Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

2

Diagrammi polari, di Nyquist e di Nichols

Diagramma polareDiagramma di NyquistDiagramma di Nichols

4

Diagramma polare

La risposta in frequenza si analizza tramite

Un’altra rappresentazione grafica di G(jω) si ottiene riportando M(ω) e ϕ(ω) su un riferimento polare del piano complesso

Diagramma polare di G(jω)

∞<ω≤⋅ω=

=⋅ω=ω=ωϕ

ω∠ω=

0,e)(M

e)j(G)j(G)s(G)(j

)j(Gjjs

5

Rappresentazione polare per ω=ω∗ (1/2)

Punto sul piano complesso

*

*

*

*

j*

)(j*

)j(Gj*

eM

e)(M

e)j(G)j(G

ϕ

ωϕ

ω∠ω=ω

⋅=

=⋅ω=

=⋅ω=ω

6

C

ℜ

ℑ

M*

ϕ*


7

C

ℜ

ℑ


8

C

ℜ

ℑ

M*

ϕ*


9

Rappresentazione polare per ω∈(0,∞) (1/2)

Luogo di punti sul piano complesso

)(0,per e)(M

e)j(G)j(G)(j

)j(Gj

∞∈ω⋅ω=

=⋅ω=ωωϕ

ω∠

10

ω=ω0

C

ℜ

ℑ

ω=ω1

ω=ω2

ω=ω3ω=ω4

ω=ω5


11

ω=ω0

C

ℜ

ℑ

ω=ω1

ω=ω2

ω=ω3ω=ω4

ω=ω5


12

Proprietà importanti (1/4)

Per sistemi senza poli nell’origine il diagramma polare parte (ω→0+) da un punto sull’asse reale; la fdt in BF è infatti approssimabile con una costantePer sistemi con “i” poli nell’origine il diagramma polare parte da un punto infinitamente lontano dall’origine, con fase

la fdt in BF è infatti approssimabile conis

K

)Karg(2

i0

+π−

⋅=ϕ +→ω

0 o ±π

13


Per sistemi con poli nell’origine:

con n ≥ 0, m > 0 oppure n > 0, m ≥ 0

Il quadrante di partenza (ω→0+) dipende dai segni di

mn000aK

jK

)(j)()j(Gω

+ω

≅ωℑ+ωℜ=ω ℑℜ→ω→ω→ω +++

ℑℜ K di e K

14


Per sistemi con poli nell’origine il diagramma polare per ω→0+ assume un particolare andamento asintotico. Esempi:

n=0, m>0 → asintoto=retta verticale,

n>0, m=0 → asintoto=retta orizzontale,

n=4, m=2 → asintoto=parabola,

forma generale dell’asintoto:

22K

Kℑ=ℜ

ℑ

ℜ

ℑ=ℑ K

ℜ=ℜ K

m/nm/n H oH ℜ=ℑℑ=ℜ

15


Per sistemi strettamente propri il diagramma polare termina (ω→∞) nell’origine (modulo nullo) con fase multipla di ±90°; la fdt in AF è infatti approssimabile con

Per sistemi non strettamente propri il diagramma polare termina (perpendicolarmente) in un punto sull’asse reale diverso dall’origine; in tal caso la fdt in AF è infatti approssimabile con una costante

0zerin.o polin.ok, >−=ksH

16

Esempio 1 (1/4)

)10s)(1s2.0s(s)1.0s(200)s(G 2 +++

+=

ω−→≅

2js2)s(G

BF

33

3AF

200)j(s

200)s(Gω

−→≅

17

Esempio 1 (2/4)

ω−→≅

2js2)s(G

BF⎩⎨⎧

−=

=

==

ℑ

ℜ

2K

4.19K

1m0n

→+ 4.19

asintoto = retta verticale

18

Esempio 1 (3/4)

100

200

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

19

Esempio 1 (4/4)

240

270

300

Esempio1 - diagramma polare

100

00

10 10 10-100

-50

0

50Esempio1 - DdB

Mod

ulo

(dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0F

ase

(° )

ω

A B C D E F

A

B C

D

E

F

20

Esempio 2 (1/4)

)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++

+=

22

2BF

25.1)j(s25.1)s(G

ω−→≅

33

3AF

10)j(s10)s(G

ω−→≅

21

Esempio 2 (2/4)

22

2BF

25.1)j(s25.1)s(G

ω−→≅

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−===

→ω

−+

ℑ

ℜ

2.3/1K

25.1K1m2n

2.31j

asintoto = parabola28.12 ℑ−=ℜ

22

20

40

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

Esempio 2 (3/4)

23

Esempio2 - diagramma polare

-40

-20

0

20

40Esempio2 - DdB

Mod

ulo

(dB

)

100

101-270

-180

-90

Fas

e (°

)

ω

Esempio 2 (4/4)

D

A C D

B

B

A C

25

Dominio della variabile s (1/3)

Il diagramma di Nyquist (DdN) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica sul piano C di

Variazione della variabile indipendente:

),(per )j(G)s(Gjs

+∞−∞∈ωω=ω=

C

raggio R, R→∞

26


Problema: presenza di poli sull’asse immaginarioSoluzione:

Naturalmente

C

raggio ρ, ρ→0

jωo

( ) ∞→⇒ππ−∈αρ+ω= α

→ρ)s(G)2/,2/(,ejlims j

o0

27

s varia su un “percorso chiuso”

Il DdN della G(s) consiste in un luogo di punti anche esso chiuso


28

Particolare attenzione ai punti in cui G(jω)→∞(presenza di poli sull’asse immaginario)Se s varia da j a j percorrendo una semicirconferenza di raggio infinitesimo in verso antiorario, allora …G(s) varia da G(j ) a G(j ) percorrendo una semicirconferenza di raggio infinito in verso orarioSe il polo in jωo ha molteplicità i allora da G(j ) a G(j ) verranno percorse, sempre in verso orario, i semicirconferenze di raggio infinito

Poli sull’asse immaginario (1/3)

−ωo+ωo

−ωo+ωo

−ωo+ωo

29


NB: il percorso orario di una semicirconferenza di raggio infinito, per ω da a , equivale a una rotazione di fase di −180° in un intervallo infinitesimo di ω ⇒ la fase di G(jω) presenta una discontinuità di −180° in ωo

È facile dimostrare infatti che in presenza di fattori con poli sull’asse immaginario, del tipo

la fase presenta una discontinuità di −180° da a

,0pers

1oppure0pers

1s1

o2o

2oo

≠ωω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ω

ω+=

−ωo+ωo

−ωo+ωo

30


Se il polo in jωo ha molteplicità i allora la fase presenterà una discontinuità di −i180° in ωo

Per ciò che è stato fin qui detto valgono ovviamente le seguenti eguaglianze: Esempio per i=1

∞=ω=ω+− ω→ωω→ω

)j(Glim)j(Glimoo

C

ℜ

ℑ 60°

−120°

−ω=ω o

+ω=ω oraggio R→∞

31

Zeri sull’asse immaginario

La presenza di i zeri sull’asse immaginario(in jωo) induce in ω=ωo una discontinuità di +i180°nella fase e un modulo nullo (−∞ dB) ⇒ il DdNattraversa l’origine del piano complesso proprio per ω=ωo

C ℑ

ω=ωo

30°

−150°

ℜ

32

Costruzione del DdN (1/4)

Risultato importante:

⎩⎨⎧

ω−∠=ω−∠ω=ω−

⇒ω=ω−⇒

⇒==

=

)j(G)j(G)j(G)j(G

)j(G)j(G

)s(G)s(G)s(G

)x(coniugatox definito sia

33


G(jω) per ω∈(−∞,0) coincide con

G(−jω) per ω∈(∞,0) ovvero con

(jω) per ω∈(∞,0)

Sia ω∈(0,∞); il luogo dei punti G(−jω) sul piano complesso C è il luogo simmetrico,rispetto all’asse reale, a quello dei punti G(jω)NB: non è difficile dimostrare che G(−j∞)≡G(j∞)

G

34


Per tracciare il DdN di una fdt G(s) è sufficiente seguire poche regole pratiche

tracciare il diagramma polare di G(jω)tracciare il diagramma simmetrico al precedente rispetto all’asse reale (basta “ribaltare” il diagramma polare rispetto all’asse reale)nel caso siano presenti rami all’infinito ovvero poli sull’asse immaginario, congiungere i rami all’infinito con un opportuno numero di semicirconferenze orarie di raggio R→∞ così come illustrato nelle diapositive precedenti

35


mettere in evidenza il verso di percorrenza (da ω=0+ a ω=+∞/−∞ a ω=0−)verificare che il DdN sia costituito da una curva chiusa

36

Esempio 1 (1/2)

)10s)(1s2.0s(s)1.0s(200)s(G 2 +++

+=

1000°

200

+=ω 0

±∞=ω

−=ω 0

37

Esempio 1 in Matlab (1/3)

Il DdN può essere tracciato in ambiente Matlab utilizzando il comando nyquist (per la sintassi consultare il relativo help)Nel caso della fdt precedente, ad esempio, i comandi Matlab che permettono di tracciare il DdNnel modo più semplice sono i seguenti:

>> s=tf(‘s’)>> G=200*(s+0.1)/s/(s^2+0.2*s+1)/(s+10)>> nyquist(G)>> axis equal

38


39


Si noti che in ambiente Matlab i DdN possono non essere completi perché mancanti delle eventuali semicirconferenze all’infinitoI dettagli del DdN possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma stesso

40

Esempio 2 (1/2)

)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++

+=

20

40

30

60

240

90

270

120

300

330

180 0

−=ω 0

+=ω 0 ±∞=ω

41


I comandi Matlab che permettono di tracciare il DdN nel modo più semplice sono i seguenti:

>> s=tf(‘s’)>> G=10*(s+1)/s^2/(s+2)/(s+4)>> nyquist(G)>> axis equal

42


43


Anche in questo caso il DdN non è completo perché mancante delle semicirconferenze all’infinitoI dettagli del DdN possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma stesso

44

Esempio 3 (1/2)

s4G,5.0G,

)4s()2s()8s()1s(4)s(G AFBF222

22

==++++

=

0=ω1 e ±±∞=ω

1

2

−=ω 4

+−=ω 4+=ω 4

−−=ω 4

45

Esempio 3 (2/2)

s4G,5.0G,

)4s()2s()8s()1s(4)s(G AFBF222

22

==++++

=

1

2

46


I comandi Matlab che permettono di tracciare il DdN nel modo più semplice sono i seguenti:

>> s=tf(‘s’)>> G=4*(s^2+1^2)*(s+8)/(s+2)^2/(s^2+4^2)>> nyquist(G)>> axis equal

47


48


Anche in questo caso il DdN non è completo perché mancante delle semicirconferenze all’infinitoI dettagli possono essere meglio analizzati con successive operazioni di zoom sul diagramma

!

!

50

Definizione (1/2)

Il diagramma di Nichols (DdNic) di una fdt consiste nella rappresentazione grafica di

sul piano cartesiano

),0(per ,e)(M)j(G)s(G )(jjs

∞∈ωω=ω= ωϕω=

dBgradiM⊗ϕ

51

Definizione (2/2)

Nel DdNic la variabile indipendente ω diventa la coordinata curvilinea (un punto sul piano ϕ⊗M per ciascun valore di ω)

Per ovvi motivi i valori dell’ascissa possono essere limitati (ma non è obbligatorio) tra −180° e +180° oppure tra 0° e +360° oppure tra −360° e 0°; nel prosieguo si opteràpreferibilmente per l’intervallo −360°÷ 0°

52

Esempio 1 (1/2)

)10s)(1s2.0s(s)1.0s(200)s(G 2 +++

+=

+→ω 060

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-60

-40

-20

0

20

40

Fase (°)

Mod

ulo

(dB

)

∞→ω

A C

BD

53

Esempio 1 in Matlab

54

Esempio 2 (1/2)

)4s)(2s(s)1s(10)s(G 2 ++

+=

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-100

-50

0

50

100

Fase (°)

Mod

ulo

(dB

)

55

Esempio 2 in Matlab

56

Esempio 3 (1/2)

)4s()2s()8s()1s(4)s(G 222

22

++++

=

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80

-40

-20

0

20

40

80

Fase ( °)

Mod

ulo

(dB

)

∞→ω

0=ω

−→ω 1+=ω 1

−=ω 4 +→ω 4

57

Esempio 3 in Matlab

X

Y

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