Les angles associés Une version animée de ces graphiques est disponible sur www.isj-chatelet.com.

Angles opposés Angles supplémentaires

€

cos(−α) =(O)cos(α)

sin(−α) =(O)− sin(α)

tan(−α) =(O)− tan(α)

€

cos(π −α) =(S)− cos(α)

sin(π −α) =(S)sin(α)

tan(π −α) =(S)− tan(α)

Angles antisupplémentaires Angles complémentaires

€

cos(π + α) =(A)− cos(α)

sin(π + α) =(A)− sin(α)

tan(π + α) =(A)tan(α)

€

cos π2−α

=(C)sin(α)

sin π2−α

=(C)cos(α)

tan π2−α

=(C) 1tan(α)

2

Multiplicité des amplitudes Nous avons vu au chapitre 1 (trigonométrie - 1re partie) que tout angle possède une infinité d'amplitudes et que si α et α' sont deux amplitudes d'un même angle, alors ∃k ∈ Z tel que

€

α'= α + 2kπ Par conséquent,

€

... =(E )cos(α − 4π) =

(E )cos(α − 2π) =

(E )cos(α) =

(E )cos(α + 2π) =

(E )cos(α + 4π) =

(E )...

... =(E )sin(α − 4π) =

(E )sin(α − 2π) =

(E )sin(α) =

(E )sin(α + 2π) =

(E )sin(α + 4π) =

(E )...

... =(E )tan(α − 4π) =

(E )tan(α − 2π) =

(E )tan(α) =

(E )tan(α + 2π) =

(E )tan(α + 4π) =

(E )...

Ainsi, les amplitudes données à la page précédente pour les angles associés ne sont pas uniques. Par exemple, on peut aussi écrire

€

cos(α −π) =(A)− cos(α)

sin(α −π) =(A)− sin(α)

tan(α −π) =(A)tan(α)

€

cos(2π −α) =(O)cos(α)

sin(2π −α) =(O)− sin(α)

tan(2π −α) =(O)− tan(α)

Notations abrégées Soit α' une amplitude de l'angle EOM' et α une amplitude de l'angle EOM. Notation abrégée Notation in extenso

€

cos(α') =(O)cos(α)

€

cos(α') =

cos(α) car EOM' est l'opposé de EOM.

€

cos(α') =(S)− cos(α)

€

cos(α') = − cos(α) car EOM' est le supplémentaire de EOM.

€

cos(α') =(A)− cos(α)

€

cos(α') = − cos(α) car EOM' est l'antisupplémentaire de EOM.

€

cos(α') =(C)sin(α)

€

cos(α') =

sin(α) car EOM' est le complémentaire de EOM

€

cos(α') =(E )cos(α)

€

cos(α') =

cos(α) car EOM' et EOM sont un seul et même angle.

et de même pour les formules en

€

sin(α') et

€

tan(α') . Les notations (O), (S), (A), (C) et (E) se rapportent aux angles, non à leurs amplitudes ni aux nombres trigonométrique qui leur sont associés. Exercices 1) Si un angle a une amplitude de 5°, son opposé a une amplitude de son supplémentaire a une amplitude de son antisupplémentaire a une amplitude de son complémentaire a une amplitude de

3

2) Transformer les nombres trigonométriques suivants en nombres trigonométriques dont l'argument soit compris entre 0° et 90° ou entre 0 et π/2. a) cos(700°)

b)

€

sin 7π5

c) tan(−266°) d) sin(100°) e) cos(−333°) f) cos(−33°)

3) Transformer les nombres trigonométriques suivants en nombres trigonométriques dont l'argument soit compris entre 0° et 45° ou entre 0 et π/4. a) sin(255°) b) cos(108°)

c)

€

cos 5π9

d) tan(290°) 4) Sachant que

€

cos π5

cos

3π5

= −

14

et que

€

cos π5

+ cos

3π5

=12

, compléter le tableau suivant

4

α cosα sinα tanα

90°

72°

54°

36°

18°

0°

Il s'agit de trouver des expressions analytiques de cosα, sinα et tanα.

Détailler les calculs sur papier quadrillé et transposer les résultats ici.