APPLICAZIONIAPPLICAZIONI

TRASLAZIONALETRASLAZIONALE

MOTOMOTO VIBRAZIONALEVIBRAZIONALE

ROTAZIONALEROTAZIONALE

)()(2 2

22

xExVdx

d

m

V = 0 )()(2 2

22

xExdx

d

m

)()( 22

2

xkxdx

d

MOTO TRASLAZIONALEMOTO TRASLAZIONALE

Ψk(x) = A eikx + B e-ikx Ek = k2ħ2/2m

Energia NON quantizzata

Il moto traslazionale in uno spazio confinato é quantizzato

EN

ER

GIA

PO

TE

NZ

IAL

E

Parete Parete

PARTICELLA NELLA SCATOLAPARTICELLA NELLA SCATOLA

MECCANICA CLASSICA

DISTRIBUZIONE

uniforme

QUANTIZZAZIONE: DIMOSTRAZIONE INFORMALE

,....2,12

2 n

n

LLn

Quantizzazione dell’energia

Onde stazionarie all’interno della scatola.Il segmento di lunghezza L deve contenere un numero intero n di mezze lunghezze d’onda solo certi valori di sono accettabili

λ = h/mv relazione di de Broglie solo certi valori della velocità sono accettabili

,....2,1842

1v

2

12

22

22

222 n

mL

nh

Lm

nhmmTE

sono accettabili solo certi valori dell’energia cinetica, cioè dell’energia totale

MECCANICA QUANTISTICA

Lm

hn

m

h

2v

n: numero quantico

0=(x)ψ =(x)ψ IIII

Regione I Regione II Regione IIIV = V = 0 V =

0 L x

La particella non può esistere al di fuori della buca

PI(x) = 0 = ΨI(x) ΨI*(x)

PIII(x) = 0 = ΨIII(x) ΨIII*(x)

QUANTIZZAZIONE: DIMOSTRAZIONE FORMALE

E

dx

d

m

2

22

2

kxBkxAx cossin)(

La funzione d’onda deve essere continua (Born)

Condizioni al contorno ψ(0) = 0 ψ(L) = 0

0cos0sin)0( BA

0 1

B = 0

0sin)( kLAL

Nella regione II

222

2 2kE

m

dx

d

0sin)( kLAL

A = 0 e k = 0 sono entrambe inaccettabili perché allora per qualsiasi x ψ(x) = 0 e quindi P(x) = 0: la particella non esisterebbe.

L

nknkL

n = 1, 2, 3, …Numero quantico

xL

nAx

sin)(

xL

nAx

sin)(

xL

nEA

dx

xLn

Ad

m

sinsin

2 2

22

xL

nEAx

L

n

L

nA

m

sinsin

2

22

2

2222

82 mL

nh

L

n

mE

n = 1, 2, …solo certe funzioni sono ammesse

xL

nAx

sin)(

L L

AUTOFUNZIONI

Al crescere di n diminuisce λ, aumenta la curvatura e quindi l’Energia cinetica, cioè l’Energia totale.

ikxikx eeNkxAx sin)(

Ψ non è autofunzione del momento lineare

0)(sinsin2

0

dxkx

dx

dikxp

AUTOVALORI

xL

n

L

mL

hnE

n

n

sin2

8 2

22

n = 1, 2, 3, …

ENERGIE PERMESSECLASSICAMENTE

Solo certe energie sono permesse: l’energia è quantizzata e caratterizzata dal numero quantico n

I livelli sono progressivamente più separati.

2

22

8mL

hnEn

2

2

2

22

2

22

1 8

12

88

1

mL

hn

mL

hn

mL

hnEEE nn

n ≠ 0 l’energia più bassa possibile NON è zero: energia di punto zero.

2

2

1 8mL

hE

Δx ~ L Δpx non può essere 0E cinetica non può essere 0.

Ψ è 0 al di fuori della buca, entrando nella buca deve incurvarsi per diventare diversa da 0, altrimenti sarebbe 0 in tutto lo spazio e la particella non esisterebbe.

E cinetica non può essere 0.

n=3

n=2

n=1

Tanto più grande è la massa m del sistema, tanto più classico è il sistema.

Tanto più grande è il sistema (L), tanto più vicini sono i livelli e tanto più classico è il sistema

AUTOFUNZIONI

NODO

Funzione simmetrica rispetto al centro della scatolaFunzione antisimmetrica rispetto al centro della scatola

AUTOFUNZIONI

(n-1) nodi

DISTRIBUZIONE

non uniforme

ORTOGONALITA’

Funzioni d’onda che corrispondono ad energie differenti sono ortogonali

PRINCIPIO DI CORRISPONDENZA

Andamento di |Ψ|2 al crescere di n

Per n piccolo forte differenza tra la distribuzione classica e quantistica

Distribuzione quanto-meccanica

Distribuzione classica

Principio di corrispondenza: per n grande i risultati quantistici corrispondono alle predizioni classiche

numero C λmax (nm) sperimentale

etilene 2 162.5butadiene 4 210esatriene 6 247ottatetraene 8 286vitamina A 10 306β-carotene 22 497

Buca di potenziale e sistemi coniugati

β-carotene

A causa della sua semplicità matematica, il modello della particella nella scatola è usato per trovare soluzioni approssimate per sistemi più complessi in cui una particella è intrappolata in una regione molto piccola di basso potenziale tra due barriere di potenziale elevato

28

)(12

221

22 NnmL

hnnE

L (nm) Teoria Esperimentocianina 0.556 328 nm 523 nm pinacianolo 0.834 453 nm 605 nm dicarbocianina 1.112 580 nm 706 nm

Buca di potenziale e sistemi coniugati

2

2

222

8

21

2

Lc

hhE

mL

hNN

E

NanoparticelleNanoparticelle

Riducendo le dimensioni delle particelle i livelli si separano progressivamente e si ha quindi uno spostamento nell’emissione verso lunghezze d’onda più corte.

Fluorescenza a differenti lunghezze d’onda irradiando con la stessa sorgente UV

Particelle di CdSe a) assorbimento in luce visibileb) emissione dopo irraggiamento con UV