1

Differenziale

Consideriamo la variazione finita, della variabile indipendente a cuicorrisponde una variazione finita della funzione , f x

xf x

x

y

x1 x2Δx

Δf

La variazione della variabile dipendente puo' essere “molto piccola”, infinitesima esi indica con .In questo caso la variazione della funzione e' data dal differenziale della

funzione: dove indica

la derivata della funzione

x

dx

f xdf (x)dx

dxdf x dx

f x

In generale si definisce differenziale la variazione di una funzione rispetto a una variabile indipendente Es. differenziale di x e' , differenziale di x2 e' dx 2xdx

df (x)= f ' (x)dx

2

Area del Trapezoide

o x

y

a b

f(x)

A

B

f(a)f(b)

h

Data una funzione definitain un intervallo [a,b] nel quale e' continua, si consideri l'arcoAB del suo grafico i cui estremiA e B hanno per ascisse a e b e quindi per ordinate f(a) e f(b).

trapezoide

f x

L'area del trapezoide S puo' essere approssimata dall'area del trapezio aABb.Per avere una migliore approssimazione possiamo suddividere il trapezio in trapezi piu'piccoli.

o x

y

a b

f(x)

A

B

f(a)f(b)

h

3

Area del trapezoide: somma integrale

o x

y

a b

f(x)

A

B

f(a)f(b)

h

Si divida l'intervallo [a,b] in sottointervalli, in modo tale che e per ogni prendiamo il punto medio e consideriamo il valore della funzione .Disegnamo il rettangolo di base e altezza .Consideriamo la somma integrale:

xk∑k=1n x k=h=b−a xk

xk /2=xk f x k xk

xk

f xk /2

f x1 x1 f x2 x2 f x3 x3..... f x n xn=∑k=1n f x k x k

f x k

n

4

Area del trapezoide: somma integrale

o x

y

a b

f(x)

A

B

f(a)f(b)

h

∑k=1n f xk xkLa somma integrale e' una approssimazione dell'area

del trapezoide. Quanto piu' piccoli prendiamo , cioe' quanto piu'grande e' tanto meglio la somma integrale approssima l'area del trapezoide. L'area del trapezoide rappresenta l'area sottesa dallafunzione .

xkn

f x

5

Integrale Definito

Si definisce area del trapezoide S il limite della somma integrale riferita all'intervallo [a.b]

limn∞

∑k=1

n

f x k x k=S

Il limite S di somme integrali in [a,b] puo' essere definito anche indipendentemente dal suo significato geometrico e prescindendo anche da ogni rappresentazione cartesiana della funzione inteso nel senso piu' ampio, il limite di qualunque somma integrale tratta da divisioni infinitesimali dell'intervallo [a,b], si suole indicare col simbolo:

∫a

b

f xdx

chiamato integrale definito della funzione tra a e bf x

Si definisce integrale definito di una funzione in un itervallo [a,b], il limite, se esiste, di una somma integrale tratta da qualunque divisione infinitesimale dell'intervallo stesso.

f x

6

Definizione di Funzione Primitiva

Data una funzione si definisce primitiva generale una delle infinite funzioni che differiscono per una costante C arbritaria e chehanno tutte per derivata

f (x )

f (x )

F ' ( x )=ddxF ( x )= f ( x )

ddx

(F ( x)+C )= f ( x)

Il calcolo dell'integrale definito mediate il limite n → ∞ della somma integrale puo' essere laborioso e complicato.Tale calcolo diventa molto piu' semplice se si conosce una funzioneprimitiva F(x) della funzione integranda f(x).

F ( x )

La primitiva e' definita a meno di una costante, infatti

7

Teorema fondamentale Integrale DefinitoSe si conosce una primitiva della funzione integranda il calcolo dell'integrale definito diventa semplice grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale noto come teorema di Torricelli:

“L'integrale definito in un intervallo [a,b] di una funzione continua in tale intervallo e' uguale alla differenza tra i valori che una primitiva della funzione assume rispettivamente nell'estremo superiore b enell'estremo inferiore a” .Cioe' se e' la funzione integranda continua su [a,b] e e' una delle sue primitive si dimostra:

F x f x

f x

∫a

b

f xdx=F b−F a

f x F x

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Proprieta' dell'Integrale Definito

∫a

b

f xdx=−∫b

a

f x dx1) Se a>b si ha

2) Se a,b,c sono 3 punti qualunque di un intervallo nel quale la funzione e' continua si ha

∫a

b

f xdx=∫a

c

f xdx∫c

b

f xdx

f x

3) una costante k, che sia fattore di puo' essere messa in evidenza fuori del segno di integrale:

f x

∫a

b

kf x dx=k∫a

b

f x dx

4) Se la funzione integranda e' la somma algebrica di due o piu' funzioni, l'integrale e' uguale alla somma algebrica dei singoli integrali definiti:

∫a

b

[ f x g x ]dx=∫a

b

f xdx∫a

b

g xdx

9

Integrale indefinito

La funzione e' una delle infinite primitive della funzione che differiscono l'una dall'altra per una costante.

F x F x C

f x

F x CL'insieme delle funzioni costituiscono una primitiva piu' generale della e viene chiamato integrale indefinitof x

∫ f xdx=F xC

Per l'integrale indefinito valgono le proprieta' 3) e 4) dell'integraledefinito.

10

Calcolo di alcuni Integrali Indefiniti

∫ dx=xC ∫ x dx=12x2

C ∫ x2dx=13x3

C

∫ xndx= 1n1

xn1C1) Polinomio

Esempi:

∫ 1

x2 dx=∫ x−2dx=

1−1

x−1C=

−1x

C

∫ x dx=x

112

112

C=23

x3C

a) b) c)

d)

e)

∫ 1

xdx=

x1−

12

1−12

C=2 xCf) ∫ 1xdx=ln x Cg)

11

Calcolo di alcuni Integrali Indefiniti

2) ∫e x dx=e xC

3) ∫ sin xdx=−cos x C ∫cos xdx=sin xC

∫ 1

cos2 x dx=∫1tan2 xdx=tan xC4)

Verifica:Ogni volta che calcolate un integrale verificate il risultato: la derivatadella funzione ottenuta deve dare la funzione integranda.

12

Metodi di integrazione: Integrazione per Sostituzione

Il metodo di integrazione per sostituzione utilizza la sostituzionedi e in un integrale con la funzione x

∫ x

x21dx=

12∫ 2x

x21

dx

z= x dz= ' xdxdx

Esempio

Poniamo z= x21 dz=2xdx

∫ x

x21dx=

12∫ 2x

x21

dx=12∫ 1zdz=

12

ln z C

Risostituiamo z= x21

∫ x

x21dx=

12

ln x21C

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Metodi di integrazione: Integrazione per Parti

Il metodo di integrazione per parti si fonda sulla regola del calcolo della derivata del prodotto di due funzioni. Tale metodo si applicanei casi in cui l'espressione che figura sotto il segno << >> ha la forma ossia la forma di prodotto di un fattore che vienechiamato fattore finito, per un fattore chiamato fattoredifferenziale tale da ammettere integrale immediato. In questo casosi applica il procedimento indicato dall'equazione:

∫f x⋅g ' xdx

g ' x dxf x

∫ f x⋅g ' x dx= f x g x −∫ g x ⋅ f ' xdx

Che si puo' esprimere dicendo: l'integrale del prodotto di un fattorefinito per un fattore differenziale e' uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale del fattore differenziale, diminuito dell'integraledi questo integrale moltiplicato per il differenziale del fattore finito.

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Esempio di Integrale per Parti

∫ sin2 xdx

sin2 xdx=sin x⋅sin xdxPer parti si puo' scrivere:

Fattore finito: f x=sin x

Fattore differenziale: g ' x =sin x dx=d −cos x

∫ sin2 xdx=∫ sin x⋅sin x dx=sin x−cos x −∫−cos x⋅cos xdx=

quindi

=−sin xcos x∫cos2 x dx=−sin xcos x∫1−sin2 xdx=

=−sin xcos x∫ dx−∫ sin2 x dx=−sin x cos xx−∫ sin2 x dx

∫ sin2 xdx=−sin x cos x x−∫ sin2 x dx da cui

2∫ sin2 x dx=−sin xcos x x ∫ sin2 xdx=

12 x−sin x cos x

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Esercizi

∫3x52x3−xdx

∫8x3−9x210x−1dx

∫ 2x−1

x2 dx

∫ x23dx

∫ x x243dx

∫ 1

x22 dx

∫e x x dx

Integrali indefiniti Integrali definiti

∫0

2

2x3x2dx

∫ /6

/4

sin xdx

∫1

3

4x−x2dx

∫1

2

4

x4dx