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La sezione aurea nelle sue mol-teplici applicazioni

Nella geometria piana il rapporto aureo trova molteplici applicazioni.Se prendiamo un segmento AB = 1, la sua parte aurea AD vale circa 0,618 (Fi-gura 1).

Figura 1

Si può costruire un rettangolo aureo in cui il rapporto tra la base e l’altezza è Φ = 1.618….Se ad un rettangolo aureo togliamo un quadrato, la parte restante è ancora un rettangolo aureo. Ripetendo tale operazione in successione è possibile ricavare una sorta di spirale aurea (Figura 2).

Figura 2

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Il triangolo aureo è un triangolo isoscele che ha per base il lato del pentagono regolare ed i lati uguali alle diagonali congiungenti il lato al vertice opposto (Figura 3).

Figura 3

I triangoli adiacenti sono chiamati gnomoni aurei.Considerando che l’angolo interno del pentagono vale 108° e gli angoli alla base degli gnomoni aurei valgono 36°, gli angoli alla base del triangolo aureo misurano 72°. Gli angoli interni del triangolo aureo, quindi, hanno ampiezza: 36°, 72°, 72°.Ne consegue che un pentagono può essere suddiviso in 5 triangoli aurei.Nel decagono regolare il rapporto tra il lato ed il suo apotema è aureo (Figura 4).

Figura 4

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Se passiamo alla geometria solida, considerando in particolare i so-lidi Platonici, ritroveremo il rapporto aureo anche nel dodecaedro e icosaedro.

Nei secoli l’uomo è stato affascinato dalle proprietà geometriche e matematiche della sezione aurea a tal punto da porre in relazione l’ideale di bellezza di un’opera d’arte con l’armonia visiva da essa generata.Nell’Architettura, nella Scultura e nella Pittura si possono elencare numerose opere d’arte riconducibili alle proporzioni della sezione aurea del segmento o del rettangolo.

Il rapporto aureo è indicato con la lettera greca Φ, iniziale del nome dello scultore greco Fidia ed il suo valore è circa 1,618.

Se si sovrappone la costruzione del rettangolo aureo alla facciata del Partenone si deduce che altezza e larghezza corrispondono a queste proporzioni ed il timpano misura un angolo di 144°, che cor-risponde alla misura degli angoli interni del decagono regolare, in cui è aureo il rapporto tra il lato ed il raggio della circonferenza circoscritta.

Gli schemi della facciata e della pianta del Partendone evidenzia-no il proporzionamento basato sul quadrato, sui rettangoli dinamici con lato 2 e 5 . Il rettangolo dinamico è caratterizzato da un valore irrazionale o decimale illimitato del rapporto tra i due lati, ad esempio 2 e 5 ecc.

Anche il rettangolo aureo è un rettangolo dinamico, perché il rapporto tra i lati è uguale a 1,6180339… numero irrazionale (Figura 5).

Nell’architettura del Rinascimento gli Architetti che applicarono il rapporto aureo furono Donato Bramante e Leon Battista Alberti.

Figura 5

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Nell’Architettura moderna ricordiamo Le Corbusier che lo uti-lizzò nella progettazione della Città di Chandigarh e dell’Unità di Abitazione di Marsiglia, perfezionando il modulor, principio di proporzionamento basato sulle misure ideali del corpo uma-no (Figura 6).

Nella Pittura l’applicazione della sezione aurea può essere attri-buita alla necessità di proporzionare le dimensioni del supporto, alla ricerca dell’armonia delle forme o alla volontà di creare la composizione con punti di convergenza significativi.

L’ applicazione della sezione aurea ha affascinato lo stesso Le-onardo Da Vinci nell’opera La vergine delle rocce (Figura 7).

L’opera è composta su una superficie rettangolare con orienta-mento verticale in cui si sovrappongono più figure geometriche: un rettangolo, un quadrato e una semicirconferenza. La testa della Madonna coincide con il vertice del triangolo isoscele, che è sull’asse verticale che divide a metà la semicirconferenza superiore; all’interno del quadrato le figure dei bimbi creano linee oblique, parallele alle diagonali del quadrato.

Figura 6Il modulor.

Figura 7La vergine delle rocce.

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Per fare un esempio di applicazione in epoca recente possiamo citare l’opera La parata del circo del 1888 di G. Seurat (Figura 8) in cui si può notare che la dia-gonale che va da sinistra in alto a destra in basso interseca il lato del quadrato a livello della balconata. Si possono notare altri triangoli aurei in prossimità della figura centrale.

Nella successione di Fibonacci ottenuta prendendo 0 e 1 come primi numeri e determinando i successivi dalla somma dei due precedenti:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34……..

il valore di Φ con approssimazione sempre maggiore è ottenuto dividendo un numero della successione per il precedente:

8 / 5 = 1,6 13 / 8 = 1,625 21 / 13 = 1,6153 34 / 21 = 1,619…

Questi rapporti sono riscontrabili nelle composizioni musicali quali canti grego-riani, opere di Beethoven, di Debussy ma anche nella musica rock (in particola-re la cosiddetta musica progressiva). La successione individuata da Fibonacci, infatti, può essere rapportata a qualsiasi unità di misura concernente la musica: numero di note, numero di battute e durata temporale.

Figura 8La parata del circo.