Elementi di Informatica e Applicazioni Numeriche T...

Elementi di Informatica eElementi di Informatica eApplicazioni Numeriche TApplicazioni Numeriche T

Sistemi non Lineari(Approfondimento)

Sistemi non Lineari (Approfondimento)Sistemi non Lineari (Approfondimento)

Consideriamo il sistema non lineare:

2 =x2 ey

x + y + = 012

13 z2

z = sin(πx) + cos(πy)Come possiamo risolverlo?



2 =x2 ey

x + y + = 012

13 z2

z = sin(πx) + cos(πy)■ Prima portiamo tutte le equazioni nella forma (x, y, z) = 0fi

(x, y, z)f1

(x, y, z)f2(x, y, z)f3

= 2 − = 0x2 ey

= x + y + = 012

13 z2

= z − sin(πx) − cos(πy) = 0



2 =x2 ey

x + y + = 012

13 z2

z = sin(πx) + cos(πy)■ Poi vediamo il sistema come una equazione vettoriale:

F((x, y, z)) = = (0, 0, 0)⎛

⎝⎜⎜

(x, y, z)f1(x, y, z)f2(x, y, z)f3

⎞

⎠⎟⎟

■ E la risolviamo con il metodo di Newton!


Una possibile soluzione (disponibile sul sito del corso)

clear all

function y = f(x) y(1) = 2.*x(1).^2 - e.^x(2); y(2) = 1./2 .* x(1) + 1./3 .* x(2) + x(3).^2; y(3) = sin(pi .* x(1)) + cos(pi .* x(2)) - x(3);end

x0 = [0, 0, 0][sol, fval, status] = fsolve(@f, x0)

■ Per dettagli si veda la registrazione della lezione

Attenzione alla convergenza!Attenzione alla convergenza!

Consideriamo una leggera variziona del sistema:

2 =x2 ey

x + y + z = 0 era: 12

13 z2

z = sin(πx) + cos(πy)■ Con la variazione indicata, il sistema è impossibile

In questo caso il metodo di Newton non converge

■ In senso stretto, non si annulla mai...■ ...Però le implementazioni al PC usano delle tolleranze

f ( )x(k)

Attenzione alla convergenza!Attenzione alla convergenza!

Per via delle tolleranze, possono succedere due cose:

■ I valori di e sono vicini, anche se ■ I valori di e sono vicini, anche se

x(k+1) x(k) f ( ) ≠ 0x(k+1)

f ( )x(k+1) f ( )x(k) f ( ) ≠ 0x(k+1)

In entrambi i casi la funzione fsolve di Octave termina:

■ Il valore del parametro di uscita INFO è rispettivamente 2 o 3■ Ma il problema non è risolto, infatti FVAL non è nullo

Come gestire il problema?

■ Controllate sempre il valore di FVAL!■ Se non è sufficientemente piccolo, non fidatevi del risultato


Minimini Quadratie Leggi di Potenze

Determinazione del Tipo di un FluidoDeterminazione del Tipo di un Fluido

In fluidodinamica si può distinguere la classe di un fluido

La distinzione viene fatta in base alla relazione tra:

■ La velocità di deformazione ■ E lo sforzo tangenziale

γτ

In particolare, consideriamo tre casi:

■ Fluido Newtoniano: relazione lineare ■ Fluido di Bingham: relazione affine ■ Fluido pseudoplastico: legge di potenze:

τ = αγτ = α + βγ

τ = αγβ


Su un piano cartesiano, i tre tipi di fluido si presentano così:


La determinazione viene effettuata in modo empirico:

■ Si effettua una serie di misurazioni di ■ Quindi si fa una ipotesi sul tipo di fluido e si stimano i parametri

τ, γ

In pratica, possiamo utilizzare il metodo dei minimi quadrati!

■ Possiamo eseguire il metodo per ognuno dei tre casi:

(a) τ = αγ (b) τ = α + βγ (c) τ = αγβ

■ Scegliamo il caso che minimizza la somma dei quadrati dei residui:

e = ( − ( )∑i=1

nτi fα,β γi )2

Un Esempio PraticoUn Esempio Pratico

Siano date le misurazioni di della figura seguente:τ, γ


Si determini il tipo di fluido ed i parametri della relazione tra e τ γ


Partiamo dal caso più semplice, ossia il fluido di Bingham

( ) = α + βfα,β γ γ

■ Ci basta fare una interpolazione con un polinomio di grado 1!

x = % misurazioni di gammay = % misurazioni di tau

% Minimi quadratip1 = polyfit(x, y, 1) % p1 = [1.07631, 0.82395]

% Funzione approssimantef1 = @(x) (polyval(p1, x))


Vediamo su un grafico la qualità dell'approssimazione:


In termini numerici, guardiamo alla somma dei quadrati dei residui:

e = ( − ( )∑i=1

nτi fα,β γi )2

In Octave:

E1 = sum((y - f1(x)).^2)

■ Il risultato in questo caso è ■ Una soluzione completa è disponibile sul sito del corso■ Per dettagli si veda la registrazione della lezione

1.2065


Proviamo ipotizzare che il fluido sia Newtoniano, quindi:

( ) = αfα,β γ γ

■ Non possiamo usare polyfit: non garantirebbe di avere β = 0Però possiamo eseguire il metodo risolvendo un sistema lineare!

■ Dalla teoria classica abbiamo che i parametri sono dati da:β

β = ( Φ) yΦT ΦT

■ Dove la funzione approssimante è nella forma:

(x) = (x) + (x) + …fβ β1g1 β2g2


Nel nostro caso, la funzione approssimante ha un solo componente:

(x) ↔g1 γ

■ Ed abbiamo un solo parametro, i.e. il coefficiente α

Quindi la matrice sara fatta come segue:Φ

Φ = =⎛

⎝⎜⎜⎜

( )g1 x1( )g2 x2

⋮

⎞

⎠⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

γ1γ2

⋮

⎞

⎠⎟⎟⎟

■ è semplicemente il vettore delle nostre misurazioni !Φ γ


In Octave, assumendo di avere un fluido Newtoniano, otteniamo:

x = % colonna con le misurazioni di gammay = % colonna con la misurazioni di tau

Phi = xp2 = Phi \ y % p = alpha = 1.6901

f2 = @(x) (p2 .* x) % Funzione approssimante

E2 = sum((y - f2(x)).^2)

■ E2 vale ■ Molto peggio di prima: il fluido decisamente non è Newtoniano

15.990


Rimane da considerare solo il caso del fluido pseudoplastico, con:

( ) = αfα,β γ γβ

Di nuovo non possiamo usare polyfit, ma per una ragione diversa:

■ Il problema è che la funzione è non lineare in ...■ ...Ma noi abbiamo visto solo il metodo lineare dei minimi quadrati!

β

Il metodo non si applica se dipende non linearmente dai parametrif

In realtà, c'è una soluzione semplice: possiamo "barare" ;-)

■ Possiamo cambiare la scala dei dati...■ ...in modo che la funzione diventi lineare!


Guardiamo cosa succede considerando anziché :log( )fα,β fα,β

log ( ) = log (α ) = log α + β log xfα,β γ γβ

In altre parole:

■ Il logaritmo di ...■ ...dipende linearmente dal logaritmo di

( )fα,β γx

Quindi, utilizzare il metodo dei minimi quadrati, trasformiamo i dati:

⟶ logτi τi⟶ logγi γi


Questi sono i dati trasformati su un grafico cartesiano:


Sembra proprio una retta => è probabile che il fluido si pseudoplastico


A questo punto possiamo approssimare i dati trasformati:

x = % misurazioni di gammay = % misurazioni di tau

xl = log(x) % trasformo gammayl = log(y) % trasformo tau

p3 = polyfit(xl, yl) % risultato: [0.49591, 0.68855]

Poiché abbiamo , allora:log ( ) = log α + β log xfα,β γ

■ p3(1) contiene ■ p3(2) contiene

βlog α


A questo punto possiamo applicare ai parametri alla forma iniziale:

( ) = αfα,β γ xβ

In Octave, abbiamo:

% p3(1) = alpha = 0.49591% p3(2) = log(beta) = 0.68855% Quindi la funzione approssimante è:f3 = @(x) (e.^p3(2) .* x.^p3(1) )

E3 = sum((y - f3(x)).^2)

■ Il valore di E3 è , il migliore finora■ Il fluido è pseudoplastico con

0.58175α ≃ 0.49591, β ≃ e0.68855


Vediamo la qualità dell'approssimazione su un grafico:


Lookup di FunzioniDefinite per Punti

Determinare lo Stato ad un Tempo DatoDeterminare lo Stato ad un Tempo Dato

Consideriamo il nostro esempio delle BMW

Lo stato è descritto da e si evolve secondo l'EDO:(x, v)

= (F − ρ A)v 1m

12 v2CD

Dove abbiamo che:

■ , ■ (densità dell'aria)■ (superficie esposta)■ (resistenza aerodinamica)

F = 1000 N m = 161 Kgρ ≃ 1.25 Kg/m3

A = 1.2 m2

= 0.26CD

Domanda: quanto vale la velocità dopo secondi?40


Il modo più semplice per rispondere è risolvere l'EDO fino a :t = 40function dx = f(x, t) ... % Definizione delle variabili % x(1) = posizione, x(2) = velocità dx(1) = x(2); dx(2) = 1./m .* (F - 0.5.*rho.* x(2).^2.*C_D.*A);endt = linspace(0, 40);x0 = [0, 0];sol = lsode(@f, x0, t)v = sol(:, 2)v40 = v(end) % Il risultato!

■ Alla fine il risultato è l'ultimo elemento nel vettore v


Proviamo a complicare la cosa:

■ Determiniamo la velocità dopo 40 secondi...■ ...E la strada percorsa dopo 20 secondi

Soluzione banale:

■ Risolvere la EDO fino a per ottenere la velocità■ Risolvere la EDO (di nuovo) fino a per ottenere la strada

t = 40t = 20

Così facendo però ripetiamo i conti due volte

Vediamo un metodo alternativo


La soluzione della EDO è un vettore di valutazioni della funzione :v(t)


Se ci interessa il valore di per un che è stato valutato:v( )t0 t0

■ Ci basta recuperare l'indice i0 di nel vettore t...■ Il risultato poi è dato da v(i0)

t0


Se ci interessa per un che è non stato valutato:v( )t0 t0

■ Cerchiamo un indice i per cui t(i) >= t0 && t(i+1) <= t0■ Oppure: t(i) <= t0 && t(i+1) >= t0 (se t non è un "tempo")



■ Poi per esempio otteniamo v(i)



■ Poi per esempio otteniamo v(i)■ Oppure possiamo usare usare una approssimazione lineare


In sintesi, dati due vettori v e t:

■ Troviamo un indice i tale che t "attraversa" t0■ Poi otteniamo il valore di v (eventualmente interpolando)


Equivale ad approssimare con una spezzata!y = f (x)

■ Punto sinistro = approssimazione a gradini


Equivale ad approssimare con una spezzata!y = f (x)

■ Punto sinistro = approssimazione a gradini■ Interpolazione lineare = approssimazione lineare a tratti


Il codice in Octave:

function xx = lookup_interp(t, x, t0) for ii = 1:length(t)-1 if (t(ii) <= t0 && t(ii+1) >= t0) || ... (t(ii+1) <= t0 && t(ii) >= t0) % Coefficiente angolare m = (x(ii+1)-x(ii)) ./ (t(ii+1)-t(ii)); % Interpolazione lineare xx = x(ii) + m .* (t0 - t(ii)); break end endend

Utilizzi dell l'Interpolazione con SpezzateUtilizzi dell l'Interpolazione con Spezzate

Quanto tempo di vuole per arrivare a ?100 Km/h■ Ho una condizione su (anziché su )■ Mi interessa il valore di (anziché di )

v tt v

lookup_interp(v, t, 27.78) % 100 Km/h = 27.78 m/s

Quanto vale la velocità dopo ?100 m

■ Ho una condizione su ■ Mi interessa il valore di

xv

lookup_interp(x, v, 100)

Interpolazione con Spezzate: Interpolazione con Spezzate: interp1

In alternativa, potete usare la funzione predefinita:

function Y1 = interp1(X, Y, XI)

...Che restituisce il valore interpolato di Y quando X vale XI

■ Di default, interp1 utilizza una interpolazione lineare■ Si può modificarne il comportamento (vedere help)

Attenzione: interp1 richiede che X sia ordinato

■ Se X rappresenta il tempo, allora l'ordinamento è naturale■ Se X rappresenta qualcos'altro (e.g. strada) allora non è detto

Buone notizie: la nostra lookup_interp non ha questo problema!

Un Altro EsempioUn Altro Esempio

Consideriamo ancora le nostre montagne russe:

■ Dove: ■ Domanda: quanto vale la velocità nel punto ?

a = 15 m, b = 20 ma

Un Altro EsempioUn Altro Esempio

Vediamo le parti importanti della soluzione in Octave:

function y = f(x, t) % x(1) = pos., x(2) = vel. (vars: da definire) fp = (2.*b)./a.^2 .* x(1) + - (2.*b)./a; y(1) = x(2) .* (1 ./ sqrt(1 + fp.^2)); y(2) = -g .* (fp ./ sqrt(1 + fp.^2));end

t = linspace(0, 4); % In 4 secondi oltrepasso "a"x0 = [0, 0];sol = lsode(@f, x0, t);v = sol(:, 2)VA = lookup_interp(x, v, a); % Risultato: 1.6633


EDO e Stato Stazionario

Determinazione dello Stato StazionarioDeterminazione dello Stato Stazionario

Torniamo all'esempio delle BMW

Lo stato è descritto da e si evolve secondo l'EDO:(x, v)

= (F − ρ A)v 1m

12 v2CD

Abbiamo sempre che:

■ , ■ (densità dell'aria)■ (superficie esposta)■ (resistenza aerodinamica)

F = 1000 N m = 161 Kgρ ≃ 1.25 Kg/m3

A = 1.2 m2

= 0.26CD

Nuova Domanda: quanto vale la velocità massima?


In questo caso la velocità massima è la velocità "a regime"


Lo stato stazionario di viene raggiunto quando v = 0v

■ Risolviamo quindi la EDO fino ad un tempo sufficientemente grande:

t = linspace(0, 60);sol = lsode(@f, [0, 0], t);v = sol(:, 2)

■ Recuperiamo i valori di = = (F − ρ A)v v 1m

12 v2CD

dv = 1./m .* (F - 0.5 .* rho .* v.^2 .* C_D .* A)

■ Infine recuperiamo il valore di quando v = 0v% Uso una tolleranza: a +vmax = lookup_interp(dv, v, 1e-5)

= 0v ∞

Un Metodo AlternativoUn Metodo Alternativo

Consideriamo la formula fondamentale del metodo di Eulero:

x(t + δ) = x(t) + δ (x, t)f ′

È la descrizione di un sistema dinamico tempo-discreto

■ Quidi possiamo cercare lo stato stazionario con IPF■ In pratica, si tratta di eseguire il metodo di Eulero...■ ...Finché e non sono sufficientemente vicinix(t + δ) x(t)Rispetto al metodo precedente:

■ Più efficiente: ci fermiamo allo stato stazionario!■ Meno accurato: lsode usa delle approssimazioni molto migliori


Potenzialità del Problemaai Valori Iniziali

Problema ai Valori Iniziali?Problema ai Valori Iniziali?

Consideriamo ancora l'esempio delle montagne russe:

Domanda: quanto deve valere nel punto perché in sia ?v 0 a 20 m/s

Problema ai Valori Iniziali?Problema ai Valori Iniziali?

Proviamo a modellare il problema:

= vx 11 + (xϕ′ )2‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

= −gv (x)ϕ′

1 + (xϕ′ )2‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾√■ Dove (x) = 2 x − 2ϕ′ b/a2

b/aSappiamo che, per un qualche tempo deve valere:ff

x( ) = atf v( ) = 20tfPossiamo risolverlo con i metodi visti finora?

Problema ai Valori Iniziali!Problema ai Valori Iniziali!

Provate a pensare dal metodo di Eulero:

■ Se potessimo eseguirlo "a ritroso", partendo da e ...■ ...Dovremmo poter determinare la velocità quando vale

x = a v = 20x 0

Intuitivamente:

■ Se potessimo "invertire" la direzione del tempo...■ ...Ci ritroveremmo con un nuovo problema ai valori iniziali

(τ) = ?x′

(τ) = ?v′

(0) = ax′ (0) = 20v′

Dobbiamo solo determinare le funzioni per il calcolo di (τ), (τ)x′ v′

Inversione Temporale di una EDOInversione Temporale di una EDO

Per come l'abbiamo definita, la nuova variabile corrisponde a:τ

τ = g(t) = − ttfQuindi, se ci riferiamo con a , possiamo ottenere:(τ)x′ x(g(τ))

(τ) = (g(t)) (t) = −f (x(g(t), g(t)) = −f ( , − t)x′ x g′ x′ tf■ Dove è la funzione che definiva f (x, t) (t)x

Quindi possiamo ottenere la nuova EDO con:

= −f ( , − t)x′ x′ tf■ Ossia negando la funzione originaria■ E sostituendo ogni occorrenza di in con

f (x, t)t f (x, t) − ttf


Nel nostro caso, il problema con il tempo invertito è dato da:

= −vx 11 + (xϕ′ )2‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

= +gv (x)ϕ′

1 + (xϕ′ )2‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾√x(0) = a, v(0) = 20

Per semplicità le variabili non sono state rinominate

■ Se la variabile fosse comparsa nella espressione di ...■ ...Avremmo dovuto sostituirla con

t ,x v− ttf

In questo caso, avremmo dovuto conoscere il valore di tf


Vediamo la soluzione (disegnata con plotyy, se vi interessa)


Per ottenere il valore di velocità richiesto:

xf = [a, 20]; % Condizioni al contornotau = linspace(0, 4); % Tempo invertitosol = lsode(@f, xf, tau);

% Ottengo i due vettori che compongono la soluzionex = sol(:, 1);v = sol(:, 2);

v0 = lookup_interp(x, v, 0) % velocità per x = 0

■ Il risultato è ■ Il codice è disponibile sul sito del corso■ Per dettagli si veda la registrazione della funzione

2.7558 m/s

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