Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría

Resumen

1 Elementos de Álgebra Lineal

Modos de determinar un subespacio:

Generado por k vectores linealmente independientes: S =< u1, u2, . . . , uk >

Ecuación vectorial de S: S = λ1u1 + . . .+ λkuk (siendo u1, . . . , uk los vectores generadores de S)

Ecuación paramétrica de S:

x1 = λ1α11 + · · ·+ λnαn1

. . .

xn = λkαk1 + · · ·+ λαnk

donde cada αij sale de las coordenadas de

cada ui vector generador de S pasando de una ecuación vectorial a un sistema de ecuaciones en el cuerpo.

Ecuación cartesiana de S: Si, ahora, se impone que la matriz

x1 ... ... xnα11 ... ... α1n

... ... ......

αk1 ... ... αkn

tenga rango n-k (o

euqivalentemente, que el determinante sea 0) se obtienen las ecuaciones cartesianas.

Dimensión: Número de vectores que engendran el subesapcio vectorial. Si un subespacio tiene k ecuacionescartesianas, su dimensión siempre será de n-k.

Recta vectorial: Subespacio de dimensión 1

Plano vectorial: Subespacio de dimensión 2

Hiperplano: Subespacio de dimensión n-1 (en un espacio vectorial de dimensión n)

Retículo de subespacios

S(V): Familia de subespacios de un espacio vectorial V. Con la relación de inclusión se forma un retículo,donde inf{S, T} = S ∩ T y sup{S, T} = S + T

S + T : es la suma de subespacios. Se halla uniendo las bases de ambos subespacios S y T

S ∩ T : es la intersección de subespacios. Se halla imponiendo que se cumplan las ecuaciones cartesianas deambos supespacios S y T

Fórmula de Grassman: dim(S + T ) = dim(S) + dim(T )− dim(S ∩ T )

S ⊕ T : es la suma directa de subespacios. Es una suma de subespacios en la que S ∩ T = 0.

Suplemento: Se dice que S es suplemento de T cuando S ∩ T = 0 y S ⊕ T = V (es decir, engendran todoel espacio

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Aplicaciones lineales

Aplicación lineal: es una apliación f : V → V ′ entre espacios vectoriales que conserva combinacioneslineales, es decir: f(λ1x1 + λ2x2) = λ1f(x1) + λ2f(x2)

Matriz asociada a una aplicación lineal: será una matriz compuesta por las imágenes de los vectores dela base de V escritos en la base V'.

Propiedades de las aplicaciones lineales: Sea f : V → V ′ una aplicación lineal y A su matriz asociada

(1) Ker(f) ≤ V y Im(f) ≤ V ′

(2) f es monomor�smo (aplicación lineal inyectiva)⇐⇒ Ker(f) = 0⇐⇒ conserva independencia lineal

(3) Si dim(V ) = dim(V ′); f es monomor�smo ⇐⇒ f es epimor�smo (aplicación lineal sobreyectiva)

(4) rango(A) = dim(f(V ))

(5) Si dim(V ) = dim(V ′); f es isomor�smo (aplicación lineal biyectiva) ⇐⇒ A es inversible

Cambio de base: Para hacer un cambio de base se debe multiplicar el vector x por la matriz del cambiode base que no es más que las imágenes de los vectores de la primera base puestos en �la.

Espacio dual

Forma lineal: Es una aplicación lineal φ : V → K donde V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K quetambién es espacio vectorial sobre sí mismo

V ∗: Es el espacio dual a V. Se de�ne como el espacio vectorial sobre K constituido por todas las formaslineales provisto de las operaciones φ + ψ : v 7→ φ(v) + ψ(v) y λφ : v 7→ φ(v)λ. A V ∗ también se le llamaortogonal. Dado un subespacio S ≤ V se obtiene S∗ = {f ∈ V/f(S) = 0}. Dado un subespacio S ≤ V ∗ seobtiene que S∗ = ∩f∈Sker(f)

2 Elementos de Geometría Afín y Proyectiva

Retículo de subespacios

Espacio afín A: Es un espacio vectorial V sobre K al que a los vectores se les llama puntos

Subespacio afín: Es un subespacio vectorial trasladado. T ≤ A ⇐⇒ T = τa(S). Además, se veri�ca quedim(S) = dim(T )

Espacio proyectivo: Si V es un espacio vectorial cuya dim(V ) = n + 1 sobre K, con n ≥ −1, P (V ) es elconjunto de los subespacios de S ≤ V con dim(S) = 1. Se tiene que dim(P (V )) = n

Subespacio proyectivo: P (S) será un subespacio proyectivo de P (V ) si S es subespacio vectorial de V

Puntos: Son los elementos de P (V )

Rectas: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = 1

Planos: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = 2

Hiperplanos: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = n−1 (en un espacio P (V ) con dim(P (V )) =n)

Fórmula de Grassman: se sigue veri�cando en espacios proyectivos de la siguiente manera dim(P (S) +P (T )) = dim(P (S)) + dim(P (T )) − dim(P (S) ∩ P (T )). Como observación de esta fórmula se puede decirque cada par de rectas un plano proyectivo se interseca en un punto y cada par de hiperplanos se intersecasegún uno de sus hiperplanos

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Independencia

Puntos independientes: Si tenemos que P1 =< v1 > . . . Pn =< vn >. P1 . . . Pn son independientes en elespacio proyectivo si, y sólo si, {v1, . . . vn} son linealmente independientes

P (S) : Subespacio engendrado por S. Es el subespacio más pequeño que contiene a S = {P1 . . . Pn}. Se hallaencontrando una base de dicho subespacio, es decir, encontrando el máximo número de puntos linealmenteindependientes de S.

Observaciones:

(1) Un punto es independiente

(2) Dos puntos son independientes ⇐⇒ los puntos son distintos

(3) Tres puntos son independientes ⇐⇒ los puntos no están sobre la misma recta

(4) En P (V ) con dim(P (V )) = n caben, a lo sumo, n + 1 puntos independientes. Además n + 1 puntosindependientes generan la totalidad del espacio P (V )

Subespacios por sus ecuaciones: Se hace de manera similar al espacio vectorial

Coordenadas homogéneas

Coordenada homogénea de P: Es la n+ 1− upla (λ0, . . . , λ1) siendo esta la clase de equivalencia de lascoordenadas de los vectores que engendran el punto P. Es decir, (λ0, . . . , λ1) y sus múltiplos (exceptuando el0)

Número de puntos de P (V ) sobre un cuerpo K con q elementos: qn+1−1q−1

Sistema de coordenadas homogéneo: Es equivalente a una base en un espacio vectorial. Se puede darde dos formas:

(1) Por las clases de equivalencia: {v0, v1, . . . , vn}

(2) Tomando n+ 1 puntos independientes y añadiéndole uno, llamado unidad U, que no esté en ninguno delos hiperplanos engendrados por los primeros n+ 1 puntos {P0, P1, . . . , Pn;U}

Cambio de base: Si A es la matriz del cambio de base, entonces la ecuación: λx′ = xA es la del cambiode base, siendo, x' el nuevo vector en las nuevas coordenadas, x el vector en las primeras coordenadas y A lamatriz cuyas �las son las imágenes de los vectores de la base con respecto al segundo sistema de coordenadas.

Espacio afín dentro del proyectivo

Construcción del espacio afín: Sea H un hiperplano del espacio vectorial V sobre K. Al conjunto depuntos A(V,H) que quedan en el epacio proyectivo P (V ) al eliminar P (H) se le denomina espacio afín sobreK. Es decir, A(V,H) = P (V ) − P (H). Dos hiperplanos diferentes H y H ′ del espacio proyectivo P (V )generan dos espacios a�nes diferentes, pero, en esencia son el mismo

Envolvente proyectiva de A(V,H): es el espacio proyectivo P (V ) en el que está insertado

Puntos del in�nito: Los puntos P de P (V ) tales que P ∈ P (H)

Hiperplano del in�nito o impropio: Es el hiperplano proyectivo P (H)

Subespacio afín: T ≤ A(V,H) ⇐⇒ ∃S ∈ V/S * H tal que T = P (S)− P (H)

Dimensión de A(V,H): coincide con la dimensión del espacio vectorial V y es una menos que la dimensiónde su envolvente proyectiva

Coordenadas cartesianas: Llamaremos así a las coordenadas dadas en un espacio afín A(V,H)

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Cambio de coordenadas homogéneas a cartesianas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadashomogéneas (x0, x1, . . . , xn), sus coordenadas cartesianas serán (y1, . . . , yn) donde cada yi = xi

x0para i =

1, . . . , n

Cambio de coordenadas cartesianas a homogéneas: Si tenemos un punto expresado en las coordenadascartesianas (y1, . . . , yn), sus coordenadas homogéneas serán (1, y1, . . . , yn)

Principio de dualidad

Correlación estándar: Son las aplicaciones S 7→ S∗ y su inversa S∗ 7→ S que resulta ser un antiisomor�smode retículos (cambia de sentido las inclusiones y, por consiguiente, cambia sumas en intersecciones y viceversa)

Principio de dualidad: Todo teorema en espacios proyectivos con dim(P (V )) = n sobre un cuerpo K,enunciado en términos de inclusiones, sumas, e intersecciones de subespacios proporciona un teorema dual,igualmente válido en espacios proyectivos n − dimensionales sobre el mismo cuerpo K, obtenido mediantela inversión de las inclusiones, la sustitución de sumas por intersecciones y viceversa y los subespacios dedimensión r por n− r − 1. Esto se debe fundamentalmente a la correlación estándar

3 Proyectividades, Involuciones y A�nidades

Proyectividades

Transformación regular: Es una aplicación lineal f : V → V ′ en la que Ker(f) = 0 (equivalentemente, fes inyectiva)

Proyectividad: Es una aplicación P (f) : P (V ) → P (V ′) de�nida como P (f) < v >=< f(v) > donde f esuna transofrmación regular

Propiedades:

(1) Tiene carácter functorial: P (1v) = 1P (V ) y P (f ◦ g) = P (f) ◦ P (g)(2) dim(P (V )) ≤ dim(P (V ′)); la igualdad se produce cuando hay proyectividad

(3) Las proyectividades conservan subesapcios: Si P (S) ≤ P (V )⇒ f(P (S)) ≤ f(P (V ))

(4) La inversa de una proyectividad es una proyectividad

(5) Una proyectividad conserva: inclusiones, sumas e intersecciones

(6) Si A ∈ BC ⇒ σ(A) ∈ σ(B)σ(C) donde σ es una proyectividad

Ecuación de una proyectividad: λx = x′A donde x es el vector �la de coordenadas homogénas de P enla base B, x' es el vector imagen respecto al sistema B', y A es la matriz cuyas �las son las imágenes delsistema B en coordenadas B'

A�nidades

A�nidad: Es la aplicación restricción de una proyectividad al dominio A(V,H) y a la imagen A(V ′, H ′).No hay problema porque se sabe que una proyectividad conserva dimensiones, por tanto, transforma unhiperplano H en otro hiperplano H ′

Ecuación de una a�nidad: Existen dos formas:

(1) (1, y′1, . . . , y′n) = (1, y1, . . . , yn)

1 α01 ... α0n

0 α11 ... α1n

... ... ......

0 αn1 ... αnn

donde, y son las coordenadas cartesianas de un

punto de A(V,H); y' son las coordenadas de su imagen y la matriz es la asociada a la aplicación.α00 6= 0

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porque como uo /∈ P (H);P (F ) < uo >/∈ P (H ′) (es decir, el primer vector de la base cae fuera del hiperplanoimpropio) y los demás caen dentro y por eso αi0 = 0 con i > 0

(2) También puede escribirse como: y′ = a+ yA donde a = (α01, . . . , α0n) y A =

α11 ... α1n

.... . .

...αn1 ... αnn

Teorema fundamental de la Geometría proyectiva

Símplex: Son n+2 puntos de un plano proyectivo P (V ) con dim(P (V ) ≥ 1 sobre K de manera que los n+1primeros son independientes y el último no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendrados por los n+1primeros. Tiene la misma construcción que un sistema de coordenadas homogéneo {Po, P1, . . . , Pn;U}

Teorema fundamental de la Geometría Proyectiva: Dados {Pi}, {Qi} dos símplex de dos espaciosproyectivos P y P ′ con dim(P ) = dim(P ′) > 0 sobre K, ∃!σ : P → P ′ proyectividad tal que σ(Pi) = Qi paracada i. Observación: Se deduce de este teorema que basta dar la imagen del simplex para determinar porcompleto una proyectividad

Proyectividades entre rectas en un plano

Perspectividad de centro O de r sobre s: es una aplicación πo : r → s de�nida como A 7→ A′ = S ∩OA

Punto doble: es un punto que se aplica sobre sí mismo a través de una aplicación. Punto �jo

Propiedades inmediatas:

(1) πO es biyectiva

(2) M = r ∩ s es un punto doble

(3) r = s ⇐⇒ πO = id

(4) π−1O es otra perspectividad con el mismo centro

Abcisa: Es el número λ ∈ K tal que en una perspectividad πO, dadas las imágenes de un sistema decoordenadas {A,B;C} de la recta s, donde A =< a >,B =< b >,C =< a+ b >, sobre la recta r {A′, B′;C ′}existe un único escalar λ ∈ K tal que si se tomaD ∈ r conD 6= A, D =< λa+b >en el sistema de coordenadas{A,B;C} en el que A está en el in�nito, B en el origen y C es el punto unidad. λ es la coordenada cartesianaen la recta afín r −A

Razón doble de cuatro puntos: (ABCD) = λ siendo A,B,C,D ∈ P1(V ) con A 6= B 6= C 6= A y D 6= A

Propiedades de la razón doble:

(1) Las perspectividades conservan la razón doble

(2) (ABCB) = 0

(3) (ABCC) = 1

(4) (ABCD) = λ1µo

λ0µ1donde A,B,C,D ∈ P1(V ) y {a, b} es base de V ; A =< λ0a >,B =< λ1b > y

D =< µ0a+ µ1b > elegido el par (λ0, λ1) para que C sea el punto unidad.

(5) (ABCD) = (γ−α)(δ−β)(δ−α)(γ−β) donde A,B,C,D tienen abcisa α, β, γ, δ en un sistema de coordenadas pre�jado

Ecuación explicita de una perspectividad: x′ = λ0+λ1xµ0+µ1x

donde λ0, λ1, µ0, µ1 son escalares que vienen

dados al manipular la fórmula obtenida de la razón doble (ABCX) = (σ(A)σ(B)σ(C)X ′) despejando x′ yse conocen las abcisas de dichos cuatro puntos.

Puntos límite: son las imágenes y originales de los respectivos puntos impropios de r y s. Se pueden hallarhaciendo tender a 0 el denominador y a ∞ la x

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Teorema: Sea σ : r → s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces: σ con-serva razones dobles ⇐⇒ σ es una proyectividad ⇐⇒ σ se descompone, a lo sumo, en producto de 3proyectividades

Teorema: σ : r → s es una perspectividad entre rectas del mismo plano ⇐⇒M = r ∩ s es un punto doble

Teorema: Sean A,B,C,D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con (ABCD) = λ.Se tiene que se reducen a 6 las posibles razones dobles de 4 puntos distintos (que pueden ordenarse de 4!maneras)

Involuciones

Ecuación implícita de σ: λxx′+µx+νx′+ζ = 0 (operando desde la ecuación explícita) donde λζ−µν 6= 0 ylos puntos límite se pueden hallar dividiendo por x y x' y hallando límite cuando tienden a∞ respectivamente

Hallar puntos dobles: Se pueden obtener los puntos dobles de una proyectividad tomando x = x′ en laecuación implícita y hallando sus raíces

Proyectividad hipérbolica: Es una proyectividad que posee dos puntos �jos

Proyectividad parabólica: Es una proyectividad que posee un punto �jo

Proyectividad elíptica: Es una proyectividad que no posee puntos �jos

Involución: Es una proyectividad de una recta r en sí misma con σ2 = 1r

Lema: Si ∃A ∈ r/σ(A) 6= A y σ2(A) = A⇒ σ es una involución con σ 6= id

Cuadrivértice: Es un símplex en el plano proyectivo {A,B,C,D}

Vértices: Cada uno de los puntos que forman un cuadrivértice

Puntos diagonales: E = AB ∩ CD, F = AC ∩BD, G = AD ∩BC

Cuadrilátero: Son cuatro rectas {a, b, c, d} tales que no haya tres de ellas concurrentes. Es el concepto dualde cuadrivértices

Lados: Son las rectas que forman el cuadrilátero

Diagonales: Las tres rectas distintas de los lados que determinan los siete puntos de intersección de loscuatro lados

Segundo teorema de Desargues: Sea {A,B,C,D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r una rectadel plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta a BC en P, AD en P', a AB en Q, a CD enQ′, a BD en R y a AC en R′. Entonces, la única proyectividad σ : r → r tal que σ(P ) = P ′, σ(Q) = Q′ yσ(R) = R′ es una involución. Esto quiere decir que una recta corta a los lados opuestos de un cuadrivérticesegún parjeas de puntos que están en involución

Teorema de Fano

Teorema de Fano: Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo están alineados⇐⇒ la característica del cuerpo base es 2. Dice lo mismo que su dual.

Trapecio: Es un cuadrivértice con un punto diagonal en el in�nito (tiene un par de lados opuestos paralelos)

Paralelogramo: Es un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el in�nito (tiene dos parejas de ladosparalelos)

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Cuaterna armónica

Cuaterna arnmónica: Es una cuaterna A,B,C,D tal que (ABCD) = −1

Cuarto armónico: Es el punto D que produce una cuaterna armónica en la terna (A,B,C)

Conjugados armónicos: A los puntos C y D se les denomina conjugados armónicos de A y B de unacuaterna armónicaA,B,C,D

Punto medio R del segemento PQ: R = P+Q2 . Sólo tiene sentido en el espacio afín

Lema: Cuatro puntos A,B,C,D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica ⇐⇒ B selocaliza, cuando A está en el in�nito, en el punto medio del segmento CD

Lema: Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio

Transformaciones entre haces de rectas (concepto dual)

Lápiz (a, b, c, d): Son cuatro rectas distintas dos a dos y concurrentes de un plano proyectivo

Lápiz armónico: Es un lápiz en el que existe un cuadrilátero que integre a a y b como dos de sus lados, a ccomo una de sus diagonales y a d que pase por el punto de corte de las otras dos rectas diagonales. Observación:Si una recta cualquiera r corta al lápiz en A,B.C,D, estos puntos forman una cuaterna armónica

A∗ : Es el haz de rectas que pasa por A ∈ P(V )

Perspectividad de eje r: Es la aplicación π : A∗ → B∗, de�nida como: πr(a) = a′ = (a ∩ r)B dondea ∈ A∗ y a′ ∈ B∗

Razón doble de un lápiz: Concepto dual de la razón doble de cuatro puntos(ABCD)

Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase por a∩ b⇒(abcd) =(ABCD), donde A = a ∩ r, B = b ∩ r, C = c ∩ r, D = d ∩ r

Teorema (de dualizaciones):

(1) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspectividades

(2) Las proyectividades entre haces de recta de un mismo plano que conserve dobles de lápices es unaproyectividad

(3) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices es unaproyectividad

(4) Una proyectividad entre haces de rectas A∗ y B∗ de un plano es una perspectividad ⇐⇒ la recta ABes doble

(5) El lápiz (a, b, c, d) es armónico ⇐⇒ (abcd) = −1

(6) Una proyectividad σ 6= id de un haz en sí mismo es una involución ⇐⇒ existe una recta a del haz talque σ(a) 6= a y σ2(a) = a

(7) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles

4 Teoremas de con�guración

Homologías, homotecias y traslaciones

Subespacio doble: Es un subespacio que permanece invariante por una proyectividad

Recta doble: Es una recta que permanece invariante por una proyectividad.

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Observación: Los puntos que forman la recta no tienen por qué ser dobles. Ahora bien, si P = r∩s entoncessí que es doble. Además toda recta determinada por dos puntos dobles es doble

Proyectividad central: proyectividad σ : P → P tal que existe un punto C ∈ P tal que cada recta por Ces doble, es decir, si X 6= C⇒ XC = σ(XC). Además, C es el centro de la proyectividad

Propiedades:

(1) Si hay en P dos rectas distintas llenas de puntos dobles ⇒σ = id

(2) Si C es el centro de una proyectividad ⇒ C es doble

(3) Si existen C y C ′ centros de una proyectvidad ⇒σ = id

(4) Si σ es central con centro C y r es una recta doble que no pasa por C ⇒ todo punto de r es doble

Homología: Es una proyectividad central de un plano en sí mismo distinta de la identidad

Teorema: Toda homología posee una única recta con todos sus puntos dobles

Eje de homología: Es la única recta del plano cuyos puntos son dobles por la homología

Observación: Una homología queda determinada por su centro C, su eje r, y un par de puntos A y σ(A).Si nos dan B, σ(B) se obtiene como la intersección de σ(A)P ∩ CB donde P = AB ∩ r

Homotecia de centro C: Es una a�nidad que es la identidad o una restricción de una homología de laenvolvente proyectiva que tiene a C por centro, y a la recta del in�nito por eje. C es un punto del afín

Teorema de Tales: Para cada homotecia σ de centro C existe un escalar λ, denominado razón de lahomotecia, tal que σ(X) − C = λ(X − C). Es más, para cualquiera X,Y del plano afín: σ(X) − σ(Y ) =λ(X − Y )

Observación: La restricción al afín en la que el eje es la recta impropia y C es un punto del in�nito, no esmás que una traslación

Teorema de Pappus

Teorema de Pappus: En un plano proyectivo, dadas dos ternas (A,B,C) y (P,Q,R) de puntos alineados,los puntos X = AB ∩BP, Y = AR ∩CP y Z = BR ∩CQ están en línea recta. Como observación podemosdecir que se sule usar como regla nemotécnica para recordar las intersecciones que intervienen el colocar(A,B,C) y (P,Q,R) como si se fuera a hacer el cálculo de un determinante

Teorema: Sean (A,B,C) una terna de puntos distintos de una recta r de un plano afín y (P,Q,R) otra ternade puntos situados sobre otra recta s del mismo plano secante con la anterior en un punto O /∈ {A,B,C} ytales que AQ ‖ BP y AR ‖ CP ⇒BR ‖ CQ

Teorema menor de Pappus: Sean A,B,C puntos de una recta r de un plano afín y P,Q,R otros trespuntos situados sobre una recta s del mismo plano paralela a r. Si AQ ‖ BP y AR ‖ CP , entonces BR ‖ CQ

Teorema: En un plano proyectivo, se veri�ca el teorema de Pappus ⇐⇒ un par de homologías sonconmutativas (σ ◦ τ = τ◦σ)

Teorema de Desargues

Teorema de Desargues: Sean ABC y A′B′C ′ dos triángulos de un plano proyectivo tales que las rectasAA′, BB′ y CC ′concurren en un punto O ⇒ las parjeas de lados (AB,A′B′), (AC,A′C ′) y (BC,B′C ′) secortan según puntos que están alineados

Con�guración de Desargues: Es la disposición en la que se encuentran dos triángulos bajo las hipótesisdel Teorema de Desargues

Triángulos homólogos: Son dos triángulos que se encuentran en la con�guración de Desargues

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Teorema de Desargues (Dual): Sean (A,B,C) y (A′, B′, C ′) dos triángulos de un plano proyectivo.Entonces, las rectas que pasan por vértices homónimos concurren en un punto ⇐⇒ las parejas de ladoshomónimos se cortan según puntos que están alineados.

Teorema: Sean (A,B,C) y (A′, B′, C ′) dos ternas de puntos de un plano afín tales que, o bien AA′,BB′, CC ′

se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí:

(1) Si P = AB ∩A′B′, Q = AC ∩A′C ′ y R = BC ∩B′C ′, entonces R ∈ PQ (P,Q,R están alineados)

(2) Si AB‖A′B′, entonces QR‖AB‖A′B′

(3) Si AB‖A′B′ y AC‖A′C ′, entonces BC‖B′C ′

(4) El recíproco también es cierto, es decir, Si se veri�ca (1),(2), o (3), entonces se tiene que, o bienAA′,BB′, CC ′ se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí

Teorema: Dado un cuadrivértice (A,B,C,D) de un plano proyectivo con puntos diagonales E = AB ∩CD,F = AC ∩BD,G = AD∩BC, seaM la intersección de la diagonal EF y el lado AD. Entonces G ∈ PQdonde P = AB ∩ CM y Q = CD ∩BM

Teorema: En un plano afín, las medianas de un triángulo concurren en un punto de la envolvente proyectiva,que, además reside en el afín a partir de caracterísitca 3.

Baricentro: Es el punto de corte de las medianas de un triángulo

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