Antoine Gloria, S´eminaire LJLL · Antoine Gloria November 27, 2017 De la physique statistique `a...

Antoine Gloria November 27, 2017

De la physique statistiquea l’elasticite non lineaire

Antoine Gloria, Seminaire LJLL

Des polymeres aux caoutchoucs

Physique des reseauxde chaınes de

polymeres reticules

Mecanique des milieuxcontinus hyperelastiques

−kT ln(ˆ

exp(− 1kT H)

)hasard, heterogeneites

Λ 7→W (Λ) ou ∂ΛW (Λ)

pas de hasard, materiauhomogene


Points de vue

I Physique mathematique : justification rigoureuse du passagede la physique statistique a l’elasticite non lineaire

I Numerique : developpement et analyse de methodesd’approximation de Λ 7→W (Λ)

I Modelisation : comparaison avec les experiences (mecaniqueset physiques)

I Pratique : utilisation de Λ 7→W (Λ)


Partie 1: Physique mathematique

Partie 1.1: Energie libre a temperature TPartie 1.2: Energie libre a petite temperature 0 < T 1

Collaborateurs : Roberto Alicandro (Cassino), Marco Cicalese (Munich),Mathew Penrose (Bath), Matthias Ruf (Bruxelles)


Reseau de chaınes de polymeres

Reseau aleatoire de chaınes ij de sommets uiet uj , nombre Nij de monomeres de longueurtypique `0Energie (libre) d’une chaıne fij(ui , uj ,T )Energie sterique Uvol(u)Deformation au bord du domaine D imposee

Ensemble canonique (nombre de chaınes et temperature fixes)Energie libre de Helmholtz a temperature T :

E = −kT logZ

= −kT log

[ ˆS(u)

exp

(− 1

kT

(Uvol(u) +

∑i∼j

fij(ui , uj ,T )︸︷︷︸H(u)

))du].


Origine du HamiltonienModele (simplifie) :I reseau et temperature donnes, espace d’etats discretI chaınes parfaites : etant donnes ui et uj et le nombre de monomeres

Nij , sij ∈ (Rd )Nij est un pont aleatoire, Ωij(ui , uj) est le nombred’etats de sij pour ui et uj donnes

I Interactions steriques (echelle intermediaire), entre chaınes via useulement: Uvol(u)

I domaine borne, “conditions de Dirichlet”: x 7→ Λx , Λ matrice

Fonction de partition :

Z =∑

uexp(−Uvol(u)

kT )∏i∼j

Ωij(ui , uj)

=∑

uexp

(− 1

kT

(Uvol(u) +

∑i∼j−kT log Ωij(ui , uj)︸︷︷︸

=: fij(ui , uj ,T )

))


Energie libre d’une chaıne isoleePour une chaıne avec N monomeres de taille ` : etant donnes ui et uj ,r = |ui − uj |

fij(ui , uj ,T ) = kTN(

rN`θ

( rN`

)+ log

θ( r

N`)

sinh θ( r

N`)) ,

ou θ est l’inverse de la fonction de Langevin L : α 7→ cothα− 1α (Kuhn

et Grun) :


Remise a l’echelle

Domaine Dε = Dε ,

∼ ε−d |D| chaınesDeformation uεuε ∈ SD,ε ∼ (Rd )ε

−d |D| + BC

Energie libre de Helmholtz : quantite extensive

ED,ε(T ) = −kT εd

|D| logZD,ε

= −kT εd

|D| log

[ˆSD,ε

exp

(− 1

kT HD,ε(uε))

duε].


Passage a la limite (limite thermodynamique)Deux objets d’interet :I Energie libre ED,ε(T )

I Mesure de Gibbs (caracterise les etats occupes): PourV ⊂ SD,ε ⊂ Lp(D),

µε,T (V ) =1Zε,T

ˆV

exp(− 1kT HD,ε(u))du

(µε,T (SD,ε) = 1

)(mesure de probabilite sur SD,ε)

Deux questions :I Convergence de ED,ε(T ) vers un reel, lien avec un modele

d’elasticite ?I Convergence de µε,T vers une mesure sur Lp(D) (au sens des

grandes deviations), lien avec un modele d’elasticite ?


Limite de l’energie libre: Condition aux limites lineaire

Condition au bord: u(x) = Λx (Λ matrice).

Il existe Whom,T : Md (R)→ [0,+∞] telle que pour tout Λ,

limε↓0

ED,ε(T ,Λ) = Whom,T (Λ)

(presque surement si reseau stationnaire ergodique, conditions decroissance algebrique sur f et Uvol — theoreme ergodique sous-additif).

Proprietes :I indifference materielleI isotropie si reseau statistiquement isotropeI quasiconvexe


Limite de l’energie libre: Condition aux limites generale

Condition au bord: u(x) = φ(x) (φ ∈W 1,p(D), 1 < p <∞ condition decroissance).

Pour tout φ ∈W 1,p(D),

limε↓0

ED,ε(T , φ) = inf

DWhom,T (∇u(x))dx : u ∈ φ+ W 1,p

0 (D).

L’energie libre de Helmholtz du reseau converge vers l’infimum d’unefonctionnelle d’energie (avec les memes conditions aux limites).

Modele hyperelastique en grandes deformations.

Arguments de preuve : sous-additivite approchee et blow-up.


Mesure de Gibbs : Principe de grandes deviationsSoit φ ∈W 1,p(D) CL donnee. Fonction de taux sur Lp(D) (seulementfinie sur φ+ W 1,p

0 (D))

I(u) :=

D

Whom,T (∇u)− infφ+W 1,p

0 (D)

D

Whom,T (∇·).

Soit Πε une projection de Lp(D) sur SD,ε. Par argument de tensionexponentielle : Pour tout ouvert O ⊂ Lp(D),

lim infε↓0

εd

|D| log(µε,T (Πε(O))) ≥ − infu∈OI(u)

et pour tout ferme F ⊂ Lp(D),

lim supε↓0

εd

|D| log(µε,T (Πε(F ))) ≤ − infu∈FI(u).

Donc la suite des mesures de Gibbs est compacte faible-* et toute valeurd’adherence a son support dans l’ensemble des minimiseurs de I.


Limite thermodynamique : conclusion

La mesure de Gibbs (qui decrit la distribution des etats peuples) seconcentre quand ε ↓ 0 vers les minimiseurs d’une fonctionnelle de typeelasticite non lineaire. L’energie libre de Helmholtz converge vers leminimum de cette meme fonctionnelle :I convergence de la distribution microscopique des etats vers des

minimiseurs macroscopiques : µε,D∗ δu,

u = arg infffl

D Whom,T (∇u) : u ∈ φ+ W 1,p(D) (si unique)I convergence de l’energie libre vers le minimum de l’energie (libre) :

ED,ε(T , φ)→ infffl

D Whom,T (∇u) : u ∈ φ+ W 1,p(D).

Reminiscent de la Γ-convergence :I convergence des minimiseursI convergence des minima


Partie 1: Physique mathematique

Partie 1.1: Energie libre a temperature TPartie 1.2: Energie libre a petite temperature 0 < T 1

Collaborateurs : Roberto Alicandro (Cassino), Marco Cicalese (Munich),Mathew Penrose (Bath), Matthias Ruf (Bruxelles)


Que sait-on de Whom,T ?Rappel : Pour toute matrice Λ,

Whom,T (Λ) = limε↓0

ED,ε(T ,Λ)

= limε↓0−kT εd

|D| log

[ˆSD,ε(Λ)

exp(− 1

kT Hε,T (u))

du].

Inutilisable en “pratique”. Quid de 0 < T 1 ?

Si Hε,T ne depend pas de T , formellement (interversion de limites)

limT↓0

Whom,T (Λ) = limε↓0

limT↓0−kT εd

|D| log

[ ˆSD,ε(Λ)

exp(− 1

kT Hε,T (u))

du]

= limε↓0

εd

|D| inf

Hε(u) : u ∈ Sε(Λ).

Si Hε,T depend de T , il faut pousser l’analyse...


Limite 0 < T 1: H independant de THypotheses standard sur H (continu / coercif dans Lp).Resultat de Γ-convergence (remise a l’echelle ε) a temperature nulle :I CL lineaire x 7→ Λx : Il existe une densite d’energie Whom telle que

limε↓0|D|−1 inf

εd Hε(u) : u ∈ Sε(Λ)

= Whom(Λ)

I Iε : u 7→ εd Hε(u) Γ(Lp)-converge vers Ihom : Lp(D)→ [0,∞],u 7→

´D Whom(∇u).

Convergence des modeles limites T ↓ 0 ?I Convergence ponctuelle de Whom,T vers Whom : pour tout Λ,

|Whom(Λ)−Whom,T (Λ)| . T | log T |(1 + |Λ|p).

I Γ(Lp)-convergence deIhom,T : Lp(D)→ [0,∞], u 7→

´D Whom,T (∇u) vers Ihom.


Limite 0 < T 1: H dependant de TTrois approches possibles : une liee aux valeurs physiques, deux liees aunombre de monomeres par chaıne :

(i) Aux conditions “normales de temperature...”, l’energie libre d’unechaıne est d’ordre 1 et on obtient une borne sur Whom,T ,T−Whom,T ,0 comme si le Hamiltonien ne dependait pas de T .

(ii) Si tous les monomeres avaient la meme contribution a l’energielibre, l’erreur en negligeant l’energie des “noeuds” devrait etred’ordre 1

N kT ;

(iii) Quand N devient grand, l’energie libre d’une chaıne devientquadratique, auquel cas on a de maniere exacte

Whom,T ,T (Λ) = Whom,T ,0(Λ) + Whom,T ,T (0).

L’approche (i) n’est pas deraisonnable mais est-ce le cas ? L’approche(ii) n’est pas (encore ?) rigoureuse. L’approche (iii) est rigoureuse maislimitee.


Partie 2 : Approximation numerique de Whom

Partie 2.1 : Analyse de la methode de periodisation (cas lineaire)Partie 2.2 : Methode de periodisation (cas non lineaire)

Collaborateurs :I Mitia Duerinckx (Bruxelles), Stefan Neukamm (Dresden), Jim

Nolen (Duke), Felix Otto (Leipzig)I Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec (Polytechnique),

Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)


Probleme modele

Version continue et lineaire du modele : homogeneisation stochastique del’elasticite lineaire:

−∇ · L(·ε

)∇u = f + CL.

Tenseur d’elasticite homogeneise (〈·〉 pour esperance) :

LhomΛ := 〈L(Λ +∇φΛ)〉 ,

ou φΛ est solution du probleme de correcteur dans Rd (presque surement)

−∇ · L(Λ +∇φΛ) = 0.

Approcher numeriquement Lhom est delicat : probleme dans tout l’espaceet esperance.


Methode de periodisationOn considere un grand tore TR , R 1. On periodise la loi de L (subtil,pas toujours possible) et considere N realisations independantes Li

R dutenseur aleatoire LR .Soit φi

Λ la solution du probleme de correcteur sur TR

−∇ · LiR(Λ +∇φi

Λ,R) = 0.

On pose

Lhom,R,N :=1N

N∑i=1

TR

LiR(Λ +∇φi

Λ,R).

Cela revient aI tronquer Rd et mettre des CL artificielles pour l’equation du

correcteurI approcher l’esperance par une moyenne spatiale (ergodicite) et une

methode de Monte-Carlo


Exemple

Mauvaise versus bonne periodisation


Analyse de la methode

Si la loi de L est periodisable et satisfait (par ex.) un trou spectral, alorsI Erreur systematique

| 〈Lhom,R,N〉 − Lhom| . R−d logd R.

I Variance de l’erreur

|var [Lhom,R,N ] | . N−1R−d .

I Loi asymptotique de l’erreur : il existe un tenseur Q tel que

dK/W

(R d

2Λ · (Lhom,R − Lhom)Λ

Λ⊗ Λ · QΛ⊗ Λ,N). R− d

2 logd R.

Preuves delicates basees sur une theorie quantitative de l’homogeneisationstochastique (cours de Master fin janvier pour en savoir plus :-))


Exemple

Erreur systematique (bleue), variance (rouge) et loi asymptotique(R = 200)

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Density estimate with a sample size equal to 5000 and N=200


Partie 2 : Approximation numerique de Whom

Partie 2.1 : Analyse de la methode de periodisation (cas lineaire)Partie 2.2 : Methode de periodisation (cas non lineaire)

Collaborateurs :I Mitia Duerinckx (Bruxelles), Stefan Neukamm (Dresden), Jim

Nolen (Duke), Felix Otto (Leipzig)I Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec (Polytechnique),

Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)


Methode

Extension de la methode presentee dans le cas lineaire :I Generation du reseau periodise, Delaunay periodise pour terme

volumiqueI EF 1D et 3DI elasticite non lineaire 3D en grandes deformations (Newton,

continuation)I Approximations de Whom, DWhom, D2Whom

Implementation : tres specifique


Exemple : Reseau aleatoire


Exemple : convergence

Variance et convergence (sans periodisation... en cours)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−3.4

−3.2

−3

−2.8

−2.6

−2.4

−2.2

−2

−1.8

hh

kk

0 1 2 3 4 5 6

x 104

0.42

0.425

0.43

0.435

0.44

0.445

0.45

0.455

kk

hh


Partie 3: Modelisation

Partie 3.1: Experiences mecaniquesPartie 3.2: Experiences physiques

Collaborateurs : Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec(Polytechnique), Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)


Cisaillement et deformation uniaxiale

Experiences de Treloar

Remarque : reseau naif.


Effet Rivlin

Diagramme de Mooney


Partie 3: Modelisation

Partie 3.1: Experiences mecaniquesPartie 3.2: Experiences physiques

Collaborateurs : Laure Giovangigli (LJLL), Patrick Le Tallec(Polytechnique), Francois Lequeux (ESPCI), Marina Vidrascu (Inria)


Effet papillonTransformee de Fourier de la distribution des longueurs des chaınes enfonction de leur orientation en extension simple : mesure de lanon-affinite de la deformation (correcteur non nul !)

Experiences (Nicolas Jouault) versus minimisation et approximation deWhom.


Partie 4 : Approximation pratique de Whom

Collaborateurs : Maya de Buhan (Descartes), Laure Giovangigli (LJLL),Patrick Le Tallec (Polytechnique), Marina Vidrascu (Inria)


En pratique

Passage d’une loi de constitution numerique a une loi de constitutionanalytique : reconstruction / approximation / assimilation de donnees.Quelques remarques :I optimiste : echantillons de Whom, DWhom, D2Whom dans tous les

regimes qu’on veutI pessimiste : Whom est quasiconvexe — propriete non locale

Degradation du probleme :I quasiconvexe polyconvexe (idees pour faire ca?)I polyconvexe lois d’Ogden

Wog (Λ) =∑

iai∑

jλαi

j +∑

ibi∑

j(λjλj+1)βi

+ K1 det Λ2 − 2K2 log det Λ,

sous la contrainte inf Wog = Wog (Id), λj valeurs singulieres de Λ.Antoine Gloria November 27, 2017

Assimilation de donnees

Wog (Λ) =∑

iai∑

jλαi

j +∑

ibi∑

j(λjλj+1)βi

+ K1 det Λ2 − 2K2 log det Λ,

Generer un echantillonnage de Whom, DWhom et D2Whom a un ensemblede gradients de deformations Λ. Fixer une metrique pour quantifierl’approximation.

Trouver (ai , αi , bi , βi ,K1,K2) qui minimise l’erreur entre Whom (et sesgradients) et Wog (et ses gradients).

Probleme de minimisation non lineaire non convexe : algorithmegenetique pour α, β, systeme lineaire pour a, b,K1,K2, projection pourrespecter la contrainte.


Reconstruction

10 parametresAntoine Gloria November 27, 2017

Perspectives

I Physique mathematique : justification rigoureuse du passagede la physique statistique a l’elasticite non lineaire

I Numerique : developpement et analyse de methodesd’approximation de Λ 7→W (Λ)

I Modelisation : comparaison avec les experiences (mecaniqueset physiques)

I Pratique : utilisation de Λ 7→W (Λ)

Pour en savoir plus : page web bientot en ligne !


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