Module II: Rappels de trigonométrie. · Rappels sur les (tri)angles Triangles La somme des angles...

Module II: Rappels de trigonométrie.

Rappels sur les (tri)angles

Angles

Les angles opposés par le sommet sont égaux

Deux angles dont les cotés sont parallèles sont égaux

Deux angles dont les cotés sont perpendiculaires sont égaux

θθ θ θθ

θθ

θ

1

1

2

23

3


Triangles

La somme des angles d’un triangle vaut 180°

Deux triangles dont les 3 angles sont égaux sont dits semblables

Pythagore: dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des cotés formant l’angle droit est égale au carré de la longueur de l’hypoténuse


Triangles (suite)

Thales: dans deux triangles semblables, les rapports des longueurs des cotés correspondants sont égaux

A’

B’

C’

A

B

C

'''''' CB

BC

CA

AC

BA

AB ==

Le cercle trigonométrique

(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

II

I


(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (I): -1 ≤ sin(θ) ≤ 1

-1 ≤ cos(θ) ≤ 1

fonctions (de θ) périodiques, de période 2π (radians)


(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (II):

θ

0

0 −> π/2

π/2

π/2 −> π

π

π −>3π/2

3π/2

3π/2 −> 2π

2π

cos(θ)

1

1 −> 0

0

0 −> −1

−1

−1 −> 0

0

0 −> 1

1

sin(θ)

0

0 −> 1

1

1 −> 0

0

0 −> −1

−1

−1 −> 0

0


(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (III): Pythagore sur :

Thales sur et

Thales sur et

( ) ( ) 1sincos 22 =+ θθ

( )( )( ) ( ) ( )

( )θθθ

θθ

θ cos

sin

sincos

1 == tgtg

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )θθθθ

θθθ

tgg

g

1

sin

coscot

cot

cos

1

sin ===


(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (IV):

θ

0

0 −> π/2

π/2

π/2 −> π

π

π −>3π/2

3π/2

3π/2 −> 2π

2π

tg(θ)

0

0 −> +∞

∞

− ∞ −> 0

0

0 −> +∞

∞

-∞ −> 0

0

cotg(θ)

∞

+∞ −> 0

0

0 −> -∞

∞

+∞ −> 0

0

0 −> -∞

∞


(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

Conséquences (V):relations dans les triangles rectangles Thalès:

=> a = h*sin(θ)b = h*cos(θ)a/b = tg(θ)

= =a

b

h


(1,0)θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (VI):angles opposés cos(-θ) = cos(θ)

sin(-θ) = -sin(θ)

=> tg(-θ) = -tg(θ)

−θ


(1,0)θ

(1,tg(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (VII):angles supplémentaires cos(π-θ) = -cos(θ)

sin(π-θ) = sin(θ)

=> tg(π-θ) = -tg(θ)

θ

(0,sin(θ))


(1,0)θ

(1,tg(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (VIII):angles anti-supplémentaires cos(π+θ) = -cos(θ)

sin(π+θ) = -sin(θ)

=> tg(π+θ) = tg(θ)

θ

(0,sin(θ))


(1,0)θ

(1,tg(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

III

Conséquences (IX):angles complémentaires(par symétrie) cos(π/2-θ) = sin(θ)

sin(π/2-θ) = cos(θ)

=> tg(π/2-θ) = cotg(θ)

(0,sin(θ))

Quelques valeurs…

θ

0

π/6

π/4

π/3

π/2

cos(θ)

4

3

2

1

0

sin(θ)

0

1

2

3

4

tg(θ) cotg(θ)

Un petit truc pour les retenir… On commence comme ceci:

Quelques valeurs…

θ

0

π/6

π/4

π/3

π/2

cos(θ)

√4

√3

√2

√1

√0

sin(θ)

√0

√1

√2

√3

√4

tg(θ) cotg(θ)

Un petit truc pour les retenir… On continue en prenant les racines:

Quelques valeurs…

θ

0

π/6

π/4

π/3

π/2

cos(θ)

√4/2=1

√3/2

√2/2

√1/2=1/2

√0/2=0

sin(θ)

√0/2=0

√1/2=1/2

√2/2

√3/2

√4/2=1

tg(θ) cotg(θ)

Un petit truc pour les retenir… Puis on divise par 2:

Quelques valeurs…

θ

0

π/6

π/4

π/3

π/2

cos(θ)

1

√3/2

√2/2

1/2

0

sin(θ)

0

1/2

√2/2

√3/2

1

tg(θ)

0

√3/3

1

√3

∞

cotg(θ)

∞

√3

1

√3/3

0

Un petit truc pour les retenir… On obtient les 2 dernières colonnes par divisions:

Un exemple…

Calculez successivement…

|OC|

|OD|

|OA|

|OB|

|AP|

|AB|

= cos (α+β)

= cos (α)

= cos (α+β)/cos(α)

= cos (β)

= sin (β)/cos(α)

= sin(α) sin(β)/cos(α)

Un exemple…

|OC|

|OD|

|OA|

|OB|

|AP|

|AB|

= cos (α+β)

= cos (α)

= cos (α+β)/cos(α)

= cos (β)

= sin (β)/cos(α)

= sin(α) sin(β)/cos(α)

Utilisez ces résultats dans: |OB| = |OA| + |AB|pour calculer: cos (α+β)

Autres formules…

Somme ou différences d’angles:

sin (α+β) = sin (α)∗cos (β) + sin (β)∗cos (α)sin (α-β) = sin (α)∗cos (β) – sin (β)∗cos (α)cos (α+β) = cos (α)∗cos (β) – sin (α)∗sin (β)cos (α−β) = cos (α)∗cos (β) + sin (α)∗sin (β)tg (α+β) = (tg (α) + tg (β)) / (1 – tg (α)∗tg(β))tg (α−β) = (tg (α) - tg (β)) / (1 + tg (α)∗tg(β))

Ex: utilisez sin²(α+β)=1-cos²(α+β) pour montrer *

*

Autres formules…

Exemple d’application de ces formules: On utilise: α = (α+β)/2 + (α−β)/2

β = (α+β)/2 - (α−β)/2

On obtient alors, par exemple:

sin (α) +sin (β) = sin ((α+β)/2 + (α−β)/2)+ sin ((α+β)/2 - (α−β)/2) = 2∗sin ((α+β)/2) ∗ cos ((α−β)/2)

Autres formules…

De manière similaire:

sin (α) + sin (β) = 2*sin ((α+β)/2) * cos ((α−β)/2)sin (α) – sin (β) = 2*sin ((α−β)/2) * cos ((α+β)/2)cos (α) + cos (β) = 2*cos ((α+β)/2) * cos ((α−β)/2)cos (α) – cos (β) = -2*sin ((α−β)/2) * sin ((α+β)/2)

Ces formules sont connues sous le nom de

Formules de Simpson

Exemple (interro 2009...)

Montrez que: sin (4x)+sin (2x) = 2*sin(3x)*cos(x)

Solution: utiliser 4x = 3x + x et 2x = 3x - x (ce qui revient à utiliser Simpson) !

Exemple

Montrez que: sin (15°) = sin(π/12) = 2*sin(3x)*cos(x)

�� 15° = ��

=

��

∗ �

Truc:

réaliser que �

=

��

��

� et utiliser Simpson

Un autre exemple

(1,0)

θ

(1,tg(θ))

(0,sin(θ))

(cos(θ),0)

(cotg(θ),1)

IVIII

II

I Combien vaut la longueur de:

• ?

• ?

• https://www.socrative.com/• Student login• Room name: FARNIR => JOIN• Entrez: Nom, Prénom => DONE• Choisissez une réponse A, B, C, D ou E => SUBMIT

Autres formules…

Double d’angles:sin (2α) = sin (α+α) = 2∗sin (α)∗cos (α) cos (2α) = cos (α+α) = cos² (α) – sin² (α) tg (2α) = tg (α+α) = (2tg (α)) / (1 – tg²(α))

Exemple:sin(π/3) = 2*sin (π/6)*cos (π/6)

= 2*cos (π/2-π/6) * sin (π/2-π/6)= 2*cos (π/3) * sin (π/3)

=> cos (π/3) = 0.5=> sin (π/3) = √(1-0.5²) = √3/2


Triangles quelconques

Généralisation de Pythagore:

Relation aux sinus:

A

B

C

( )Acbcba ˆcos***2222 −+=

c b

a

( )Bcacab ˆcos***2222 −+=

( )Cbabac ˆcos***2222 −+=

( ) ( ) ( )C

c

B

b

A

aˆsinˆsinˆsin

==


Exemple:A

B

C

c b

aD

|AC|²=|AD|² + |DC|²

|AD|=|AB|*sin(b)

|DC|=|BC|-|BD|

|BD|=|AB|*cos(b)

|AC|²=|AB|² + |BC|² - 2*|AB|*|BC|*cos(b)

c*sin(B) = b*sin(C) => c/sin(C) = b/sin(B)

Module II’: Bases du calcul vectoriel.

Grandeurs vectorielles

Grandeurs « scalaires » Définies par leur grandeur uniquement

Exemples: temps, masse, résistance

Représentées par un seul nombre

Grandeurs « vectorielles » Définies par leur grandeur et leur direction

Exemples: vitesse, accélération, force, …

Représentées par un « vecteur »

Notion de vecteur

Etre mathématique utilisé pour représenter une grandeur possédant: un point d’application ex: A

une direction ex: droite dAB

un sens ex: A -> B

une mesure ex: F ou |F|

A

B

d

F

Notion de vecteur: exemple

Poids d’un solide ( ≠ masse !) un point d’application: centre de gravité c

une direction: verticale

un sens: vers le « bas »

une mesure P = m*g

P

c

Composantes d’un vecteur

Coordonnées du vecteur si on déplace l’origine o des axes au point d’application du vecteur

X

Y

X

Y

A

o

o’ AX

AY

Remarque: d’autres systèmes de coord. existent

Exemple: (A,θ) où A est la longueur du vecteur et θ est l’angle entre A et l’axe des X(et AX=A*cos(θ),

AY=A*sin(θ) )

A = (AX,AY)

Norme d’un vecteur

Norme = module = longueur = A = |A|

X

Y

A

o’ AX

AY

Coordonnées euclidiennes (Pyth.)

Coordonnées polaires (A, θ)A = (AX,AY)

22YX AAAA +==

AA =

Opérations sur les vecteurs (1)

Multiplication par un scalaire Géométriquement:

Algébriquement: Remarque: si k<0, inversion du sens

X

Y

A

o’ AX

AY

kA = (k*AX,k*AY)

kA


Addition de deux vecteurs Géométriquement (règle du parallélogramme):

Algébriquement:

X

Y

A

o’ AX

AY

A + B = C = (AX+BX,AY+BY)

A+B=CB

BY

BX


Soustraction de deux vecteurs Géométriquement (règle du parallélogramme):

Algébriquement:

ou encore:

X

Y

A

o’ AX

AY

A = C - B = (AX,AY) = (CX-BX,CY-BY)

A+B=CB

BY

BX

C+(- B) = (CX+(-BX),CY+(-BY))

Exercice: énoncé

Quelle force F, parallèle au plan incliné π, faut-il exercer sur la bille, de masse m, pour qu’elle reste immobile ?

πF

θ

Exercice: solution

La somme des forces agissant sur la bille doit être nulle (un vecteur nul):

πF

P= mg

R

( ) ( )θθ sin**0*sin* gmFgmF ==+�

�

�


Produit scalaire de deux vecteurs Définition:

Géométriquement:

Algébriquement:

A. B = AX*BX + AY*BY + AZ*BZ

c = A . B = A*B*cos(θ)

A

B

θ


Propriétés du produit scalaire de deux vecteurs Commutatif: A.B = B.A Nul si et seulement si (une condition suffit):

A = 0 B = 0 A perpendiculaire B

A.A = A²


Produit vectoriel de deux vecteurs Définition:

où v est un vecteur unitaire perp. au plan de A et B

Géométriquement:

C = A ^ B = A*B*sin(θ)*v

A

B

θ

X

Γ⃗ = �⃗ ∧ �⃗


Produit vectoriel de deux vecteurs Algébriquement:

Exemple: couple mécanique

A^ B = ( AY*BZ - AZ*BY) ex +( AZ*BX - AX*BZ) ey +( AX*BY - AY*BX) ez

�⃗ = 30,20,0

�⃗ = 5, �15,0

⇒ Γ⃗ = 0,0, �350


Produit vectoriel de deux vecteurs Algébriquement:

Exemple: particule électrique se déplaçant dans un champ d’induction magnétique B

A^ B = ( AY*BZ - AZ*BY) ex +( AZ*BX - AX*BZ) ey +( AX*BY - AY*BX) ez

N

S

Bv

q

.FBvqF�

�

�

∧= *

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