Capitolo 5

Applicazioni della teoria dellelinee di trasmissione

5.1 Analogia onda piana/linea di trasmissione

Cosi come mostrato nel primo capitolo, landamento della tensione e dellacorrente lungo una linea di trasmissione e descritto dal sistema di equazionidifferenziali

2

z2V (z, ) + k2 V (z, ) = 0 , (5.1)

2

z2I(z, ) + k2 I(z, ) = 0 , (5.2)

dove k = LeqCeq, la cui soluzione generale risulta

V (z) = V+ exp(jkz) + V exp(jkz) , (5.3)

I(z) =V+Z0

exp(jkz) VZ0

exp(jkz) , (5.4)

con Z0 =Leq/Ceq. Si consideri ora unonda piana che si propaga, paral-

lelamente allasse z con campo elettrico polarizzato linearmente lungo lassex, cioe ~E = Exx, in un mezzo lineare, omogeneo ed isotropo, caratterizzatoda una permittivita ed una permeabilita . Per tale onda il sistema diequazioni differenziali che ne regolano la propagazione risulta:

2

z2Ex(z, ) + k2Ex(z, ) = 0 , (5.5)

2

z2Hy(z, ) + k2Hy(z, ) = 0 , (5.6)

99

100CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

dove k = . Soluzione generale di tale sistema risulta essere

Ex(z) = E+ exp(jkz) + E exp(jkz) , (5.7)

Hy(z) =E+

exp(jkz) E

exp(jkz) , (5.8)

dove =/ e E+ indica, per avere accordo con il sistema di riferi-

mento convenzionalmente assunto per una linea di trasmissione, lampiezzadellonda progressiva supposta propagarsi nel verso delle z negative.

Confrontando le soluzioni (5.7)(5.8) con le (5.3)(5.4) e subito evidenteche operando le sostituzioni

Ex V , Hy I , Leq , Ceq , (5.9)

e possibile studiare in modo equivalente il problema della propagazione diunonda piana in un mezzo indefinito utilizzando la teoria delle linee ditrasmissione.

5.2 Analogia onda piana/linea di trasmissione: inci-denza ortogonale

Si consideri ora il caso in cui unonda piana, con campo elettrico polarizzatolinearmente lungo x ed ampiezza E+, incida ortogonalmente sul semispazioz < 0 (mezzo 2) avente caratteristiche elettriche e magnetiche diverse daquello di provenienza dellonda (mezzo 1). In entrambi i semispazi e pos-sibile descrivere la propagazione dellonda tramite lanalogia delle linee ditrasmissione precedentemente introdotta. In z = 0 e poi necessario imporrela continuita delle componenti tangenziali dei campi, cioe

Ex1(z)|z=0 = Ex2(z)|z=0 , (5.10)Hy1(z)|z=0 = Hy2(z)|z=0 , (5.11)

che si traduce nel richiedere

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.12)I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 . (5.13)

Cio equivale a connettere in z = 0 le due linee che rappresentano la propa-gazione dellonda piana in ciascun semispazio (Fig. 5.1).

Nel caso in cui il mezzo 2 su cui incide londa piana sia costituito da unconduttore elettrico perfetto la condizione al contorno n ~E1(z)

z=0

= 0 si

5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE 101

zz

mezzo 1 mezzo 2

Figura 5.1: Equivalenza onda piana/linea di trasmissione.

traduce nellimporre V1(z)|z=0 = 0; cio equivale a considerare la presenza diun corto circuito in corrispondenza del piano conduttore elettrico. Analoga-mente, nel caso in cui il mezzo 2 sia costituito da un conduttore magneticoperfetto la condizione al contorno n ~H1(z)

z=0

= 0 si traduce nellimporre

I1(z)|z=0 = 0 e quindi considerare un circuito aperto in corrispondenza delpiano magnetico.

Esercizio 5.1 Unonda piana monocromatica avente frequenza f = 2 GHze ampiezza E+ = 1V/m, proveniente dallo spazio vuoto, incide ortogonal-mente su una lastra dielettrica (r = 4) di spessore d = 1.875mm che ricopreun piano perfettamente conduttore (Fig. 5.2). Si determini il modulo delladensita di corrente sostenuta dal campo sul conduttore.

Si consideri un sistema di coordinate cartesiano, avente origine sul pianoconduttore, il cui asse z risulta ortogonale ad esso e rivolto nella direzio-ne di provenienza dellonda. Lesercizio richiede di valutare il modulo delladensita di corrente elettrica superficiale ~Js che scorre sul conduttore; tut-tavia in corrispondenza dellinterfaccia lastra dielettrica/conduttore (z = 0)dovranno essere verificate le condizioni

n ~Ez=0

= 0 ,

n ~Hz=0

= ~Js ,

per cui sara sufficiente valutare il campo magnetico tangenziale al pianoconduttore elettrico perfetto a cui la corrente e direttamente legata.

Per la geometria del problema il campo elettrico e magnetico risultanosempre appartenenti ad un piano parallelo alla superficie di separazione tra

102CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

z

p.e.c.

d

E+

Figura 5.2: Onda piana incidente su una lastra dielettrica (r = 4) di spessored = 1.875mm che ricopre un piano perfettamente conduttore.

i due mezzi ( ~E = Ett, ~H = Htt z, t z = 0) per cui, operando lanalogia

Et V , k = k =

CeqLeq ,

Ht I , =

Z =

LeqCeq

,

e possibile studiare equivalentemente il circuito mostrato in Fig. 5.3. Eevidente che lampiezza del campo magnetico tangente al conduttore, e quindianche quella della densita di corrente superficiale, coincidono con lampiezzadella corrente che scorre sul corto circuito. In particolare per una linea incorto circuito e possibile scrivere I(z) = Iu cos(kz) per cui

I(d) = Iu cos(1d) Iu =I(d)

cos(1d),

dove nel tratto AABB

k = 1 =2fc

r ' 83.78 .

Sara quindi nostro obiettivo valutare la corrente I(d) in funzione dellam-piezza dellonda incidente V0+ E+. A tal fine e conveniente valutarelimpedenza che la linea chiusa in corto circuito presenta in corrispondenzadellinterfaccia vuoto/lastra dielettrica (sez. AA),

ZAA = j1 tan(1d) = j02

tan(1d) = j0.0790 ,

5.2. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA ORTOGONALE 103

zd

A

A'

B

B'

V+0

Iu

z'

Figura 5.3: Circuito equivalente per la configurazione di Fig. 5.2

e considerare un nuovo sitema di riferimento z parallelo al precedente eavente origine in corrispondenza di tale interfaccia. In tali ipotesi:

I(d) = I (z)|z=0 =V0+0

exp(jk0z) [1 (z)]z=0

=V0+0

[1 (0)] ,

dove

(0) =ZAA 0ZAA + 0

= exp(j2.99) .

Quindi

|Iu| =|I(d)||cos(1d)|

=|V0+|

0 |cos(1d)||1 (0)| = 5.31 103 A ,

da cui

|Js| = 5.31mA/m .

Esercizio 5.2 Con riferimento alla configurazione dellesercizio precedentesi diano indicazioni sullo spessore e sulle caratteristiche elettriche e magne-tiche del materiale con cui deve essere costruita la lastra che ricopre il pianoperfettamente conduttore al fine di non avere onda riflessa nello spazio vuoto.

104CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

E conveniente operare lanalogia onda piana/linea di trasmissione gia intro-dotta nellesercizio precedente.

Si puo subito notare che non e possibile dissipare potenza sul caricoessendo questo costituito da un corto circuito. Per dissipare quindi la po-tenza associata allonda incidente sara necessario supporre che la lastra siacostituita da un materiale con perdite caratterizzato da una permeabilita = 1 j2 ed una permittivita = 1 j2 complesse. A causa del-la presenza delle perdite anche la costante di propagazione risultera com-plessa k = j ed il modulo del coefficiente di riflessione, allontanan-dosi dal corto circuito, diminuira esponenzialmente secondo lespressione|(z)| = exp(2z). Per annullare leffetto dellonda riflessa dal piano con-duttore sara quindi sufficiente dimensionare lo spessore d della lastra in modoche il coefficiente di riflessione allinterfaccia lastra/vuoto risulti cosi piccoloche la potenza associata allonda riflessa sia inferiore, o al piu confrontabile,con quella dovuta al rumore.

Anche se le perdite introdotte permettono di mascherare la riflessioneintrodotta dal piano conduttore, si avra sempre una riflessione allinterfaccialastra/vuoto dovuta alla discontinuita nellimpedenza caratteristica dei duemezzi. Per ovviare sara necessario scegliere il materiale con cui realizzarela lastra in modo che questa presenti una impedenza caratteristica 1 paria quella del vuoto, cioe 1 = 0 = 120. Poiche tale impedenza risultapuramente reale sara necessario verificare la condizione di Heaviside

2/1 = 2/1 ,

da cui

1 =11 + 2221 + 22

= 120 .

Agendo opportunamente sulla permittivita e la permeabilita della lastra equindi possibile rimuovere anche leffetto di discontinuita materiale allinter-faccia lastra/vuoto.

5.3 Analogia onda piana/linea di trasmissione: inci-denza obliqua

Si consideri il problema di unonda piana, proveniente da un semispazio ca-ratterizzato da una costante di propagazione k1 ed una impedenza caratteri-stica 1 (mezzo 1), incidente su un semispazio con costante di propagazionek2 ed impedenza caratteristica 2 (mezzo 2). Indicando con z la normale al

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 105

y

z

k1^

k'1^

k2^

k'2^

E_(1)

E_(1)

E_(2)

E_(2)

1

2

Figura 5.4: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:polarizzazione perpendicolare (caso TEz).

piano di separazione tra i due mezzi e con k1 la direzione di propagazionedellonda piana incidente e possibile individuare un piano di incidenza dinormale x = z k1. Per una qualsiasi polarizzazione dellonda piana e sem-pre possibile rappresentare il campo elettromagnetico associato come sommadel campo di due onde piane, una avente campo elettrico perpendicolare alpiano di incidenza (polarizzazione perpendicolare), laltra caratterizzata daun campo elettrico parallelo a tale piano (polarizzazione parallela). Londapolarizzata perpendicolarmente ha il campo elettrico sempre ortogonale al-la normale z per cui e anche denominata onda trasversa elettrica rispettoallasse z (caso TEz). Londa polarizzata parallelamente e invece caratte-rizzata da un campo magnetico ortogonale alla normale z per cui e anchedenominata onda trasversa magnetica rispetto allasse z (caso TMz).

5.3.1 Polarizzazione perpendicolare (caso TEz)

Si consideri unonda piana incidente con campo elettrico diretto parallela-mente allasse x e direzione di propagazione

k1 = sin 1y cos 1z , (5.14)

dove 1 e langolo che tale direzione forma con la normale z (Fig. 5.4). In

106CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

tali ipotesi il campo associato allonda risultera

~Ei = E(1)+ x exp(jk1k1 r) = E(1)+ x exp(jky1y) exp(jkz1z) , (5.15)

~H i =11k1 ~Ei =

E(1)+

1

(cos 1y + sin 1z

)exp(jky1y) exp(jkz1z) ,

(5.16)

con

ky1 = k1 sin 1 , kz1 = k1 cos 1 . (5.17)

La discontinuita piana tra i due mezzi in z = 0 origina unonda piana riflessaavente direzione di propagazione

k1 = sin 1y + cos 1z , (5.18)

e campo elettromagnetico

~Er = E(1) x exp(jk1k1 r) = E(1) x exp(jky1y) exp(jkz1z) , (5.19)

~Hr =11k1 ~Er =

E(1)

1

( cos 1y + sin 1z

)exp(jky1y) exp(jkz1z) .

(5.20)

Quindi nel semispazio superiore (mezzo 1) il campo totale, somma dellondaincidente e di quella riflessa, risulta:

Ex1(y, z) = + exp(jky1y)[E

(1)+ exp(jkz1z) + E

(1) exp(jkz1z)

], (5.21)

Hy1(y, z) = exp(jky1y)

[E

(1)+

cos 11

exp(jkz1z) E(1)cos 11

exp(jkz1z)],

(5.22)

Hz1(y, z) = sin 11

Ex1(y, z) . (5.23)

Nel semispazio inferiore (mezzo 2) e invece presente unonda diretta ed unariflessa la cui direzione di propagazione risulta rispettivamente

k2 = sin 2y cos 2z , (5.24)k2 = sin 2y + cos 2z . (5.25)

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 107

Analogamente al semispazio superiore, le componenti del campo totale nelsemispazio inferiore (mezzo 2) risultano:

Ex2(y, z) = + exp(jky2y)[E

(2)+ exp(jkz2z) + E

(2) exp(jkz2z)

], (5.26)

Hy2(y, z) = exp(jky2y)

[E

(2)+

cos 22

exp(jkz2z) E(2)cos 22

exp(jkz2z)],

(5.27)

Hz2(y, z) = sin 22

Ex2(y, z) , (5.28)

dove ky2 = k2 sin 2 e kz2 = k2 cos 2. Allinterfaccia (z = 0) tra i duesemispazi i campi soddisfano le condizioni di continuita delle componentitangenziali

Ex1(y, z)|z=0 = Ex2(y, z)|z=0 , x, y , (5.29)Hy1(y, z)|z=0 = Hy2(y, z)|z=0 , x, y . (5.30)

Perche cio si verifichi per ogni valore della coordinata y dovra essere sod-disfatta la condizione

ky1 = ky2 = ky , (5.31)

ovvero la legge di Snell

k1 sin 1 = k2 sin 2 . (5.32)

Inserendo la relazione (5.31) nelle (5.29), (5.30) e facile verificare che inz = 0 dovranno essere equivalentemente soddisfatte le relazioni

E(1)+ + E

(1) = E

(2)+ + E

(2) , (5.33)

E(1)+

cos 11 E(1)

cos 11

= E(2)+cos 22 E(2)

cos 22

. (5.34)

Si considerino adesso due linee di trasmissione caratterizzate rispettivamentedai parametri:

Linea 1 Linea 2kz1 = k1 cos 1 kz2 = k2 cos 2

Z1 = 1/ cos 1 = 1/kz1 Z2 = 2/ cos 2 = 2/kz2V

(1)+ E

(1)+ V

(2)+ E

(2)+

V(1) E

(1) V

(2) E

(2)

108CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

E immediato verificare che la tensione e la corrente su tali linee rappresen-tano, a meno del fattore exp(jkyny), le componenti del campo totale nelgenerico nesimo semispazio:

Exn(y, z) = exp(jkyny)Vn(z) , (5.35)Hyn(y, z) = exp(jkyny) In(z) , (5.36)

Hzn(y, z) = exp(jkyny)sin nn

Vn(z) , (5.37)

dove

Vn(z) =[V

(n)+ exp(jkznz) + V

(n) exp(jkznz)

], (5.38)

In(z) =

[V

(n)+

Znexp(jkznz)

V(n)

Znexp(jkznz)

]. (5.39)

Inoltre, soddisfare le condizioni (5.33), (5.34) equivale a richiedere

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.40)I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 , (5.41)

e cioe a connettere le due linee in z = 0. Se ne deduce che al fine di risolvereil problema di onda piana si possono equivalentemente studiare le due lineedi trasmissione precedentemente definite poste in cascata.

Esercizio 5.3 Unonda piana proveniente dallo spazio vuoto, polarizzataperpendicolarmente ed avente ampiezza E+ = 1V/m, incide su un semi-spazio dielettrico caratterizzato da una costante dielettrica r = 4 formandoun angolo 1 = 30 rispetto alla normale allinterfaccia vuoto/dielettrico.Si determini lampiezza del campo elettrico nello spazio vuoto ad unaltezzah = 0/4 dallinterfaccia.

Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.5 in cui:

kz1 = k1 cos 1 , Z1 = 1/ cos 1 ,kz2 = k2 cos 2 , Z2 = 2/ cos 2

e V (1)+ = 1V E(1)+ . Poiche il mezzo dielettrico e supposto indefinito per

z , nella linea di impedenza Z2 non sara presente alcuna onda riflessae la linea di impedenza Z1 puo essere considerata chiusa su un carico diimpedenza Zu = Z2. Lampiezza dellonda riflessa nella linea di impedenza

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 109

z 0

kz1

kz2

1Z

2Z

+V

(1)

h z h

z

0

y

z

k1^

E_(1)

k2^

E_(1)

E_(2)

Figura 5.5: Incidenza obliqua di una onda piana, polarizzata perpendico-larmente al piano di incidenza, su un semispazio dielettrico e suo circuitoequivalente.

Z1, ed equivalentemente lampiezza del campo elettrico riflesso nel semispaziovuoto, risulta

E(1) V

(1) = V

(1)+Z2 Z1Z2 + Z1

=

= V (1)+2/ cos 2 1/ cos 12/ cos 2 + 1/ cos 1

= V (1)+2 cos 1 1 cos 22 cos 1 + 1 cos 2

.

Facendo uso della legge di Snell, k1 sin 1 = k2 sin 2, e possibile esprimere ilcos 2 in funzione dellangolo 1 come:

cos 2 =

1 (sin 2)2 =

1

[k1k2

sin 1

]2,

da cui

kz2 = k2

1

[k1k2

sin 1

]2= k2

1 r1

r2(sin 1)2 ,

Z2 = 2/

1

[k1k2

sin 1

]2=

0/r2

1 r1r2

(sin 1)2.

110CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

Cio permette di scrivere lampiezza del campo elettrico riflesso nel semispaziosuperiore come

E(1) V

(1) = V

(1)+

cos 1r2 1

r1

1 r1

r2(sin 1)2

cos 1r2

+ 1r1

1 r1

r2(sin 1)2

=

= V (1)+cos 1

r2r1 (sin 1)2

cos 1 +

r2r1 (sin 1)2

,

da cui, inserendo i dati del problema, E(1) = E(1)+

1

51+

5= 0.382.

Lampiezza del campo elettrico nel semispazio di provenienza dellondapiana incidente ad unaltezza h = 0/4 dallinterfaccia risulta percio

|Ex1(y, z)||z=h =exp(jky1y) [E(1)+ exp(jkz1h) + E(1) exp(jkz1h)] =

=exp(j 20 cos 104

) 0.382 exp

(j 2

0cos 1

04

) = 0.67V/m .5.3.2 Polarizzazione parallela (caso TMz)

Si consideri ora unonda piana incidente su un semispazio materiale aventecampo magnetico diretto parallelamente allasse x e direzione di propagazione

k1 = sin 1y cos 1z , (5.42)

dove 1 e langolo che tale direzione forma con la normale z (Fig. 5.6).Dualmente al caso di polarizzazione perpendicolare il campo totale nel gene-rico nesimo semispazio risulta:

Hxn(y, z) = exp(jkyny)

[E

(n)+

nexp(jkznz)

E(n)

nexp(jkznz)

], (5.43)

Eyn(y, z) = exp(jkyny)

[E

(n)+ cos n exp(jkznz) + E

(n) cos n exp(jkznz)

],

(5.44)

Ezn(y, z) = n sin nHxn(y, z) (5.45)

dove

H(n)+ = E

(n)+ /n , H

(n) = E

(n) /n , (5.46)

kyn = kn sin n , kzn = kn cos n . (5.47)

5.3. ANALOGIA ONDA PIANA/LINEA DI TRASMISSIONE: INCIDENZA OBLIQUA 111

y

z

1 1k1^

k'1^

k2^

k'2^

2 2

H_(2)

1

2

H_(1) H_

(1)

H_(2)

E_(1)

E_(1)

Figura 5.6: Incidenza obliqua di una onda piana su un semispazio materiale:polarizzazione parallela (caso TMz).

Ponendo lequivalenza

V(n)

+ E(n)+ cos n , (5.48)

V(n) E

(n) cos n , (5.49)

kzn = kn cos n , (5.50)

Zn = n cos n =kznn

, (5.51)

le eqn. (5.43)(5.44) assumono la forma

Hxn(y, z) = exp(jkyny) In(z) , (5.52)Eyn(y, z) = exp(jkyny)Vn(z) , (5.53)Ezn(y, z) = exp(jkyny)n sin n In(z) , (5.54)

dove

Vn(z) =[V

(n)+ exp(jkznz) + V

(n) exp(jkznz)

], (5.55)

In(z) =

[V

(n)+

Znexp(jkznz)

V(n)

Znexp(jkznz)

]. (5.56)

Analogamente al caso di polarizzazione perpendicolare, imporre la continui-ta delle componenti tangenziali del campo allinterfaccia z = 0 tra i due

112CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

kz1 1Z

+V(1)

0

y

z

=

H_

E_

1

2

3

kz2 2Z

kz3 3Z

Figura 5.7: Onda piana incidente su uno strato dielettrico e suo circuitoequivalente.

semispazi

Ey1(y, z)|z=0 = Ey2(y, z)|z=0 , x, y , (5.57)Hx1(y, z)|z=0 = Hx2(y, z)|z=0 , x, y , (5.58)

equivale ad imporre

V1(z)|z=0 = V2(z)|z=0 , (5.59)I1(z)|z=0 = I2(z)|z=0 , (5.60)

e quindi a porre in cascata le due linee equivalenti.

Esercizio 5.4 Unonda piana proveniente dallo spazio vuoto avente pola-rizzazione parallela incide con un angolo 1 = 30 su uno strato dielettricodi spessore d caratterizzato da una costante dielettrica relativa r = 4. Sidetermini lo spessore d per cui non si ha onda riflessa nel semispazio di pro-venienza dellonda.

Si consideri la configurazione di linee equivalenti mostrata in Fig. 5.7 in cui,facendo uso della legge di Snell:

kz1 = kz3 = k0 cos 1 =20

cos(/6) ,

Z1 = Z3 = 0 cos 1 = 120 cos(/6) ,

5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA 113

kz2 = k2 cos 2 = k0r cos 2 =

20

r (sin 1)2 =

150

,

Z2 = 2 cos 2 =0r

r (sin 1)2 = 15

15 .

Per non avere onda riflessa nel semispazio di provenienza dellonda incidentesi dovra equivalentemente realizzare un trasformatore a mezzonda e quindiimporre d = z2/2 dove con z2 si e indicata la lunghezza donda nel trattodi linea di impedenza Z2. Essendo

z2 =2kz2

= 20

15=

2015,

lo spessore dello strato dielettrico risulta d = 0/

15 .

5.4 Il problema di N linee in cascata

Si vuole ora studiare il problema di N linee poste in cascata, o equivalen-temente N strati piani su cui incide unonda piana. A tal fine si prendain considerazione un generico tratto di linea di lunghezza `n caratterizzatoda una costante di propagazione kn ed una impedenza caratteristica Zn. Secon Vn+1, In+1 e Vn, In si indicano la tensione e la corrente rispettivamentealla sezione z = 0 e z = `n (Fig. 5.8), dalla teoria generale delle linee ditrasmissione e possibile scrivere:

Vn = Vn+ exp(jkn`n) + Vn exp(jkn`n) , (5.61)

In =Vn+Zn

exp(jkn`n)VnZn

exp(jkn`n), (5.62)

dove

Vn+ =12

(Vn+1 + In+1Zn) , (5.63)

Vn =12

(Vn+1 In+1Zn

). (5.64)

Sostituendo le eqn. (5.63)(5.64) nelle (5.61)(5.62), si ottiene:

Vn = Vn+1 cos(kn`n) + In+1 jZn sin(kn`n) , (5.65)

In = Vn+1j sin(kn`n)

Zn+ In+1 cos(kn`n) . (5.66)

114CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

0

z

Zn

Vn

In

Vn+1

In+1

n

jn

Figura 5.8: Generico tratto n della cascata di N linee.

Queste ultime relazioni possono essere convenientemente espresse in formamatriciale [

VnIn

]= T

n

[Vn+1In+1

], (5.67)

definendo la matrice di trasmissione

Tn

=[cos(kn`n) jZn sin(kn`n)j sin(kn`n)

Zncos(kn`n)

]. (5.68)

Tale forma risulta utile nel caso in cui si consideri la connessione di N trattidi linea aventi caratteristiche diverse. Infatti per ognuno di essi e possibile,dopo aver valutato la corrispondente matrice di trasmissione, scrivere unarelazione del tipo (5.67). Per i due generici tratti nesimo e n+1esimoadiacenti tra loro e possibile scrivere:

(tratto nesimo)[VnIn

]= T

n

[Vn+1In+1

], (5.69)

(tratto n+ 1esimo)[Vn+1In+1

]= T

n+1

[Vn+2In+2

], (5.70)

da cui risulta evidente [VnIn

]= T

nTn+1

[Vn+2In+2

]. (5.71)

Estendendo tale risultato al caso in cui si sia in presenza di N di tratti dilinea connessi in cascata e possibile scrivere[

VnIn

]= T

[Vn+NIn+N

], (5.72)

5.4. IL PROBLEMA DI N LINEE IN CASCATA 115

IN+1

V

I

Z

A

A'

Z Z Z VN+1

Zu

Figura 5.9: Cascata di N tratti di linea con caratteristiche diverse.

oppure [Vn+NIn+N

]= T1

[VnIn

], (5.73)

dove con T si e indicata la matrice risultante dal prodotto delle matrici ditrasmissione caratterizzanti i singoli tratti di linea, cioe

T =

[N1i=0

Tn+i

]. (5.74)

Esercizio 5.5 Si valuti il coefficiente di riflessione allingresso di una ca-scata di N tratti di linea terminata da un generico carico Zu.

Il coefficiente di riflessione alla sezione AA e legato allimpedenza ZAA =V1/I1 che la cascata degli N tratti di linea presenta a tale sezione dallarelazione:

AA =ZAA Z0ZAA + Z0

.

La tensione V1 e la corrente I1 alla sezione AA risulta legata alla tensioneVN+1 e alla corrente IN+1 sul carico dalla relazione[

V1I1

]= T

[VN+1IN+1

]=[t11 t12t21 t22

] [VN+1IN+1

],

dove

T =[t11 t12t21 t22

]=

[Ni=1

Ti

]

116CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

A

A'

B

B'

ZnZn-1

jn

ZBB'

z

Figura 5.10: Due tratti di linea in cascata terminati su un carico ZBB .

e la matrice Ti

e definita come nelleq. (5.68). Limpedenza Zu del carico eanche esprimibile come Zu = VN+1/IN+1 da cui[

V1I1

]=[t11 t12t21 t22

] [Zu1

]IN+1

e

V1 =(t11Zu + t12

)IN+1 ,

I1 =(t21Zu + t22

)IN+1 .

Ne segue che limpedenza alla sezione AA e valutabile attraverso la relazione

ZAA =V1I1

=t11Zu + t12t21Zu + t22

e da essa il coefficiente di riflessone richiesto.

5.5 Teoria delle piccole riflessioni

Si consideri dapprima la configurazione schematizzata in Fig. 5.10. Indicatocon

n =ZBB ZnZBB + Zn

(5.75)

il coefficiente di riflessione di tensione alla sezione BB, e possibile espri-mere il coefficiente di riflessione subito a destra della sezione AA tramite larelazione

n = n exp(j2kn`n) , (5.76)

5.5. TEORIA DELLE PICCOLE RIFLESSIONI 117

dove kn rappresenta la costante di propagazione nella linea di impedenzaZn. Il carico ZBB si presenta equivalentemente alla sezione AA come unaimpedenza

ZAA = Zn1 + n1 n

, (5.77)

per cui il coefficiente di riflessione subito a sinistra della sezione AA puoessere espresso come:

AA =ZAA Zn1ZAA + Zn1

=Zn(1 + n) Zn1(1 n)Zn(1 + n) + Zn1(1 n)

=ZnZn1Zn+Zn1

+ n1 + ZnZn1

Zn+Zn1n

.

(5.78)

Indicando con

n1 =Zn Zn1Zn + Zn1

, (5.79)

il coefficiente di riflessione alla sezione AA risulta

AA =n1 + n exp(j2kn`n)1 + n1n exp(j2kn`n)

. (5.80)

Si supponga ora che la discontinuita tra le impedenze Zn1 e Zn, cosi cometra le impedenze Zn e ZBB , sia piccola e quindi sia valida la diseguaglianza|n1n| 1. In tali ipotesi al denominatore della eq. (5.80) e possibiletrascurare rispetto allunita il termine in cui appare la funzione esponenzialee quindi approssimare il coefficiente di riflessione alla sezione AA tramitelespressione

AA ' n1 + n exp(j2kn`n) . (5.81)

Attraverso la relazione approssimata (5.81) la riflessione alla sezione AA puoessere interpretata come la somma della riflessione diretta alla sezione AA,dovuta alla discontinuita introdotta dalle differenti impedenze caratteristichedelle due linee di cui n1 rappresenta il coefficiente di riflessione, e dellariflessione dovuta al carico con la relativa variazione di fase, ed eventualmentedi ampiezza, exp(j2kn`n) introdotta dal tratto di linea di impedenza Zn.

Se ora si considera una cascata di N tratti di linea, cosi come schema-tizzato in Fig. 5.9, e si definisce

n =Zn+1 ZnZn+1 + Zn

per n = 0, 1, . . . , N 1 (5.82)

N =Zu ZNZu + ZN

(5.83)

n = kn`n per n = 1, 2, . . . , N , (5.84)

118CAPITOLO 5. APPLICAZIONI DELLA TEORIA DELLE LINEE DI TRASMISSIONE A.FRENI

nellapprossimazione di piccole riflessioni e possibile stimare il coefficiente diriflessione allingresso della cascata delle N linee come:

AA = 0 + 1 exp(j21) + 2 exp(j21) exp(j22) + . . .+

+ . . .+ NNi=1

exp(j2i) . (5.85)

Si consideri ora il caso in cui le linee siano prive di perdite, Zn = Rn, e lalunghezza `n sia scelta in modo tale che la lunghezza elettrica di ogni linearisulti identica, cioe n = n`n = per n = 1, 2, . . . , N . In tali ipotesi

AA() = 0 + 1 exp(j2) + 2 exp(j4) + . . .+ N exp(j2N) .(5.86)

Si assuma inoltre che i coefficienti di riflessione risultino simmetrici1, cioe0 = N , 1 = N1, 2 = N2, . . . ; cio permette di scrivere il coefficientedi riflessione alla sezione AA nella forma:

AA() = exp(jN) {0 [exp(jN) + exp(jN)]+1 [exp(j(N 2)) + exp(j(N 2))] + . . . } , (5.87)

dove lultimo termine in parentesi graffa risultera N2

per N pari mentreN1

2[exp(j) + exp(j)] per N dispari. In particolare la relazione (5.87)

puo essere riscritta nella forma di serie finita di Fourier sia per N pari

AA() = 2 exp(jN) {0 cos [N] + 1 cos [(N 2)]

+ . . .+ n cos [(N 2n)] + . . .+12

N2

}, (5.88)

che per N dispari

AA() = 2 exp(jN) {0 cos [N] + 1 cos [(N 2)]

+ . . .+ n cos [(N 2n)] + . . .+ N12

cos }. (5.89)

Limportanza del risultato risiede nel fatto che, scegliendo opportunamentei coefficienti di riflessione n, che coincidono con i coefficienti della serie diFourier, e un numero N sufficiente di sezioni, e possibile sintetizzare qualsiasiandamento del coefficiente di riflessione AA in funzione della frequenza f acui la lunghezza elettrica e legata dalla relazione f = vfn/2`n, dove convfn si e indicata la velocita di fase misurata in una qualsiasi sezione n.

1Tale ipotesi non implica tuttavia un andamento simmetrico delle impedenze Rn.