”:contorni di iso-velocità osservati ovvero contorni di V(R)cosϕ costante per disco con i=30° (unità di VHsin30°)
Velocità osservate lungo le direzioni → → (fenditure lunghe dello spettrografo)
4!G"H(r) =V 2
H
a2H + r2
V 2(r) = V 2H
!1! aH
rarctan
"r
aH
#$
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Rotazione delle galassie a spiraliE’ facile ottenere la curva di rotazione di una galassia esterna simile alla Via Lattea (“spirale”) utilizzando le righe di emissione del gas ottiche (per esempio Hα 6563 Å) o radio (HI a 21 cm).
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NGC 6946
Ottico Radio (HI 21cm)
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Curve di rotazione delle spirali
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Radio (HI)Ottico
corpo rigido (V~R) velocità costante (V~V0)
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La rotazione della Via Lattea
Determinare la curva di rotazione della Via Lattea è più difficile che nel caso delle galassie esterne.
La curva di rotazione nei dintorni del Sole può essere determinata col metodo delle costanti di Oort (→corso di Astronomia).
Per R < R0 (distanza del Sole dal centro galattico) si possono sfruttare le nubi di gas che emettono HI a 21 cm.
Per R > R0 la situazione è più complessa e si deve ricorrere a sorgenti di cui è possibile determinare la distanza.
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Il metodo delle costanti di OortStella con velocità radiale vr e trasversale vt rispetto al Sole. La velocità angolare di rotazione circolare attorno al centro galattico a distanza R è esprimibile come Ω(R) = V(R)/R. Si dimostra che:vr = ( Ω(R) - Ω0 ) R0 sinℓvt = ( Ω(R) - Ω0 ) R0 cosℓ- Ω(R) d
Espandendo in serie di Taylor al primo ordine Ω(R)si arriva infine a scrivere:vr = A d sin 2ℓ vt = A d cos 2ℓ+ B d
A e B sono costanti che dipendono da V(R0), R0 e (dΩ/dR)0 e sono dette costanti di OortMisurando vr, vt, d e ℓda stelle vicino al Sole
A = 14.4 ± 1.2 km/s/kpc B = -12.0 ± 2.8 km/s/kpccioè si conosce V(R) ma solo per R ~ R0 ed il metodoè valido solo in prossimità del Sole.
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Il profilo della riga HI in una determinata direzione verso il disco galattico mostra variecomponenti che corrispondono a nubi poste a varie distanze dal centro. La nube alla minima distanza dal centro avrà la velocità massima perché V(Rmin) è più grande in modulo e la sua proiezione lungo la linea di vista è massima: d = R0 cos ℓ V(Rmin) = Vmax
In questo modo è possibile determinare la curva di rotazione della Galassia ma solo per distanze R < R0.Per andare oltre è necessario conoscere d (Cefeidi ...) ed utilizzare relazioni generali per vr e vt viste prima.
Rotazione dalle nubi HI
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VMax
VMax
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La curva di rotazione
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Rotazione di corpo rigido (solid body): V ~ r
Velocità costante: V ~ V0
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Significato fisico della rotazione
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Nelle parti di rotazione di corpo rigido, V~r → densità costante ρ(r)~ρ0
Nelle parti a velocità costante, V~V0 → sfera isoterma ρ(r)~r-2
Ma la densità di stelle del disco decresce in modo esponenziale.
Le curve di rotazione delle galassie a spirale (a disco) implicano l’esistenza di materia che non è spiegabile con le stelle ed è “visibile” solo attraverso i suoi effetti gravitazionali:
Materia Oscura
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La curva di rotazione
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M(<R0) = 8.8 ×1010 M☉
Rotazione di corpo rigido (solid body): V ~ r
Velocità costante: V ~ V0
Questa sarebbe la curva di rotazione (V~r -0.5) se non ci fosse altra massa oltre il Sole.La massa in stelle oltre il Sole è trascurabile rispetto a M(<R0).
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L’alone di materia oscura ha un andamento del tipo:
Per la Via Lattea:
Questo andamento deve avere un “taglio” a grandi r altrimenti MTOT→∞ !
Una galassia come la Via Lattea ha una massa “visibile” (stelle+gas): Mvis ~ 1.1× 1011 M☉(Vrot~220 km/s a r~10 kpc)
Mtot ~ 5.6× 1011 M☉
(Vrot~220 km/s a r~50 kpc)
La proporzione di materia oscura ricavata dalle curve di rotazione varia da ~50% nelle Sa-Sb fino a 80%-90% nelle Sd-Sm.
La materia oscura
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!(r) =!0
1 +!
ra
"2
!0 ! 5.9" 107 M! kpc"3
a ! 2.8 kpc
Mtot/Mvis ~ 5
!0 ! 5.9" 107 M! kpc"3
a ! 2.8 kpc
!(r) =!0
1 +!
ra
"2
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Natura della Materia Oscura
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Materia Oscura
Barionicamateria ordinaria fatta di protoni e neutroni
Non Barionica
Resti di stelle(stelle neutroni,
buchi neri)Nane Brune
MACHOS (Massive Astrophysical Compact Halo Objects)
~15%
Cold Dark Matter (CDM)
particelle con v≪c
Hot Dark Matter (HDM)
particelle con v≈c
?? WIMPS (Weakly Interacting Massive Particles)
Neutrini (ν) + ??
Ciò che resta < 3%