Algebra Lineal. Autor Mario Errol Chavez Gordillo.pdf

a11 a12 · · · a1j · · · a1k · · · a1,n−1 a1n

a12. . . a2n

......

a1j ajj · · · ajk ajn

......

. . ....

...a1k ajk · · · akk akn

......

a1,n−1. . . an−1,n

a1n a2n · · · · · · an−1,n ann

ξ τ τ o

∫

s

ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL

Autor

MARIO ERROL CHAVEZ GORDILLO

La Paz - Bolivia28 de Febrero del 2013

AB

S+

-S

Wu

Wss

0(s )

( )

Wu

0(s )s

s

s+

-

+

-

W ( )

s

s+

-

u

g

g

0

Indice general

1. Matrices 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Matrices. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. Tipos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2. Operaciones con Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Matrices cuadradas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4. Matriz escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5. Transformaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.8. Representacion matricial de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 42

1.9. Metodo de eliminacion de Gauss y de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.10. Aplicacion a la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 57

1.11. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2. Determinantes 80

2.1. Introduccion.- Permutaciones.- Inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.2. Definicion de determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.3. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.4. Metodos generales del calculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4.1. Desarrollo de un determinante por Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4.2. Metodo de Chio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

i

ξ£vι − βταηφoη − ξττo∫s ζℏαυεz ii

2.4.3. Determinante de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.5. Calculo del rango usando determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.6. Regla de Cramer para resolver un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


3. La matriz Inversa 132

3.1. Definicion: Matrices Invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3. Calculo de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.3.1. Metodo de Escalonamiento de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.3.2. Metodo de la Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.4. Aplicacion a la resolucion de ecuaciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


3.6. Metodo de Leontief . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

email [email protected] ii βo∫ιυατ

CAPITULO 1

Matrices

1.1. Introduccion

Vamos a introducir unas notaciones para sistemas generales de m ecuaciones con n incognitasque nos permitiran entender los grandes sistemas. Si se designan las incognitas por x1, ..., xn, unsistema de este tipo se escribe en la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1.1)

donde a11, a12,..., amn con los coeficientes del sistema y b1, b2,..., bm son los terminos independientes.Notese cuidadosamente el orden de colocacion de los subındices. Por ejemplo, a12 es el coeficientede la primera variable x1 en la segunda ecuacion. En general aij es el coeficiente de la variablej−esima xj en la i-esima ecuacion. Algunos o muchos de estos coeficientes pueden ser cero.

Una solucion del sistema (1.1) es un conjunto ordenado de numeros s1, s2,..., sn que verificatodas las ecuaciones simultaneamente cuando se pone x1 = s1, x2 = s2,..., xn = sn. Normalmenteuna solucion se designa por (s1, s2, ..., sn). Si el sistema (1.1) tiene al menos una solucion se lellamara compatible caso contrario de le llamara incompatible.

Hay programas de computador que comprueban que si un sistema como (1.1) es compatible y encaso afirmativo, hallan sus soluciones aunque tenga miles de ecuaciones e incognitas. A pesar deesto, los administradores necesitan entender la teorıa de estos sistemas de ecuaciones para poder

1

ξ£vι − βταηφoη − ξττo∫s ζℏαυεz 2

crear razonamientos teoricos y sacar conclusiones en relacion con los modelos lineales de este tipo.

Ejemplo En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede llenar gasolinaen tres estaciones de servicio A, B y C. El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolinaen A ha sido de 5 bs/litro y el precio de la gasolina en B de 4 bs/litro, pero ha olvidado el precioen C. (Supongamos que son “m” bs/litro). Tambien recuerda que:

❃ la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B supero en 936 bs. al gasto enC.

❄ el numero de litros de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C.

❅ el gasto de litros en A supero al de B en 252 bs.

① Plantea un sistema de ecuaciones (en funcion de “m”) para determinar los litros consumidosen cada gasolinera.

② Estudiar la compatibilidad del sistema en funcion de “m”. ¿Puedes dar algun precio al quesea imposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C?

Solucion.

① Empecemos respondiendo a las siguientes preguntas: Cuales son las incognitas?, ¿Que tengoque buscar, averiguar o que me preguntan?, ¿Que datos me dan?, ¿Cuales son las condicionesdel problema?.

Sean

x el numero de litros que se ha consumido en la gasolinera A

y el numero de litros que se ha consumido en la gasolinera B

z el numero de litros que se ha consumido en la gasolinera C

Entonces segun las condiciones del problema tendremos:

(∗)

5x + 4y = mz + 936y = z

5x = 4y + 252obteniendo

5x + 4y −mz = 936y − z = 0

5x− 4y = 252

Surgen las siguientes interrogantes: ¿Como resolvemos este sistema de ecuaciones?, ¿Que sig-nifica resolver un sistema de ecuaciones?, ¿Las soluciones del sistema dependen del valor quetome la variable m?, ¿Para que valores de m, el sistema tiene una sola solucion, muchassoluciones, ninguna solucion o infinitas soluciones?.

Primero de todo tratemos de responder a la pregunta: ¿Como saber que el sistema tienesolucion o no tiene solucion?, ¿conocemos alguna teorıa que pueda ayudarnos?. Si, la teorıa

email [email protected] 2 βo∫ιυατ


matricial nos puede ayudar a resolverlo, empecemos transformando el sistema en la siguienteecuacion matricial

5 4 −m0 1 −15 −4 0

xyz

=

9360

252

② Para estudiar la compatibilidad del sistema, llamemos a la matriz de coeficientes M y a lamatriz aumentada con los terminos independientes Ma, es decir

M =

5 4 −m0 1 −15 −4 0

Ma =

5 4 −m 9360 1 −1 05 −4 0 252

Observemos que la matriz M es de orden 3 × 3. Ahora bien, el algebra lienal nos da lasiguiente informacion:

☞ Si rango(M) = rango(Ma) = 3, entonces el sistema tiene una unica solucion.

☞ Si rango(M) = rango(Ma) < 3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

☞ Si rango(M) 6= rango(Ma), entonces el sistema no tiene soluciones.

Ahora surge el problema de como calcular los rangos, observemos que la matriz M dependede la variable m. Se sabe que si |M | 6= 0, entonces rango(M) = rango(Ma) = 3. Entonces essuficiente asegurar que el determinante de la matriz M no sea cero. ¿Como logramos esto?.Calculemos todos los valores de m para los cuales el determinante de M se haga cero, esdecir resolvamos la ecuacion |M | = 0.

M =

∣∣∣∣∣∣

5 4 −m0 1 −15 −4 0

∣∣∣∣∣∣

= 0

5

∣∣∣∣

1 −1−4 0

∣∣∣∣− 4

∣∣∣∣

0 −15 0

∣∣∣∣−m

∣∣∣∣

0 15 −4

∣∣∣∣

= 0

5[0− 4]− 4[0− (−5)]−m[0− 5] = 0

5m = 40

m = 8

Si m 6= 8, entonces |M | 6= 0, por lo tanto

rango(M) = rango(Ma) = 3



esto implica que el sistema (∗) tiene solucion unica. ¿Como hallamos esta solucion?.Tenemos al menos dos formas: metodo de Cramer o por el metodo de Gausa Jordan.Por ejemplo si m = 6, entonces

xyz

=

324342342

¿Que significa esto?, ¿Cual es la interpretacion?.

Si m = 8

M =

5 4 −80 1 −15 −4 0

Ma =

5 4 −8 9360 1 −1 05 −4 0 252

En este caso |M | = 0, ademas rango(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la ma-

triz M un menor complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:

∣∣∣∣

5 40 1

∣∣∣∣;

rango(Ma) = 3 puesto que es posible encontrar en la matriz Ma un menor comple-

mentario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo:

∣∣∣∣∣∣

5 4 9360 1 05 −4 252

∣∣∣∣∣∣

= 5

∣∣∣∣

1 −1−4 0

∣∣∣∣−

4

∣∣∣∣

0 05 252

∣∣∣∣− 936

∣∣∣∣

0 15 −4

∣∣∣∣6= 0

Ahora bien como

rango(M) 6= rango(Ma)

entonces el sistema (∗) no tiene solucion.

Por esta razon, resultarıa imposible haber vendido la gasolina a 8 bs. litro en la gaso-linera C.

1.2. Matrices. Operaciones con matrices

Las matrices aparecen por primera vez hacia el ano 1850, introducidas por J.J. Sylvester. Eldesarrollo inicial de la teorıa se debe al matematico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayleyintroduce la notacion matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuacioneslineales con n incognitas.

Las matrices se utilizan en el calculo numerico, en la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales,de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Ademas de su utilidad para el estudio desistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometrıa, estadıstica,economıa, informatica, fısica, etc.



La utilizacion de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajesde programacion, ya que la mayorıa de los datos se introducen en los ordenadores como tablasorganizadas en filas y columnas : hojas de calculo, bases de datos.

DEFINICION 1.1. Se llama matriz de orden m × n a todo conjunto rectangular de numerosreales aij dispuestos en m lıneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n. Lossubındices indican la posicion del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila i y elsegundo la columna j. Por ejemplo el elemento a25 sera el elemento de la fila 2 y columna 5.

El conjunto de todas las matrices de orden m× n, con entradas en R, se denota por Mm×n(R).

Ejemplo

A =

1 −2 3 1−2 0 4 23 4 1 11 2 1 0

, B =

[1 −3 0 18 5 0 7

]

C =

9 0 00 −5 −20 0 0−7 5 3

son matrices. De ellas A es de orden 4× 4, B es 2× 4, C es 4× 3.

♣

Ejemplo Escribir explıcitamente las siguientes matrices:

① A = (aij) ∈ M3×2(R) tal que aij = i + 2j.

② B = (bij) ∈M3×3(R) tal que bij = 2i − j.

③ C = (cij) ∈M3×4(R) tal que cij = mın{i, j}.

④ D = (dij) ∈ M4×3(R) tal que cij = 2i − (−1)j .

Solucion. La matriz A = (aij) de orden 3×2 cuyas entradas son dadas por la condicion aij = i+2jes:

A =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

=

3 54 65 7

.



♣

Ejemplo Construya un ejemplo de una matriz de orden 3× 3, (cij) que satisfaga cij = −cji.

Solucion. La condicion cij = −cji es equivalente a cij + cji = 0, luego un ejemplo para una talmatriz es dada por

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

♣

Ejemplo Determine la matriz de orden 3× 4, A = (aij) para la cual

aij =

{i + j, si i 6= j

0 si i = j.

Solucion. La matriz A = (aij) de orden 3× 4 cuyas entradas son dadas por la condicion anteriores:

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

=

0 3 4 53 0 5 64 5 0 7

♣♣

Ejemplo Una empresa produce cuatro productos A, B, C y D. El productor de cada artıculorequiere cantidades especıficas de dos materiales primas X y Y , y tambien cantidades determinadasde mano de obra. Suponga que la empresa desea comparar los numeros de unidades de X y Y y demano de obra que se requieren en la produccion semanal de estos cuatro productos. En la tabla 1aparece informacion muestral para tal caso. Por ejemplo, la produccion de A requiere 250 unidadesde X, 160 unidades de Y y 80 unidades de mano de obra

Producto A B C DUnidades de material X 250 300 170 200Unidades de material Y 160 230 75 120Unidades de mano de obra 80 85 120 100

Obtener una matriz que resuma todos estos datos.

Solucion. Observe que los datos de esta tabla aparecen en forma natural en un arreglo rectangular.Si se suprimen los encabezados, obtenemos el arreglo rectangular de numeros siguientes:

250 300 170 200160 230 75 12080 85 120 100



Este arreglo es ejemplo de una matriz. ♣

Ejemplo (Polıtica e Ingreso). Un numero de personas fueron entrevistadas acerca de susconvicciones polıticas y su ingreso anual. Se obtuvo la siguiente informacion:

1. 517 eran oficialistas y ganaban mas de 15000 bs al ano.

2. 345 eran opositores y ganaban mas de 15000 bs al ano.

3. 189 eran conservadores y ganaban mas de 15000 bs al ano.

4. 257 eran oficialistas y ganaban menos de 15000 bs al ano.

5. 284 eran opositores y ganaban menos de 15000 bs al ano.

6. 408 eran conservadores y ganaban menos de 15000 bs al ano.

Represente la informacion anterior en una matriz. ¿Es unica esta representacion?.

Solucion.

ganan mas de 15000 bs ganan menos de 15000

Oficialistas 517 257Opositores 345 284Conservadores 189 408

= A

♣

1.2.1. Tipos de Matrices

Matriz cuadrada: Una matriz es cuadrada si el numero de filas es igual al numero de columnas,es decir n = m, en este caso se llama matriz cuadrada de orden n. Si A =

(aij

)

n×n, los elementos

a11, a22 ,..., ann forman la diagonal principal de la matriz. Por ejemplo

A =

2 8 −29 3 6−1 9 5

3×3

es una matriz cuadrada de orden 3 cuya diagonal principal consta de los numeros 2, 3, 5.

Matriz columna: Es la que tiene una columna y mas de una fila, es decir, una matriz n × 1;n > 1. Tambien recibe el nombre de vector. Por ejemplo

29−1

3×1



Matriz fila: Es la que tiene una fila y mas de una columna, es decir, una matriz 1×m; m > 1.Tambien recibe el nombre de vector fila. Por ejemplo

(2 8 −2

)

1×3

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la cual los aij = 0 para todo i 6= j. Es decir,

D =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . amn

Matriz identidad: Es una matriz diagonal con todos los elementos en la diagonal principal(i = j) igual a 1. Generalmente esta matriz se denota con la letra I:

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

Matriz nula: Es una matriz en la cual todos los elementos son iguales a cero. Por ejemplo

A =

(0 0 00 0 0

)

3×3

es la matriz nula de orden 2× 3.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que estan a unmismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:

① Triangular Superior: Si los elementos que estan por debajo de la diagonal principal sontodos nulos. Es decir, aij = 0 , i < j. Por ejemplo

A =

2 8 −20 3 60 0 5

3×3

es una matriz triangular superior.

② Triangular Inferior: Si los elementos que estan por encima de la diagonal principal sontodos nulos. Es decir, aij = 0, j < i. Por ejemplo

A =

2 0 09 3 0−1 9 5

3×3

es una matriz triangular inferior.



1.2.2. Operaciones con Matrices

Igualdad de Matrices

Sean A =(aij

), B =

(bij

)dos matrices ambos de orden n×m, entonces

A = B ⇐⇒ aij = bij ∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m

Ası dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimension y los elementos que ocupan elmismo lugar en ambas son iguales.

Adicion y substraccion de matrices

Dos matrices A y B pueden ser sumadas o restadas para formar A±B si tienen el mismo orden.Sean A =

(aij

), B =

(bij

)dos matrices ambos de orden n×m, entonces la matriz suma A + B es

A + B = (cij), con cij = aij + bij ∀i = 1, ..., n, ∀j = 1, ..., m

Ejemplo Dadas las matrices A =

(−2 4 34 −3 −9

)

y B =

(7 −4 21 9 −6

)

, hallar A + B.

Solucion.

A + B =

(−2 4 34 −3 −9

)

+

(7 −4 21 9 −6

)

=

(5 0 55 6 −15

)

♣TEOREMA 1.1. La suma de matrices verifica las siguientes propiedades

① Conmutativa: A + B = B + A, para todo A, B ∈Mn×m(R).

② Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C), para todo A, B, C ∈Mn×m(R).

③ Existencia del neutro: Existe un elemento en Mn×m(R), denotado 0 y llamado llamado matriznula, tal que para todo A en Mn×m(R) cumple que A + 0 = A.

④ Existencia del inverso: Para todo A =(aij

)en Mn×m(R), existe un elemento en Mn×m(R),

denotado y definido por −A =(− aij

), tal que A + (−A) = 0.

Ejemplo Dada la matriz A =

5 8 43 2 57 6 0

. Hallar una matriz B tal que la suma A+B de la

matriz identidad.

Solucion. Es suficiente despejar B de la ecuacion A + B = I, esto es, B = I −A.



B =

1 0 00 1 00 0 1

−

5 8 43 2 57 6 0

=

−4 −8 −4−3 −1 −5−7 −6 1

♣

Producto de un numero por una matriz

El producto de un numero real k por una matriz A = (aij) es otra matriz B = (bij) de la mismadimension que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir,bij = kaij . El producto de la matriz A por el numero real k se designa por kA. Al numero real kse le llama tambien escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.


(−2 4 34 −3 −9

)

, hallar 3A.

Solucion.

3A = 3

(−2 4 34 −3 −9

)

=

(−6 12 912 −9 −27

)

♣TEOREMA 1.2. Si A, B, C ∈Mn×m(R) y α, β ∈ R entonces se tiene

① α(A + B) = αA + αB.

② (α + β)A = αA + βB.

③ (αβ)A = α(βA) = β(αA).

Ejemplo Efectue las siguientes operaciones y simplifique

(a) 3

2 1−1 34 7

− 2

1 −22 3−3 0

(b) 4

1 0 −3 42 −1 5 13 2 0 −2

− 5

2 −1 2 31 0 −3 43 1 0 −5

Solucion. ♣

Ejemplo Sea las matrices A =

(8 −13 4

)

, B =

(2 3−1 −2

)

y C =

(−1 24 −3

)

. Hallar

la matriz X en la ecuacion3

2(X + A) = 2

[

X + (2B − C)]

+ A.



Solucion. Multiplicando por 2 ambos lados de la ecuacion dada se tiene:

3

2(X + A) = 2

[

X + (2B − C)]

+ A

3(X + A) = 4[

X + 2B − C]

+ 2A

3X + 3A = 4X + 8B − 4C + 2A

3X − 4X = 8B − 4C + 2A− 3A

−X = −A + 8B − 4C

X = A− 8B + 4C

Reemplazado datos tenemos:

X =

(8 −13 4

)

− 8

(2 3−1 −2

)

+ 4

(−1 24 −3

)

=

(8 −13 4

)

−(

16 24−8 −16

)

+

(−4 816 −12

)

=

(−12 −1727 8

)

♣

Ejemplo SiA =

(−3 5−2 1

)

, B =

(−2 74 −1

)

y C =

(11 110 5

)

. Resolver la ecuacion

2(X + B) = 3[

A− 2(B + X)]

+ C. Sol.- X =

(−9 107 −4

)

.

Solucion. ♣

Ejemplo Hallar x, y, z y w si

3

(x yz w

)

=

(x 6−1 2w

)

+

(4 x + y

z + w 3

)

Solucion. ♣

Ejemplo (Matriz de produccion) Una empresa que fabrica calzados produce tres modelos con

distintas caracterısticas en tres tamanos diferentes. La capacidad de produccion (en miles) en suplata de Cochabamba esta dada por la matriz A.



Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3

Tamano 1 5 3 3Tamano 2 7 4 5Tamano 3 10 8 4

= A

En otras palabras, la capacidad de planta es de 5000 calzados de tamano 1 del modelo 1, 3000calzados de tamano 1 del modelo 2, etc. La capacidad de produccion en la planta de la ciudad ElAlto esta dada por la matriz B.

Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3Tamano 1 4 5 3Tamano 2 9 6 4Tamano 3 8 12 2

= B

(a) ¿Cual es la capacidad de produccion total en las dos plantas?

(b) Si la empresa decide incrementar su produccion en la ciudad de Cochabamba en un 20 %,¿cual sera la nueva produccion en su planta?.

Solucion.

(a) La produccion combinada en miles en las dos plantas esta dada por la suma de las matricesA y B.

A + B =

5 3 27 4 510 8 4

+

4 5 39 6 48 12 2

=

9 8 516 10 918 20 6

Por ejemplo, las dos plantas producen 9000 calzados de tamano 1 del modelo 1.

(b) Si la produccion en Cochabamba se incrementa en un 20 %, la nueva produccion (en miles)estara dada por la matriz:

A + 20 %A = A + 0.20A = (1 + 0.20)A = 1.20A

= 1.2

5 3 27 4 510 8 4

=

6 3.6 2.48.4 4.8 612 9.6 4.8

Por consiguiente, se produciran 4800 calzados modelo 2, etc.♣

Ejemplo (Costos de Transporte.) Una companıa tiene plantas en tres localidades X, Y y Z ycuatro almacenes en los lugares A, B, C y D. El costo en dolares de transportar cada unidad desu producto de una planta a un almacen esta dado por la siguiente matriz



A \De X Y Z

A 10 12 15B 13 10 12C 8 15 6D 16 9 10

En otras palabras, el costo de transportar una unidad de producto de la localidad X al almacen Aes de 10 dolares, etc.

(a) Si los costos de transportacion de incrementan uniformemente en 1 dolar por unidad. ¿Cuales la nueva matriz?.

(b) Si los costos de transportacion se elevan en un 20 %, escriba los costos en forma matricial.

Solucion.

(a) Si los costos de transportacion de incrementan uniformemente en 1 dolar por unidad, losnuevos costos en dolares estara dada por la matriz:

10 12 1513 10 128 15 616 9 10

+

1 1 11 1 11 1 11 1 1

=

11 13 1414 11 139 16 717 10 11

Por ejemplo, ahora el nuevo costo de transportar una unidad de producto de la localidad Xal almacen A es de 10 dolares, etc.

(b) Sea ∆ la matriz de costos iniciales. Si los costos de transportacion se elevan en un 20 %, losnuevos costos estaran dados por la matriz:

∆ + 20 %∆ = ∆ + 0.20∆ = (1 + 0.20)∆ = 1.20∆

= 1.2

10 12 1513 10 128 15 616 9 10

=

12 14.4 1815.6 12 14.49.6 18 7.219.2 10.8 12

Por consiguiente, el nuevo costo de transportar una unidad de producto de la localidad Xal almacen A es de 12 dolares, etc.

♣

Ejemplo (Costos de suministros). Un contratista calcula que los costos en dolares de adquiriry transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidadesestan dados por las matrices siguientes (una matriz por cada localidad).



Concreto Madera AceroCostos de material 4 5 3Costos de transportacion 9 6 4

= A


= B


= C

Escriba la matriz que representa los costos totales de material y de transportacion por unidadesde concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades.

Solucion. Las matrices A, B y C son dados por

A =

(20 35 258 10 6

)

B =

(22 36 249 9 8

)

C =

(18 32 2611 8 5

)

La matriz que representa los costos totales de material y de transportacion por unidades deconcreto, madera y acero es la suma de estas tres matrices, es decir,

A + B + C =

(60 103 7528 27 19

)

♣

Ejemplo (Comercio Internacional) El comercio entre los paıses I, II y III durante 2004 en

millones de dolares americanos esta dado por la matriz A = (aij), en donde aij representa lasexportaciones del paıs i al paıs j.

A =

0 16 2017 0 1821 14 0

El comercio entre estos tres paıses durante el ano de 2005 en millones de dolares americanos estadado por la matriz B.

B =

0 17 1918 0 2024 16 0

(a) Escriba una matriz que representa el comercio total entre los tres paıses en el periodo de 2anos, 2004 y 2005.



(b) Si en 2004 y 2005, 1 dolar americano equivalıa a 5 dolares de Hong Kong, escriba la matrizque representa el comercio total durante los 2 anos en dolares de Hong Kong.

Solucion.

(a) El comercio total en millones de dolares americanos entre los tres paıses en el periodo de 2anos, 2004 y 2005, esta dada por la suma de las matrices A y B.

A + B =

0 16 2017 0 1821 14 0

+

0 17 1918 0 2024 16 0

=

0 33 3935 0 3845 30 0

Por ejemplo, del paıs I al paıs III se exportan 39 millones de dolares americanos en el periodode 2 anos, 2004 y 2005.

(b) Recordemos que las entradas aij de la matriz A representa los millones de dolares americanosque el paıs i exporta al paıs j.

aij millones de US1000000 de dolares US

un millon de US

5 dolar HK

1 dolar US

La matriz que representa el comercio total durante los 2 anos en dolares de Hong Kong es:

5

0 33 3935 0 3845 30 0

=

0 165 195175 0 190225 150 0

Por ejemplo, del paıs I al paıs III se exportan 195 millones de dolares de Hong Kong en elperiodo de 2 anos, 2004 y 2005.

♣

Ejemplo (Matriz de produccion) Una fabrica zapatos los produce en color negro, blando ycafe para ninos, damas y caballeros. La capacidad de produccion en miles de pares en su planta deCochabamba esta dada por la matriz A.

Hombres Mujeres Ninos

Negro 5 3 3Gris 7 4 5

Blanco 10 8 4

= A

La capacidad de produccion en la planta de la ciudad El Alto esta dada por la matriz B.



Hombres Mujeres Ninos

Negro 4 5 3Gris 9 6 4

Blanco 8 12 2

= B

(a) ¿Cual es la capacidad de produccion total en las dos plantas?

(b) Si la empresa decide incrementar su produccion en la ciudad de Cochabamba en un 50 % yla de la ciudad de El Alto en un 20 %, ¿cual sera la nueva produccion en las dos plantas?.

Solucion.

(a) La produccion combinada en miles en las dos plantas esta dada por la suma de las matricesA y B.

A + B =

5 3 37 4 510 8 4

+

4 5 39 6 48 12 2

=

9 8 616 10 918 20 6

Por ejemplo, las dos plantas producen 9000 calzados para hombres de color negro.

(b) Si la produccion en Cochabamba se incrementa en un 50 %, la nueva produccion (en miles)estara dada por la matriz:

A + 50 %A = A + 0.50A = (1 + 0.50)A = 1.5A

= 1.5

5 3 27 4 510 8 4

=

7.5 4.5 4.510.5 6 7.515 12 6

Por consiguiente, se produciran 1500 calzados para hombre de color negro.

Ahora bien, si la empresa de la ciudad del alto incrementa su produccion en un 20 %, lanueva produccion (en miles) estara dada por la matriz:

B + 20 %B = B + 0.20B = (1 + 0.20)B = 1.2B

= 1.2

4 5 39 6 48 12 2

=

4.8 6 3.610.8 7.2 4.89.6 14.4 2.4

Por lo tanto, la nueva produccion en las dos plantas sera:

1.5A + 1.2B =

12.3 10.5 8.121.3 13.2 12.324.6 26.4 8.4



♣

Producto escalar o producto interior

(a1 a2 · · · an

)•

b1

b2...bn

= a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn.

Multiplicacion de matrices

Las matrices A y B pueden ser multiplicadas para formar el producto AB si el numero de columnasde A es igual al numero de filas de B. Sean A =

(aij

)de orden n×m, B =

(bij

)de orden m× k.

La matriz producto C = AB es una matriz de orden n× k, cuya entrada en la i−esima fija y enla j-esima columna es cij dado por:

cij =(

ai1 ai2 · · · ain

)•

b1j

b2j

...bnj

= ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj ,

que se obtiene multiplicando escalarmente la i−esima fila de A por j-esima columna de B.

Ejemplo Sean las matrices A y B dadas por

0 1 22 3 14 −1 6

y

3 21 0−1 1

Calcular la matriz producto AB. ¿Esta definido el producto BA?

Solucion. A es 3× 3 y B es 3× 2, luego AB es una matriz de orden 3× 2. Si C = AB, entoncescada elemento cij de la matriz C es el producto interno de la fila i de la matriz A por la columnaj de la matriz B. Por ejemplo, c11 se obtiene multiplicando la primera fila de A por la primeracolumna de B, esto es,

c11 =(

a11 a12 a13

)•

b11

b21

b31

=(

0 1 2)•

31−1

= (0)(3) + (1)(1) + (2)(−1) = 1− 2 = −1



c12 se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de B, esto es,

c12 =(

a11 a12 a13

)•

b12

b22

b32

=(

0 1 2)•

201

= (0)(2) + (1)(0) + (2)(1) = 2

c21 se obtiene multiplicando la segunda fila de A por la primera columna de B, esto es,

c21 =(

a21 a22 a23

)•

b11

b21

b31

=(

2 3 1)•

31−1

= (2)(3) + (3)(1) + (1)(−1) = 6 + 3− 1 = 8

De este modo obtenemos finalmente:

AB =

0 1 22 3 14 −1 6

3 21 0−1 1

=

−1 28 55 14

♣

TEOREMA 1.3. El producto de matrices verifica las siguientes propiedades

① Asociativa: (AB)C = A(BC), para todo A, B, C ∈Mn×m(R).

② Distributiva: A(B + C) = AB + AC, para todo A, B, C ∈ Mn×m(R).

③ Existen divisores de cero: Existen A 6= 0 y B 6= 0 tales que AB = 0.

④ El producto no necesariamente es conmutativo: Existen A 6= 0 y B 6= 0 tales que AB 6= BA.

⑤ α(AB) = (αA)B = A(αB). Para todo A, B ∈Mn×m(R) y todo α ∈ R.

Ejemplo Si A es una matriz de tamano o de orden 3× 4, B de 4× 3, C es de 2× 3 y D de4× 5, calcule los tamanos de los productos de las siguientes matrices: AB, BA, CA, AD, CAD,CBA.

Solucion. ♣

Ejemplo Si A =

(2 31 2

)

y B =

(1 −2 34 1 2

)

, hallar (a) AB y (b) ¿Esta definido el

producto BA?



Solucion. (a) Dado que A tiene dos columnas y B tiene dos filas, entonces AB esta definido,entonces

AB =

(2 31 2

)(1 −2 34 1 2

)

=

((2)(1) + (3)(4) (2)(2) + (3)(1) (2)(3) + (3)(2)(1)(1) + (2)(4) (1)(−2) + (2)(1) (1)(3) + (2)(2)

)

=

(14 −1 129 0 7

)

(b) En este caso B tiene tres columnas y A dos filas, por tanto la multiplicacion BA no estadefinida. ♣

Ejemplo Calcular los siguientes productos de matrices:

(a)

(4 37 5

)(−28 9338 −126

)(7 32 1

)

Sol.

(2 00 3

)

(b)

0 0 11 1 22 2 33 3 4

−1 −12 21 1

(41

)

Sol.

5152535

Solucion. ♣

Ejemplo Determine en cada caso alguna matriz A que hace verdadera la ecuacion matricialsiguiente:

(a) A

[2 11 0

]

=[

5 3]

(b)

1 0 22 −1 00 1 3

A =

7011

(c)

2 01 −10 1

A =

6 03 −10 1

Solucion. ♣

Ejemplo SiA =

−1 34 21 0

y B =

3 −96 120 15

y C =

(4 −1 52 1 1

)

, hallar la matriz

D =(

2A− 1

3B)

C.

Solucion. Primero calculemos la matriz 2A− 1

3B



2A− 1

3B = 2

−1 34 21 0

− 1

3

3 −96 120 15

=

−2 68 42 0

−

1 −32 30 5

=

−3 96 02 −1

Luego

D =(

2A− 1

3B)

C =

−3 96 02 −1

(4 −1 52 1 1

)

=

(−3)(4) + (9)(2) (−3)(−1) + (9)(1) (−3)(5) + (9)(1)(6)(4) + (0)(2) (6)(−1) + (0)(1) (6)(5) + (0)(1)

(2)(4) + (−1)(2) (2)(−1) + (−1)(1) (2)(5) + (−1)(1)

=

6 12 −624 −6 30−2 −7 5

♣

Ejemplo Hallar la matriz P = ABCD, donde:

A =

1 01 −12 −1

, B =

[0 1 0 1 01 0 −1 2 0

]

, C =

2 1 01 −1 31 4 −10 0 23 1 0

, D =

1 0 1 −12 1 −2 21 0 1 0

Solucion. Efectuemos el producto aplicando la propiedad asociativa, efectuemos primero E =CD, luego F = BE y finalmente P = AF . ♣

Ejemplo Dadas las matricesA =

2 1−1 35 2

,

(1 2 −13 2 −4

)

y C =

3 6 1−1 4 52 1 2

. Si

E = ABC, hallar S = e11 + e23 + e32.

Solucion. Sea D = AB =

2 1−1 35 2

(1 2 −13 2 −4

)

=

5 6 −6−1 4 −11−1 6 3

Si E = DC, entonces cada elemento eij de la matriz E es el producto interno de la fila i de lamatriz D por la columna j de la matriz C, esto es,



e11 =(

d11 d12 d13

)•

c11

c21

c31

=(

5 6 −6)•

3−12

= (5)(3) + (6)(−1) + (−6)(2) = 15− 6− 12 = −3

e23 =(

d21 d22 d23

)•

c13

c23

c33

=(

8 4 −11)•

152

= (8)(1) + (4)(5) + (−11)(2) = 8 + 20− 22 = 6

e32 =(

d31 d32 d33

)•

c12

c22

c32

=(−1 6 3

)•

641

= (−1)(6) + (6)(4) + (3)(1) = −6 + 24 + 3 = 21

Luego: S = e11 + e23 + e32 = −3 + 6 + 21 = 24. ♣

Ejemplo Hallar la suma S = 2p11 + p13 − 2p23. Si PABCD, donde

A =

(2 −13 4

)

, B =

(3 −2 10 18 6 −4 2

)

, C =

3 −1 00 2 41 6 −24 1 1

, D =

2 −1 02 3 31 4 −2

Solucion. Sean los productos: E = AB, F = CD y P = EF .

E = AB =

(2 −13 4

)(3 −2 10 18 6 −4 2

)

=

(−2 −10 24 041 18 14 11

)

F = CD =

3 −1 00 2 41 6 −24 1 1

2 −1 02 3 31 4 −2

=

4 −6 −38 22 −212 9 2211 3 1

Luego, si P = EF , entonces



p11 =(

e11 e12 e13 e14

)•

f11

f21

f31

f41

=(−2 −10 24 0

)•

481211

= −8− 80 + 288 + 0 = 200

p13 =(

e11 e12 e13 e14

)•

f13

f23

f33

f43

=(−2 −10 24 0

)•

−3−2221

= 6 + 20 + 528 + 0 = 554

p23 =(

e21 e22 e23 e24

)•

f13

f23

f33

f43

=(

41 18 14 11)•

−3−2221

= −123− 36 + 308 + 11 = 160

Luego S = 2p11 + p13 − 2p23 = (2)(200) + (554)− (2)(160) = 634. ♣

Ejemplo Hallar todas las matrices que conmutan con la matrizA =

3 1 00 3 10 0 3

.

Solucion. Sea B la matriz buscada, entonces B tiene que ser una matriz cuadrada de orden 3

y ademas debe verificarse que AB = BA. Supongamos que B es dado porB =

a b cd e fg h i

.

Hallemos

AB =

3 1 00 3 10 0 3

a b cd e fg h i

=

3a + d 3b + c 3c + f3d + g 3e + h 3f + i

3g 3h 3i

BA =

a b cd e fg h i

3 1 00 3 10 0 3

=

3a a + 3b b + 3c3d d + 3e e + 3f3g g + 3h h + 3i



Puesto que AB = BA, se tiene que

3a + d 3b + c 3c + f3d + g 3e + h 3f + i

3g 3h 3i

=

3a a + 3b b + 3c3d d + 3e e + 3f3g g + 3h h + 3i

igualando componente a componente tenemos:

3a + d = 3a3d + g = 3d

3g = 3g

3b + e = a + 3b3e + h = d + 3e

3h = g + 3h

3c + f = b + 3c3f + i = e + 3f

3i = h + 3i

despejando y simplificando obtenemos

{d = 0g = 0

e = ah = dg = 0

f = bi = eh = 0

En consecuencia

B =

a b cd e fg h i

=

a b c0 a b0 0 a

donde a, b, c ∈ R.

♣

Ejemplo Hallar matrices de orden 4× 4 que sean conmutables con la matriz

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

Solucion. ♣

Ejemplo Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuacion:

(a b c d1 4 9 2

)

1 0 2 00 0 1 10 1 0 00 0 1 0

=

(1 0 6 61 9 8 4

)

.

Respuesta.- a = 1, b = 6, c = 0, d = −2.

Solucion. ♣

Ejemplo Si A =

(1 34 −3

)

, hallar

(xy

)

tal que A

(xy

)

= 3

(xy

)

. Respuesta.-

(xy

)

=(

12/3

)



Solucion. ♣

Ejemplo Un fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios, que llevan jaladoresde metal y chapas especificadas por la siguiente tabla.

Modelo A Modelo B Modelo CNumero de jaladores 8 6 4Numero de chapas 3 2 1

= A

Llamaremos a este arreglo, matriz de partes×modelos. Si el fabricante recibe pedidos en el mes deAgosto 15 del modelo A, 24 del modelo B y 17 del modelo C; y en el mes de septiembre: 25 delmodelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C.

Agosto SeptiembreModelo A 15 25Modelo B 24 32Modelo C 17 27

= B

Llamaremos a este arreglo, matriz modelo×mes. ¿Cuantos jaladores y chapas debe disponer elfabricante cada mes para poder atender los pedidos?.

Solucion. Para determinar el numero de jaladores requeridos en el mes de Agosto, procedemoscomo sigue: El mes de Agosto se han vendido 15 escritorios del modelo A, y cada escritorio delmodelos A require 8 jaladores, por lo tanto se han requerido (8)(15) jaladores para escritorios delmodelo A. Por otro lado, en Agosto se han vendido 24 escritorios del modelo B, y cada escritoriodel modelos B require 6 jaladores, por lo tanto se han requerido (24)(6) jaladores para escritoriosdel modelo B. Tambien en Agosto se han vendido 17 escritorios del modelo C, y cada escritoriode este modelo require 4 jaladores, por lo tanto se han requerido (17)(4) jaladores para escritoriosdel modelo C. Finalmente, el total de jaladores usados para fabricar los escritorios en el mes deagosto es

(8)(15) + (6)(17) + (4)(17) = 332,

que se obtiene sumando el producto de cada elemento de la primera fila de la matriz de partes×modelospor el correspondiente elemento de la primera columna de la matriz modelo×mes.

Para estableces el numero de chapas requeridos en el mes de Agosto se sumarıan el producto decada elemento de la segunda fila de la matriz partes×modelos por el correspondiente elemento dela primera columna de la matriz modelo×mes, esto es:

(3)(15) + (2)(24) + (1)(17) = 110

En el mes de Septiembre el numero de jaladores se obtendrıa sumando el producto de cadaelemento de la primera fila de la matriz partes×modelos por el correspondiente elemento de lasegunda columna de la matriz modelo×mes, esto es:



(8)(15) + (6)(32) + (4)(27) = 500

Y para el numero de chapas se sumarıan el producto de cad elemento de la segunda fila de lapartes×modelos por el correspondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo×mes,esto es:

(3)(15) + (2)(32) + (1)(27) = 166

Con los resultados obtenidos podemos hacer el siguiente arreglo

Agosto SeptiembreNumero de jaladores 332 500Numero de chapas 110 166

= C

Haciendo uso de la notacion matricial, los datos y resultados obtenidos nos expresara la multipli-cacion de matrices del siguiente modo:

(8 5 63 2 1

)

15 2524 3217 27

=

(332 500110 166

)

Observemos de inmediato que el numero de columnas de la primera matriz es igual al primerode filas de la segunda, cuando esto ocurre se dice que las matrices son conformables para lamultiplicacion. ♣

Ejemplo (Valoracion de Inventarios). Un comerciante de televisores a color tiene cinco tele-visores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12. Los televisoresde 26 pulgadas se venden en 650 $ cada uno, los de 20 en 550 $ cada uno, los televisores de 18pulgadas en 500 $ cada uno y los de 12 se venden en 300 $ cada uno. Exprese el precio de ventatotal de su existencia de televisores como el producto de dos matrices.

Solucion.

26 pulg 20 pulg 18 pulg 12 pulgNumero de telivisores 5 8 4 10

}

= A

Ingresos26 pulg 65020 pulg 55018 pulg 50012 pulg 300

= B



Luego, el precio de venta total de su existencia de televisores es dado por el siguiente producto deestas dos matrices, es decir:

(5 8 4 10

)

26201812

= (5)(26) + (8)(20) + (4)(18) + (10)(12) = 482.

Por tanto el comerciante tiene un total de 482 $ de ingresos al vender todos sus televisores. ♣

Ejemplo (Costo de materias primas). Una empresa utiliza tres tipos de materias primas M1,M2 y M3 en la elaboracion de dos productos P1 y P2. El numero de unidades de M1, M2 y M3

usados por cada unidad de P1 son 3, 4 y 2, respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y3, respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a lasemana. Exprese las respuestas a las preguntas siguientes como producto de matrices.

① ¿Cual es el consumo semanal de las materias primas?

② Si los costos por unidad en dolares para M1, M2 y M3 son 6, 10 y 12, respectivamente,¿cuales son los costos de las materias primas por unidad de P1 y P2?

③ ¿Cual es la cantidad total gastaba en materias primas a las 5 semanas en la produccion deP1 y P2?.

Solucion. Construyamos la matriz (materias primas)×productos,

Producto P1 Producto P2

Materia prima M1 3 4Materia prima M2 4 1Materia prima M3 2 3

= A

Es decir, necesitamos 3 unidades de la materia prima M1 para producir una unidad del productoP1.

Podemos resumir el hecho de que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30 unidades de P2 a lasemana en la siguiente matriz:

Una semanaProducto P1 20Producto P2 30

= B

El consumo semanal de las materias primas es dado por el siguiente producto de matrices:

4 43 12 3

3×2

(2030

)

2×1

=

2009070

3×1



esto es

Una semanaMateria prima M1 200Materia prima M2 90Materia prima M3 70

= C

Para responder el inciso (2) formemos la matriz

Materia prima M1 Materia prima M2 Materia prima M3

Costos 6 10 12

}

= D

Por tanto, los costos de las materias primas por unidad de P1 y P2 son dados por:

(6 10 12

)

1×3

4 43 12 3

3×2

=(

78 46)

esto es

Producto P1 Producto P2

Costos 78 46

}

= E

♣

Ejemplo (Costo de suministros). Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas encemento, madera, ladrillos, vidrio y pintura de cualesquiera de tres proveedores. Los precios quecada proveedor fija a cada unidad de estos cinco materiales estan dados en la matriz A.

A =

8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

En esta matriz, cada fila se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales, en el orden lis-tado arriba. El contratista tiene la polıtica de adquirir todos los materiales requeridos en cualquierobra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay tres obras enconstruccion actualmente: la obra I requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente, y la obra IIrequiere 30, 10, 20, 10 y 12 unidades respectivamente. Disponga esta informacion en una matrizB5×2 y forme la matriz AB. Interprete los elementos de este producto y uselos con el proposito dedecidir cual proveedor debiera usar en cada obra.

Solucion. La matriz de precios “proveedor×material” A resume la siguiente informacion

cemento madera ladrillos vidrio pinturaProveedor 1 8 5 7 2 4Proveedor 2 9 4 5 2 5Proveedor 3 9 5 6 1 5

= A



La matriz de requerimiento “material×obra” B es dado por

obra I obra IIcemento 15 30madera 0 10ladrillos 8 20vidrio 8 10pintura 2 12

= B

Hallemos el producto C = AB dado por

AB =

8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

15 300 108 208 102 12

=

200 570201 571201 591

obra I obra IIProveedor 1 200 570Proveedor 2 201 571Proveedor 3 201 591

= C

El costo de realizar la obra I usando los materiales del proveedor 1 es de 200 y el costo de realizarla obra II usando los materiales del proveedor 1 es de 570. Por tanto el costo total es de 770. Loscotos totales se obtienen realizando el siguiente producto de matrices:

200 570201 571201 591

(11

)

=

770772792

♣

Potencia de Matrices

Si A es una matriz cuadrada, la propiedad conmutativa nos permite escribir AA como A2, AAAcomo A3 y ası sucesivamente. En general

An = AA · · ·A A repetida n veces. (1.2)

Ejemplo SeaA =

(1 −10 1

)

. Calcular A2 y A3. Deducir una formula general para An.



Solucion. Vemos que

A2 = AA =

(1 −20 1

)

, A3 = A2A =

(1 −30 1

)

, A4 = A3A =

(1 −40 1

)

La idea es por tanto que, para cada numero natural n,

An =

(1 −n0 1

)

.♣

Ejemplo Si A =

(a 10 a

)

, a ∈ R, hallar An.

Solucion.

A2 = AA =

(a 10 a

)(a 10 a

)

=

(a2 2a0 a2

)

A3 = A2A =

(a2 2a0 a2

)(a 10 a

)

=

(a3 3a2

0 a3

)

La idea es por tanto que, para cada numero natural n,

An =

(an nan−1

0 an

)

.♣

Ejemplo Dada las matrices A =

3 5 31 4 79 6 2

,

21 6 157 8 59 6 3

. Efectuar las operaciones

matriciales:

(a) (A + B)3, (b) A3 − B3, (c) A2 − B2, (b) (A + B)2 − (A−B)2

Solucion. ♣

Ejemplo Determinar A2 − 5A + 2I para A =

1 0 00 2 10 0 3

Solucion. ♣


(1 34 −3

)

y B =

(2 −1−3 −2

)

. (a) Encuentre (A + B)2.

(b) Encuentre A2 + 2AB + B2. (c)¿Es (A + B)2 = A2 + 2AB + B2?.



Solucion. ♣

Ejemplo Tres empresas A, B y C (tambien numeradas 1, 2 y 3) comparten este ano el

mercado de un cierto bien. La empresa A tiene el 20 % del mercado, B tiene el 60 % y C el 20 %.A lo largo del ano siguiente ocurren los siguientes cambios:

A conserva el 85 % de sus clientes, cediendo a B el 5 % y a C el 10 %

B conserva el 55 % de sus clientes, cediendo a A el 10 % y a C el 35 %

C conserva el 85 % de sus clientes, cediendo a A el 10 % y a B el 5 %

(1.3)

Un vector de cuotas de mercado es un vector columna s cuyas componentes son no negativas ysuman 1. Definamos la matriz T y el vector de mercado s siguientes:

T =

0.85 0.10 0.100.05 0.55 0.050.10 0.35 0.85

y s =

0.20.60.2

Notese que tij es la fraccion de clientes de j que se hacen clientes de i en el periodo siguiente.Ası, se llama a T la matriz de transicion.

Calcular el vector Ts, probar que es tambien un vector de cuotas de mercado y dar una inter-pretacion de el. ¿Como se interpretan T(Ts), T(T(Ts)),...?

Solucion.

A B CA 0.85 0.10 0.10B 0.05 0.55 0.05C 0.10 0.35 0.85

T =

0.85 0.10 0.100.05 0.55 0.050.10 0.35 0.85

0.20.60.2

=

0.250.350.40

Como 0.25+0.35+0.40 = 1, Ts es tambien un vector de cuotas de mercado. La primera componentede Ts se obtiene del calculo

(0.85)(0.2) + (0.10)(0.6) + (0.10)(0.2) = 0.25 (1.4)

En esta expresion (0.85)(0.2) es la cuota de mercado de A que se conserva despues de 1 ano,(0.10)(0.6) es la cuota que gana A de B y (0.10)(0.2) es la cuota que gana A de C. La suma en(1.4) es por tanto la cuota total de mercado de A despues de un ano. Los otros elementos de Tstienen interpretaciones analogas, luego Ts debe ser el nuevo vector de cuotas de mercado despuesde un ano. Entonces T(Ts) es el vector de cuotas de mercado despues de transcurrido otro ano,es decir pasados 2 anos y ası sucesivamente. ♣



Ejemplo (Teorıa de grafos). Un grafo consiste en un numero finito de puntos llamados ver-tices, algunos de los cuales estan conectados por lıneas llamadas aristas. A continuacion se dandos ejemplos de grafos con cuatro y cinco vertices

1

2

3

4

1

2

3

4

5

(a)(b)

Si los puntos se enumeran como 1, 2, 3, etc definimos la matriz A poniendo aij = 1, si hay unaarista uniendo los vertices i y j y aij = 0 si no lo hay. Construya A para cada uno de los grafosdados anteriormente. Construya A2 en cada caso. Muestre que el elemento ij en A2 da el numerode trayectorias de vertice i al vertice j que pasan exactamente a traves de algun otro vertice.¿Que piensa que significa los elementos de A3?

Solucion. La matriz A es de orden 4 dado por

A =

1 1 0 01 1 1 10 1 1 10 1 1 1

A2 =

1 1 0 01 1 1 10 1 1 10 1 1 1

1 1 0 01 1 1 10 1 1 10 1 1 1

=

2 2 1 12 4 3 31 3 3 31 3 3 3

♣

Ejemplo (Aplicacion de la teorıa de grafos). El grafo mostrado representa la conexion delıneas telefonicas entre cuatro pueblos. Sea aij la lınea telefonica que conecta el pueblo i con el

pueblo j. Construya la matriz A =(

aij

)

. Evalue A2 y pruebe que el elemento ij de esa matriz

representa el numero de lıneas telefonicas entre el pueblo i y el pueblo j que pasa exactamente atraves de un pueblo intermedio. ¿Que representa los elementos de A + A2?.

Solucion. ♣

Transpuesta de una matriz

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por AT , a la matriz que se obtienecambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de AT , la segunda fila de



A es la segunda columna de AT , etc. Para A ∈ Mm×n(R), se define la transpuesta de A como lamatriz AT ∈Mn×m(R), donde

AT = (bij) con bij = aji ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m (1.5)

De la definicion se deduce que si A es de orden m× n, entonces AT es de orden n×m.


(−2 4 34 −3 −9

)

, hallar AT .

Solucion.

AT =

−2 44 −33 −9

♣TEOREMA 1.4. Si A, B, C ∈Mn×m(R) y α ∈ R entonces se tiene

(1)(

AT)T

= A (2)(

A + B)T

= AT + BT

(3)(

αA)T

= αAT (4)(

AB)T

= BT AT


3 4−1 −22 1

y B =

xy−4

. Hallar x + y tal que

BT A = 0.

Solucion.

BT A =

xy−4

T

3 4−1 −22 1

=(

x y −4)

3 4−1 −22 1

=(−8 + 3x− y −4 + 4x− 2y

)=(

0 0)

{

−8 + 3x− y = 0

−4 + 4x− 2y = 0

{

3x− y = 8

4x− 2y = 4

{

−6x + 2y = −16

4x− 2y = 4

Sumando estas dos ultimas ecuaciones −6x+4x = −16+4, −2x = −12, x = 6, ademas 4(6)−2y =4, −2y = 4− 24, −2y = −20, y = 10. Por tanto x + y = 6 + 10 = 16. ♣



Ejemplo Hallar (XT + A)T , si AX = AT , donde A =

(1 12 3

)

.

Solucion.

Supongamos que X =

(x uy v

)

, entonces la ecuacion AX = AT es

AX =

(1 12 3

)(x uy v

)

=

(x + y u + v

2x + 3y 2u + 3v

)

=

(1 21 3

)

{x + y = 1

2x + 3y = 1

{−3x− 3y = −3

2x + 3y = 1

{−x = −2

x = 2

Reemplazando x = 2, en x + y = 1, se tiene 2 + y = 1, ası y = −1.

{u + v = 2

2u + 3v = 3

{−3u− 3v = −6

2u + 3v = 3

{−u = −3

u = 3

Reemplazando u = 3, en u + v = 2, se tiene 3 + v = 2, ası v = −1. Por lo tanto

X =

(x uy v

)

=

(2 3−1 −1

)

Por tanto

(XT + A)T = (XT )T + AT = X + AT =

(2 3−1 −1

)

+

(1 21 3

)

=

(3 50 2

)

♣

Ejemplo Sean las matrices A =

2 3 1−1 6 34 −2 5

,

8 3 −26 1 3−2 9 2

y la ecuacion:1

2(X −

3A) = AT − 2B. Hallar la suma de las componentes de la diagonal principal de la matriz X.

Solucion.

1

2(X − 3A) = AT − 2B

X − 3A = 2(AT − 2B)

X = 2AT − 4B + 3A



X = 2AT − 4B + 3A

= 2

2 −1 43 6 −21 3 5

− 4

8 3 −26 1 3−2 9 2

+ 3

2 3 1−1 6 34 −2 5

=

−22 −5 19−21 26 −722 −36 17

Luego, la suma de las componentes de la diagonal principal de la matriz X es −22 +26 +17 = 21♣

1.3. Matrices cuadradas especiales

Matriz Simetrica: Una matriz cuadrada es simetrica si y solo si es igual a su transpuesta.

A ∈Mn×n(R) es simetrica ⇐⇒ A = AT ⇐⇒ aij = aji ∀i, j ∈ {1, ..., n}

Ejemplo La matriz

1 −1 0−1 2 30 3 0

es simetrica.

Solucion.

1 −1 0−1 2 30 3 0

T

=

1 −1 0−1 2 30 3 0

♣

Ejemplo Hallar los elementos desconocidos x y y de la siguiente matriz simetrica

1 5x − 3y 5x + 3y

4 2 5x3y

6 5 4

Solucion. ♣

Matriz Antisimetrica: Una matriz cuadrada es antisimetrica si y solo si es igual a la opuestade su transpuesta.

A ∈ Mn×n(R) es antisimetrica ⇐⇒ A = −AT ⇐⇒ aij = −aji ∀i, j ∈ {1, ..., n}

Ejemplo La matriz

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

es antisimetrica.



Solucion.

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

T

=

0 −1 −21 0 −32 3 0

= −

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

♣

Matriz Idempotente: Una matriz cuadrada es idempotente si y solo si es igual a su cuadrado.

A ∈Mn×n(R) es idempotente ⇐⇒ A2 = A

Ejemplo La matriz

(12

12

12

12

)

es idempotente.

Solucion. (12

12

12

12

)2

=

(12

12

12

12

)(12

12

12

12

)

=

(12

12

12

12

)

♣

Matriz Involutiva: Una matriz cuadrada es involutiva si y solo si su cuadrado es igual a laidentidad.

A ∈Mn×n(R) es involutiva ⇐⇒ A2 = I

Ejemplo La matriz

(1 00 −1

)

es involutiva.

Solucion. (1 00 −1

)2

=

(1 00 −1

)(1 00 −1

)

=

(1 00 1

)

♣

Ejemplo Demostrar lo siguiente:

(a) AAT es simetrica (b) A + AT es simetrica (c) A−AT es antisimetrica

Solucion.

(

AAT)T

=(

AT)T

AT = AAT

(

A + AT)T

= AT +(

AT)T

= AT + A = A + AT

(

A− AT)T

= AT −(

AT)T

= AT − A = −(A−AT )♣



Ejemplo Demostrar que si A y B son matrices idempotentes y que conmutan, entonces ABes idempotente.

Solucion.

(

AB)2

= (AB)(AB) = A(BA)B = A(AB)B = (AA)(BB) = A2B2 = AB. ♣

Ejemplo Demostrar que si AB = A y BA = B, entonces A, B, AT y BT son idempotentes.

Solucion.

A2 = AA = (AB)A = A(BA) = AB = A

B2 = BB = (BA)B = B(AB) = BA = B(

AT)2

= AT AT = (AA)T =(

A2)T

= AT

(

BT)2

= BT BT = (BB)T =(

B2)T

= BT

♣

Ejemplo Si A es simetrica de orden n, entonces BT AB es simetrica para cualesquiera B deorden n.

Solucion.

(

BT AB)T

= BT A(

BT)T

= BT AB. ♣

Ejemplo Si A es involutiva, entonces demostrar que1

2(I − A) es idempotente. Recordar que

una matriz es involutiva si A2 = I y una matriz es idempotente si A2 = A.

Solucion.

[1

2(I − A)

]2

=

[1

2(I − A)

] [1

2(I − A)

]

=1

4(I − A)(I − A) =

1

4(I − A− A + A2)

=1

4(I − A− A + I) =

1

2(I −A)

♣



1.4. Matriz escalonada

DEFINICION 1.2. Diremos que una matriz A es escalonada si el primer elemento no nulo decada una de sus filas esta a la izquierda del primer elemento no nulo de cada una de las filassubsiguientes y, ademas, las filas nulas (si las hay) estan debajo de las demas.

Ejemplo La siguiente matriz es escalonada

6 3 7 20 7 5 10 0 0 3

El primer elemento no nulo de la fila uno que es 6 esta a la izquierda del primer elemento nonulo de la fila dos que es 7. Ademas, el primer elemento no nulo de la fila dos que es 7 esta a laizquierda del primer elemento no nulo de la fila tres que es 3. ♣

Ejemplo Las siguientes matrices son escalonadas:

4 7 2 60 3 5 20 0 8 10 0 0 7

,

1 2 3 4 50 0 1 2 30 0 0 0 10 0 0 0 0

,

0 1 2 3 10 0 4 5 20 0 0 6 30 0 0 0 0

♣

DEFINICION 1.3. Diremos que una matriz A es escalonada reducida si es reducida y ademasverifica las siguientes propiedades:

☞ El primer elemento no nulo de cada fila no nula de A es igual a 1.

☞ Cada columna de A que tiene el primer elemento no nulo de alguna fila tiene todos susotros elementos 0.

Ejemplo Las siguientes matrices son escalonadas reducidas:

1 0 0 20 1 0 30 0 1 8

,

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

,

1 2 0 4 00 0 1 2 00 0 0 0 10 0 0 0 0

,

0 1 0 0 10 0 1 0 20 0 0 1 30 0 0 0 0

♣



1.5. Transformaciones elementales

Dada una matriz A de orden n, se llaman transformaciones elementales sobre la matriz A a lassiguientes operaciones:

① Intercambio de dos filas de A. Intercambiar la fila i con la fila j, se escribe fij.

② Multiplicacion de una fila de A por un escalar no nulo. Para la fila i se escribe cfi, c ∈ R.

③ Sumar a una de las filas un multiplo de otra fila. Si a la fila i se suma k veces la fila j,entonces se escribe fi + kfj

1.6. Matrices equivalentes

DEFINICION 1.4. Dos matrices A y B ambos de orden n×m son equivalentes por filas si unade ellas se puede obtener a partir de la otra por aplicacion de una o varias operaciones elementales.

Ejemplo Pruebe que las matrices

A =

1 2 31 2 12 1 01 2 3

y B =

1 2 32 4 20 0 00 −3 −2

son equivalentes

Solucion.

1 2 31 2 12 1 01 2 3

−f1+f4←→

1 2 31 2 12 1 00 0 0

2f2←→

1 2 32 4 12 1 00 0 0

−f2+f3←→

1 2 32 4 20 −3 −20 0 0

f34←→

1 2 32 4 20 0 00 −3 −2

♣

TEOREMA 1.5. Toda matriz es equivalente a una matriz escalonada. Tambien es equivalentea una unica matriz escalonada reducida.

Ejemplo Mediante operaciones elementales llevar la siguiente matriz a su forma escalonaday a su forma escalonada reducida.



A =

2 5 31 2 23 4 12 3 2

Solucion. Empecemos hallando la matriz escalonada.

2 5 31 2 23 4 12 3 2

f12←→

1 2 22 5 33 4 12 3 2

−2f1+f2←→

1 2 20 1 −13 4 12 3 2

−3f1+f3←→

1 2 30 1 −10 −2 −52 3 2

−2f1+f4←→

1 2 30 1 −10 −2 −50 −1 −2

2f2+f3←→

1 2 30 1 −10 0 −70 −1 −2

f2+f4←→

1 2 30 1 −10 0 −70 0 −3

−3

7f3+f4←→

1 2 30 1 −10 0 −70 0 0

A partir de la matriz escalonada podemos hallar la matriz escalonada reducida.

2 5 31 2 23 4 12 3 2

←→

1 2 30 1 −10 0 −70 0 0

− 1

7f3←→

1 2 30 1 −10 0 10 0 0

f3+f2←→

1 2 30 1 00 0 10 0 0

−3f3+f1←→

1 2 00 1 00 0 10 0 0

−2f2+f1←→

1 0 00 1 00 0 10 0 0

♣

Ejemplo Mediante operaciones elementales llevar la siguiente matriz a su forma escalonada.

A =

0 2 −41 4 −53 1 70 1 02 3 0



Solucion.

0 2 −41 4 −53 1 70 1 02 3 0

f12←→

1 4 −50 2 −43 1 70 1 02 3 0

−3f1 + f3

−2f1 + f5←→

1 4 −50 2 −40 −11 220 1 −20 −5 10

1/2f2

1/11f3

1/5f5←→

1 2 20 1 −20 −1 20 1 −20 −1 2

f2 + f3

−f2 + f4

f2 + f5←→

1 2 20 1 −20 0 00 0 00 0 0

♣

Ejemplo Reducir cada una de las siguientes matrices a una matriz escalonada mediante unasucesion finita de operaciones elementales

(a) A =

1 1 −10 1 0−1 1 02 1 1

Rta.

1 1 −10 1 00 0 −10 0 0

(b) A =

2 3 −1 01 2 4 3−2 1 3 2−1 −2 −3 0

Rta.

1 2 4 30 1 9 60 0 1 30 0 0 1

(c) A =

1 −1 2 05 −5 10 06 −6 12 3−1 1 −2 1

Rta.

1 −1 2 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

Solucion. ♣

Ejemplo Mediante una sucesion finita de operaciones elementales, demostrar que:

a a2 a3 a4

b b2 b3 b4

c c2 c3 c4

es equivalente a

1 0 0 abc0 1 0 −(ab + bc + ca)0 0 1 a + b + c

Solucion. ♣



1.7. Rango de una Matriz

DEFINICION 1.5. El rango de una matriz A de orden n×m es el numero de filas no nulas desu matriz escalonada.

Ejemplo Hallar el rango de la matriz A =

25 31 17 4375 94 53 13275 94 54 13425 32 20 48

Solucion.

25 31 17 4375 94 53 13275 94 54 13425 32 20 48

−3f1 + f2

−3f2 + f3

−f1 + f4←→

25 31 17 430 1 2 30 1 3 50 1 3 5

−f2 + f3

−f2 + f4←→

25 31 17 430 1 2 30 0 1 20 0 1 2

−f3 + f4←→

25 31 17 430 1 2 30 0 1 20 0 0 0

La ultima matriz escalonada tiene 3 filas no nulas, luego r(A) = 3. ♣

Ejemplo Dadas las matrices empleando el metodo de transformaciones elementales, hallar elrango de cada una de ellas.

(a)A =

2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 9

Rta. r(A) = 2 (b)B =

3 −1 3 2 55 −3 2 3 41 −3 −5 0 −77 −5 1 4 1

Rta. r(B) = 3

(c)C =

1 3 5 −12 −1 −3 45 1 −1 77 7 9 1

Rta. r(C) = 3 (d)D =

1 2 3 22 3 5 11 3 4 5

Rta. r(D) = 2

Solucion.



1 2 3 22 3 5 11 3 4 5

−2f1 + f2

−f1 + f3←→

1 2 3 20 −1 −1 −30 1 1 3

f2 + f3←→

1 2 3 20 −1 −1 −30 0 0 0

♣

Ejemplo Encuentre valores de α ∈ R para que A =

1 α −12 −1 α1 10 −6

tenga rango igual a 3.

Solucion.

1 α −12 −1 α1 10 −6

−2f1 + f2

−f1 + f3←→

1 α −10 −2α− 1 α + 20 10− α −5

2f3←→

1 α −10 −2α− 1 α + 20 20− 2α −10

−f2 + f3←→

1 α −10 −2α− 1 α + 20 21 −α− 12

f23←→

1 α −10 21 −α − 120 −2α− 1 α + 2

21f3←→

1 α −10 21 −α− 120 −21(2α + 1) 21α + 42

(2α + 1)f2 + f3←→

1 α −10 21 −α− 120 0 −2α2 − 4α + 30

Resolviendo −2α2 − 4α + 30 = 0, tenemos que r(A) = 3 si y solo si α 6= 3 y α 6= −5. ♣

1.8. Representacion matricial de un sistema de ecuaciones

lineales

Muchos problemas de la vida real nos obligan a resolver simultaneamente varias ecuaciones linealespara hallar las soluciones comunes a todas ellas. Tambien resultan muy utiles en geometrıa (lasecuaciones lineales se interpretan como rectas y planos, y resolver un sistema equivale a estudiarla posicion relativa de estas figuras geometricas en el plano o en el espacio).

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir deforma tradicional ası :



a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(1.6)

un sistema ası expresado tiene “m” ecuaciones y “n” incognitas, donde aij son numeros reales,llamados coeficientes del sistema, los valores bm son numeros reales, llamados terminos indepen-dientes del sistema, las incognitas xj son las variables del sistema, y la solucion del sistema es unconjunto ordenado de numeros reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incognitas x1, x2, ..., xn

por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las “m” ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notacion matricial tiene esta forma :

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

Sean

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x =

x1

x2...

xn

b =

b1

b2...

bm

La matriz A es la matriz de coeficientes es de orden m× n y esta formada por los coeficientes delsistema, x es la matriz columna formada por las incognitas y b es la matriz columna formada porlos terminos independientes.

Llamamos matriz ampliada o aumentada de dimension m× (n + 1) a la matriz que se obtiene alanadir a la matriz de coeficientes la columna de los terminos independientes, y la denotamos porAb, es decir

Ab =

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2...

.... . .

......

am1 am2 . . . amn bm

TEOREMA 1.6. Consideremos en sistema matricial Ax = b, donde A es una matriz es de ordenm× n, x de orden n× 1 “n es el numero de incognitas” y b de orden m× 1.

(a) Si r(A) = r(Ab) = n, entonces el sistema tiene una unica solucion. Es decir, si la matrizy su matriz aumentaba tiene rango igual al numero de incognitas entonces el sistema tieneuna unica solucion.



(b) Si r(A) = r(Ab) = k < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Se pueden darvalores arbitrarios a un cierto conjunto de n− k variables y las restantes k variables puedehallarse despejando estas k variables en funcion de las n− k variables dadas. En este casodecimos que el sistema tiene n− k grados de libertad.

(c) Si r(A) 6= r(Ab), entonces el sistema no tiene soluciones.

1.9. Metodo de eliminacion de Gauss y de Gauss Jordan

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones. Obviamente, un sistema se puederesolver cuando es compatible, es decir, cuando el rango de su matriz de coeficientes es igual alrango de su matriz aumentaba. En el transcurso de este curso estudiaremos los siguientes metodospara resolver sistemas de ecuaciones:

① Metodo de Gauss (por reduccion)

② Metodo de Gauss-Jordan (por eliminacion)

③ Metodo de Cramer (por determinantes)

④ Por inversion de la matriz.

Metodo de eliminacion de Gauss

Para resolver un sistema de “m” ecuaciones con “n” incognitas seguir los siguientes pasos:

① Colocar el sistema de ecuaciones lineales en notacion matricial Ax = b, donde A es unamatriz es de orden m × n, x de orden n × 1 “n es el numero de incognitas” y b de ordenm× 1.

② Definir la matriz aumentada Ab

③ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada.

④ Aplicar el Teorema 1.11:

(a) Si r(A) = r(Ab) = n, entonces el sistema tiene una unica solucion. De la forma escalon-ada se obtiene un nuevo sistema A′x = b′ que se resuelve de abajo hacia arriba: sehalla primero el valor de la ultima incognita, se la sustituye por ese valor en la ecuacionanterior y ası sucesivamente.

(b) Si r(A) = r(Ab) = k < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Se pueden darvalores arbitrarios a un cierto conjunto de n − k variables y las restantes k variablespuede hallarse despejando estas k variables en funcion de las n− k variables dadas.



(c) Si r(A) 6= r(Ab), entonces el sistema no tiene soluciones.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema por el metodo de Gauss

x + y + z = 112x− y + z = 5

3x + 2y + z = 24

Solucion. El numero de incognitas del sistema lineal es n = 3.

❃ Colocando el sistema en notacion matricial

1 1 12 −1 13 2 1

xyz

=

11525

❄ La matriz de coeficientes A y la matriz aumentada Ab son dados por

A =

1 1 12 −1 13 2 1

, Ab =

1 1 1 112 −1 1 53 2 1 24

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada.

1 1 1 112 −1 1 53 2 1 24

−2f1 + f2

−3f1 + f3←→

1 1 1 110 −3 −1 −170 −1 −2 −9

f23←→

1 1 1 110 −1 −2 −90 −3 −1 −17

−3f2 + f3←→

1 1 1 110 −1 −2 −90 0 5 10

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion. Para encontrarla procedemos como sigue: Primero escribamos el sistema asociadoa la matriz reducida,

x + y + z = 11−y − 2z = −9

5z = 10

De la ultima ecuacion 5z = 10 despejamos la variable z = 2, que reemplazamos en la segundaecuacion −y − 2(2) = −9, para obtener que y = 5, ahora bien reemplazando z = 2 y y = 5en la primera ecuacion x + 5 + 2 = 11 obtenemos x = 4.




y + 2z + 3t = 12x + y + 3z = 13x + 4y + 2z = 14x + 2y + t = 1



0 1 2 32 1 3 03 4 2 04 2 0 1

xyzt

=

1111


A =

0 1 2 32 1 3 03 4 2 04 2 0 1

, Ab =

0 1 2 3 12 1 3 0 13 4 2 0 14 2 0 1 1


0 1 2 3 12 1 3 0 13 4 2 0 14 2 0 1 1

f12←→

2 1 3 0 10 1 2 3 13 4 2 0 14 2 0 1 1

−1/2f1 + f3

−2f1 + f4←→

2 1 3 0 1

0 1 2 3 1

0 52−5

20 −1

2

0 2 −6 1 −1

−5/2f2 + f3

−2f2 + f4←→

2 1 3 0 1

0 1 2 3 1

0 0 −152−15

2−3

0 0 0 7 75

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 4, entonces el sistema tiene una unicasolucion. Para encontrarla procedemos como sigue: Primero escribamos el sistema asociadoa la matriz reducida,

2x + y + 3z = 1y + 2z + 3t = 1− 15

2z − 15

2t = −3

7t = 75



Resolviendo el sistema de abajo hacia arriba, tenemos t = 15, z = 1

5, y = 0 y x = 1

5.


2x− 4y + 6z = 2y + 2z = −3

x− 3y + z = 4



2 −4 60 1 21 −3 1

xyz

=

2−34


A =

2 −4 60 1 21 −3 1

, Ab =

2 −4 6 20 1 2 −31 −3 1 4


2 −4 6 20 1 2 −31 −3 1 4

1/2f1←→

1 −2 3 10 1 2 −31 −3 1 4

−f1 + f3←→

1 −2 3 10 1 2 −30 −1 −2 3

−f2 + f3←→

1 −2 3 10 1 2 −30 0 0 0

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 2 < 3. El sistema tiene infinitas soluciones.Dado que 2 < 3, entonces las 3−2 = 1 incognitas (ultima incognita) toma valores arbitrariosy a las que se les denomina valores libres o parametros.

Empecemos transformando la matriz escalonada reducida en el siguiente sistema de ecua-ciones

x− 2y + 3z = 1y + 2z = −3

En este sistema hagamos z = t con t ∈ R y luego despejemos x y y en funcion de t{

x− 2y = 1− 3zy = −3− 2z

{x− 2y = 1− 3t

y = −3− 2t



reemplazando y = −3 − 2t en la primera ecuacion x − 2(−3 − 2t) = 1 − 3t, obtenemosx = −5− 7t, luego el vector solucion es dado por

xyz

=

−5− 7t−3− 2t

t

=

−5−30

+

−7t−2tt

=

−5−30

+ t

−7−21

♣

Ejemplo Discutir por el metodo de Gauss el siguiente sistema:

x + 2y − 3z = 42x + 3y + 4z = 54x + 7y − 2z = 12



1 2 −32 3 44 7 −2

xyz

=

4512


A =

1 2 −32 3 44 7 −2

, Ab =

1 2 −3 42 3 4 54 7 −2 12

❅ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

1 2 −3 42 3 4 54 7 −2 12

−2f1 + f2

−4f1 + f3←→

1 2 −3 40 −1 10 −30 −1 10 −4

−f2 + f3←→

1 2 −3 40 −1 10 −30 0 0 −1

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = 2, r(Ab) = 3, entonces r(A) 6= r(Ab). El sistema notiene soluciones. En efecto, el sistema dado es equivalente a:

x + 2y − 3z = 4− 3y + 10z = −3

0x + 0y + z0 = −1



lo que es, obviamente, absurdo.♣

Metodo de eliminacion de Gauss Jordan

Para resolver un sistema de “m” ecuaciones con “n” incognitas seguir los siguientes pasos:

① Colocar el sistema de ecuaciones lineales en notacion matricial Ax = b, donde A es unamatriz es de orden m × n, x de orden n × 1 “n es el numero de incognitas” y b de ordenm× 1.

② Definir la matrices de coeficientes A y la matriz aumentada Ab.

③ Reducir la matriz aumentada Ab a su forma escalonada reducida.

④ Aplicar el Teorema 1.11.

Ejemplo Discutir por el metodo de Gauss Jordan el siguiente sistema:

x + y + z = 22x− y − z = 1x + 2y − z = −3



1 1 12 −1 −11 2 −1

xyz

=

21−3


A =

1 1 12 −1 −11 2 −1

, Ab =

1 1 1 22 −1 −1 11 2 −1 −3




1 1 1 22 −1 −1 11 2 −1 −3

−2f1 + f2

−f1 + f3←→

1 1 1 20 −3 −3 −30 1 −2 −5

−1/3f2←→

1 1 1 20 1 1 10 1 −2 −5

−f2 + f1

−f2 + f3←→

1 0 0 10 1 1 10 0 −3 −6

−1/3f3←→

1 0 3 70 1 −2 −50 0 1 2

−3f3 + f1

2f3 + f2←→

1 0 0 10 1 0 −10 0 1 2

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 1, y = −1, z = 2.

♣


x + 3y + z = 63x− 2y − 8z = 74x + 5y − 3z = 17



1 3 13 −2 −84 5 −3

xyz

=

6717


A =

1 3 13 −2 −84 5 −3

, Ab =

1 3 1 63 −2 −8 74 5 −3 17




1 3 1 63 −2 −8 74 5 −3 17

−3f1 + f2

−4f1 + f3←→

1 3 1 60 −11 −11 −110 −7 −7 −7

−1/11f2

−1/7f3←→

1 3 1 60 1 1 10 1 1 1

−3f2 + f1

−f2 + f3←→

1 0 −2 30 1 1 10 0 0 0



x− z = 3y + z = 1

En este sistema hagamos z = t con t ∈ R y luego despejemos x y z en funcion de t

x = 3 + z = 3 + ty = 1− z = 1− t

luego el vector solucion es dado por

xyz

=

3 + t1− t

z

=

310

+

t−tt

=

310

+ t

1−11

♣


x + y + z = 1x − y + 3z = −3x + z = 1



1 1 −11 −1 31 0 1

xyz

=

1−31




A =

1 1 −11 −1 31 0 1

, Ab =

1 1 −1 11 −1 3 −31 0 1 1


1 1 −1 11 −1 3 −31 0 1 1

f13←→

1 0 1 11 1 −1 11 −1 3 −3

−f1 + f2

−f1 + f3←→

1 0 3 10 −1 2 −40 1 −2 0

f23←→

1 0 3 10 1 −2 00 −1 2 −4

f2 + f3←→

1 0 3 10 1 −2 00 0 0 4

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = 2, r(Ab) = 3, entonces r(A) 6= r(Ab). El sistema notiene soluciones.

♣

Ejemplo Destudiar la compatibilidad del siguiente sistema:

ax− 2y = 4ax + (a− 1)y = 4


❃ Colocando el sistema en notacion matricial(

a −2a a− 1

)(xy

)

=

(44

)

❄ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por

M =

(a −2a a− 1

)

, Ma =

(a −2 4a a− 1 4

)



❅ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida.

(a −2 4a a− 1 4

) −f1 + f2←→(

a −2 40 a + 1 0

)

❆ Aplicar el Teorema 1.11.

☞ Si a = 0, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equiva-lentes a

M =

(0 −20 −1

)

, Ma =

(0 −2 40 −1 0

)

Por tanto, r(M) = 1 y r(Ma) = 2, entonces el sistema no tiene soluciones.

☞ Si a = −1, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equiv-alentes a

M =

(−1 −20 0

)

, Ma =

(−1 −2 40 0 0

)

Por tanto, r(M) = r(Ma) = 1 < 2, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

☞ Si a 6= 0 y a 6= −1, se tiene que r(M) = r(Ma) = 2, por tanto el sistema tiene unaunica solucion.

♣

Ejemplo La matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es:

(1 a

a + 1 2

)

y

la de los terminos independientes es:

(2−2

)

. a) Plantear las ecuaciones del sistema. b) Estudiar

su compatibilidad en funcion de los valores de a. .En que casos tiene solucion unica?. c) Resolverlosi a = 2.

Solucion.

Apartado a: El sistema asociado a las matrices dadas sera:

x + ay = 2(a + 1)x + 2y = −2

El mismo sistema, expresado en forma matricial:

(1 a

a + 1 2

)(xy

)

=

(2−2

)

Apartado b: El numero de incognitas del sistema lineal es n = 2.



❃ La matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son dados por

M =

(1 a

a + 1 2

)

, Ma =

(1 a 2

a + 1 2 −2

)

❄ Reducir la matriz aumentada Ma a su forma escalonada reducida.

(1 a 2

a + 1 2 −2

) −(a + 1)f1 + f2←→(

1 a 20 −a(a + 1) + 2 −2(a + 1)− 2

)

❅ Aplicar el Teorema 1.11.

Resolvamos las ecuaciones

−a(a + 1) + 2 = 0 a = −2, a = 1.

y−2(a + 1)− 2 = 0 a = −2.

☞ Si a = 1, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equiva-lentes a

M =

(1 10 0

)

, Ma =

(1 1 20 0 −6

)


☞ Si a = −2, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma son equiv-alentes a

M =

(1 10 0

)

, Ma =

(1 1 20 0 0

)

Por tanto, r(M) = r(Ma) = 1 < 2, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

☞ Si a 6= 1 y a 6= −2, se tiene que r(M) = r(Ma) = 2, por tanto el sistema tiene unaunica solucion.

Apartado c: Si suponemos que a = 2, tendremos que:

{

x + 2y = 2

3x + 2y = −2cuya solucion es {x = −2, y = 2}

♣

Ejemplo Dado el sistema

(2m− 1)x−my + (m + 1)z = m− 1

(m− 2)x− (m + 1)y + (m− 2)z = m

(2m− 1)x + (m− 1)y + (2m− 1)z = m

Determine para que valores de m:



① El sistema tiene solucion unica. Respuesta.- m 6= 0, m 6= 1 y m 6= −1.

② El sistema tiene infinitas soluciones. Respuesta.- m = −1.

③ El sistema no tiene soluciones. Respuesta.- m = 0, m = 1.

Solucion. Resolvamos el sistema mediante el metodo de Gauss Jordan. El numero de incognitasdel sistema lineal es n = 3.


2m− 1 −m m + 1m− 2 m + 1 m− 22m− 1 m− 1 2m− 1

xyz

=

m− 1mm

❄ Definir la matriz aumentada Ab

Ab =

2m− 1 −m m + 1 m− 1m− 2 m + 1 m− 2 m2m− 1 m− 1 2m− 1 m




Ab

12m−1

f1←→

1 − m

2m− 1

m + 1

2m− 1

m− 1

2m− 1

m− 2 m + 1 m− 2 m

2m− 1 m− 1 2m− 1 m

−(m− 2)f1 + f2

−(2m− 1)f1 + f2←→

1 − m

2m− 1

m + 1

2m− 1

m− 1

2m− 1

01 + m− 3m2

1− 2m

(−2 + m)2

−1 + 2m

−2 + 2m + m2

−1 + 2m

0 −1 + 2m −2 + m 1

C23←→

1m− 1

2m− 1

m + 1

2m− 1− m

2m− 1

0−2 + 2m + m2

−1 + 2m

(−2 + m)2

−1 + 2m

1 + m− 3m2

1− 2m

0 1 −2 + m −1 + 2m

f23←→

1m− 1

2m− 1

m + 1

2m− 1− m

2m− 1

0 1 −2 + m −1 + 2m

0−2 + 2m + m2

−1 + 2m

(−2 + m)2

−1 + 2m

1 + m− 3m2

1− 2m

− −1 + 2m

−2 + 2m + m2f2 + f3

←→

1m− 1

2m− 1

m + 1

2m− 1− m

2m− 1

0 1 −2 + m −1 + 2m

0 0 f(m) g(m)

donde

f(m) = (−2 + m)

( −2 + m

−1 + 2m+

1− 2m

−2 + 2m + m2

)

y

g(m) = 31− 2m + m2 −m3 + m4

2− 6m + 3m2 + 2m3

Las soluciones de la ecuacion f(m) = 0 son:

m = −1, m = 2, m = 1/2(5−√

13), m = 1/2(5 +√

13)



y las soluciones de la ecuacion g(m) = 0 son:

m = 1.

❆ Aplicando el Teorema 1.11. Si m 6= −1, m 6= 2, m 6= 1/2(5 −√

13), m 6= 1/2(5 +√

13) ym 6= 1 entonces f(m) 6= 0 y g(m) 6= 0, por tanto r(A) = r(Ab) = 3, entonces el sistema tienesolucion unica.

Por otro lado, si m = −1 o m = 2 o m = 1/2(5 −√

13) o bien m = 1/2(5 +√

13); perom 6= 1, entonces r(A) = 2 6= r(Ab) = 2. El sistema no tiene soluciones.

No existe un valor de m de modo que f(m) = g(m) = 0, entones El sistema no tienesoluciones infinitas.

♣

1.10. Aplicacion a la resolucion de sistemas de ecuaciones

lineales

Ejemplo Resuelva cada una de las siguientes sistemas mediante la eliminacion de Gauss-Jordan

(a)2x + y + z = 8

3x− 2y − z = 14x− 7y + 3z = 10

(b)x + y + z = 0

−2x + 5y + 2z = 0−7x + 7y + z = 0

(c)5x + 2y + 6z = 0−2x + y + 3z = 0

(d)x− 2y + z − 4w = 1

x + 3y + 7z + 2w = 2x− 12y − 11z − 16w = 5

Solucion. ♣

Ejemplo Resolver el sistema:

(a)

1

x+

1

y+

1

z= 5

2

x− 3

y− 4

z= −11

3

x+

2

y− 1

z= −6

(b)

1

x+

1

y=

13

40

1

x+

1

z=

7

241

y+

1

y=

11

30

Solucion. ♣



Ejemplo Resolver el sistema:

(a)

xy

7x− 2y=

15

11

yz

8y − 7z= −15

xz

3x− 5z= −6

7

(b)

5

2x + y+

4

2x− 3y= 5

15

2x + y+

2

2x− 3y= 5

Solucion. ♣

Ejemplo Un grupo de personas se reune para ir de excursion, juntandose un total de 20 entrehombres, mujeres y ninos. Contando hombres y mujeres juntos, su numero resulta ser el triple delnumero de ninos. Ademas, si hubiera acudido una mujer mas, su numero igualarıa al del hombres.a) Plantear un sistema para averiguar cuantos hombres, mujeres y ninos han ido de excursion. b)Resolver el problema.

Solucion. Si llamamos x, y, z, al numero de hombres, mujeres y ninos, respectivamente, quefueron de excursion, tendremos:

(∗)

x + y + z = 20x + y = 3zy + 1 = x

ordenamos

x + y + z = 20x + y − 3z = 0x − y = 1

Resolvamos el sistema mediante el metodo de Gauss Jordan. El numero de incognitas del sistemalineal es n = 3.


1 1 11 1 −31 −1 0

xyz

=

2001


A =

1 1 11 1 −31 −1 0

, Ab =

1 1 1 201 1 −3 01 −1 0 1




1 1 1 201 1 −3 01 −1 0 1

−f1 + f2

−f1 + f3←→

1 1 1 200 0 −4 −200 −2 −1 −19

f23←→

1 1 1 200 −2 −1 −190 0 −4 −20

−1/2f2←→

1 1 1 200 1 −1/2 19/20 0 −4 −20

−f2 + f1

8f2 + f3←→

1 0 3/2 21/20 1 −1/2 19/20 0 −4 −20

1/4f3←→

1 0 3/2 21/20 1 −1/2 19/20 0 1 5

1/2f3 + f2

−3/2f3 + f1←→

1 0 0 30 1 0 120 0 1 5

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 3, y = 12, z = 5. Luego, habran asistido 3 hombres, 12 mujeres y 5ninos a la excursion.

♣

Ejemplo Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificacionde 8 puntos. En la segunda pregunta saco dos puntos mas que en la primera y un punto menosque en la tercera. a) Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuacion obtenidaen cada una de las preguntas. b) Resolver el sistema.

Solucion. Si llamamos x, y, z, a la puntuacion obtenida en cada pregunta, respectivamente,tendremos:

(∗)

x + y + z = 8y = x + 2y = z − 1

ordenamos

x + y + z = 8x − y = −2

y − z = −1



1 1 11 −1 00 1 −1

xyz

=

8−2−1




A =

1 1 11 −1 00 1 −1

, Ab =

1 1 1 81 −1 0 −20 1 −1 −1


1 1 1 81 −1 0 −20 1 −1 −1

−f1 + f2←→

1 1 1 80 −2 −1 −100 1 −1 −1

f23←→

1 1 1 80 1 −1 −10 −2 −1 −10

2f2 + f3

−f2 + f1←→

1 0 2 90 1 −1 −10 0 −3 −12

−1/3f3←→

1 0 2 90 1 −1 −10 0 1 4

f3 + f2

−2f3 + f1←→

1 0 0 10 1 0 30 0 1 4

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 1, y = 3, z = 4. Luego, habra obtenido 1 punto en la primerapregunta, 3 en la segunda y 4 en la tercera.

♣

Ejemplo Un ama de casa adquirio en el mercado ciertas cantidades de patatas, manzanas y

naranjas a un precio de 100, 120 y 150 ptas/kg., respectivamente. El importe total de la comprafueron 1.160 ptas. El peso total de la misma 9 kg. Ademas, compro 1 kg. mas de naranjas quede manzanas. a) Plantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b)Resolver el problema.

Solucion. Si llamamos x, y, z, al numero de kg. comprados de patatas, manzanas y naranjas,respectivamente, tendremos:

100x + 120y + 150z = 1160x + y + z = 9

y + 1 = zordenamos

10x + 12y + 15z = 116x + y + y = 9

y − z = −1





10 12 151 1 10 1 −1

xyz

=

1169−1


M =

10 12 151 1 10 1 −1

Ma =

10 12 15 1161 1 1 90 1 −1 −1


10 12 15 1161 1 1 90 1 −1 −1

f12←→

1 1 1 910 12 15 1160 1 −1 −1

−10f1 + f2←→

1 1 1 90 2 5 260 1 −1 −1

f23←→

1 1 1 90 1 −1 −10 2 5 26

−2f2 + f3

−f2 + f1←→

1 0 2 100 1 −1 −10 0 7 28

1/7f3←→

1 0 2 100 1 −1 −10 0 1 4

f3 + f2

−2f2 + f1←→

1 0 0 20 1 0 30 0 1 4

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(M) = r(Ma) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 2, y = 3, z = 4. Por tanto, habra comprado 2 kg. de patatas, 3 kg.de manzanas y 4 kg. de naranjas.

♣

Ejemplo En una confiterıa envasan los bombones en cajas de 250 gr., 500 gr. y 1 kg. Cierto dıa

se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas mas de tamano pequeno (250 gr.) que de tamanomediano (500 gr.). Sabiendo que el precio de la caja de 250 gr. es de 1000 ptas. el precio de lacaja de 500 gr. es de 2000 ptas. y el precio de la caja de 1 kg. es de 4000 ptas. Ademas se sabeque el importe total de los bombones envasados asciende a 125.000 ptas: a) Plantear un sistemapara determinar cuantas cajas se han envasado de cada tipo. b) Resolver el problema.

Solucion. Tenemos que:



precio de la caja de 250 gr. = 1000 ptas.

precio de la caja de 500 gr. = 2000 ptas.

precio de la caja de 1 kg. = 4000 ptas.

Si llamamos x, y, z, al numero de cajas envasadas de 250 gr. , 500 gr. y 1 kg., respectivamente,tendremos:

x + y + z = 60x = y + 5

1000x + 2000y + 4000z = 125000ordenamos

x + y + y = 60x − y = 5x + 2y + 4z = 125



1 1 11 −1 01 2 4

xyz

=

605

125


M =

1 1 11 −1 01 2 4

Ma =

1 1 1 601 −1 0 51 2 4 125


1 1 1 601 −1 0 51 2 4 125

−f1 + f2

−f1 + f3←→

1 1 1 600 −2 −1 −550 1 3 65

f23←→

1 1 1 600 1 3 650 −2 −1 −55

2f2 + f3

−f2 + f1←→

1 0 −2 −50 1 3 650 0 5 75

1/5f3←→

1 0 −2 −50 1 3 650 0 1 15

−3f2 + f2

2f2 + f1←→

1 0 0 250 1 0 200 0 1 15



❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(M) = r(Ma) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 25, y = 20, z = 15. Por tanto, se habran envasado 25 cajas pequenas,20 medianas y 15 grandes.

♣

Ejemplo El precio de entrada a cierta exposicion es de 200 ptas. para los ninos, 500 paralos adultos y 250 para los jubilados. En una jornada concreta, la exposicion fue visitada por200 personas en total, igualando el numero de visitantes adultos al de ninos y jubilados juntos.La recaudacion de dicho dıa ascendio a 73.500 ptas. a) Plantear un sistema de ecuaciones paraaveriguar cuantos ninos, adultos y jubilados visitaron la exposicion ese dıa. b) Resolver el problema.

Solucion. Si llamamos x, y, z, al numero de ninos, adultos y jubilados, respectivamente, quevisitaron ese dıa la exposicion, tendremos:

x + y + z = 200y = x + z

200x + 500y + 250z = 73500ordenamos

x + y + z = 200x − y + z = 0

20x + 50y + 25z = 7350



1 1 11 −1 120 50 25

xyz

=

2000

7350


M =

1 1 11 −1 120 50 25

Ma =

1 1 1 2001 −1 1 020 50 25 7350




1 1 1 2001 −1 1 020 50 25 7350

−f1 + f2

−20f1 + f3←→

1 1 1 2000 −2 0 −2000 30 5 3350

−1/2f2←→

1 1 1 2000 1 0 1000 30 5 3350

−30f2 + f3

−f2 + f1←→

1 0 1 1000 1 0 1000 0 5 350

1/5f3←→

1 0 1 1000 1 0 1000 0 1 70

−f2 + f1←→

1 0 0 300 1 0 1000 0 1 70

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(M) = r(Ma) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 30, y = 100, z = 70. Luego, a la exposicion, habran acudido 30 ninos,100 adultos y 70 jubilados.

♣

Ejemplo En un supermercado van a poner en oferta dos marcas de detergente (A y B). Elpropietario consulta su libro de cuentas para ver las condiciones de una oferta anterior, encon-trando la siguiente informacion: el numero total de paquetes vendidos fueron 1.000 unidades; elprecio del paquete A 500 bs; y el importe total de la oferta 440.000 bs. Pero en sus anotaciones noaparece reflejado claramente el precio del paquete B. a) Plantear un sistema para determinar elnumero de paquetes vendidos de cada marca. Discutir su compatibilidad. b) Averiguar si el preciodel paquete B fue 400 o 408 bs. ¿cuantos paquetes se vendieron?

Solucion.

Si llamamos x e y al numero de paquetes vendidos de las marcas A y B, respectivamente, ten-dremos:

{

x + y = 1000

500x + my = 440000

representando el parametro m el precio del paquete de marca B. El numero de incognitas delsistema lineal es n = 2.


1 1500 m

)(xy

)

=

(1000

440000

)




M =

(1 1

500 m

)

, Ma =

(1 1 1000

500 m 440000

)


(1 1 1000

500 m 440000

) −500f1 + f2←→(

1 1 10000 m− 500 −60000

)

❆ Aplicar el Teorema 1.11.

☞ Si m = 500, entonces la matriz de coeficientes M y la matriz aumentada Ma sonequivalentes a

M =

(1 10 0

)

, Ma =

(1 1 10000 0 −60000

)


☞ Si m 6= 500, r(M) = r(Ma) = 2, por tanto el sistema tiene una unica solucion.

❇ Se trata de resolver el sistema para los valores m = 400 y m = 408:

{

x + y = 1000

500x + 400y = 440000{x = 400, y = 600}

{

x + y = 1000

500x + 408y = 440000{x = 8000/23, y = 15000/23}

Como el numero de paquetes vendido de cada marca debe ser un numero entero, el preciodel paquete B tiene que haber sido 400 pesetas. En estas condiciones, se habrıan vendido400 paquetes de la marca A y 600 paquetes de la marca B.

♣

Ejemplo En el trayecto que hay entre su casa y el trabajo, un individuo puede llenar gasolinaen tres estaciones de servicio A, B y C. El individuo recuerda que este mes el precio de la gasolinaen A ha sido de 5 bs/litro y el precio de la gasolina en B de 4 bs/litro, pero ha olvidado el precioen C. (Supongamos que son “m” bs/litro). Tambien recuerda que:

❃ la suma del gasto en litros de gasolina en las estaciones A y B supero en 936 bs. al gasto enC.

❄ el numero de litros de gasolina consumidos en B fue el mismo que en C.



❅ el gasto de litros en A supero al de B en 252 bs.

① Plantea un sistema de ecuaciones (en funcion de “m”) para determinar los litros consumidosen cada gasolinera.

② Estudiar la compatibilidad del sistema en funcion de “m”. ¿Puedes dar algun precio al quesea imposible haber vendido la gasolina en la gasolinera C?

Solucion.

① Empecemos respondiendo a las siguientes preguntas: Cuales son las incognitas?, ¿Que tengoque buscar, averiguar o que me preguntan?, ¿Que datos me dan?, ¿Cuales son las condicionesdel problema?.

Sean

x el numero de litros que se ha consumido en la gasolinera A

y el numero de litros que se ha consumido en la gasolinera B

z el numero de litros que se ha consumido en la gasolinera C

Entonces segun las condiciones del problema tendremos:

(∗)

5x + 4y = mz + 936y = z

5x = 4y + 252obteniendo

5x + 4y −mz = 936y − z = 0

5x− 4y = 252


Primero de todo tratemos de responder a la pregunta: ¿Como saber que el sistema tienesolucion o no tiene solucion?, ¿conocemos alguna teorıa que pueda ayudarnos?. Si, la teorıamatricial nos puede ayudar a resolverlo, empecemos transformando el sistema en la siguienteecuacion matricial

5 4 −m0 1 −15 −4 0

xyz

=

9360

252


M =

5 4 −m0 1 −15 −4 0

Ma =

5 4 −m 9360 1 −1 05 −4 0 252




☞ Si rango(M) = rango(Ma) = 3, entonces el sistema tiene una unica solucion.



5 4 −m 9360 1 −1 05 −4 0 252

f13←→

5 −4 0 2520 1 −1 05 4 −m 936

1/5f1←→

1 −4/5 0 252/50 1 −1 05 4 −m 936

−5f1 + f3←→

1 −4/5 0 252/50 1 −1 00 8 −m 684

−8f2 + f3←→

1 −4/5 0 252/50 1 −1 00 0 8−m 684

4/5f2 + f1←→

1 0 −4/5 252/50 1 −1 00 0 8−m 684

Si m = 8, la matriz de coeficientes M y a la matriz aumentada con los terminosindependientes Ma son equivalentes a:

M =

1 0 −4/50 1 −10 0 0

Ma =

1 0 −4/5 252/50 1 −1 00 0 0 684

Entonces r(M) = 2 y ademas r(Ma) = 3. Ahora bien como rango(M) 6= rango(Ma)entonces el sistema (∗) no tiene solucion.

Por esta razon, resultarıa imposible haber vendido la gasolina a 8 bs. litro en la gaso-linera C.

Si m 6= 8, entonces rango(M) = rango(Ma) = 3 esto implica que el sistema (∗) tienesolucion unica. Por ejemplo si m = 6, entonces

xyz

=

324342342

¿Que significa esto?, ¿Cual es la interpretacion?.♣



Ejemplo (Punto de equilibrio de mercado). Dos productos A y B compiten. Las demandas qA

y qB de estos productos estan relacionadas a sus precios pA y pB por las ecuaciones de demanda:

qA = 17− 2pA +1

2pB y qB = 20− 3pB +

1

2pA

Las ecuaciones de oferta son:

pA = 2 + qA +1

3qB y pB = 2 +

1

2qB +

1

4qA

Que dan los precios a los cuales las cantidades qA y qB estaran disponibles en el mercado. En elpunto de equilibrio del mercado, las cuatro ecuaciones deben satisfacerse dado que la demanda yla oferta deben ser iguales. Calcule los valores de equilibrio de qA, qB, pA y pB.

Solucion. Considerando las cuatro ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

qA + 2pA − 1

2pB = 17

qB − 1

2pA + 3pB = 20

qA +1

3qB − pA = −2

1

4qA +

1

2qB − pB = −2



1 0 2 −1

2

0 1 −1

23

11

3−1 0

1

4

1

20 1

qA

qB

pA

pB

=

1720−2−2




A =

1 0 2 −1

2

0 1 −1

23

11

3−1 0

1

4

1

20 1

, Ab =

1 0 2 −1

217

0 1 −1

23 20

11

3−1 0 −2

1

4

1

20 −1 −2




1 0 2 −1

217

0 1 −1

23 20

11

3−1 0 −2

1

4

1

20 −1 −2

−f1 + f3

−1/4f1 + f4←→

1 0 2 −1

217

0 1 −1

23 20

01

3−3

1

2−19

01

2−1

2

9

8−25

4

−1/3f2 + f3

−1/2f2 + f4←→

1 0 2 −1

217

0 1 −1

23 20

0 0 −17

6−1

2−77

3

0 0 −1

4−19

8−65

4

−4f4

f34←→

1 0 2 −1

217

0 1 −1

23 20

0 0 1 −19

265

0 0 −17

6−1

2−77

3

−2f2 + f1

1/2f3 + f2

17/6f3 + f4←→

1 0 0 −39

2−113

0 1 031

4

105

2

0 0 1 −19

265

0 0 0317

12

317

2

12/317f4←→

1 0 0 −39

2−113

0 1 031

4

105

2

0 0 1 −19

265

0 0 0 1 6

392f4 + f1

−314f4 + f2

−196f4 + f3←→

1 0 0 0 4

0 1 0 0 6

0 0 1 0 8

0 0 0 1 6

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 4, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por qA = 4, qB = 6, pA = 8 y pB = 6. ♣

Ejemplo Dada la ecuacion LS: 0.3Y +100i−252 = 0 y la ecuacion LM : 0.25Y−200i−176 = 0.Determine el nivel de ingresos y la tasa de interes.

Solucion. El analisis LS − LM trata de determinar el nivel de ingresos y la tasa de interes a losque estaran en equilibrio tanto el mercado de bienes como el monetario. Para lograr esto se deberesolver el sistema de ecuaciones lineales:



0.3Y + 100i = 2520.25Y − 200i = 176



0.3 1000.25 −200

)(Yi

)

=

(252176

)


A =

(0.3 1000.25 −200

)

, Ab =

3

10100 252

1

4−200 176


3

10100 252

1

4−200 176

103f1←→

11000

3

2520

3

1

4−200 176

−14f1 + f2←→

11000

3

2520

3

0 −805

3−34

− 3805

f2←→

11000

3

2520

3

0 1102

805

−1000

3f2 + f1

←→

1 02520

3

0 1102

805

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 2, entonces el sistema tiene solucion unica,por tanto en equilibrio Y = 128440/161 y i = 102/805.

♣

Ejemplo (Modelos de determinacion de ingresos). En general, los modelos de determinacionde ingresos expresan el nivel de equilibrio de ingreso en una economıa de cuatro sectores. Comosigue: Y = C + I + G + (X −M). En donde Y =ingresos, C =consumo, I =inversion, G =gastosdel gobierno, X =exportaciones y M =importaciones. Consideremos una economıa simple de dos



sectores en la que Y = C + I, C = C0 + bY y I = I0. Supongase asimismo, que C0 = 85, b = 0.90y I0 = 55. Determinar el nivel de equilibrio de Y y C.

Solucion. Las ecuaciones dada se pueden reordenar primeramente, de tal modo que las variablesendogenas C y Y , se encuentren del lado izquierdo de la ecuacion y las variables exogenas C0 yI0 a la derecha. Es decir:

Y − C = I0

−bY + C = C0



1 −1−b 1

)(YC

)

=

(I0

C0

)


A =

(1 −1−b 1

)

, Ab =

(1 −1 I0

−b 1 C0

)


(1 −1 I0

−b 1 C0

)

bf1 + f2←→(

1 −1 I0

0 1− b C0 + bI0

)

11−b

f2←→

1 −1 I0

0 1C0 + bI0

1− b

f2 + f1←→

1 0 I0 +C0 + bI0

1− b

0 1C0 + bI0

1− b

❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 2, entonces el sistema tiene solucion unica,

por tanto en equilibrio Y = I0 +C0 + bI0

1− b= 55 +

85 + (0,9)55

1− 0,9= 1400 y C =

C0 + bI0

1− b=

85 + (0,9)55

1− 0,9= 1345.

♣

Ejemplo (Inversiones). Una persona invirtio un total de 20000 bs en tres inversiones al 6 %,

8 % y 10 %. El ingreso anual fue de 1624 bs y el ingreso de la inversion del 10 % fue dos veces elingreso de la inversion al 6 %. ¿De cuanto fue cada inversion?.



Solucion. Denotemos por x, y y z el monto de las inversion al 6 %, 8 % y 10 % respectivamente.Es decir, x bs se invertiran al 6 %, y bs se invertiran al 8 %, y z bs se invertiran al 10 %. Ahora

bien, el ingreso de invertir x bs al 6 % es6

100x, el ingreso de invertir y bs al 8 % es

8

100y y el

ingreso de invertir z bs al 10 % es10

100z. Como el ingreso anual fue de 1624 bs, entonces tenemos

una primera ecuacion6

100x +

8

100y +

10

100z = 1624. Por otro lado la persona invirtio un total

de 20000 bs, esto es, 20000 bs se dividio en montos de x, y y z bs, ası obtenemos una segundaecuacion x + y + z = 20000. Por ultimo, se sabe que el ingreso de la inversion del 10 % fue dos

veces el ingreso de la inversion al 6 %, lo cual implica que10

100z = 2

6

100x.

Simplificando y resumiendo obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

6

100x +

8

100y +

10

100z = 1624

x + y + z = 20000

10

100z = 2

6

100y

3x + 4y + 5z = 81200

x + y + z = 20000

−6x + 5z = 0



3 4 51 1 1−6 0 5

xyz

=

8120020000

0


A =

3 4 51 1 1−6 0 5

, Ab =

3 4 5 812001 1 1 20000−6 0 5 0


3 4 5 812001 1 1 20000−6 0 5 0

f13←→

1 1 1 200003 4 5 81200−6 0 5 0

−3f1 + f2

6f1 + f3←→

1 1 1 200000 1 2 211000 6 11 120000

−6f2 + f3←→

1 1 1 200000 1 2 212000 0 −1 −7200



❆ Aplicar el Teorema 1.11. Como r(A) = r(Ab) = 3, entonces el sistema tiene una unicasolucion dada por x = 6000, y = 6800, z = 7200.

♣

1.11. Sistemas homogeneos

Si en el sistema lineal Ax=b, en particular B es el vector nulo de orden m× 1, entonces Ax=0.Recibe el nombre de sistema lineal homogeneo. Este sistema siempre tiene solucion, en efecto, elvector nulo 0 de orden n× 1 satisface el sistema lineal homogeneo, este se llama solucion trivial.Como consecuencia del Teorema tenemos el siguiente Corolario

COROLARIO 1.1. Consideremos en sistema matricial Ax = 0, donde A es una matriz es deorden m× n, x de orden n× 1 “n es el numero de incognitas” y 0 de orden m× 1.

(a) Si el rango de la matriz de coeficientes es igual al numero de incognitas, es decir, r(A) = n,entonces dicho sistema admite como unica solucion la trivial, esto es, x1 = 0, x2 = 0, , ... ,xn = 0.

(b) Si el rango es menor que el numero de variables, es decir, r(A) = r < n, el sistema tendra in-finitas soluciones. Dado que r < n, entonces las n− r incognitas toman valores arbitrarios ya las que se les denomina valores libre o parametros.


x + y + z = 0x− y = 0

y + z = 0



1 1 11 −1 00 1 1

xyz

=

000

❄ Definimos la matriz de coeficientes A

A =

1 1 11 −1 00 1 1



❅ Reducir la matriz A a su forma escalonada reducida.

1 1 11 −1 00 1 1

−f1 + f2←→

1 1 1o −2 −10 1 1

f23←→

1 1 1o 1 10 −2 −1

−f2 + f1

2f2 + f3←→

1 0 0o 1 10 0 1

❆ Aplicar el Corolario 1.1. Como r(A) = 3, entonces dicho sistema admite como unica solucionla trivial

X = 0 =

00...0

esto es x1 = 0, x2 = 0, ..., xn = 0.

♣


x− y + 3z = 0x + y − z = 0

x − z = 0



1 −1 31 1 −11 0 −1

xyz

=

000

❄ Definimos la matriz de coeficientes A

A =

1 −1 31 1 −11 0 −1




1 −1 31 1 −11 0 −1

f13←→

1 0 −11 −1 31 1 −1

−f1 + f2

−f1 + f3←→

1 0 10 1 −20 −1 2

f2 + f3←→

1 0 10 1 −20 0 0

❆ Aplicar el Corolario 1.1. Como r(A) = 2 < 3. El sistema tiene infinitas soluciones. Dado que2 < 3, entonces las 3− 2 = 1 incognitas (ultima incognita) toma valores arbitrarios y a lasque se les denomina valores libres o parametros.


x = 0y − 2z = 0


x = 0y = 2z = 2t


xyz

=

02tt

= t

021

♣

Ejemplo Consideremos las matrices:

A =

12

12

0

14

14

12

13

13

13

, X =

xyz

, B =

111

Resolver el sistema lineal {XT A = XT

BT X = 1

Solucion. Efectuemos primero las operaciones matriciales XT A = XT y BT X = 1.



XT A = XT

(x y z

)

12

12

0

14

14

12

13

13

13

=(

x y z)

(12x + 1

4y + 1

3z 1

2x + 1

4y + 1

2z 1

2y + 1

3z)

=(

x y z)

Por igualdad de matrices obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

12x + 1

4y + 1

3z = x

12x + 1

4y + 1

2z = y

12y + 1

3z = z

Multiplicando por 12 a las dos primers ecuaciones y por 6 a la tercera ecuacion ademas de reducirterminos semejantes tenemos:

6x + 3y + 4z = 12x

6x + 3y + 4z = 12y

3y + 2z = 6z

6x− 3y − 4z = 0

6x− 9y + 4z = 0

3y − 4z = 0

(1.7)

Ahora bien la ecuacion BT X = 1 se transforma en(

1 1 1)

xyz

= 1, de donde obtenemos

la ecuacionx + y + z = 1 (1.8)

Juntando las ecuaciones en (1.7) con la ecuacion (1.8) el sistema a resolver es:

6x− 3y − 4z = 0

6x− 9y + 4z = 0

3y − 4z = 0

x + y + z = 1

Aplicando en metodo de Gauss Jordan se obtiene que r(A) = r(Ab) = 3 y la solucion es

x =4

11, y =

4

11, z =

3

11.

♣

Ejemplo Resolver el sistema XT A = XT , donde:



A =

2 2 1 32 5 2 6−1 −3 −1 −53 8 5 14

, X es una matriz columna.

Solucion. Sacando transpuesta a ambos lados de la ecuacion XT A = XT se sigue que(

XT A)T

=(

XT)T

esto es AT X = X, transponiendo terminos, AT X−X = 0, obtenemos una ecuacion lineal

homogeneo (AT − I)X = 0. Aquı el numero de incognitas del sistema lineal es n = 4.

❃ El sistema a resolver es (AT − I)X = 0

❄ La matriz de coeficientes AT − I es dado por

AT − I =

2 2 −1 32 5 −3 81 2 −1 53 6 −5 14

−

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 2 −1 32 4 −3 81 2 −2 53 6 −5 13


1 2 −1 32 4 −3 81 2 −2 53 6 −5 13

−2f1 + f2

f1 + f3

−3f1 + f4←→

1 2 −1 30 0 −1 20 0 −1 20 0 −2 4

−f2 + f3

−2f2 + f4←→

1 2 −1 30 0 −1 20 0 0 00 0 0 0

−f2←→

1 2 −1 30 0 1 −20 0 0 00 0 0 0

f2 + f1←→

1 2 0 10 0 1 −20 0 0 00 0 0 0

❆ Aplicar el Corolario 1.1. Como r(AT − I) = 2 < 4. El sistema tiene infinitas soluciones y elnumero de variables libres es n− r = 4− 2 = 2. Calculemos estas soluciones infinitas:


x1 + x2 + x4 = 0x3 − 2x4 = 0



Sean las variables libres x2 y x4. Entonces haciendo x2 = t y x4 = s con t, s ∈ R. Ahoradespejemos x1 y x3 en funcion de t y de s.

{x1 + t + s = 0

x3 − 2s = 0

{x1 = −t− sx3 = 2s


X =

x1

x2

x3

x4

=

−t− st2ss

=

−tt00

+

−s02ss

= t

−1100

+ s

−1021

♣


CAPITULO 2

Determinantes

2.1. Introduccion.- Permutaciones.- Inversiones

Sea In = {1, 2, ..., n}. Una permutacion del conjunto In es una funcion biyectiva σ : In → In. Elconjunto de todas las permutaciones de In se denota por Sn. Denotamos una permutacion σ por:

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

)

o simplemente por σ =(

σ(1) σ(2) · · · σ(n))

Se acostumbra a identificar la permutacion con el elemento resultante, esto es, la imagen de laaplicacion σ. Ası, (1, 7, 4, 2, 5, 6, 3) es una permutacion de 7 elementos, donde, la aplicacion es talque:

σ(1) = 1, σ(2) = 7, σ(3) = 4, σ(4) = 2, σ(5) = 5, σ(6) = 6, σ(7) = 3

Ejemplo Consideremos las 3! = 6 permutaciones de los numero enteros 1, 2, 3

σ1 = (1, 2, 3) σ2 = (1, 3, 2) σ3 = (2, 1, 3) σ4 = (2, 3, 1) σ5 = (3, 1, 2) σ6 = (3, 2, 1)

Por ejemplo, cuando σ3 = (2, 1, 3), entonces σ3(1) = 2, σ3(2) = 1 y σ3(3) = 3.

80


Y las 4! = 24 permutaciones de los numero enteros 1, 2, 3, 4

1234 2134 3214 4231

1243 2143 3241 4213

1423 2413 3421 4123

1432 2431 3412 4132

1342 2341 3142 4312

1324 2314 3124 4321

♣Dada una permutacion cualquiera de los numeros 1, 2, 3, 4,. . ., n, denotemos la permutacion por(

σ(1), σ(2), ..., σ(n))

. En esta disposicion, algunos de los numeros que siguen a σ(1) pueden ser

menores que σ(1); la cantidad de veces que esto ocurre se llama numero de inversiones delordenamiento concerniente a σ(1). De la misma manera, habra cierto numero de inversionesconcernientes a cada una de las otras σ(i): El numero de inversiones del ordenamiento concernientea σ(i) es

η(i) = #{j ∈ {σ(i), ..., σ(n)} : j ≤ σ(i)}

El ındice de la permutacion es la suma de todos los numeros de inversiones concernientes acada ındice, esto es:

I(σ) =

n−1∑

i=1

η(i).

Ejemplo Para n = 5, la permutacion (5, 3, 1, 2, 4) tiene 4 inversiones concernientes al primerelemento 5, 2 inversiones concernientes al segundo elemento 3, y ninguna mas, por lo que el ındicees 4 + 2 = 6.

♣

DEFINICION 2.1. Se dice que una permutacion es par si el numero total de inversiones es unentero par, y se dice que es impar, si el numero total de inversiones es un entero impar.

Definimos el signo de una permutacion σ por

signo(σ) = (−1)I(σ) = (−1)numero total de inverciones

Ejemplo En la siguiente tabla se presenta una clasificacion de las diferentes permutaciones

de {1, 2} como pares o impares. Y tambien su signo

Solucion.



Permutacion Indice Clasificacion

σ1 = (1, 2) 0 par

σ2 = (2, 1) 1 impar♣

Ejemplo En la siguiente tabla se presenta una clasificacion de las diferentes permutaciones

de {1, 2, 3} como pares o impares. Y tambien su signo

Solucion.

Permutacion Indice Clasificacion

σ1 = (1, 2, 3) 0 par

σ2 = (1, 3, 2) 1 impar

σ3 = (3, 1, 2) 2 par

σ4 = (3, 2, 1) 3 impar

σ5 = (2, 3, 1) 2 par

σ6 = (2, 1, 3) 1 impar♣

2.2. Definicion de determinante

Dada una matriz cuadrada A de orden n:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

Se llama Determinante de A y se representa por |A| o tambien det(A), al numero que se obtienede la siguiente forma:

|A| = det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∑

σ∈Sn

(−1)I(σ)a1σ(1)a2σ(2) · · ·anσ(n)

Por tanto, el determinante de una matriz de orden n estara formado por la suma de n! sumandos,cada uno de ellos formado por n factores, entre los que figura un solo elemento de cada fila y unsolo elemento de cada columna de la matriz.

Vamos a ver que significa esta definicion en matrices de orden pequeno:



☞ Determinantes de orden 1: Si A = (a11) es una matriz de orden 1, entonces |A| = |a11| = a11.El valor del determinante coincide con el valor del unico elemento de la matriz.

☞ Determinantes de orden 2: Sea A =

(a11 a12

a21 a22

)

. Recuerde que la permutacion σ1 = (1, 2)

es par y σ2 = (2, 1) es impar, luego

|A| =∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣

=∑

σ∈S2

(−1)I(σ)a1σ(1)a2σ(2)

= (−1)I(σ1)a1σ1(1)a2σ1(2) + (−1)I(σ2)a1σ2(1)a2σ2(2)

= a11a22 − a12a21

☞ Determinantes de orden 3: Sea A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

entonces

|A| =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣

=∑

σ∈S3

(−1)I(σ)a1σ(1)a2σ(2)a3σ(3)

|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

La Regla de Sarrus para calcular el determinante de orden 3, nos permite calcular todos losproductos posibles y sus correspondientes signos, que consiste en un esquema grafico para losproductos positivos y otro para los negativos:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

No funciona para matrices de orden 4 o superior.

Ejemplo Calcule el determinante de la matriz B =

1 2 3−4 5 67 −8 9

Solucion.1 2 3 1 2−4 5 6 −4 57 −8 9 7 −8

det(B) = (45) + (84) + (96)− (105)− (−48)− (−72) = 240 ♣



2.3. Propiedades de los determinantes

Observacion. Dado que det(At) = det(A), se tiene que todas las propiedades indicadas a contin-uacion valen para las filas como para las columnas. Para A es una matriz de orden n se tiene:

(1) Si una matriz cuadrada tiene una lınea con todos los elementos nulos, su determinante valecero. Si A tiene una fila nula, entonces det(A) = 0.

∣∣∣∣∣∣

2 0 −11 0 2−3 0 4

∣∣∣∣∣∣

= 0

(2) El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales: det(At) = det(A).

∣∣∣∣∣∣

2 3 −11 4 2−3 1 4

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2 1 −33 4 1−1 2 4

∣∣∣∣∣∣

= −15

(3) Si un determinante tiene dos filas iguales, es igual a cero. Si A tiene dos filas iguales, entoncesdet(A) = 0.

∣∣∣∣∣∣

2 3 21 4 1−3 1 −3

∣∣∣∣∣∣

C1 = C3

⇓= 0

(4) Si todos los elementos de una fila contienen un factor comun, este puede sacarse fuera deldeterminante. Si B se obtiene de A multiplicando una fila de A por un escalar α, entoncesdet(B) = α det(A).

∣∣∣∣∣∣

6 3 −93 4 1−1 2 4

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

(3)(2) (3)(1) (3)(−3)3 4 1−1 2 4

∣∣∣∣∣∣

3f1

⇓= 3

∣∣∣∣∣∣

2 1 −33 4 1−1 2 4

∣∣∣∣∣∣

(5) Si una fila de A es multiplo de otra fila de A, entonces det(A) = 0.

∣∣∣∣∣∣

6 8 103 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

(2)(3) (2)(4) (2)(5)3 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣

3f1

⇓= 2

∣∣∣∣∣∣

3 4 53 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣

= 2(0) = 0



(6) Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, este cambia de signo. Si Bse obtiene de A intercambiando dos filas de A, entonces det(B) = − det(A).

∣∣∣∣∣∣

2 3 −11 4 2−3 1 4

∣∣∣∣∣∣

f13

⇓= −

∣∣∣∣∣∣

−3 1 41 4 22 3 −1

∣∣∣∣∣∣

(7) Si en un determinante, se anade a una fila una combinacion lineal de las otras filas el valordel determinante no varıa. Si B se obtiene de A sumando un multiplo escalar α de la fila ia la fila j, entonces det(B) = det(A).

∣∣∣∣∣∣

2 3 −11 4 2−3 1 4

∣∣∣∣∣∣

2f3 + f1

⇓=

∣∣∣∣∣∣

−4 5 71 4 22 3 −1

∣∣∣∣∣∣

(8) Si todos los elementos de una fila de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos,entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila losprimeros y segundos sumandos respectivamente, y en las demas los mismos elementos queel determinante inicial.

∣∣∣∣∣∣

5 3 −16 4 2−7 1 4

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2 + 3 3 −11 + 5 4 2−3− 4 1 4

∣∣∣∣∣∣

C1

⇓=

∣∣∣∣∣∣

2 3 −11 4 2−3 1 4

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

3 3 −15 4 2−4 1 4

∣∣∣∣∣∣

21 =

∣∣∣∣∣∣

3 6 91 3 57 4 8

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 + 2 2 + 4 3 + 61 3 57 4 8

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 2 31 3 57 4 8

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

2 4 61 3 57 4 8

∣∣∣∣∣∣

= 7 + 14 = 21

(9) Si A es una matriz triangular, entonces su determinante es igual al producto de los elementosdiagonales. Si A es una matriz triangular, entonces det(A) = Πn

i=1aii.

∣∣∣∣∣∣

4 3 90 −2 20 0 5

∣∣∣∣∣∣

= (4)(−2)(5) = 40.

(10) El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al productode los determinantes: det(AB) = det(A) det(B).

∣∣∣∣∣∣

2 1 01 2 01 2 1

∣∣∣∣∣∣

= 3,

∣∣∣∣∣∣

1 2 33 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣

= 2



∣∣∣∣∣∣

2 1 01 2 01 2 1

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣

1 2 33 4 51 1 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

5 8 117 10 138 11 13

∣∣∣∣∣∣

= 6

2.4. Metodos generales del calculo de Determinantes

2.4.1. Desarrollo de un determinante por Adjuntos

Sea A ∈ Mm×n(R), la matriz complementaria del elemento aij es la matriz Mij ∈ Mm×n(R) quese obtiene de A eliminando la fila i y la columna j.

Mij =

a11 · · · a1(j−1) a1(j+1) · · · a1n

......

......

......

a(i−1)1 · · · a(i−1)(j−1) a(i−1)(j+1) · · · a(i−1)n

a(i+1)1 · · · a(i+1)(j−1) a(i+1)(j+1) · · · a(i+1)n...

......

......

...an1 · · · an(j−1) an(j+1) · · · ann

DEFINICION 2.2. Se llama menor del elemento aij, al determinante de la matriz complemen-taria del elemento aij, es decir es el escalar det(Mij).

DEFINICION 2.3. Se llama cofactor de un elemento aij (o adjunto de aij) al escalar

cij = (−1)i+j det(Mij)

El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columnacualquiera, multiplicados por sus respectivos adjuntos.

Para cualesquiera j = 1, 2, ..., n el desarrollo del determinante det(A) por los elementos de lacolumna j-esima es dado por

det(A) = |A| =n∑

i=1

aijcij =

n∑

i=1

(−1)i+jaij det(Mij). (2.1)

Para cualesquiera i = 1, 2, ..., n el desarrollo del determinante det(A) por los elementos de la filai-esima es dado por

det(A) = |A| =n∑

j=1

aijcij =

n∑

j=1

(−1)i+jaij det(Mij). (2.2)



Nota: A las expresiones para calcular el determinante dadas en las ecuaciones (2.1) y (2.2) se lesdenomina expansion del determinante de Laplace.

Ejemplo Calcular el siguiente determinante

∣∣∣∣∣∣

3 0 2−1 1 05 2 3

∣∣∣∣∣∣

desarrollando por los elementos de

la primera fila

Solucion.

∣∣∣∣∣∣

3 0 2−1 1 05 2 3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+13

∣∣∣∣

1 02 3

∣∣∣∣+ (−1)1+20

∣∣∣∣

−1 05 3

∣∣∣∣+ (−1)1+32

∣∣∣∣

−1 15 2

∣∣∣∣

= (3)[3− 0]− 0 + (2)[−2− 5] = −5

♣

Ejemplo Probar que

∣∣∣∣∣∣

1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(c− b)

Solucion.∣∣∣∣∣∣

1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+11

∣∣∣∣

b b2

c c2

∣∣∣∣+ (−1)1+2a

∣∣∣∣

1 b2

1 c2

∣∣∣∣+ (−1)1+3a2

∣∣∣∣

1 b1 c

∣∣∣∣

= 1[bc2 − cb2]− a[1c2 − 1b2] + a2[c− b]

= bc2 − cb2 − ac2 − ab2 + a2c− a2b

No es facil ver directamente que esta suma de 6 terminos es igual a (b− a)(c− a)(c− b). Lo quehay que hacer es desarrollar (b− a)(c− a)(c− b) y comprobar la igualdad de esa forma. ♣

Ejemplo Calcular el siguiente determinante

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 0 0 26 1 c 2−1 1 0 05 2 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solucion. Como el elemento c esta en la fila 2 y la columna 3, se ha escrito su adjunto corre-spondiente. Para hallar en valor del determinante desarrollamos por los elementos de la terceracolumna del determinante porque tienen muchos ceros. Esto da:

∣∣∣∣∣∣∣∣

3 0 0 26 1 c 2−1 1 0 05 2 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+3c

∣∣∣∣∣∣

3 0 2−1 1 05 2 3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)(c)(−5) = 5c.



♣

El criterio para preferir el desarrollo por una u otra fila es claro: conviene desarrollar por aquellasfilas que tengan el maximo numero de elementos iguales a cero. Si los ceros no estuviesen de entradaallı, podrıamos crearlos recurriendo a la propiedad (7). Vamos a ilustrar esto con ejemplos:

Ejemplo Calcular

∣∣∣∣∣∣

3 −1 20 −1 −16 1 2

∣∣∣∣∣∣

Solucion.

∣∣∣∣∣∣

3 −1 20 −1 −16 1 2

∣∣∣∣∣∣

−2f1 + f3=

∣∣∣∣∣∣

3 −1 20 −1 −10 3 −2

∣∣∣∣∣∣

(1)=3

∣∣∣∣

−1 −13 −2

∣∣∣∣= 3(2 + 3) = 15

La igualdad (1), se obtiene desarrollando por cofactores en la primera columna. ♣

Ejemplo Calcular

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 3 −10 4 0 00 1 −1 23 2 5 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solucion.

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 3 −10 4 0 00 1 −1 23 2 5 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣

(1)= (−1)2+24

∣∣∣∣∣∣

2 3 −10 −1 23 5 −3

∣∣∣∣∣∣

−3/2f1 + f3= 4

∣∣∣∣∣∣

2 3 −10 −1 20 1/2 −3/2

∣∣∣∣∣∣

(2)= (4)(2)

∣∣∣∣

−1 21/2 −3/2

∣∣∣∣= 8(3

2− 2

2

)

= 4

La igualdad (1), se obtiene desarrollando por cofactores en la fila 2; la (2), desarrollando porcofactores en la columna 1. ♣

Ejemplo Evaluar el siguiente determinante:

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0 13 2 −1 5 00 1 −1 1 51 0 1 1 10 0 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Solucion.



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0 13 2 −1 5 00 1 −1 1 51 0 1 1 10 0 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0 0 13 2 −1 5 00 1 −6 1 51 0 0 1 10 0 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1C5 + C3

i = 1, 3, 4, ..., n

= (−1)5+5(1)

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 0 03 2 −1 50 1 −6 11 0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la quinta fila

= (−1)1+1(2)

∣∣∣∣∣∣

2 −1 51 −6 10 0 1

∣∣∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la primera fila

= (2)(−1)3+3(1)

∣∣∣∣

2 −11 −6

∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la tercera fila

= (2)(1)[

(2)(−6)− (1)(−1)]

= −22♣

Ejemplo Hallar los determinantes aplicando el metodo de Cofactores o desarrollo por Adjun-tos.

(a)

∣∣∣∣∣∣

1 1 135 37 3423 26 25

∣∣∣∣∣∣

(b)

∣∣∣∣∣∣

1 z −y−z 1 xy −x 1

∣∣∣∣∣∣

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

∣∣∣∣∣∣∣∣

(d)

∣∣∣∣∣∣∣∣

a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣

(e)

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 11 b + c a a1 1 c + a b1 1 c a + b

∣∣∣∣∣∣∣∣

(f)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 23 7 2 56 2 4 67 8 9 7

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solucion.

(a)

∣∣∣∣∣∣

1 1 135 37 3423 26 25

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 2 −10 3 2

∣∣∣∣∣∣

−35f1 + f2

−23f1 + f3

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

2 −13 2

∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la primeracolumna

= (2)(2)− (3)(−1) = 7



(b)

∣∣∣∣∣∣

1 z −y−z 1 xy −x 1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 z −y0 1 + z2 x− yz0 −x− yz 1 + y2

∣∣∣∣∣∣

zf1 + f2

−yf1 + f3

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

1 + z2 x− yz−x− yz 1 + y2

∣∣∣∣


= (1 + z2)(1 + y2)− (−x− yz)(x− yz)

= (1 + z2)(1 + y2) + (x + yz)(x− yz)

= 1 + y2 + z2 + z2y2 + x2 − y2z2

= 1 + y2 + z2 + x2

(c)

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 10 1 2 30 2 5 90 3 9 19

∣∣∣∣∣∣∣∣

−f1 + fj

j = 2, 3, 4

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣∣∣

1 2 32 5 93 9 19

∣∣∣∣∣∣


=

∣∣∣∣∣∣

1 2 30 1 30 3 10

∣∣∣∣∣∣

−2f1 + f2

−3f1 + f3

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

1 33 10

∣∣∣∣


= 1♣

(d)



∣∣∣∣∣∣∣∣

a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

a 1 1 11− a a− 1 0 01− a 0 a− 1 01− a2 1− a 1− a 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

−C1 + C2

−C1 + C3

−aC1 + C4

= (−1)4+1(1)

∣∣∣∣∣∣

1− a a− 1 01− a 0 a− 11− a2 1− a 1− a

∣∣∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la cuartacolumna

=

∣∣∣∣∣∣

1− a a− 1 01− a 0 a− 1

2− a2 − a 1− a 0

∣∣∣∣∣∣

C2 + C3

= (−1)3+2(a− 1)

∣∣∣∣

1− a a− 12− a2 − a 1− a

∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la terceracolumna

= −(1− a)[

(1− a)2 − (2− a2 − a)(a− 1)]

= −(1− a)[

1− 2a + a2 − (2a− a3 − a2 − 2 + a2 + a)]

= −(1− a)[

1− 2a + a2 − 2a + a3 + a2 + 2− a2 − a]

= −(1− a)[

3− 5a + a2 + a3]

= −(3− 5a + a2 + a3 − 3a + 5a2 − a3 − a4)

= −3 + 8a− 6a2 + a4

♣(e)



∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 11 b + c a a1 1 c + a b1 1 c a + b

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 11 b + c a a1 1 c + a b0 0 −a a

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1f3 + f4

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 2 11 b + c 2a a1 1 c + a + b b0 0 0 a

∣∣∣∣∣∣∣∣

C4 + C3

= (−1)4+4(a)

∣∣∣∣∣∣

0 1 21 b + c 2a1 1 c + a + b

∣∣∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la cuarta fila

= −a

∣∣∣∣∣∣

1 1 c + a + b1 b + c 2a0 1 2

∣∣∣∣∣∣

Cambiando las filas 1y 3

= −a

∣∣∣∣∣∣

1 1 c + a + b0 b + c− 1 a− c− b0 1 2

∣∣∣∣∣∣

−f1 + f2

= −a(−1)1+1(1)

∣∣∣∣

b + c− 1 a− c− b1 2

∣∣∣∣


= (−a)[

2(b + c− 1)− (a− c− b)]

= −a[

2b + 2c− 2− a + c + b]

= −a(3b + 3c− a− 2)

= −3ab− 3ac + a2 + 2a = a2 + 2a− 3ab− 3ac

♣

(f)



∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 23 7 2 56 2 4 67 8 9 7

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 3 20 1 −7 −10 −10 −14 −60 −6 −12 −7

∣∣∣∣∣∣∣∣

−3f1 + f2

−6f1 + f3

−7f1 + f4

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣∣∣

1 −7 −1−10 −14 −6−6 −12 −7

∣∣∣∣∣∣


=

∣∣∣∣∣∣

1 −7 −10 −84 −160 −54 −13

∣∣∣∣∣∣

10f1 + f2

6f1 + f3

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

−84 −16−54 −13

∣∣∣∣


= (−84)(−13)− (−54)(−16) = 1092− 864 = 228♣

Ejemplo Sea

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

= 5. Calcule (a)

∣∣∣∣∣∣

d e fg h ia b c

∣∣∣∣∣∣

y (b)

∣∣∣∣∣∣

−a −b −c2d 2e 2f−g −h −i

∣∣∣∣∣∣

Solucion.

∣∣∣∣∣∣

d e fg h ia b c

∣∣∣∣∣∣

= (−1)

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

= −5

∣∣∣∣∣∣

−a −b −c2d 2e 2f−g −h −i

∣∣∣∣∣∣

= (−1)(2)(−1)

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

= (2)(5) = 10

♣

Ejemplo Sin desarrollar directamente, demuestre que: si A =

1 1 1b + c c + a a + bbc ca ab

, el

determinante de A es igual a (a− b)(a− c)(b− c).

Solucion.



∣∣∣∣∣∣

1 1 1b + c c + a a + bbc ca ab

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 c + a− b− c a + b− b− c0 ca− bc ab− bc

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 a− b a− c0 c(a− b) b(a− c)

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

a− b a− cc(a− b) b(a− c)

∣∣∣∣= (a− b)b(a− c)− c(a− b)(a− c)

= (a− b)b(a − c)− c(a− b)(a− c)

= (a− b)(a− c)(b− c)♣

Ejemplo Aplicando propiedades de determinante, demostrar:

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 11 1 + a 1 11 1 1 + b 11 1 1 1 + c

∣∣∣∣∣∣∣∣

= abc

Solucion.

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 11 1 + a 1 11 1 1 + b 11 1 1 1 + c

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 01 a 0 01 0 b 01 0 0 c

∣∣∣∣∣∣∣∣

−1C1 + Cj

j = 2, 3, 4

= (−1)4+4(c)

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 a 01 0 b

∣∣∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la cuartacolumna

= (−1)3+3(c)(b)

∣∣∣∣

1 01 a

∣∣∣∣

Desarrollo por cofac-tores en la terceracolumna

= abc♣

Ejemplo Demuestre que

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(c− b)

Solucion.



♣

Ejemplo Verificar que

∣∣∣∣∣∣

1 a bc1 b ac1 c ab

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(c− b)

Solucion.

∣∣∣∣∣∣

1 a bc1 b ac1 c ab

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 a bc0 b− a ac− bc0 c− a ab− bc

∣∣∣∣∣∣

−1f1 + fi

i = 2, 3

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

b− a ac− bcc− a ab− bc

∣∣∣∣


= (b− a)(ab− bc)− (c− a)(ac− bc)

= (b− a)b(a− c)− (c− a)c(a− b)

= (b− a)b(a− c)− (a− c)c(b− a)

= (b− a)(a− c)(b− c)♣

Ejemplo Suponga que

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

= 7. Encuentre

∣∣∣∣∣∣

a + d b + e c + fd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

.

Solucion.

∣∣∣∣∣∣

a + d b + e c + fd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

d e fd e fg h i

∣∣∣∣∣∣

= 7 + 0 = 7.

♣

Ejemplo Si det(A) = 3, hallar det(A5).

Solucion.

det(A5) =[

det(A)]5

= 35 = 243. ♣

Ejemplo Calcular

|A| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 22 2 3 . . . 2...

......

. . ....

2 2 2 . . . n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣



Solucion.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 22 2 3 . . . 2...

......

. . ....

2 2 2 . . . n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 0 . . . 02 2 2 . . . 20 0 1 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . n− 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2f2 + fi

i = 1, 3, 4, ..., n

= (−1)1+1(−1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 2 . . . 20 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . n− 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣


= (−1)(−1)1+1(2)

∣∣∣∣∣∣∣

1 . . . 0...

. . ....

0 . . . n− 2

∣∣∣∣∣∣∣


= −2(n− 2)!♣

Ejemplo Evalue det(M) siendo M = [1]n×1 − [1]1×n − In

Solucion.

M =

111...1

(1 1 1 · · · 1

)−

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

=

1 1 1 · · · 11 1 1 · · · 11 1 1 · · · 1...

......

. . ....

1 1 1 · · · 1

−

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

=

0 1 1 · · · 11 0 1 · · · 11 1 0 · · · 1...

......

. . ....

1 1 1 · · · 0



∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 · · · 11 0 1 · · · 11 1 0 · · · 1...

......

. . ....

1 1 1 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 0 · · · 10 −1 0 · · · 10 0 −1 · · · 1...

......

. . ....

1 1 1 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1Cn + Cj

j = 1, 3, 4, ..., n

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 0 · · · 10 −1 0 · · · 10 0 −1 · · · 1...

......

. . ....

1 1 1 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

fi + fn

i = 1, 3, 4, ..., n− 1n−1 veces︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1 = n− 1

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 0 0 · · · 10 −1 0 · · · 10 0 −1 · · · 1...

......

. . ....

0 0 0 · · · n− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

n−1 veces︷︸︸︷

(−1)(−1) · · · (−1)(n− 1) = (−1)n−1(n− 1)♣

2.4.2. Metodo de Chio

El metodo de Chio consiste en reducir un determinante de orden n a otro de orden n − 1, alos efectos de facilitar el calculo del mismo. El procedimiento puede reiterarse hasta lograr undeterminante de orden 2 o 1. El metodo consiste en:

① Elegir una fila o columna en el determinante que tenga todos sus elementos ceros exceptouno que debera ser distinto de cero.

② El elemento distinto de cero necesariamente debera tener el valor 1 al que llamaremos pivotey lo marcaremos como 1 i×j si este se encuentra en la fila i y columna j.

③ Si la fila o columna elegida no reune estas condiciones, mediante transformaciones elemen-tales en las matrices siempre podremos lograr la condicion (1).

④ El valor del determinante sera igual al cofactor del elemento pivote.

⑤ Reiteramos el metodo hasta lograr un determinante de orden 2 o 1, cuyo proceso de solucionya es conocida.



Ejemplo Calcular, usando el metodo de Chio

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 −1 23 2 −2 −30 −2 −1 22 3 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Solucion.

(1) Elegimos una fila que tenga el mayor numero de ceros. observamos varias alternativas, porejemplo elegimos la fila 4. Es decir.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 −1 23 2 −2 −30 −2 −1 22 3 0 -1

∣∣∣∣∣∣∣∣

(3) La fila elegida no reune la condicion 2, en esta fila debemos determinar el elemento pivoteque debera tener el valor 1, para ello existe dos alternativas: (i) Multiplicar la fila 4 por -1para lograr que el elemento -1 sea 1. (ii) Sumar la columna 4 a la columna 1. Decidimos lasegunda alternativa y obtenemos:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 −1 23 2 −2 −30 −2 −1 22 3 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

C4 + C1=

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 0 −1 20 2 −2 −32 −2 −1 2

1 4×1 3 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

Reducimos a ceros todos los elementos de la fila 4, excepto el pivote, aplicando operacioneselementales por columnas, es decir:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 0 −1 20 2 −2 −32 −2 −1 2

1 4×1 3 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣

−3C1 + C2

C1 + C4=

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 −12 −1 60 2 −2 −32 −8 −2 4

1 4×1 0 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

(4) El valor del determinante sera igual al cofactor del elemento pivote, es decir:

det(A) = (−1)4+1

∣∣∣∣∣∣

−12 −1 62 −2 −3−8 −2 4

∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣

−12 −1 62 −2 −3−8 −2 4

∣∣∣∣∣∣

Observe que el determinante es de orden 3.



(5) Repetimos el proceso para reducir el determinante de orden 3 a otro equivalente de orden 2,considerando como lınea de desarrollo, la columna 2, que la multiplicamos por −1.

det(A) = (−1)(−1)

∣∣∣∣∣∣

−12 1 62 2 −3−8 2 4

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−12 1 62 2 −3−8 2 4

∣∣∣∣∣∣

Elegimos como elemento pivote 1, es decir:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

−12 1 1×2 62 2 −3−8 2 4

∣∣∣∣∣∣

−2f1 + f2

−2f1 + f3=

∣∣∣∣∣∣

−12 1 1×2 626 0 −1516 0 8

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+2

∣∣∣∣

26 −1516 8

∣∣∣∣= −1[(26)(8)− (16)(−15)] = −(208 + 240) = −448

♣

Ejemplo Demostrar la identidad:

∣∣∣∣∣∣

a1 + b1x a1 − b1x c1

a2 + b2x a2 − b2x c2

a3 + b3x a3 − b3x c3

∣∣∣∣∣∣

= −2x

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣

Solucion.

∣∣∣∣∣∣

a1 + b1x a1 − b1x c1

a2 + b2x a2 − b2x c2

a3 + b3x a3 − b3x c3

∣∣∣∣∣∣

C2 + C1=

∣∣∣∣∣∣

2a1 a1 − b1x c1

2a2 a2 − b2x c2

2a3 a3 − b3x c3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2a1 a1 c1

2a2 a2 c2

2a3 a3 c3

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

2a1 −b1x c1

2a2 −b2x c2

2a3 −b3x c3

∣∣∣∣∣∣

La columna 2 es sumade dos terminos

= 2

∣∣∣∣∣∣

a1 a1 c1

a2 a2 c2

a3 a3 c3

∣∣∣∣∣∣

+ 2

∣∣∣∣∣∣

a1 −b1x c1

a2 −b2x c2

a3 −b3x c3

∣∣∣∣∣∣

Factorizando 2 de losdeterminantes

= 2(0) + 2(−x)

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣

= −2x

∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣

♣



Ejemplo Demostrar que el determinante de la matriz A =

1 1 1x y zx2 y2 z2

que divide por

x− y, x− z y z − y.

Solucion.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1x y zx2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣

−1C2 + C1

−1C3 + C2=

∣∣∣∣∣∣

0 0 1x− y y − z z

x2 − y2 y2 − z2 z2

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+3

∣∣∣∣

x− y y − zx2 − y2 y2 − z2

∣∣∣∣=(

x− y)(

y2 − z2)

−(

x2 − y2)(

y − z)

= (x− y)(y + z)(y − z)− (x + y)(x− y)(y − z) = (x− y)(y − z)(

(y + z)− (x + y))

luegodet(A) = (x− y)(y − z)(z − x) ♣

Ejemplo Calcular el determinante de la matriz A =

1 −1 1 3−1 0 2 01 1 1 22 0 0 2

Solucion. Usemos el metodo de Chio:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 1 3−1 0 2 01 1 1 22 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2f4

⇓= 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 1 3−1 0 2 01 1 1 21 0 0 1 4×4

∣∣∣∣∣∣∣∣

−C4 + C1

⇓= 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 −1 1 3−1 0 2 0−1 1 1 20 0 0 1 4×4

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 2(−1)4+4

∣∣∣∣∣∣

−2 −1 1−1 0 2−1 1 3×2 1

∣∣∣∣∣∣

f3 + f1

⇓= 2

∣∣∣∣∣∣

−3 0 2−1 0 2−1 1 3×2 1

∣∣∣∣∣∣

= 2(−1)3+2

∣∣∣∣

−3 2−1 2

∣∣∣∣= −2(−6 + 2) = 8

♣



2.4.3. Determinante de Vandermonde

El determinante de Vandermonde tiene multiples usos en otras ramas de la Matematica (sobretodo en los problemas de interpolacion). Dicho determinante es, en su forma mas general, de laforma:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1a1 a2 . . . an

......

. . ....

an−11 an−1

2 . . . an−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

O sea, la primera fila esta formada solo por unos. La segunda por numeros diferentes. La terceray siguientes por los mismos numeros que la segunda elevados a potencias de exponente 2 hastan− 1. Los determinantes de Vandermonde de los diferentes ordenes son:

De segundo orden:

∣∣∣∣

1 1a b

∣∣∣∣= b− a

De tercer orden: Dejando igual la primera y multiplicando la segunda fila por −a y sumando a latercera fila y multiplicando la primera fila por −a y sumando a la segunda fila:

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣

−af2 + f3=

∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b c0 b2 − ab c2 − ac

∣∣∣∣∣∣

−af1 + f2=

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 b− a c− a0 b2 − ab c2 − ac

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1

∣∣∣∣

b− a c− ab2 − ab c2 − ac

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

b− a c− ab(b− a) c(c− a)

∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)

∣∣∣∣

1 1b c

∣∣∣∣= (b− a)(c− a)(c− b)

De cuarto orden:



∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣∣∣∣∣∣∣∣

−af3 + f4=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

0 b3 − ab2 c3 − ac2 d3 − ad2

∣∣∣∣∣∣∣∣

−af2 + f3=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 1a b c d0 b2 − ab c2 − ac d2 − ad0 b3 − ab2 c3 − ac2 d3 − ad2

∣∣∣∣∣∣∣∣

−af1 + f2=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 10 b− a c− a d− a0 b2 − ab c2 − ac d2 − ad0 b3 − ab2 c3 − ac2 d3 − ad2

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 10 b− a c− a d− a0 b(b− a) c(c− a) d(d− a)0 b2(b− a) c2(c− a) d2(d− a)

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1

∣∣∣∣∣∣

b− a c− a d− ab(b− a) c(c− a) d(d− a)b2(b− a) c2(c− a) d2(d− a)

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(d− a)

∣∣∣∣∣∣

1 1 1b c db2 c2 d2

∣∣∣∣∣∣

= (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)(d− c)

En general podemos decir que a cada elemento se le restan todos los anteriores y se multiplicantodos los resultados de esas diferencias.

2.5. Calculo del rango usando determinantes

Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas ycolumnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquiersubmatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).En una matriz cualquiera Am×n puede haber varios menores de un cierto orden p dado.

DEFINICION 2.4. El rango de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos decero.

El rango o caracterıstica de una matriz A se representa por rg(A). El rango no puede ser mayoral numero de filas o de columnas.



Si a un menor M de orden h de la matriz A se le anade la fila p y la columna q de A (que antes noestaban en el menor), obtenemos un menor N de orden h + 1 que se dice obtenido de M orlandoeste menor con la fila p y la columna q.

Consideremos la matriz

A =

1 −1 3 21 0 5 −24 1 −3 10 1 2 3

La matriz M =

(1 −11 0

)

es un menor de orden 2 de la matriz A. Las matrices

1 −1 31 0 54 1 −3

y

1 −1 21 0 −20 1 3

son menores de orden 3 que se han obtenido orlando M

El metodo para el calculo del rango es un proceso iterado que sigue los siguientes pasos:

① Se busca un elemento no nulo, ya que si todos los elementos son 0, el rango sera 0. Elelemento encontrado sera el menor de orden k = 1 de partida.

② Se orla el menor de orden k hasta encontrar un menor de orden k + 1 no nulo. Cuando seencuentra un menor de orden k + 1 no nulo se aplica a este el metodo.

③ Si todos los menores orlados obtenidos anadiendole al menor de partida los elementos de unalınea i0 son nulos, podemos eliminar dicha lınea porque es combinacion de las que componenel menor de orden k.

④ Si todos los menores de orden k + 1 son nulos el rango es k. (Si aplicamos bien el metodoen realidad, al llegar a este punto, la matriz tiene orden k).

Ejemplo Calcular el rango de la siguiente matriz

A =

2 −3 1 0 1 0−1 0 1 2 0 01 −6 5 6 2 00 0 1 0 1 1

Solucion.

1 6= 0, entonces r(A) ≥ 1

∣∣∣∣

2 01 1

∣∣∣∣= 2 6= 0, entonces r(A) ≥ 2



∣∣∣∣∣∣

2 0 06 2 00 1 1

∣∣∣∣∣∣

= 4 6= 0, entonces r(A) ≥ 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 01 2 0 05 6 2 01 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 0 11 2 05 6 2

∣∣∣∣∣∣

= 4 + 6− 10 = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

−3 0 1 00 2 0 0−6 6 2 00 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−3 0 10 2 0−6 6 2

∣∣∣∣∣∣

= −12 + 12 = 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 0 1 0−1 2 0 01 6 2 00 0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2 0 1−1 2 01 6 2

∣∣∣∣∣∣

= 8− 6− 2 = 0

Por tanto r(A) = 3 ♣

2.6. Regla de Cramer para resolver un sistema lineal

Llamaremos sistema lineal de n ecuaciones con n incognitas a un sistema de ecuaciones de la forma

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

(2.3)

que escrito de forma matricial, equivale a

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

x1

x2...

xn

=

b1

b2...

bm

o abreviadamente

Ax = b



siendo

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

la matriz de coeficientes

x =

x1

x2...

xn

el vector de incognitas

b =

b1

b2...bn

el vector de terminos independientes

Y sean: A1, A2, A3,...,An las matrices que se obtiene al sustituir los terminos independientes enla 1ra columna , en la 2da columna, en la 3ra columna y en la enesima columna respectivamente.Esto es, la matriz Aj con j = 1, 2, 3, ..., n se obtiene de la matriz A al sustituir la j-esima columnapor el vector b.

A1 =

b1 a12 . . . a1n

b2 a22 . . . a2n

......

. . ....

bn an2 . . . ann

, A2 =

a11 b1 . . . a1n

a21 b2 . . . a2n

......

. . ....

an1 bn . . . ann

, ...., An =

a11 a12 . . . b1

a21 a22 . . . b2...

.... . .

...an1 an2 . . . bn

TEOREMA 2.1 (Regla de Cramer). Sea Ax = b un sistema de ecuaciones con A una matrizn× n. Si det(A) 6= 0 entonces el sistema tiene solucion unica la cual esta dada por

x1 =det(A1)

det(A), x2 =

det(A2)

det(A), ... , xn =

det(An)

det(A).

Ejemplo Resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer.

2x + 3y + z = 3x − y + z = 5

y + z = −2

Solucion.



La expresion matricial es

2 3 11 −1 10 1 1

xyz

=

35−2

El determinante de la matriz de coeficientes toma el valor

∆ =

∣∣∣∣∣∣

2 3 11 −1 10 1 1

∣∣∣∣∣∣

= −6 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene solucion unica. Calculamos

∆1 =

∣∣∣∣∣∣

3 3 15 −1 1−2 1 1

∣∣∣∣∣∣

= −24, ∆1 =

∣∣∣∣∣∣

2 3 11 5 10 −2 1

∣∣∣∣∣∣

= 9, ∆1 =

∣∣∣∣∣∣

2 3 31 −1 50 1 −2

∣∣∣∣∣∣

= 3.

De donde obtenemos la solucion del sistema

x =−24

−6= 4, y =

9

−6= −3

2, z =

3

−6= −1

2.

♣

Ejemplo Resolver el sistema de ecuaciones lineales usando la regla de Cramer. Hacer lacomprobacion.

3x + 5y = 1−x + 2y = 7

Solucion. Primero calculamos el determinante del sistema:

∆ = det(A) =

∣∣∣∣

3 5−1 2

∣∣∣∣= 11

El determinante es no nulo, por lo tanto el sistema tiene una solucion unica y se puede aplicarla regla de Cramer. Calculamos los determinantes de las matrices A1 y A2 y los componentes delvector solucion:

∆1 = det(A1) =

∣∣∣∣

1 57 2

∣∣∣∣= −33 x =

∆1

∆= −33

11= −3

∆2 = det(A2) =

∣∣∣∣

3 1−1 7

∣∣∣∣= 22 y =

∆2

∆=

22

11= 2

Respuesta:

x =

(−32

)

.



Comprobacion:

Ax =

(3 5−1 2

)(−32

)

=

(−9 + 103 + 4

)

=

(17

)

.♣

Ejemplo Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

2x − 3y = −45x + 7y = 1

Solucion. Este sistema escrito de forma matricial, equivale a

(2 −35 7

)(xy

)

=

(−41

)

Primero calculamos el determinante de la matriz de coeficientes del sistema:

∆ = det(A) =

∣∣∣∣

2 −35 7

∣∣∣∣= (2)(7)− (5)(−3) = 14 + 15 = 29

El determinante es no nulo, por lo tanto el sistema tiene una solucion unica y se puede aplicarla regla de Cramer. Calculamos los determinantes de las matrices A1 y A2 y los componentes delvector solucion:

∆1 = det(A1) =

∣∣∣∣

−4 −31 7

∣∣∣∣= −25 x =

∆1

∆= −25

29

∆2 = det(A2) =

∣∣∣∣

2 −45 1

∣∣∣∣= 22 y =

∆2

∆=

22

29

♣Ejemplo Usando la regla de Cramer resolver el sistema de tres ecuaciones lineales:

x − 2z = 3− y + 3z = 1

2x + 5z = 0

Solucion. Este sistema escrito de forma matricial, equivale a

1 0 −20 −1 32 0 5

xyz

=

310

El determinante de la matriz de coeficientes A toma el valor



∆ =

∣∣∣∣∣∣

1 0 −20 −1 32 0 5

∣∣∣∣∣∣

= (−1)

∣∣∣∣

1 −22 5

∣∣∣∣= −1[(1)(5)− (2)(−2)] = −9 6= 0

por lo tanto, el sistema tiene solucion unica. Calculamos los siguientes determinantes

∆x =

∣∣∣∣∣∣

3 0 −21 −1 30 0 5

∣∣∣∣∣∣

= (−1)

∣∣∣∣

3 −20 5

∣∣∣∣= −1[(3)(5)− (0)(−2)] = −15

∆y =

∣∣∣∣∣∣

1 3 −20 1 32 0 5

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

1 30 5

∣∣∣∣+ (−1)3+1(2)

∣∣∣∣

3 −21 3

∣∣∣∣

= 1[(1)(5)− (0)(3)] + 2[(3)(3)− (1)(−2)] = 27

∆z =

∣∣∣∣∣∣

3 0 31 −1 10 0 0

∣∣∣∣∣∣

= (−1)

∣∣∣∣

1 32 0

∣∣∣∣= −1[(1)(0)− (2)(3)] = 6


x =∆x

∆=−15

−9=

5

3, y =

∆y

∆=

27

−9= −3, z =

∆z

∆=

6

−9= −2

3.

♣


lineales

Ejemplo Tres lıneas de ensamble A, B y C trabajan durante 15, 22 y 23 horas respectivamente.Se ensamblan tres productos L, M y N en estas lıneas como sigue: una unidad de L esta en Adurante 1 hora, en B durante 2 horas y en C durante 1 horas; una unidad de M esta en A durante2 hora, en B durante 2 horas y en C durante 3 horas; una unidad de N esta en A durante 1 hora,en B durante 2 horas y en C durante 2 horas. Si las lıneas se usan a maxima capacidad encontrarel numero de unidades que es posible ensamblar de cada producto.

Solucion. La siguiente matriz “lıneas×productos” resume todos los datos

L M NA 1 2 1B 2 2 2C 1 3 2



Sean

x el numero de unidades que es posible ensamblar del producto L

y el numero de unidades que es posible ensamblar del producto M

z el numero de unidades que es posible ensamblar del producto N

Puesto que la lınea de ensamble A trabaja durante 15 horas, entonces obtenemos la siguienteecuacion

x + 2y + 1z = 15

Por otra parte la lınea de ensamble B trabaja durante 22, esto se traduce en la ecuacion

2x + 2y + 2z = 22

y finalmente C trabaja durante 23 , esto es:

x + 3y + 2z = 23

Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal:

x + 2y + 1z = 152x + 2y + 2z = 221x + 2y + 2z = 23

Este sistema escrito de forma matricial, equivale a

1 2 12 2 21 3 2

xyz

=

152223


∆ =

∣∣∣∣∣∣

1 2 12 2 21 3 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 2 10 −2 01 3 2

∣∣∣∣∣∣

= −2

∣∣∣∣

1 11 2

∣∣∣∣= −2[2− 1] = −2 6= 0


∆x =

∣∣∣∣∣∣

15 2 122 2 223 3 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

15 2 1−8 −2 0−7 −1 0

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+3(1)

∣∣∣∣

−8 −2−7 −1

∣∣∣∣= 8− 14 = −6

∆y =

∣∣∣∣∣∣

1 15 12 22 21 23 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 15 10 −8 01 23 2

∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+2(−8)

∣∣∣∣

1 11 2

∣∣∣∣= −8[2− 1] = −8



∆z =

∣∣∣∣∣∣

1 2 152 2 221 3 23

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 2 150 −2 −80 1 8

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

−2 −81 8

∣∣∣∣= −16 + 8 = −8


x =∆x

∆=−6

−2= 3, y =

∆y

∆=−8

−2= 4, z =

∆z

∆=−8

−2= 4.

♣

Ejemplo Una persona coloca parte de su capital al 5 %, otra parte al 4 % y el resto al 3 %. Laprimera parte representa los tres quintos de la segunda y la tercera la suma de las otras dos. Alano retira todo, recibiendo en conjunto Bs 15926.40, calcular el monto de cada una de las partes.

Solucion. Si 0 ≤ r ≤ 100, entonces el r % de a es calculado mediante la siguiente formula:

p =r

100a.

Eligiendo las incognitas

x 1ra parte del capital

y 2da parte del capital

z 3ra parte del capital

El capital inicial de esta persona es x + y + z. Puesto que esta persona coloca x bs al 5 %, y bs al4 % y z bs al 3 %. Al cabo del ano los x bs se convierten en x mas el 5 % de x, esto es x + 0.05x,los y bs se convierten en y +0.04y y los z bs se convierten en z +0.03z. Por tanto el capital inicialal cabo del ano es (x + 0.05x) + (y + 0.04y) + (z + 0.03z) que es igual a 15926.40. Por tanto,obtenemos nuestra primera ecuacion

(x + 0.05x) + (y + 0.04y) + (z + 0.03z) = 15926.40

esto es1.05x + 1.04y + 1.03z = 15926.40

Por otra parte, se sabe que la primera parte representa los tres quintos de la segunda, que se

traduce en la ecuacion x =3

5y. Finalmente, la frase: la tercera es la suma de las otras dos, se

escribe en forma de ecuacion como z = x + y


1.05x + 1.04y + 1.03z = 15926.405x − 3y = 0x + y − z = 0




1.05 1.04 1.035 −3 01 1 −1

xyz

=

15926.4000


∆ =

∣∣∣∣∣∣

1.05 1.04 1.035 −3 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

2.08 2.07 05 −3 01 1 −1

∣∣∣∣∣∣

= −1

∣∣∣∣

2.08 2.075 −3

∣∣∣∣

= −1[(2.08)(−3)− (5)(2.07)] = −1(−6.24− 10.35) = 16.59


∆x =

∣∣∣∣∣∣

15926.40 1.04 1.030 −3 00 1 −1

∣∣∣∣∣∣

= 15926.40

∣∣∣∣

−3 01 −1

∣∣∣∣= 15926.40(3) = 47779.2

∆y =

∣∣∣∣∣∣

1.05 15926.40 1.035 0 01 0 −1

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+2(15926.40)

∣∣∣∣

5 01 −1

∣∣∣∣= −15926.40[−5] = 79632

∆z =

∣∣∣∣∣∣

1.05 1.04 15926.405 −3 01 1 0

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+3(15926.40)

∣∣∣∣

5 −31 1

∣∣∣∣= 15926.40[5 + 3] = 127411.2


x =∆x

∆=

47779.2

16.59= 2880, y =

∆y

∆=

79632

16.59= 4800, z =

∆z

∆=

127411.2

16.59= 7680. ♣

Ejemplo Dos amigos invierten 20000 $ cada uno. El primero coloca una cantidad x al 4 % de

interes, una cantidad y al 5 % y el resto al 6 %. El otro invierte la misma cantidad y al 5 %, la yal 6 % y el resto al 4 %. Determina las cantidades x, y y z sabiendo que el primero obtiene unosintereses de 1050 $ y el segundo de 950 $.


p =r

100a.




x 1ra parte del capital invertido

y 2da parte del capital invertido

z 3ra parte del capital invertido

El capital inicial de ambos amigos es de 20000 $. Esto conduce a establecer nuestra primeraecuacion x + y + z = 20000.

Puesto que este amigo invierte x $ al 4 %, y $ al 5 % y z $ al 6 %. Al cabo del ano los x $ seconvierten en x mas el 4 % de x, esto es, este amigo percibe 0.04x $ adicionales. Ahora bien, porinvertir y $ al 5 % al cabo de primer ano recibe 0.05y $ adicionales y finalmente recibe 0.06z $.Como el primero obtiene unos intereses de 1050 $. Entonces al sumar las cantidades mencionadasdebemos tener:

0.04x + 0.05y + 0.06z = 1050

Por otro lado, el segundo obtiene unos intereses de 950 $, un analisis similar con las cantidadesinvertidas por el segundo amigo conduce a la siguiente ecuacion:

0.05x + 0.06y + 0.04z = 950


x + y + z = 200000.04x + 0.05y + 0.06z = 10500.05x + 0.06y + 0.04z = 950


1 1 10.04 0.05 0.060.05 0.06 0.04

xyz

=

200001050950


∆ =

∣∣∣∣∣∣

1 1 10.04 0.05 0.060.05 0.06 0.04

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 0.01 0.020 0.01 −0.01

∣∣∣∣∣∣

= 1

∣∣∣∣

0.01 0.020.01 −0.01

∣∣∣∣

= [(0.01)(−0.01)− (0.01)(0.02)] = −0.0003


∆x =

∣∣∣∣∣∣

20000 1 150 0 0.01−250 0 −0.02

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+2(1)

∣∣∣∣

50 0.01−250 −0.02

∣∣∣∣= −1.5



∆y =

∣∣∣∣∣∣

1 20000 10.04 1050 0.060.05 950 0.04

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 20000 10 250 0.020 −50 −0.01

∣∣∣∣∣∣

= −1.5

∆z =

∣∣∣∣∣∣

1 1 200000 0.01 2500 0.01 −50

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1(1)

∣∣∣∣

0.01 2500.01 −50

∣∣∣∣= −3


x =∆x

∆=−1.5

−0.0003= 5000, y =

∆y

∆=−1.5

−0.0003= 5000, z =

∆z

∆=

−3

−0.0003= 10000.

♣

Ejemplo Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384 $. El

precio original era de 12 $, pero tambien ha vendido copias defectuosas con descuentos del 30 %y del 40 %. Sabiendo que el numero de copias defectuosas vendidas fue la mitad del de copias enbuen estado, calcula a cuantas copias se le aplico el 30 % de descuento.


p =r

100a.


x el numero de copias que se vendio a 12 $

y el numero de copias que se le aplico el 30 % de descuento

z el numero de copias que se le aplico el 40 % de descuento

Puesto que la tienda ha vendido 600 ejemplares del videojuego, entonces tenemos que x+ y + z =600. Por otro lado, el 30 % de 12 es calculado mediante la siguiente formula:

p =30

10012 = 3.6 $,

por tanto, si a una copia le aplicamos el 30 % de descuento de su precio, entonces esta unidad sevende a (12− 3.6) $, de aquı se deduce que se obtiene un ingreso de (12− 3.6)y $ por la venta dey ejemplares. Un analisis similar muestra que se obtiene un ingreso de (12− 4.8)z $ por la ventade z videojuegos. Ahora bien, la tienda ha vendido los 600 videojuegos por un total de 6384 $, dedonde se obtiene nuestra segunda ecuacion

12x + (12− 3.6)y + (12− 4.8)z = 6384.



La ultima ecuacion la obtenemos del hecho de que el numero de copias defectuosas vendidas fue

la mitad del de copias en buen estado, es decir y + z =1

2x.


x + y + z = 60012x + 8.4y + 7.2z = 6384

x − 2y − 2z = 0


1 1 112 8.4 7.21 −2 −2

xyz

=

6006384

0

El determinante de la matriz de coeficientes M toma el valor

|M | =

∣∣∣∣∣∣

1 1 112 8.4 7.21 −2 −2

∣∣∣∣∣∣

= −3.6

por lo tanto, el sistema tiene solucion unica. Calculamos los siguientes determinantes y la soluciondel sistema

|Mx| =

∣∣∣∣∣∣

600 1 16384 8.4 7.2

1 −2 −2

∣∣∣∣∣∣

= −1440 x =|Mx||M | = 400

|My| =

∣∣∣∣∣∣

1 600 112 6384 7.21 0 −2

∣∣∣∣∣∣

= −432 y =|My||M | = 120

|Mz| =

∣∣∣∣∣∣

1 1 60012 8.4 63841 −2 −2

∣∣∣∣∣∣

= −288 z =|Mz||M | = 80

♣

Ejemplo Un cajero automatico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $ y un total de 2000 $.

Si el numero de billetes de 10 $ es el doble que el numero de billetes de 20 $, averigua cuantosbilletes hay de cada tipo.

Solucion. Eligiendo las incognitas



x el numero de billetes de 10 $

y el numero de billetes de 20 $

z el numero de billetes de 50 $

Puesto que cajero automatico contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 $, entonces tenemos que x +y + z = 95. Por otro lado, hay un total de 2000 $, de donde se obtiene nuestra segunda ecuacion10x+20y+50z = 2000. La ultima ecuacion la obtenemos del hecho de que el numero de billetes de10 $ es el doble que el numero de billetes de 20 $, es decir x = 2y. Juntando estas tres ecuacionesobtenemos el siguiente sistema lineal:

x + y + z = 9510x + 20y + 50z = 2000

x − 2y = 0


1 1 110 20 501 −2 0

xyz

=

952000

0


|M | =

∣∣∣∣∣∣

1 1 110 20 501 −2 0

∣∣∣∣∣∣

= 110


|Mx| =

∣∣∣∣∣∣

95 1 12000 20 50

0 −2 0

∣∣∣∣∣∣

= 5500 x =|Mx||M | = 50

|My| =

∣∣∣∣∣∣

1 95 110 2000 501 0 0

∣∣∣∣∣∣

= 2750 y =|My||M | = 25

|Mz| =

∣∣∣∣∣∣

1 1 9510 20 20001 −2 0

∣∣∣∣∣∣

= 2200 z =|Mz||M | = 20

♣

Ejemplo Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 1 euro. Se sabe que en total hay36 euros. El numero de monedas de A excede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos



cajas. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendra el doble de monedas que B.Averigua cuantas monedas habıa en cada caja.


x el numero de monedas de un euro que tiene la caja A

y el numero de monedas de un euro que tiene la caja B

z el numero de monedas de un euro que tiene la caja C

Como hay un total de 36 euros en las cajas, entonces x + y + z = 36. El numero de monedas de Aexcede en 2 a la suma de las monedas de las otras dos cajas, este dato se traduce en la ecuacionx = y + z + 2. Si se traslada 1 moneda de la caja B a la caja A, esta tendra el doble de monedasque B, de donde de obtiene la ultima ecuacion que es: x + 1 = 2(y − 1), esto es, x + 1 = 2y − 2.Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal:

x + y + z = 36x − y − z = 2x − 2y = −3


1 1 11 −1 −11 −2 0

xyz

=

362−3


|M | =

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 −1 −11 −2 0

∣∣∣∣∣∣

= −4


|Mx| =

∣∣∣∣∣∣

36 1 12 −1 −1−3 −2 0

∣∣∣∣∣∣

= −76 x =|Mx||M | = 19

|My| =

∣∣∣∣∣∣

1 36 11 2 −11 −3 0

∣∣∣∣∣∣

= −44 y =|My||M | = 11

|Mz| =

∣∣∣∣∣∣

1 1 361 −1 21 −2 −3

∣∣∣∣∣∣

= −24 z =|Mz||M | = 6



♣

Ejemplo Una empresa dispone de 27200 $ para actividades de formacion de sus cien emplea-dos. Despues de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos:A, B y C. La subvencion por persona para el curso A es de 400 $, para el curso B es de 160$, y de 200 $ para el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que lacorrespondiente al B, ¿cuantos empleados siguen cada curso?


x el numero de empleados que sigue el curso A

y el numero de empleados que sigue el curso B

z el numero de empleados que sigue el curso C

La empresa dispone de 27200 $ para actividades de formacion de sus cien empleados. Luego laprimera ecuacion es x + y + z = 100. Puesto que la subvencion por persona para el curso Aes de 400 $, para el curso B es de 160 $, y de 200 $ para el C. Entonces tenemos la ecuacion400x + 160y + 200z = 27200. Por ultimo, se sabe que la cantidad que se dedica al curso A escinco veces mayor que la correspondiente al B, esto es, x = 5y. Juntando estas tres ecuacionesobtenemos el siguiente sistema lineal:

x + y + z = 100400x + 160y + 200z = 27200

x − 5y = 0


1 1 1400 160 2001 −5 0

xyz

=

10027200

0


|M | =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1400 160 2001 −5 0

∣∣∣∣∣∣

= −1560




|Mx| =

∣∣∣∣∣∣

100 1 127200 160 200

0 −5 0

∣∣∣∣∣∣

= −86000 x =|Mx||M | =

2150

39

|My| =

∣∣∣∣∣∣

1 100 1400 27200 2001 0 0

∣∣∣∣∣∣

= −17200 y =|My||M | =

430

39

|Mz| =

∣∣∣∣∣∣

1 1 100400 160 272001 −5 0

∣∣∣∣∣∣

= −52800 z =|Mz||M | =

440

13

♣

Ejemplo Un fabricante produce 42 electrodomesticos. La fabrica abastece a 3 tiendas quedemandan toda la produccion. En una cierta semana, la primera tienda solicito tantas unidadescomo la segunda y tercera juntas, mientras que la segunda pidio un 20 % mas que la suma de lamitad de lo pedido por la primera mas la tercera parte de lo pedido por la tercera. ¿Que cantidadsolicito cada una?.


x el numero de electrodomesticos que solicito primera la tienda

y el numero de electrodomesticos que solicito segunda la tienda

z el numero de electrodomesticos que solicito tercera la tienda

La fabricante produce 42 electrodomesticos, ası x + y + z = 42. En una cierta semana, la primeratienda solicito tantas unidades como la segunda y tercera juntas, lo cual implica que x = y + z.

El 20 % de 100 es 20. Ası 120 es igual a 100 mas 20 % de 100. 100 mas su 20 % es 120. Luego 120es 20 % mas que 100.

Ahora bien, la segunda tienda pidio un 20 % mas que la suma de la mitad de lo pedido por laprimera mas la tercera parte de lo pedido por la tercera. Esta oracion se traduce en la ecuacion:

y =x

2+

z

3+

30

100

(x

2+

z

3

)

Juntando estas tres ecuaciones obtenemos el siguiente sistema lineal: ♣

Ejemplo Una empresa fabrica tres tipos de ordenadores: JP1, JP2 y JP3. Para armar un JP2se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas mas para instalar el software.El tiempo requerido por el JP3 es de 12 horas para su ensamblado, 2.5 horas para probarlo y 2horas para instalar software. El JP1, el mas sencillo de la lınea, necesita 6 horas de ensamblado,1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalacion de software. Si la fabrica de esta empresa dispone



de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar.¿Cuantos ordenadores de cada tipo puede producir en un mes?

Solucion. La siguiente matriz “ordenadores×horas” resume todos los datos

JP1 JP2 JP3ensamblado 6 10 12probar 1.5 2 2.5instalar 1.5 2 2

= A

Sean

x el numero de ordenadores de tipo JP2 que se puede producir en un mes

y el numero de ordenadores de tipo JP3 que se puede producir en un mes

z el numero de ordenadores de tipo JP1 que se puede producir en un mes

Puesto que la fabrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar oensamblar los ordenadores, entonces obtenemos la siguiente ecuacion

6x + 10y + 12z = 1560

Por otra parte la fabrica dispone de 340 horas para probar, esto se traduce en la ecuacion

1.5x + 2y + 2.5z = 340

y finalmente se dispone de 320 horas para instalar, esto es:

1.5x + 2y + 2z = 320


6x + 10y + 12z = 15601.5x + 2y + 2.5z = 3401.5x + 2y + 2z = 320


6 10 12

32

2 52

32

2 2

xyz

=

1560340320




∆ =

∣∣∣∣∣∣∣

6 10 12

32

2 52

32

2 2

∣∣∣∣∣∣∣

= 21

2

1

2

∣∣∣∣∣∣

3 5 63 4 53 4 4

∣∣∣∣∣∣

=1

2

∣∣∣∣∣∣

3 5 60 −1 −10 −1 −2

∣∣∣∣∣∣

=3

2[2− 1] =

3

26= 0


∆x =

∣∣∣∣∣∣∣

1560 10 12

340 2 52

320 2 2

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

−40 0 2

20 0 12

320 2 2

∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)3+2(2)

∣∣∣∣∣

−40 2

20 12

∣∣∣∣∣= 120

∆y =

∣∣∣∣∣∣∣

6 1560 12

32

340 52

32

320 2

∣∣∣∣∣∣∣

= 21

2

1

2

∣∣∣∣∣∣

3 780 63 680 53 640 4

∣∣∣∣∣∣

=1

2

∣∣∣∣∣∣

3 780 60 −100 −10 −140 −2

∣∣∣∣∣∣

=3

2[200− 140] = 90

∆z =

∣∣∣∣∣∣∣

6 10 1560

32

2 340

32

2 320

∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣

6 10 1560

0 0 20

32

2 320

∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+3(20)

∣∣∣∣∣

6 10

32

2

∣∣∣∣∣= −20[12− 15] = 60


x =∆x

∆=

120

3/2= 80, y =

∆y

∆=

90

3/2= 60, z =

∆z

∆=

60

3/2= 40.

♣

Ejemplo Un empresario estadounidense necesita, en promedio, cantidades fijas de yenesjaponeses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este ano viajo 3veces. La primera vez cambio un total de $2550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dolar, 0.6libras por dolar y 1.6 marcos por dolar. La segunda vez cambio $2840 en total con tasas de 125yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dolar. La tercera vez cambio un total de $2800 a 100 yenes, 0.6libras y 1.2 marcos por dolar. ¿Cual es la cantidad fija de yenes, marcos y libras que cambia enlos viajes?


yenes/dolar marcos/dolar libras/dolarPrimer viaje 100 1.6 0.6Segundo viaje 125 1.2 0.5Tercer viaje 100 1.2 0.6

= A



Sean

x la cantidad fija de yenes que cambia en los viajes

y la cantidad fija de marcos que cambia en los viajes

z la cantidad fija de libras que cambia en los viajes

En el primer viaje, se tiene que

100 yenes −→ 1 dolar

x yenes −→ ?

Si 100 yenes cuesta 1 dolar, entonces x yenes costaranx

100dolares.

Si 1.6 marcos cuesta 1 dolar, entonces y marcos costarany

1.6dolares.

Si 0.6 libras cuesta 1 dolar, entonces z libras costaranz

0.6dolares.

Ahora bien con el primer viaje cambio un total de $2550, entonces obtenemos la siguiente ecuacion

x

100+

y

1.6+

z

0.6= 2550

De mismo modo obtenemos quex

125+

y

1.2+

z

0.5= 2840 y

x

100+

y

1.2+

z

0.6= 2800.


x

100+

y

1.6+

z

0.6= 2550

x

125+

y

1.2+

z

0.5= 2840

x

100+

y

1.2+

z

0.6= 2800

x

100+

10y

16+

10z

6= 2550

x

125+

10y

12+

10z

5= 2840

x

100+

10y

12+

10z

6= 2800


1

100

5

8

5

31

125

5

62

1

100

5

6

5

3

xyz

=

255028402800




∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

100

5

8

5

31

125

5

62

1

100

5

6

5

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

100

5

8

5

31

125

5

62

010

480

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= − 5

24

∣∣∣∣∣∣∣∣

1

100

5

31

1252

∣∣∣∣∣∣∣∣

= − 5

24[1/50− 1/75] = − 1

7206= 0


∆x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

25505

8

5

3

28405

62

28005

6

5

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −1000

9

∆y =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

1002550

5

31

1252840 2

1

1002800

5

3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −5

3

∆z =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

100

5

82550

1

125

5

62840

1

100

5

62800

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −5

6


x =∆x

∆= 80000, y =

∆y

∆= 1200, z =

∆z

∆= 600. ♣

Ejemplo Se combinan tres factores segun tres procesos productivos obteniendose en cadaproceso un producto diferente. La informacion tecnologica de la tabla adjunta indica las unidadesde cada factor necesarias para obtener una unidad de producto en cada proceso:

ProcesoFactor 1 2 3

1 2 4 82 6 11 63 8 1 2



Es decir, se necesitan 2 unidades del factor 1 para obtener una unidad de producto en el proceso 1,se necesitan 4 unidades del factor 1 para obtener una unidad de producto en el proceso 2, etc. Ladisponibilidad de los factores son : 122, 178 y 68 unidades respectivamente. Los precios de ventade cada unidad de producto son: 220, 320 y 68 u.m. respectivamente.

(a) Hallar el plan de produccion con el que se agotan las disponibilidades de los factores.

(b) Hallar los precios imputables a los factores para que los ingresos de cada unidad producidaigualen a los costes en el plan de produccion.

(c) Formular el modelo lineal de maximizacion del ingreso.

Solucion. Para resolver el inciso (a) consideremos las siguientes variables

x el numero de unidades de producto obtenidas en el proceso 1

y el numero de unidades de producto obtenidas en el proceso 2

z el numero de unidades de producto obtenidas en el proceso 3

luego debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 4y + 8z = 1226x + 11y + 6z = 1788x + y + 2z = 68


2 4 86 11 63 1 2

xyz

=

12217868


∆ =

∣∣∣∣∣∣

2 4 86 11 63 1 2

∣∣∣∣∣∣

= −160 6= 0


∆x =

∣∣∣∣∣∣

122 4 8178 11 668 1 2

∣∣∣∣∣∣

= −2400

∆y =

∣∣∣∣∣∣

2 122 86 178 63 68 2

∣∣∣∣∣∣

= −380



∆z =

∣∣∣∣∣∣

2 4 1226 11 1783 1 68

∣∣∣∣∣∣

= −1650


x =∆x

∆= 15, y =

∆y

∆=

19

8, z =

∆z

∆=

165

16.

Para resolver el inciso (b), consideremos la siguiente tabla

factorProceso 1 2 3

1 2 6 32 4 11 13 8 6 2

Es decir, en el proceso 1 se necesitan 2 unidades del factor 1 para obtener una unidad de producto,en el proceso 1 se necesitan 6 unidades del factor 2 para obtener una unidad de producto, etc.Tenemos que hallar los precios imputables a los factores para que los ingresos de cada unidadproducida igualen a los costes en el plan de produccion. Recordemos que los precios de ventade cada unidad de producto son: 220, 320 y 68 u.m. respectivamente. Tomemos las siguientesvariables

x el precio imputable al factor 1

y el precio imputable al factor 2

z el precio imputable al factor 3

luego debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 6y + 3z = 2204x + 11y + 1z = 3208x + 6y + 2z = 68


2 6 34 11 18 6 2

xyz

=

22032068




∆ =

∣∣∣∣∣∣

2 6 34 11 18 6 2

∣∣∣∣∣∣

= −160 6= 0


∆x =

∣∣∣∣∣∣

220 6 3320 11 168 6 2

∣∣∣∣∣∣

= 3604

∆y =

∣∣∣∣∣∣

2 220 34 320 18 68 2

∣∣∣∣∣∣

= −5720

∆z =

∣∣∣∣∣∣

2 6 2204 11 3208 6 68

∣∣∣∣∣∣

= −2696


x =∆x

∆= −901

40, y =

∆y

∆=

143

4, z =

∆z

∆=

337

20. ♣

Ejemplo Para la construccion de un almacen se precisa una unidad de hierro y ninguna demadera. Para la construccion de un piso se precisa una unidad de cada material y para la de unatorre 4 unidades de hierro y una de madera. Se dispone de 16 unidades de hierro y 5 de madera.

(a) Hallar cuantos almacenes, pisos y torres se pueden construir empleando todas las unidadesdisponibles.

(b) Si el precio de cada almacen es de 6 u.m., el de cada piso 2 u.m. y el de cada torre de 4u.m., ¿hay algun plan de produccion que cueste 36 u.m.?


almacen piso torrehierro 1 1 4madera 0 1 1

Para resolver el inciso (a) consideremos las siguientes incognitas

x el numero de almacenes que se pueden construir

y el numero de pisos que se pueden construir

z el numero de torres que se pueden construir



Puesto que se dispone de 16 unidades de hierro y 5 de madera, entonces tenemos que resolver elsiguiente sistema de ecuaciones:

x + y + 4z = 16y + z = 5

♣

Ejemplo Arizmendi y Amigos, empresa de bienes raıces, planea construir un nuevo complejode apartamentos de 1, 2 y 3 habitaciones. Se planea un total de 192 apartamentos, y el numero deapartamentos familiares (de dos o tres habitaciones) sera igual al numero apartamentos de unahabitacion. Si el numero de apartamentos de una habitacion sera igual al triple de apartamentosde 3 habitaciones, determinar cuantas unidades de cada tipo de apartamento habra en el conjunto.

Solucion. Consideremos las siguientes variables para las incognitas

x el numero de apartamentos de 1 habitacion

y el numero de apartamentos de 2 habitaciones

z el numero de apartamentos de 3 habitaciones

Puesto que se planea un total de 192 apartamentos, entonces obtenemos la siguiente ecuacionx + y + z = 192. La oracion: el numero de apartamentos familiares (de dos o tres habitaciones)sera igual al numero apartamentos de una habitacion. Se traduce en la ecuacion y + z = x. Yla frase: el numero de apartamentos de una habitacion sera igual al triple de apartamentos de 3habitaciones es transformada en la ecuacion x = 3z. Juntando estas tres ecuaciones obtenemos elsiguiente sistema lineal:

x + y + z = 192y + z = x

x = 3z

x + y + z = 192x − y − z = 0x − 3z = 0


1 1 11 −1 −11 0 −3

xyz

=

19200


∆ =

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 −1 −11 0 −3

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 12 0 01 0 −3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+1(2)

∣∣∣∣

1 10 −3

∣∣∣∣= −2[(1)(−3)− (0)(1)] = 6 6= 0




∆x =

∣∣∣∣∣∣

192 1 10 −1 −10 0 −3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1(192)

∣∣∣∣

−1 −10 −3

∣∣∣∣= 192[(−1)(−3)− (0)(−1)] = 576

∆y =

∣∣∣∣∣∣

1 192 11 0 −11 0 −3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+2(192)

∣∣∣∣

1 −11 −3

∣∣∣∣= −192[(1)(−3)− (1)(−1)] = 384

∆z =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1921 −1 01 0 0

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+3(192)

∣∣∣∣

1 −11 0

∣∣∣∣= 192[(1)(0)− (1)(−1)] = 192


x =∆x

∆=

576

6= 96, y =

∆y

∆=

384

6= 64, z =

∆z

∆=

192

6= 32.

♣

Ejemplo El centro comercial La Galerıa oferta esta semana a un precio especial el lavavajillas,el te y un champu. tres consumidores hacen cada uno de ellos una compra con el consiguiente gasto:

Productos (unidades) Consumidor 1 Consumidor 2 Consumidor 3

Lavavajillas 2 4 1Caja de te 4 1 2Champu 1 2 4

Coste de Compra 12 18 10

¿Cual es el precio de los tres productos?

Solucion. Consideremos las siguientes variables para las incognitas

x el precio del lavavajillas

y el precio del te

z el precio del champu

Usando la tabla obtenemos la siguiente ecuacion matricial

2 4 14 1 21 2 4

xyz

=

121810




∆ =

∣∣∣∣∣∣

2 4 14 1 21 2 4

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

0 0 −70 −7 −141 2 4

∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+1(2)

∣∣∣∣

1 10 −3

∣∣∣∣= −2[(1)(−3)− (0)(1)] = 6 6= 0


solo quiero que seas feliz cerca de mi o lejos de mi.

∆x =

∣∣∣∣∣∣

12 4 118 1 210 2 4

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1(192)

∣∣∣∣

−1 −10 −3

∣∣∣∣= 192[(−1)(−3)− (0)(−1)] = 576

∆y =

∣∣∣∣∣∣

2 12 14 18 21 10 4

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+2(192)

∣∣∣∣

1 −11 −3

∣∣∣∣= −192[(1)(−3)− (1)(−1)] = 384

∆z =

∣∣∣∣∣∣

2 4 124 1 181 2 10

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+3(192)

∣∣∣∣

1 −11 0

∣∣∣∣= 192[(1)(0)− (1)(−1)] = 192


x =∆x

∆=

576

6= 96, y =

∆y

∆=

384

6= 64, z =

∆z

∆=

192

6= 32.

♣

Ejemplo Un agente inmobiliario puede realizar 3 tipos de operaciones: venta de un piso nuevo,venta de un piso usado y alquiler. Por la venta de cada piso nuevo recibe una prima de 120.000ptas. Si la operacion es la venta de un piso usado recibe 60.000 ptas. Se desconoce la prima cuandola operacion es un alquiler. Este mes el numero total de operaciones fue 5. La prima total por ventade pisos fue superior en 200.000 ptas. a la obtenida por alquileres, y la prima total por venta depisos nuevos fue el triple que por alquileres.

① Plantea un sistema de ecuaciones (sin resolverlo) para obtener el numero de operaciones decada tipo realizadas (en funcion de la prima de alquiler de valor desconocido).

② Indica una prima a la que es imposible que se hayan podido pagar los alquileres.

③ Indica tres primas a las que es posible que se hayan podido pagar los alquileres.

④ Si la prima de alquileres fue de 20.000 ptas. ¿cuantas operaciones de cada tipo se realizaron?

Solucion.



① Empecemos respondiendo a las siguientes preguntas: Cuales son las incognitas?, ¿Que tengoque buscar, averiguar o que me preguntan?, ¿Que datos me dan?, ¿Cuales son las condicionesdel problema?. Llamamos x, y, z, al numero operaciones de cada tipo que ha realizado y ma la prima desconocida (en miles de pesetas):

Sean

x el numero de pisos nuevos

y el numero de pisos usados

z el numero de alquileres

Con lo que tendremos:

(∗)

x + y + z = 5120x + 60y = mz + 200

120x = 3mzobteniendo

x + y + z = 5120x + 60y − mz = 200120x − 3mz = 0


Primero de todo tratemos de responder a la pregunta: ¿Como saber que el sistema tienesolucion o no tiene solucion?, ¿conocemos alguna teorıa que pueda ayudarnos?. Si, la teorıamatricial nos puede ayudar a resolverlo, empecemos transformando el sistema en la siguienteecuacion matricial

5 4 −m0 1 −15 −4 0

xyz

=

9360

252


M =

1 1 1120 60 −m120 0 −3m

Ma =

1 1 1 5120 60 −m 200120 0 −3m 0


|M | 6= 0 si y solo si rango(M) = rango(Ma) = 3.Por tanto, el sistema tiene una unica solucion.



Entonces es suficiente asegurar que el determinante de la matriz M no sea cero. ¿Como lo-gramos esto?. Calculemos todos los valores de m para los cuales el determinante de M se hagacero, es decir resolvamos la ecuacion |M | = 0. Luego al evitar estos numeros aseguraremosque |M | 6= 0.

∣∣∣∣∣∣

1 1 1120 60 −m120 0 −3m

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 160 0 −60−m120 0 −3m

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+2(1)

∣∣∣∣

60 −60−m120 −3m

∣∣∣∣

= −[

(60)(−3m)− (120)(−60−m)]

= −[

− 180m + 7200 + 120m]

= −7200 + 60m

Ahora bien, |M | = 0 se traduce en la ecuacion −7200 + 60m = 0, de aquı se tiene quem = 120.

Si m 6= 120, entonces |M | 6= 0, por lo tanto el sistema (∗) tiene solucion unica. ¿Comohallamos esta solucion?. Usemos el metodo de Cramer para hallar estas soluciones.

|M | =

∣∣∣∣∣∣

1 1 1120 60 −m120 0 −3m

∣∣∣∣∣∣

= 60m− 7200

|Mx| =

∣∣∣∣∣∣

5 1 1200 60 −m0 0 −3m

∣∣∣∣∣∣

= −300m x =|Mx||M | =

−300m

60m− 7200

|My| =

∣∣∣∣∣∣

1 5 1120 200 −m120 0 −3m

∣∣∣∣∣∣

= 600m− 24000 y =|My||M | =

600m− 24000

60m− 7200

|Mz| =

∣∣∣∣∣∣

1 1 5120 60 200120 0 0

∣∣∣∣∣∣

= −12000 z =|Mz||M | =

−12000

60m− 7200

Si m = 120, en este caso tenemos que |M | = 0. Que hacer?, observemos que las matricesM y Ma son las siguientes:

M =

1 1 1120 60 −120120 0 −360

Ma =

1 1 1 5120 60 −120 200120 0 −360 0

El hecho de que |M | = 0 garantiza que rango(M) < 3. Luego se presentan dos casosposibles rango(M) = rango(Ma) < 3 o rango(M) 6= rango(Ma). Recordemos el siguienteresultado:





Ahora bien, solo necesitamos calcular los rangos de la matriz de coeficientes M y el dela matriz aumentada Ma.

Es claro que rango(M) = 2, puesto que es posible encontrar en la matriz M un menor

complementario de orden 2 y distinto de cero; por ejemplo:

∣∣∣∣

1 1120 60

∣∣∣∣; por otra parte

rango(Ma) = 3 puesto que es posible encontrar en la matriz Ma un menor complemen-

tario de orden 3 y distinto de cero; por ejemplo:

∣∣∣∣∣∣

1 1 5120 60 200120 0 0

∣∣∣∣∣∣

6= 0

Ahora bien como

rango(M) 6= rango(Ma)

entonces el sistema (∗) no tiene solucion. Por esta razon, resultarıa imposible que lasprimas por alquileres fueran 120.000 ptas.

③ Si la prima de alquileres hubiera sido de 35.000 ptas, tendrıamos: m = 35, para este valorse tiene que

x =−300m

60m− 7200=

35

17, y =

600m− 24000

60m− 7200=

10

17, z =

−12000

60m− 7200=

40

17

④ Si la prima de alquileres hubiera sido de 20.000 ptas, tendrıamos: m = 20

x =−300m

60m− 7200= 1, y =

600m− 24000

60m− 7200= 2, z =

−12000

60m− 7200= 2

Con lo que habrıa vendido 1 piso nuevo, 2 pisos usados y realizado 2 alquileres.♣


CAPITULO 3

La matriz Inversa

3.1. Definicion: Matrices Invertibles

Es de todos sabido que nuestra vida diaria contemporanea requiere de una cantidad de conocimien-tos matematicos cada vez mas importantes, sin los cuales carece, virtualmente, de significado.

El objeto de este capıtulo es el desarrollo y estudio de un tema basico de algebra lineal como esel calculo de la matriz inversa y algunas aplicaciones de esta a modelos matematicos. El calculode la matriz inversa es una herramienta necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales yecuaciones matriciales.

DEFINICION 3.1. Se dice que una matriz cuadrada A es invertible (o no singular o regular),si existe una matriz B con la propiedad de que AB = BA = I siendo I la matriz identidad. Lamatriz B se llama inversa de A y se denota por A−1.

Una matriz se dice que es inversible si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular.

Ejemplo Supongamos que A =

(2 51 3

)

y B =

(3 −5−1 2

)

. Entonces

AB =

(2 51 3

)(3 −5−1 2

)

=

(6− 5 −10 + 103− 3 −5 + 6

)

=

(1 00 1

)

= I

y

BA =

(3 −5−1 2

)(2 51 3

)

=

(6− 5 15− 15−2 + 2 −5 + 6

)

=

(1 00 1

)

= I

Puesto que AB = BA = I, A y B son inversibles, siendo cada una la inversa de la otra.

132


3.2. Propiedades

❃ Si A es invertible, entonces su inversa A−1 es unica.

❄ Si A−1 existe se tiene que AA−1 = A−1A = I.

❅ Si A y B son matrices invertibles, entonces AB es invertible y ademas (AB)−1 = B−1A−1.

❆ Si A es una matriz inversible, entonces A−1 es invertible y(A−1

)−1= A. Ademas An es

invertible y(An)−1

=(A−1

)npara n = 0, 1, 2, ...

❇ Si A es invertible y k es un real distinto de cero, entonces kA es invertible y (kA)1 =1

kA−1.

❈ Si A es invertible, entonces su transpuesta AT tambien es invetible y(AT)−1

=(A−1

)T.

❉ Si A−1 existe, entonces AB = AC implica que A = C

❊ A es inversible sı y solo sı det(A) 6= 0.

❋ Si A es una matriz invertible, entonces det(A−1) =1

det(A)

Ejemplo Suponga que det(A) = 5. Encontrar det[

(2A)−1]

donde A =

a b cd e fa b c

.

Solucion.

det[

(2A)−1]

=1

det(2A)=

1

23 det(A)=

1

(8)(5)=

1

40 ♣

Ejemplo Demostrar que det(A−1) =[

det(A)]−1

.

Solucion. Puesto que AA−1 = I, entonces det(AA−1) = det(A) det(A−1) = det(I) = 1, de dondese deduce el resultado. ♣

3.3. Calculo de la matriz inversa

El calculo de la matriz inversa no es un proceso sencillo. Primeramente se aborda desde el puntode vista del metodo de Gauss y, despues por determinantes y adjuntos; posteriormente, se haceuso del software Mathematica para su calculo y, por ultimo, se muestran diversas aplicaciones deesta.



3.3.1. Metodo de Escalonamiento de Gauss

Veamos un metodo que a priori no nos garantiza que la matriz en cuestion sea inversible, sinembargo, en caso de que se pueda aplicar, nos dara la inversa sin hacer operaciones demasiadocomplicadas. Si la matriz no se puede invertir, llegaremos a una situacion que nos lo indicara.

El calculo de la matriz inversa por el metodo de Gauss supone transformar una matriz en otra,equivalente por filas. La demostracion rigurosa del procedimiento que a continuacion se describese sale del proposito del presente capıtulo, aquı se limita a su exposicion y comprobacion de queefectivamente se obtiene la matriz inversa.

En esencia, el metodo consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en:

① Formar una matriz [A|I] de orden n×2n tal que las primeras columnas sean las de la matrizA y las otras n las de la matriz identidad de orden n.

② Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matrizanterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n ultimasotra matriz que prescisamente sera A−1, esto es [I|A−1].

El metodo consiste, pues, en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad.

[A|I]transformaciones elementales⇐⇒ [I|A−1]

Por medio de transformaciones elementales, vamos modificando nuestra matriz hasta obtener lamatriz identidad. Cada paso que apliquemos a la matriz se lo aplicaremos a la matriz identidad.Cuando hayamos obtenido la matriz identidad, la de la derecha sera la inversa. Si no podemosllegar a la matriz identidad (por ejemplo, sale alguna fila de ceros), significa que la matriz nosera inversible. Vamos a ver dos ejemplos, uno en el que se puede obtener la inversa y otro enel que la matriz no es inversible. Ojo a lo siguiente, pues es muy importante: hemos de decidirsi haremos nuestras transformaciones elementales por filas o por columnas, pues la forma queelijamos debe mantenerse a lo largo de todo el proceso de inversion de la matriz.

Los objetivos de las operaciones elementales realizadas son: Para cada i = 1, 2, ..., n fijo,

☞ Primero, hacer que aii sea igual a 1

☞ Segundo, hacer que el resto de las entradas de columna i sean ceros.

Las transformaciones elementales son las siguientes:

① substituir una fila o columna de la matriz por ella misma multiplicada (o dividida) por unnumero. El producto de todos los elementos de la fila i por una contante c 6= 0. Se escribecomo cfi.



② substituir una fila o columna de la matriz por una combinacion lineal de otra fila o columnade la matriz. Multiplicados por una constante c 6= 0 a los elementos de la fila j y sumamoslos resultados a los correspondientes elementos de la fila i. Se escribe como: “cfi + fj”, e

③ intercambiar filas o columnas. El intercambio de la fila i y la fila j que denotamos como fij .

Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con A↔ B, si B se obtiene de A medianteun numero finito de operaciones elementales por filas.

Ejemplo Ver si es inversible o no y calcular (si se puede) la inversa de la siguiente matriz.

2 3 44 3 20 1 0

Solucion. Planteamos, como hemos dicho, las dos matrices:

2 3 4 1 0 04 3 2 0 1 00 1 0 0 0 1

En primer lugar, por simplicidad en las operaciones, vamos a intercambiar las filas 2 y 3:

2 3 4 1 0 00 1 0 0 0 14 3 2 0 1 0

Ahora, multiplicamos por 1/2 a la fila 1, “1/2f1”:

1 3/2 2 1/2 0 00 1 0 0 0 14 3 2 0 1 0

Multiplicados por −4 a los elementos de la fila 1 y sumamos los resultados a los correspondienteselementos de la fila 3, esto es “−4f1 + f3”, y dejamos el resto igual:

1 3/2 2 1/2 0 00 1 0 0 0 10 −3 −6 −2 1 0

Ahora, multiplicados por 3 a los elementos de la fila 2 y sumamos los resultados a los correspondi-entes elementos de la fila 3, esto es “3f2 +f3” y luego multiplicados por −3/2 a los elementos de lafila 2 y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 1, esto es “−3/2f2 +f1”.



1 0 2 1/2 0 −3/20 1 0 0 0 10 0 −6 −2 1 3

Ahora, multiplicamos por −1/6 a la fila 3, “−1/6f3”:

1 0 2 1/2 0 −3/20 1 0 0 0 10 0 1 1/3 −1/6 −1/2

Y, por ultimo, hacemos la operacion “−2f3 + f1”

1 0 0 −1/6 1/3 −1/20 1 0 0 0 10 0 1 1/3 −1/6 −1/2

Con lo que la inversa es:

−1/6 1/3 −1/20 0 1

1/3 −1/6 −1/2

Comprobemoslo:

2 3 44 3 20 1 0

−1/6 1/3 −1/20 0 1

1/3 −1/6 −1/2

=

1 0 00 1 00 0 1

−1/6 1/3 −1/20 0 1

1/3 −1/6 −1/2

2 3 44 3 20 1 0

=

1 0 00 1 00 0 1

♣

Ejemplo Ver si es inversible y calcular (si es posible) la inversa de la matriz:

1 3 2−2 1 33 2 −1

Solucion. De nuevo, planteamos las dos matrices:

1 3 2 1 0 0−2 1 3 0 1 03 2 −1 0 0 1



Multiplicados por 2 a los elementos de la fila 1 y sumamos los resultados a los correspondienteselementos de la fila 2, esto es “2f1 + f2”, y luego multiplicados por −3 a los elementos de la fila 2y sumamos los resultados a los correspondientes elementos de la fila 3, esto es “−3f2 + f3”:

1 3 2 1 0 00 7 7 2 1 00 −7 −7 −3 0 1

Ahora, multiplicados por 1 a los elementos de la fila 2 y sumamos los resultados a los correspon-dientes elementos de la fila 3, esto es “f2 + f3”:

1 3 2 1 0 00 7 7 2 1 00 0 0 −1 1 1

Por mucho que queramos, al habernos aparecido una fila de ceros, ya no podremos obtener lamatriz identidad. En cuanto nos sale una fila, o mas (o columna/s, si es que trabajamos porcolumnas) de ceros, lo que nos esta diciendo es que la matriz no es invertible. ♣

Ejemplo Encontrar la inversa de

A =

1 0 22 −1 34 1 8

Solucion. Primero construimos la matriz (A|I),



1 0 2 1 0 02 −1 3 0 1 04 1 8 0 0 1

⇐⇒

1 0 2 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 1 0 −4 0 1

−2f1 + f2

−4f1 + f3

⇐⇒

1 0 2 1 0 00 1 0 −4 0 10 −1 −1 −2 1 0

f23

⇐⇒

1 0 2 1 0 00 1 0 −4 0 10 0 −1 −6 1 1

f2 + f3

⇐⇒

1 0 2 1 0 00 1 0 −4 0 10 0 1 6 −1 −1

−1f3

⇐⇒

1 0 0 −11 2 20 1 0 −4 0 10 0 1 6 −1 −1

−2f3 + f1

Por lo tanto, la inversa es:

A−1 =

−11 2 2−4 0 16 −1 −1

♣

Ejemplo Invertir la matriz

A =

1 −6 22 −2 −11 −3 −5

Solucion. Aumentese la matriz de coeficientes con una matriz identidad



1 −6 2 1 0 02 −2 −1 0 1 01 −3 −5 0 0 1

⇐⇒

1 −6 2 1 0 00 −10 −5 −1 1 00 3 −7 −1 0 1

−2f1 + f2

−1f1 + f3

⇐⇒

1 −6 2 1 0 0

0 1 12

110− 1

100

0 3 −7 −1 0 1

− 1

10f1 + f2

⇐⇒

1 0 −1 −15

35

0

0 1 12

110− 1

100

0 0 −112−2

5− 3

101

−3f2 + f3

6f2 + f1

⇐⇒

1 0 −1 −15

35

0

0 1 12

110− 1

100

0 0 1 455

6110

− 211

− 2

11f3

⇐⇒

1 0 0 − 755

3655− 2

11

0 1 0 − 955

755− 1

11

0 0 1 455

355− 2

11

−12f3 + f2

f3 + f1


A−1 =

− 7

55

36

55− 2

11

− 9

55

7

55− 1

114

55

3

55− 2

11

♣

Ejemplo Por el metodo de Gauss-Jordan, hallar las matrices inversas

(a)

1 3 22 7 83 11 15

(b)

1 0 1 57 1 4 26 2 2 93 1 1 5

(c)

2 6 6 01 3 4 13 9 7 12 6 3 0

Solucion. ♣

3.3.2. Metodo de la Adjunta

Recordemos algunos conceptos: Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama matriz comple-mentaria del elemento aij es la matriz Mij que se obtiene de A eliminando la fila i y la columna



j.

DEFINICION 3.2 (Menor). Se llama menor del elemento aij, al determinante de la matrizcomplementaria del elemento aij, es decir es el escalar det(Mij).

DEFINICION 3.3 (Cofactor). Se llama cofactor cij del elemento aij (o adjunto de aij) alnumero real:

cij = (−1)i+j det(Mij)

DEFINICION 3.4 (Matriz de Cofactores). Se llama Matriz de cofactores de la matriz A ala matriz que contiene los cofactores de cada elemento aij. Se escribe cof(A) = Ac.

cof(A) =

c11 c12 . . . c1n

c21 c22 . . . c2n

......

. . ....

cn1 cn2 . . . cnn

DEFINICION 3.5 (Matriz de Adjunta). Se llama Matriz Adjunta de la matriz A a la matriz

transpuesta de la matriz de cofactores. Se escribe adj(A) =(cof(A)

)T.

adj(A) =(cof(A)

)T=

c11 c21 . . . cn1

c12 c22 . . . cn2...

.... . .

...c1n c2n . . . cnn

TEOREMA 3.1. Sea A una matriz cuadra tal que det(A) 6= 0, entonces A es invertible y secumple

A−1 =1

det(A)adj(A)

Ejemplo Dada la matriz

(a bc d

)

, calcular su matriz inversa A−1

Solucion. Primeramente calculamos la matriz de cofactores:

cof (A) =

((−1)1+1 |d| (−1)1+2 |c|

(−1)2+1 |b| (−1)2+2 |a|

)

=

(d −c−b a

)

Por tanto, la matriz Adjunta adj(A) es:

adj(A) =(cof(A)

)T=

(d −b−c a

)



Si el determinante es no nulo:

det(A) =

∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= ad− bc 6= 0.

Entonces, aplicando la definicion anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1 =1

det(A)adj(A) = − 1

ad − bc

(d −b−c a

)

♣

Ejemplo Hallar la inversa de la matriz:

1 −3 22 5 00 −1 −2

Solucion. Resolvemos este problema por etapas:

① Calculo del valor de su determinante:

∣∣∣∣∣∣

1 −3 22 5 00 −1 −2

∣∣∣∣∣∣

= −10− 4− 12 = −26 6= 0

Al ser el determinante diferente de cero sabemos, pues, que la matriz tendra inversa.

② Calculo de la matriz de cofactores cof (A). Los cofactores de los nueve elementos de A son:

c11 = +

∣∣∣∣

5 0−1 −2

∣∣∣∣= −10 c12 = −

∣∣∣∣

2 00 −2

∣∣∣∣= 4 c13 = −

∣∣∣∣

2 50 −1

∣∣∣∣= −2

c21 = −∣∣∣∣

−3 2−1 −2

∣∣∣∣= −8 c22 = +

∣∣∣∣

1 20 −2

∣∣∣∣= −2 c23 = −

∣∣∣∣

1 −30 −1

∣∣∣∣= 1

c31 = +

∣∣∣∣

−3 25 0

∣∣∣∣= −10 c32 = −

∣∣∣∣

1 22 0

∣∣∣∣= 4 c33 = +

∣∣∣∣

1 −32 5

∣∣∣∣= 11

Por tanto, la matriz de cofactores o adjuntos es:

cof (A) =

−10 4 −2−8 −2 1−10 4 11



③ Calculo de la matriz Adjunta, la traspuesta de la matriz de cofactores.

adj(A) =(cof(A)

)T=

−10 −8 −104 −2 4−2 1 11

④ Entonces, aplicando la definicion anterior obtenemos la matriz inversa de A:

A−1 =1

det(A)adj(A) =

1

−26

−10 −8 −104 −2 4−2 1 11

=

5/13 4/13 5/13−2/13 1/13 −2/131/13 −1/26 −11/26

♣

Ejemplo Sea la matriz

A =

2 3 14 6 21 0 1

Solucion. Al calcular el determinante se comprueba que este es igual a cero, por lo que se puedeafirmar que dicha matriz no posee inversa.

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

2 3 14 6 21 0 1

∣∣∣∣∣∣

= 12 + 6− 6− 12 = 0

♣

Ejemplo Con un ejemplo verificar que se cumple (AB)−1 = B−1A−1

Solucion. Sean las matrices: A =

(1 21 3

)

y B =

(3 22 2

)

. Entonces AB =

(7 69 8

)

.

Si se aplica el resultado anterior: A−1 =

(3 −2−1 1

)

, B−1 =

(1 −1−1 3/2

)

y (AB)−1 =(

4 −3−9/2 7/2

)

. Tambien, B−1A−1 =

(1 −1−1 3/2

)(3 −2−1 1

)(4 −3−9/2 1/2

)

Por consiguiente, se cumple que (AB)−1 = B−1A−1, como se afirma en la propiedad enunciada.♣

Ejemplo Con un ejemplo verificar que se cumple(A−1

)−1= A,

(An)−1

=(A−1

)ny (kA)−1 =

1

kA−1.



Solucion. Sean A y A−1 como las matrices del ejemplo anterior; es decir, A =

(1 21 3

)

y

A−1 =

(3 −2−1 1

)

. Entones

☞(A−1

)−1=

(3 −2−1 1

)−1

=

(1 21 3

)

= A

☞ A3 =

(1 21 3

)(1 21 3

)(1 21 3

)

=

(11 3015 41

)

. Ası(A3)−1

=

(41 −30−15 41

)

. Por otro

lado(A−1

)3= A−3 =

(3 −2−1 1

)(3 −2−1 1

)(3 −2−1 1

)

=

(41 −30−15 41

)

.

☞ Finalmente 3A =

(3 63 9

)

, entonces (3A)−1 =

(1 −2/3−1/3 1/3

)

=1

3

(3 −2−1 1

)

=

1

3A−1. Con lo que quedan verificadas dichas propiedades.

♣

Ejemplo Con un ejemplo verificar que se cumple(AT)−1

=(A−1

)T

Solucion. Sean las matrices: A =

(−5 −32 1

)

y AT =

(−5 2−3 1

)

. Al aplicar la propiedad

anterior, se obtiene: A−1 =

(1 3−2 −5

)

y(AT)−1

=

(1 −23 −5

)

. Como garantiza la propiedad

anterior, estas matrices la satisfacen. ♣

Ejemplo Hallar la inversa de la matriz:

1 2 −10 −3 22 1 5

Solucion. Resolvemos este problema por etapas:

① Calculo del valor de su determinante:

∣∣∣∣∣∣

1 2 −10 −3 22 1 5

∣∣∣∣∣∣

= −15 + 8 + 0− 6− 2 = −15 6= 0





c11 = +

∣∣∣∣

−3 21 5

∣∣∣∣= −17 c12 = −

∣∣∣∣

0 22 5

∣∣∣∣= 4 c13 = +

∣∣∣∣

0 −32 1

∣∣∣∣= 6

c21 = −∣∣∣∣

2 −11 5

∣∣∣∣= −11 c22 = +

∣∣∣∣

1 −12 5

∣∣∣∣= 7 c23 = −

∣∣∣∣

1 22 1

∣∣∣∣= 3

c31 = +

∣∣∣∣

2 −1−3 2

∣∣∣∣= 1 c32 = −

∣∣∣∣

1 −10 2

∣∣∣∣= −2 c33 = +

∣∣∣∣

1 20 −3

∣∣∣∣= −3


cof (A) =

−17 4 6−11 7 31 −2 −3

③ La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

adj(A) =(cof(A)

)T=

−17 −11 14 7 −26 3 −3


A−1 =1

det(A)adj(A) =

1

−15

−17 −11 14 7 −26 3 −3

♣

Ejemplo Vamos a calcular la matriz inversa A−1 de la matriz A

1 0 −10 2 31 −1 1

Solucion. Para que la matriz tenga matriz inversa dbe reunir dos condiciones: Debe ser unamatriz cuadrada y su determinante debe ser distinto de cero.

① Nuestra matriz es cuadrada de orden 3 y su determinante es distinto de cero, en efecto:

∣∣∣∣∣∣

1 0 −10 2 31 −1 1

∣∣∣∣∣∣

= 2 + 0 + 0 + 2 + 3 + 0 = 7 6= 0





c11 = +

∣∣∣∣

2 3−1 1

∣∣∣∣= −5 c12 = −

∣∣∣∣

0 31 −1

∣∣∣∣= 3 c13 = +

∣∣∣∣

0 21 −1

∣∣∣∣= 2

c21 = −∣∣∣∣

0 −1−1 1

∣∣∣∣= 1 c22 = +

∣∣∣∣

1 −11 1

∣∣∣∣= −2 c23 = −

∣∣∣∣

1 01 −1

∣∣∣∣= 1

c31 = +

∣∣∣∣

0 −12 3

∣∣∣∣= −2 c32 = −

∣∣∣∣

1 −10 3

∣∣∣∣= −3 c33 = +

∣∣∣∣

1 00 2

∣∣∣∣= −2


cof (A) =

5 3 −21 2 12 −3 2

③ El siguiente paso consiste en transponer la matriz de los cofactores obtenida en el pasoprevio.

adj(A) =(cof(A)

)T=

5 1 23 2 −3−2 1 2


A−1 =1

det(A)adj(A) =

1

7

5 1 23 2 −3−2 1 2

=

5

7

1

7

2

7

3

7

2

7−3

7

−2

7

1

7

2

7

⑤ Comprobando que se cumple la propiedad fundamental de la matriz inversa

1 0 −10 2 31 −1 1

5

7

1

7

2

7

3

7

2

7−3

7

−2

7

1

7

2

7

=

1 0 00 1 00 0 1

♣

Ejemplo Calcular la matriz inversa A−1 de la matriz A



1 −2 35 −1 23 4 −3

Solucion. Para que la matriz tenga matriz inversa dbe reunir dos condiciones: Debe ser unamatriz cuadrada y su determinante debe ser distinto de cero.

① Nuestra matriz es cuadrada de orden 3 y su determinante es distinto de cero, en efecto:

∣∣∣∣∣∣

1 −2 35 −1 23 4 −3

∣∣∣∣∣∣

= 103 6= 0


② Calculamos todos los cofactores de la matriz A.

c11 = +

∣∣∣∣

−1 24 −3

∣∣∣∣= −5 c12 = −

∣∣∣∣

5 23 −3

∣∣∣∣= 21 c13 = +

∣∣∣∣

5 −13 4

∣∣∣∣= 17

c21 = −∣∣∣∣

−2 34 −3

∣∣∣∣= −6 c22 = +

∣∣∣∣

1 33 −3

∣∣∣∣= −12 c23 = −

∣∣∣∣

1 −23 4

∣∣∣∣= 2

c31 = +

∣∣∣∣

−2 3−1 2

∣∣∣∣= 1 c32 = −

∣∣∣∣

1 35 2

∣∣∣∣= 13 c33 = +

∣∣∣∣

1 −25 −1

∣∣∣∣= 9

③ con las respuestas formo la matriz cof (A) y luego obtengo(cof(A)

)Tque es la adj(A)

cof (A) =

−5 21 17−6 −12 21 13 9

adj(A) =(cof(A)

)T=

−5 −6 121 −12 1317 2 9


A−1 =1

det(A)adj(A) =

1

103

−5 −6 121 −12 1317 2 9

♣

Ejemplo Dada la matriz

2 3 42 1 11 1 2

, calcular su matriz inversa A−1



Solucion. Primeramente calculamos la matriz de cofactores:

cof (A) =

(−1)1+1

∣∣∣∣

1 11 2

∣∣∣∣

(−1)1+2

∣∣∣∣

2 11 2

∣∣∣∣

(−1)1+3

∣∣∣∣

2 11 1

∣∣∣∣

(−1)2+1

∣∣∣∣

3 41 2

∣∣∣∣

(−1)2+2

∣∣∣∣

2 41 2

∣∣∣∣

(−1)2+3

∣∣∣∣

2 31 1

∣∣∣∣

(−1)3+1

∣∣∣∣

3 41 1

∣∣∣∣

(−1)3+2

∣∣∣∣

2 42 1

∣∣∣∣

(−1)3+3

∣∣∣∣

2 32 1

∣∣∣∣

=

1 −3 1−2 0 1−1 6 −4


adj(A) =(cof(A)

)T=

1 −2 −1−3 0 61 1 −4

Hallamos ahora el determinante:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

2 3 42 1 11 1 2

∣∣∣∣∣∣

= −3 6= 0


A−1 =1

det(A)adj(A) = −1

3

1 −2 −1−3 0 61 1 −4

♣

Ejemplo Hallar la matriz Adjunta y su matriz inversa usando: A−1 =Adj(A)

|A| .

(a)

5 0 43 1 29 4 6

(b)

1 0 −2 70 1 3 22 2 4 91 1 2 5

(c)

1 2 −1 32 5 4 53 9 10 94 11 12 16

Solucion. ♣

Ejemplo Hallar∣∣∣A−1

∣∣∣

2

si Adj(A) =

1 2 02 1 12 4 3

.

Solucion. ♣



3.4. Aplicacion a la resolucion de ecuaciones matriciales

Una ecuacion matricial es aquella en la que sus coeficientes e incognitas son matrices. Para re-solverlas es necesario despejar la incognita, tal como si de una ecuacion con numeros reales setratara. El “problema” aparece cuando la incognita esta multiplicada por otra matriz y, comoya es sabido, no es posible “dividir” matrices. En ese caso hay que recurrir a la matriz inversa.Veamos un ejemplo aclaratorio de ello:

Sea la ecuacion matricial siguiente: 2A = AX + B donde : A =

(1 0−1 1

)

y A =

(−1 2−1 1

)

despejamos y queda:

AX = 2A− B = 2

(1 0−1 1

)

−(−1 2−1 1

)

=

(2 + 1 −2−1 + 3 2− 1

)

=

(3 −21 1

)

Por tanto AX =

(3 −21 1

)

Si calculamos la inversa de A y la multiplicamos por la izquierda (cabe recordar que el pro-ducto de matrices no es conmutativo), a ambos lados de la igualdad, obtenemos la matriz X

(puesto que A−1A = I): Como A−1 =

(1 01 1

)

, se tiene que X = A−1AX = A−1

(3 −21 1

)

=(

1 01 1

)(3 −21 1

)

=

(3 −24 −1

)

Ejemplo Hallar la matriz de cofactores

(a)

2 1 43 −1 26 0 1

, (b)

−1 3 24 −1 −34 −2 3

Solucion. ♣

Ejemplo Resolver la ecuacion matricial:

(2 35 8

)

·X ·(

1 24 7

)

=

(1 23 4

)

Solucion. ♣

Ejemplo Hallar la matriz A tal que:

(9 83 4

)

· A =

(1 −2 0 14 1 3 2

)

Solucion. ♣

Ejemplo Si

(1 23 5

)

y A2X = AT , hallar X.



Solucion. ♣

Ejemplo Hallar la matriz inversa A−1 si existe, siendo

A

(2 1 00 1 1

)

=

0 1 −10 −1 12 0 1

Solucion. ♣

Ejemplo Resolver la ecuaciones matricialmente

(a) X

5 3 11 −3 −2−5 2 1

=

−8 3 0−5 9 0−2 15 0

(b)

1 2 −33 2 −42 −1 0

X =

1 −2 010 2 710 7 8

Solucion. ♣

Ejemplo Hallar la matriz B tal que ABA = A, donde A =

1 3 −22 8 −31 7 1

Solucion. ♣

Ejemplo Si

(2 −1−2 3

)

y

(7 69 8

)

, hallar las matrices C y D tales que: AC = B y

DA = B.

Solucion. ♣


lineales

Para resolver muchos problemas matematicos es necesario plantear un sistema de ecuaciones lin-eales. Existen diversos metodos para resolverlos (recordemos los conocidos metodos de igualacion,substitucion e igualacion). Pero, si dichos sistemas estan formados por gran cantidad de ecuacionese incognitas, el aplicar los metodos anteriores resulta ser una tarea sumamente dificultosa y que,muy probablemente, conducira a resultados erroneos.

Para solventar este problema, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden plantear matricialmentey resolverlos haciendo uso de la matriz inversa. Consideremos el sistema AX = B, donde A es la



matriz de los coeficientes, B es la matriz de los terminos independientes y x es la matriz de lasincognitas. Para ello hay que hallar la inversa de la matriz de coeficientes y multiplicarla por lade terminos independientes.

❃ Fijemonos que se parte de que AX = B

❄ Multiplicamos a la izquierda por A−1 y se tiene A−1AX = A−1B

❅ Como A−1A = I, entonces queda que X = A−1B

Veamos a continuacion unos ejemplos de esto:

Ejemplo Resolver el sistema dado por la matriz inversa estableciendo la ecuacion matricial:AX = B.

(a)2x + y − 3z = −2x− 2y − 4z = 4

3x + 4y − 5z = −1(b)

3x− y − 2z = 42x + y + 4z = 27x− 2y − z = 4

Solucion. ♣

Ejemplo En un consejo municipal del ayuntamiento de una ciudad se decide comprar 2impresoras, 5 ordenadores y 3 escaners. Para determinar el costo de los artıculos se sabe que 1impresora mas 4 ordenadores mas 3 escaners valen 2600 euros, 2 impresoras mas 5 ordenadoresmas 4 escaners valen 3500 euros y 1 impresora mas 3 ordendores mas 2 escaners valen 2000 euros.¿Cual es el coste total de los artıculos?

Solucion. Para resolver este problema, se determina el coste por unidad de cada uno de los utiles:impresora, escaner y ordenador. De acuerdo a los datos proporcionados, se puede construir elsiguiente sistema de ecuaciones:

x Precio de una impresora

y Precio de un ordenador

z Precio de un escaner

x + 4y + 3z = 26002x + 5y + 4z = 3500x + 3y + 2z = 2000

Se resuelve este sistema de forma matricial:

1 4 32 5 41 3 2

xyz

=

260035002000



O bien: AX = B, donde:

A =

1 4 32 5 41 3 2

x =

xyz

B =

260035002000

Se realiza este calculo mediante el software Mathematica

xyz

=

1 4 32 5 41 3 2

−1

260035002000

=

300500100

Este resultado nos indica que el x = 300, y = 500 y z = 100. Por tanto, el precio de una impresora,un ordenador y un escaner es 300 euros, 500 euros y 100 euros, respectivamente. Y el coste totalde los artıculos a comprar asciende a:

2 · 300 + 5 · 500 + 3 · 100 = 3400 euros ♣

Ejemplo Una persona disponıa de 60000 euros y los repartio en tres fondos de inversion

diferentes (A, B y C), obteniendo ası 4500 euros de beneficios. Sabemos que en el fondo A invirtio eldoble que en los fondos B y C juntos; sabemos tambien que el rendimiento de la inversion realizadaen los fondos A, B y C fue del 5 %, 10 % y 20 % respectivamente. a) Plantear un sistema paradeterminar las cantidades invertidas en cada uno de los fondos. b) Resolver el sistema anterior.


p =r

100a.


x la cantidad de euros invertida en el fondos de inversion A

y la cantidad de euros invertida en el fondos de inversion B

z la cantidad de euros invertida en el fondos de inversion C

El capital inicial de ambos amigos es de 60000 euros. Esto conduce a establecer nuestra primeraecuacion x + y + z = 60000.

Puesto que el rendimiento de la inversion realizada en los fondos A es del 5 %, entonces se inviertex euros al 5 %, de modo similar obtenemos que la inversion de y euros es al 10 % y z euros al 20 %.Al cabo del ano los x euros se convierten en x mas el 5 % de x, esto es, este amigo percibe 0.04xeuros adicionales. Ahora bien, por invertir y euros al 10 % al cabo de primer ano recibe 0.05y eurosadicionales y finalmente recibe 0.06z euros. Como se obtienen 4500 euros de beneficios. Entoncesal sumar las cantidades mencionadas debemos tener:

0.05x + 0.10y + 0.20z = 4500



Por otro lado, sabemos que en el fondo A invirtio el doble que en los fondos B y C juntos, estoconduce a la siguiente ecuacion:

x = 2(y + z)


x + y + z = 600000.05x + 0.10y + 0.20z = 4500

x − 2y − 2z = 0


1 1 10.05 0.10 0.201 −2 −2

xyz

=

600004500

0

Primeramente calculamos la matriz de cofactores de la matriz de coeficientes A:

cof (A) =

(−1)1+1

∣∣∣∣

0.10 0.20−2 −2

∣∣∣∣

(−1)1+2

∣∣∣∣

0.05 0.201 −2

∣∣∣∣

(−1)1+3

∣∣∣∣

0.50 0.101 −2

∣∣∣∣

(−1)2+1

∣∣∣∣

1 1−2 2

∣∣∣∣

(−1)2+2

∣∣∣∣

1 11 −2

∣∣∣∣

(−1)2+3

∣∣∣∣

1 11 −2

∣∣∣∣

(−1)3+1

∣∣∣∣

1 10.05 0.10

∣∣∣∣

(−1)3+2

∣∣∣∣

1 10.05 0.20

∣∣∣∣

(−1)3+3

∣∣∣∣

1 10.05 0.10

∣∣∣∣

=

0.2 0.3 −0.20 −3 3

0.1 −0.15 0.05


adj(A) =(cof(A)

)T=

0.2 0 0.10.3 3 −0.15−0.2 3 0.05

Hallamos ahora el determinante:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

1 1 10.05 0.10 0.201 −2 −2

∣∣∣∣∣∣

= 0.3 6= 0




A−1 =1

det(A)adj(A) =

0.666667 0 0.3333331 −10 −0.5

0.666667 1 0.166667

xyz

=

0.666667 0 0.3333331 −10 −0.5

0.666667 1 0.166667

600004500

0

=

40000150005000

♣

Ejemplo Un viajero por Europa gasto en hospedaje 30 euros al dıa en Italia, 20 euros enFrancia y 20 en Espana. En alimentos gasto 20 euros al dıa en Italia, 30 euros en Francia y 20en Espana. En copas gasto 10 euros diarios en cada paıs. Si al final del viaje habıa gastado 340euros en hospedaje, 320 en alimentos y 140 en copas, calcular el numero de dıas que estuvo encada paıs.

Solucion. Sean x, y, z el numero de dıas pasados, respectivamente, en Italia, Francia y Espana.Los gastos de hospedaje han sido 30x + 20y + 20z, los de alimentos han sido 20x + 30y + 20z, ylos de copas han sido 10x + 10y + 10z. Por tanto tenemos el sistema:

30x + 20y + 20z = 34020x + 30y + 20z = 32010x + 10y + 10z = 140

El numero de incognitas del sistema lineal es n = 3.


30 20 2020 30 2010 10 10

xyz

=

340320140

❄ Hallando el determinante de la matriz de coeficientes A =

30 20 2020 30 2010 10 10

|A| =

∣∣∣∣∣∣

30 20 2020 30 2010 10 10

∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣

10 10 1020 30 2030 20 20

∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣

10 10 100 10 00 −10 −10

∣∣∣∣∣∣

= 1000

Recordemos el siguiente resultado.

|A| 6= 0 entonces, el sistema tiene una unicasolucion.



Por lo tanto nuestro sistema de ecuaciones tiene solucion unica. Para encontrar la solucionhallamos la matriz inversa A−1.

❅ Calculemos la matriz inversa A−1 por el metodo de Gauss. Para esto construimos la matriz(A|I),

30 20 20 1 0 020 30 20 0 1 010 10 10 0 0 1

⇐⇒

10 10 10 0 0 120 30 20 0 1 030 20 20 1 0 0

f13

⇐⇒

10 10 10 0 0 10 10 0 0 1 −20 −10 −10 1 0 −3

−2f1 + f2

−3f1 + f3

⇐⇒

10 0 10 0 −1 30 10 0 0 1 −20 0 −10 1 1 −5

f2 + f3

−f2 + f1

⇐⇒

10 0 0 1 0 −20 10 0 0 1 −20 0 −10 1 1 −5

f3 + f1

⇐⇒

1 0 0 1/10 0 −1/50 1 0 0 1/10 −1/50 0 1 −1/10 −1/10 1/2

1/10f1

1/10f2

−1/10f3


A−1 =

1/10 0 −1/50 1/10 −1/5

−1/10 −1/10 1/2

❆

xyz

= A−1b =

1/10 0 −1/50 1/10 −1/5

−1/10 −1/10 1/2

340320140

=

644

Este resultado nos indica que el x = 6, y = 4 y z = 4. Por tanto, el viajero estuvo 6 dıas enItalia, 4 dıas en Francia y 4 dıas en Espana.

♣

Ejemplo Con un capital de 84000 $, cuatro socios han ganado 27195 $. Los capitales invertidospor el primer y segundo socio estan en la relacion tres a cuatro, las del segundo y tercero en larelacion seis a siete y las del tercer socio respecto del cuatro en la relacion cinco a seis. Hallar elcapital y la ganancia correspondiente a cada socio.




x aporte del primer socio

y aporte del segundo socio

z aporte del tercero socio

w aporte del cuarto socio

Planteando el sistema

x + y + z + w = 84000

x =3

4y

y =6

7z

z =5

6w

x + y + z + w = 84000

x − 3

4y = 0

y − 6

7z = 0

z − 5

6w = 0


1 1 1 1

1 −3

40 0

0 1 −6

70

0 0 1 −5

6

xyzw

=

84000000

Aumentese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

1 1 1 1 1 0 0 0

1 −3

40 0 0 1 0 0

0 1 −6

70 0 0 1 0

0 0 1 −5

60 0 0 1



⇐⇒

1 1 1 1 1 0 0 0

0 −7

4−1 −1 −1 1 0 0

0 1 −6

70 0 0 1 0

0 0 1 −5

60 0 0 1

−f1 + f2

⇐⇒

1 1 1 1 1 0 0 0

0 1 −6

70 0 0 1 0

0 −7

4−1 −1 −1 1 0 0

0 0 1 −5

60 0 0 1

f23

⇐⇒

1 013

71 1 0 −1 0

0 1 −6

70 0 0 1 0

0 0 −5

2−1 −1 1

7

40

0 0 1 −5

60 0 0 1

7

4f2 + f3

−f2 + f1

⇐⇒

1 013

71 1 0 −1 0

0 1 −6

70 0 0 1 0

0 0 1 −5

60 0 0 1

0 0 −5

2−1 −1 1

7

40

f34

⇐⇒

1 0 0107

421 0 −1 −13

7

0 1 0 −5

70 0 1

6

7

0 0 1 −5

60 0 0 1

0 0 0 −37

12−1 1

7

4

5

2

5

2f3 + f4

6

7f3 + f2

−13

7f3 + f1

⇐⇒

1 0 0107

421 0 −1 −13

7

0 1 0 −5

70 0 1

6

7

0 0 1 −5

60 0 0 1

0 0 0 112

37−12

37−21

37−30

37

−12

37f4



1 0 0 045

259

214

259

33

74

54

259

0 1 0 060

259− 60

259

22

74

72

259

0 0 1 010

37−10

37−35

74

12

37

0 0 0 112

37−12

37−21

37−30

37

5

6f4 + f3

5

7f4 + f2

−107

42f4 + f1


A−1 =

45

259

214

259

33

74

54

25960

259− 60

259

22

74

72

25910

37−10

37−35

74

12

3712

37−12

37−21

37−30

37

Por tanto

xyzw

=

45

259

214

259

33

74

54

25960

259− 60

259

22

74

72

25910

37−10

37−35

74

12

3712

37−12

37−21

37−30

37

84000000

=

540000/37720000/37840000/371008000/37

♣

Ejemplo Una empresa fabrica tres productos. Para ello necesita tres materiales en las canti-dades indicadas en la tabla:

Producto 1 Producto 2 Producto 3

Material 1 2 2 2Material 2 1 2 0Material 3 2 1 3

Es decir, se necesitan 2 unidades del material 1 para obtener una unidad del producto 1, etc.Supongamos que solo se dispone de 12, 5 y 13 unidades respectivamente de cada material.

(a) Hallar el plan de produccion (x, y, z) con el que se agotan las disponibilidades de cada ma-terial.



(b) Si los precios de venta de cada producto son 15, 10 y 9, respectivamente, hallar el plan deproduccion con el que se obtenga mayores beneficios.

Solucion. Para resolver el inciso (a) consideremos las siguientes variables

x el numero de unidades que se planea producir del producto 1

y el numero de unidades que se planea producir del producto 2

z el numero de unidades que se planea producir del producto 3

Cada unidad del producto 1 requiere 2 unidades del material 1, entonces x unidades del producto 1requerira 2x unidades del material 1, igualmente, producir y unidades del producto 2 requerira 2yunidades del material 1, de mismo modo producir z unidades del producto 3 requerira 2z unidadesdel material 1. Ahora bien, se dispone de 12 unidades del material 1. Luego agorar el material 1en la produccion se traduce en la ecuacion 2x + 2y + 2z = 12. Un analisis similar conduce a lassiguientes dos ecuaciones: x+2y = 5 y 2x+y+3z = 13. Juntando estas tres ecuaciones obtenemosel siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 2y + 2z = 12x + 2y = 5x + y + 3z = 13

El numero de incognitas del sistema lineal es n = 3.


2 2 21 2 02 1 3

xyz

=

12513


A =

2 2 21 2 02 1 3

, Ab =

2 2 2 121 2 0 52 1 3 13

Recordemos el siguiente resultado.

|A| 6= 0 si y solo si rango(A) = rango(Ab) = 3.Por tanto, el sistema tiene una unica solucion.

En nuestro caso tenemos:

|A| =

∣∣∣∣∣∣

2 2 21 2 02 1 3

∣∣∣∣∣∣

= 0

El hecho de que |A| = 0 garantiza que rango(A) < 3. Luego se presentan dos casos posiblesrango(A) = rango(Ab) < 3 o rango(A) 6= rango(Ab). Recordemos el siguiente resultado:



☞ Si rango(A) = rango(Ab) < 3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

☞ Si rango(A) 6= rango(Ab), entonces el sistema no tiene soluciones.

Ahora bien, solo necesitamos calcular los rangos de la matriz de coeficientes A y el de lamatriz aumentada Ab.


2 2 2 121 2 0 52 1 3 13

f12←→

1 2 0 52 2 2 122 1 3 13

−2f1 + f2

−2f1 + f3←→

1 2 0 50 −2 2 20 −3 3 3

−1/2f2←→

1 2 0 50 1 −1 −10 −3 3 3

−3f2 + f3←→

1 2 0 50 1 −1 −10 0 0 0



x + 2y = 5y − z = −1


y = z − 1 = t− 1x = 5− 2y = 5− 2(t− 1) = 7− 2t


xyz

=

7− 2tt− 1

t

=

7−10

+

−2ttt

=

7−10

+ t

−211

❇ Las condiciones necesarias para que haya produccion es que x > 0, y > 0 y z > 0, esto es:

7− 2z > 0, z − 1 > 0, z > 0

De aquı se obtiene que 1 < z <7

2. Por tanto z que es un numero entero puede valer 2 o 3.



Si z = 2, seran x = 3 y y = 1 y los ingresos seran (15)(3) + (10)(1) + (9)(2) = 73.

Si z = 3, seran x = 1 y y = 2 y los ingresos seran (15)(1) + (10)(2) + (9)(3) = 62.

Por tanto el mayor ingreso sale si z = 2.♣

3.6. Metodo de Leontief

Un modelo que se usa en Economıa es el modelo de entradas y salidas de Leontief (Pre-mio Novel de Economıa en 1973). Supongamos que un sistema economico tiene n industrias ycada industria tiene dos tipos de demanda: externa (procedente de fuera del sistema) e interna(procedente del mismo sistema). Se utiliza la siguiente notacion:

e1 demanda externa ejercida sobre la industria 1

e2 demanda externa ejercida sobre la industria 2...en demanda externa ejercida sobre la industria n

Se considera la matriz A = (aij)1≤i,j≤n siendo:

a11 numero de unidades que se le piden a la industria 1 para quela industria 1 produzca una unidad


...



...

aij numero de unidades que se le piden a la industria i para quela industria j produzca una unidad

Se denomina xi al numero de unidades producidas por la industria i, entonces:



a11x1 numero de unidades que se le piden a la industria 1 para quela industria 1 produzca x1 unidades

a12x2 numero de unidades que se le piden a la industria 1 para quela industria 2 produzca x2 unidades

...

a1nxn numero de unidades que se le piden a la industria 1 para quela industria n produzca xn unidades

Entonces es claro que a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + e1 es la demanda total (externa e interna)sobre la industria 1. Por tanto al igualar la demanda total a al salida de la industria 1 se obtiene:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn + e1 = x1

Haciendo lo mismo con el resto de industrias obtenemos el sistema:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn + e1 = x1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn + e2 = x2...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn + en = xn

(3.1)

A la matriz del sistema A = (aij)1≤i,j≤n se le denomina matriz tecnologica y sus coeficientes aij

se denominan coeficientes tecnicos o de produccion

Ejemplo Sea un sistema economico con tres industrias A, B y C. La tabla de demandasinternas es:

A B C

A 0.2 0.5 0.15B 0.4 0.1 0.3C 0.25 0.5 0.15

mientras que las demandas externas son 10, 25 y 20. Hallar la salida de cada industria para quela oferta iguale a la demanda.

Solucion. El numero 0.25, por ejemplo, es el numero de unidades que se le piden a la industriaC para que la industria A produzca una unidad. Sean x, y, z el numero de unidades producidaspor A, B y C. El modelo Leontief es:

0.2x + 0.5y + 0.15z + 10 = x0.4x + 0.1y + 0.3z + 25 = y0.25x + 0.5y + 0.15z + 20 = z



Se deja al lector usar cualquier metodo y obtener la siguiente solucion del sistema:

x = 125.82106, y = 118.74292, z = 110.30578

Por tanto el numero de unidades que las industrias A, B y C deben producir para que la ofertaiguale a la demanda debe ser, aproximadamente, de 110, 119 y 126 unidades, resectivamente. ♣

Ejemplo Sea un sistema economico con tres industrias A, B y C. La tabla de demandas

internas y externas (en miles de euros) son:

A B C

A 0.293 0 0B 0.014 0.207 0.017C 0.044 0.5 010.216

Demanda externa

A 13.213B 17.597C 1.786

Obtener el modelo de Leontief y el valor en miles de euros de los productos de A, B y C paraequilibrar la oferta y la demanda.

Solucion. Sean x, y, z los valores respectivos de los productos A, B y C. El modelo Leontief es:

0.293x + 13.213 = x0.14x + 0.207y + 0.017z + 17.597 = y

0.044x + 0.010y + 0.216z + 1.786 = z


x = 18.688826, y = 3.6151619, z = 22.597858 ♣

Ejemplo Resolver el modelo Leontief, donde las matrices de demandas internas y externasson:

A =

1

3

1

2

1

61

4

1

4

1

81

12

1

3

1

6

D =

101530

Solucion. El modelo Leontief es:

1

3x +

1

2y +

1

6z + 10 = y

1

4x +

1

4y +

1

8z + 15 = y

1

12x +

1

3y +

1

6z + 30 = y




x = 72.653061, y = 55.102041, z = 65.306122♣

El Modelo de Leontief (3.1) se puede escribir en la forma:

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1

x2...

xn

+

e1

e2...en

=

x1

x2...

xn

Sean

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

......

. . ....

an1 an2 . . . ann

x =

x1

x2...

xn

D =

e1

e2...en

Luego es sistema puede escribirse como Ax + D = x, de aquı x−Ax = D, esto es

(I − A)x = D

o(1− a11)x1 − a12x2 − · · · − a1nxn = e1

−a21x1 + (1− a22)x2 − · · · − a2nxn = e2...

−an1x1 − an2x2 + · · ·+ (1− ann)xn = en

(3.2)

A la matriz de este sistema: I −A, se le denomina matriz de Leontief. Si esta matriz es invertibleentonces existe solucion unica para el modelo.

Ejemplo Una antena esta formada por 3 crucetas, 6 tornillos y 3 barras. A su vez cada crucetaconsta de 1 tornillo y 2 barras. ¿Cuantas antenas, crucetas, tornillos y barras se deben fabricarpara atender a un pedido de 2 antenas, 3 crucetas, 4 tornillos y 5 barras?

Solucion. La tabla siguiente resume la informacion del enunciado:

Antena Cruceta Tornillo Barra

Antenea 0 0 0 0Cruceta 3 0 0 0Tornillo 6 1 0 0Barra 3 2 0 0



En cada columna de detalla lo que el correspondiente producto necesita de los demas. La matrizque se obtiene es la matriz de demanda interna de este producto A, mientras que el pedidoconstituye la matriz de demanda externa D:

A =

0 0 0 03 0 0 06 1 0 03 2 0 0

D =

2345

El modelo de Leontief es Ax + D = x, donde x =

xyzw

representa la produccion necesaria de

antenas, crucetas, tornillos y barras . Despejando x obtenemos la solucion

x = (I − A)−1D =

292529

Es decir, hay que fabricar 2 antenas, 9 crucetas, 25 tornillos y 19 barras. ♣

Ejemplo Una percha esta esta compuesta de una barra grande, una base y cuatro barras chicas.La base se une a la barra grande con cuatro tornillos. Las barras chicas se unen a la grande con2 tornillos cada una. ¿Cuantas perchas, bases, etc. deben fabricarse para atender un pedido de 5perchas, 3 bases y dos barras chicas?.

Solucion. La tabla siguiente resume la informacion del enunciado:

Percha Barra grande Base Barra chica Tornillo

Percha 0 0 0 0 0Barra grande 1 0 0 0 0Base 1 0 0 0 0Barra chica 4 0 0 0 0Tornillo 0 0 4 2 0

En cada columna de detalla lo que el correspondiente producto necesita de los demas. La matrizque se obtiene es la matriz de demanda interna de este producto A, mientras que el pedidoconstituye la matriz de demanda externa D:



A =

0 0 0 0 01 0 0 0 01 0 0 0 04 0 0 0 00 0 4 2 0

D =

50320

Por tanto la solucion x viene dada por

x = (I − A)−1D =

5582276

Es decir, hay que fabricar 5 perchas, 5 barras grandes, 8 bases, 22 barras chicas y 76 tornillos.♣


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