CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA CUENCA – ECUADOR GUIA N 3 CALCULO VECTORIAL MECANICA AUTOMOTRIZ ING ARTURO PERALTA INTEGRANTES ISRAEL SATAMA NERIO SILVA ERIC TAPIA CICLO LECTIVO SEP 2013 – FEB 2014

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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

CUENCA – ECUADOR

GUIA N 3

CALCULO VECTORIAL

MECANICA AUTOMOTRIZ

ING ARTURO PERALTA

INTEGRANTES

ISRAEL SATAMA

NERIO SILVA

ERIC TAPIA

CICLO LECTIVO

SEP 2013 – FEB 2014

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GUIA N° 3 CALCULO VECTORIAL

√2−x = dominio (-α,-2]

Y2-Y1= M(X2-X1)

M=Y 2−Y 1X 2−x1

(Y2-1)-(X2-1)= Y2-1(X-3)

Y2 X2-3 Y2- X2+ 4=Y2 X2-3 Y2- X+ 4

x2+ y2−2 x−6 y=12

(x2−2 x )+( y2−6 y )=12

(x2−2 x+1 )−1+( y2−6 y+9 )−9=12

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( x−1 )2+( y−3 )2=22→CIRCUNFERENCIA

CURVAS DE NIVEL

12 x2+20 y2−12 x+40 y=37

(12 x2−12x )+(20 y2+40 y )=37

12 (x2−x )+20 ( y2+2 y )=37

12(x2−x+ 14 )−3+20 ( y2+2 y+1 )−20=37

12(x−12 )2

−3+20 ( y+1 )2−20=37

12(x−12 )2

+20 ( y+1 )2=60

12(x−12 )2

60+20 ( y+1 )2

60=1

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(x−12 )2

5+

( y+1 )2

3=1

a) 16 x2− y2+16 z2= 4

16 x2

4− y2

4+ 16 z2

4= 44

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4 x2− y2+4 z2=1

Trazas

4 x2− y2=1→hiperbola

4 x2+4 z2=1→elipse

− y2+4 z2=1→hiperbola

Hipérbola de una hoja

b) x2− y2+z2=0

Trazas

x2− y2=0 →recta

x2+ z2=0 →elipse

y2+z2=0→recta

Cono

C ¿ z=x2+ y2

4

x2+ y2

4- z=0

Trazas

x2+ y2

4-=0 →elipse

x2- z=0→ parábola

y2

4- z=0 → parábola

Paraboloide elíptico

d) x2

16− y2

25+ z2

25= 1

P (4, 5, 5)

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Trazas

x2∓z2=1→elipse

x2−z2=1→elipse

x2− y2=1→elipse

Elipsoide

e) z2−x2+ y2

4=1

Trazas

−x2− y2=0→noexiste

z2+ y2

4=1→Helipse

z2−x2=1 →Parabola

Hipérbola de 2 hojas

a) HALLE EL DOMINIO DE CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES Y EVALUE EN LOS PUNTOS INDICADOS

a) f ( x , y )=√1−x2−√1− y2 ; f (0.5 ;1)

1−x2≥0

−x2≥−1

x2≤1

√ x2≤√1

x≤ 1− ¿+¿¿ ¿

−1≤x ≤1

1− y2≥0

− y2≥−1

y2≤1

√ y2≤√1

y ≤ 1− ¿+¿¿ ¿

−1≤ y ≤1

Page 7: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

DOMINIO: f={(x , y )|−1≤ x≤1 ;−1≤ y≤1 }

f (0.5 ;1 )=√1−(0.5)2−√1−(1 )2=0.866025403

b) g ( x , y )=ln (9−x2−9 y2) ; g(2; 13)

9−x2−9 y2>0

9−x2−9 y2> 0∗−19

−1+ x2

9+ y2<0

x2

9+ y2<1

DOMINIO: g={(x , y )|x29 + y2<1}g(2 ;

13 )=ln(9−(2 )2−9 ( 13 )

2)=1.386294361c) Gráficos de los dominios

f ( x , y )=√1−x2−√1− y2

Page 8: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

g ( x , y )=ln (9−x2−9 y2)

Page 9: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

No todas las funciones se representan con fórmulas explícitas, en muchos casos se usan tablas que permiten establecer una relación funcional entre variables observadas o medidas. En algunos casos a partir de estos datos se formulan modelos.

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Todos hemos apreciado que la sensación térmica de calor o frío no sólo depende de la temperatura sino que intervienen otros factores como son el viento o la humedad relativa del aire.Si hace frío y además sopla viento la sensación de frío es mayor, ya que el viento, arrastra la capa aisladora de aire cálido adyacente a la piel. Se ha definido así el índice de enfriamiento por acción del viento W como la temperatura subjetiva que depende de la temperatura real “T” y la velocidad del viento “v”. Esto se puede expresar W=f(T,v).En la tabla Nº 1 Pág. (856) se registran datos de T, v y W proporcionados por el “National Oceanic and Atmospheric Administration” y el “National Weather Service”.Aquí se reproducen algunos valores:

a) R= -5b) Significa que la temperatura permanece constante mientras que la velocidad disminuye.c) significa que la temperatura vacía mientras que la velocidad es o permanece constante.

f ( x , y )=√1+x− y2

1+x− y2≥0

x≥ y2−1

DOMINIO: f={(x , y )|x≥ y2−1}

z=√1+x− y2

Page 11: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

z2=(√1+x− y2 )2

z2=1+x− y2

z2+ y2=1+x

R=Paraboloide

MATLAB

CURVAS DE NIVEL REALIZADAS EN DERIVE

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CURVAS DE NIVEL CON SUS RESPECTIVOS DOMINIOS

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F (x , y , z)=√1−x2− y2+z2

1−x2− y2+z2≥0

−x2− y2+z2≥−1

x2+ y2−z2≤1

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DOMINIO: f={(x , y ,Z )|x2+ y2−z2≤1}

EVALUACION EN EL PUNTO DADO

F (1,1,2 )=√1−x2− y2+ z2=√3=1.732050808

SUPERFICIES DE LA FUNCION

F (x , y , z)=√1−x2− y2+z2

√1−x2− y2+z2=0

1−x2− y2+z2=0

x2+ y2−z2=1

x2+ y2=1(CIRCULO )

x2−z2=1(HIPERBOLA )

y2−z2=1(HIPERBOLA )

R: Hiperboloide de una hoja

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a) g (T )=f (T ,80 )

La humedad relativa de H=80%, el índice calorífico como una función de la variable única T para un valor fijo H. Escribimos g(t)=f(T,80). Entonces g(T) describe como el índice calorífico I se incrementa cuando la temperatura real T se incrementa cuando la humedad relativa es de 80%. La derivada de g cuando T=94°F es la razón de cambio de I con respecto a T cuando T=94°F

g' (94)=limh→0

( g (94+h )−g(94 )h )= lim f (94+h ,80 )−f (94 ,80)

h

Aproximando g' (94) usando valores tabla 1 y tomando h=-2 y h=2.

g' (94 )=limh→2 ( g (94+2 )−g (94 )

2 )= f (94+2 ,80 )−f (94 ,80 )2

g' (94 ) f (96 ,80 )−f (94 ,80 )2

=135−1272

=4

g' (94 )= limh→−2 ( g (94−2 )−g (94 )

−2 )= f (94−2 ,80 )−f (94 ,80 )−2

g' (94 ) f (92 ,80 )−f (92 ,80 )−2

=119−127−2

=4

Al promediar los valores de g' (94) es aproximada a 4 esto quiere decir que cuando la temperatura real es de 94°F y la humedad relativa es de 80% aparentemente (índice calorífico) se eleva a 4°F.

G' (80)=limh→0

(G (94 ,80+h )−G(80)h )=lim

h→∞

G (94 ,80+h )−G(94 ,80)h

Haciendo h=5 y h=-5 se aproxima a G' (80) usando la tabla.

G' (80)=limh→0

(G (94 ,80+h )−G(80)h )=lim

h→5

G (94 ,80+5 )−G(94 ,80)5

Page 16: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

G' (80 )=G (94 ,85 )−G(94 ,80)

5=132−127

5=1.6

G' (80)=limh→0

(G (94 ,80+h )−G(80)h )= lim

h→−5

G (94 ,80−5 )−G(94 ,80)−5

G' (80 )=limh→0 (G (94 ,75 )−G (94 ,80 )

−5 )=122−132−5=2

f ( x , y )=√4−x2−4 y2

f x=−x

√4−x2−4 y2

f x (1,0 )= −1

√4−12−0=−1

√3=−0.577350269

f ( x , y )=√4−x2−4 y2

f y=−4 y

√4−x2−4 y2

f y(1,0)=−0

√4−12−0=−0

√3=0

z=√4−x2−4 y2

z2=(√4−x2−4 y2 )2

z2=4−x2−4 y2

x2+4 y2+z2=4

x2

4+ y2

+z4

2

=1

SUPERFICIES:

x2

4+ y2=1→elipse

x2

4+ z2

4=1

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x2+ z2=4→circunferencia

y2+ z2

4=1→elipse

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f ( x , y , z )=ln (e x2 y2 z2e xyz)

f ( x , y , z )=ln (e x2 y2 z2+ xyz)

f ( x , y , z )=x2 y2 z2+ xyz

f x=2 x y2 z2+ yz

f y=2 yx2 z2+xz

f z=2 zx2 y2+xy

f ( x , y )=Arcsen( yx )−Arc cos( x

y )f ( x , y )=sin−1 y

x−cos−1 x

y

f x=− y

x2√1− y2

x2

+ 1

y√1− x2

y2

f y=1

x√1− y2

x2

− x

y2√1− x2

y2

f x=1

1+ y2

x2(− y

x2 )= − y

x2+ y2

Page 19: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

f xy=− y

x2+ y2= y2−x2

(x2+ y2 )2

f y=1

1+ y2

x2( 1x )= x

x2+ y2

f yx=x

x2+ y2= y2− x2

(x2+ y2 )2

f xy=f yx

y2−x2

(x2+ y2 )2= y2−x2

(x2+ y2 )2

Zx=ex sin ( y )=e xsin ( y )

Zxx=exsin ( y )=exsin ( y )

Z y=ex sin ( y )=ex cos ( y )

Z yy=−e xsin ( y )

ex sin ( y )−e xsin ( y )=0

0=0

c2=a2+b2

c2=102+122

c=√244

c=15.62 ft

tgθ=ba

→tgθ= xy

→θ=Atan( xy )

dθdt

=dθdx

dxdt

+ dθdy

dydt

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dθdt

= 10 ft

(12 ft )2+(10 ft )2 (−2ft

min )− 12 ft

(12 ft)2+(10 ft )2 (1ft

min )dθdt

= −561min

− 361min

dθdt

=−0.131147541 radmin

2 π rad−0.131147541

X360?

X=−7.51°

dθdt

=−7.514200592 °min

E=200V R=4000Ω

c2=a2+b2

c2=102+122

c=√244

c=15.62 ft

tgθ=ba

→tgθ= xy

→θ=Atan( xy )

dθdt

=dθdx

dxdt

+ dθdy

dydt

Page 21: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

ERROR=2% E , R=3%

Entonces dp=∂ p∂v (dv+ ∂ p

∂ r(∂R ))

∂ p∂

=dpdx

dvp

+ ∂ p∂R

∂ pp

∂ p∂v

= 1R

(2 y )=2VP

∂ p∂R

=−v2

R2

∂ pP

=21R4P

+−v2

R2120P

∂ pP

=( 4004000 )( 410 )+(−200240002 )(12010 )∂ pP

= 125

− 3100

∂ pP

= 1100

Como ∂ pP

∗100=E% ( P )

1/100 *100 = E%(P)

E%(P)=1

dwdθ

=dwdx

dxdθ

+ dwdy

dydθ

dwdθ

=( −2 x

√4−2x2−2 y2 ) (−rsin(θ))+( −2 y

√4−2x2−2 y2 ) (rcos(θ))

dwdθ

=2x (rsin(θ))

√4−2 x2−2 y2−2 y (rcos(θ))

√4−2 x2−2 y2

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dwdθ

= 1

√4−2 x2−2 y2[2x (rsin (θ ) )−2 y (rcos(θ)) ]

FORMULA DEL VOLUMEN (A QUE TASA CAMBIA EL VOLUMEN DEL CILINDRO)

V=π r2h

dVdt

=dVdr

drdt

+ dVdh

dhdt

dVdt

=2πrhdrdt

+π r2dhdt

Como tenemos que el radio decrece con el tiempo (1.2cm/s)y que la altura aumenta con el tiempo(3cm/s)

dVdt

=2πrh (−1.2cm /s)+π r2(3cm /s)

dVdt

=2π (80cm)(150cm)(−1.2cm /s )+π (80cm)2(3cm / s)

dVdt

=2π (80cm)(150cm)(−1.2cm /s )+π (80cm)2(3cm / s)

dVdt

=−9600 πcm3

s→disminuye suvolumen

Page 23: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

∂z

∂x

(x−z=tan−1( yz ))

∂z

∂x

x−∂z

∂x

z=∂z

∂x

tan−1( yz)

1−z '=∂z

∂x

tan−1( yz)

1−z '= 1

u2+1y z '

1−z '= 1

y2 z2+1y z '

( y2 z2+1)(1−z ')= y z '

y2 z2−¿

− y z '−¿

y z '+¿

z ' ( y+ y2 z2+1)= y2 z2+1

z '= y2 z2

y+ y2 z2+1+1

∂z

∂y

(x−z=tan−1( yz ))

∂z

∂y

x−∂z

∂y

z=∂z

∂ y

tan−1( yz)¿

−z '= 1

u2+1( y z'+z )

−z '= 1

y2 z2+1( y z'+z )

−z ' ( y2 z2+1)=( y z'+z )

w=tan−1(u)

dwdu

= 1

u2+1

u= yz

du= ydzdx

z+zdzdx

y

du= y z' dx

dudx

= y z '

w=tan−1(u)

dwdu

= 1

u2+1

u= yz

du= ydzdy

z+zdzdy

y

du=( y z '+z )dy

dudy

=( y z '+z )

Page 24: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

z ' ( y2 z2+1 )=−( y z '+z )

( y¿¿2 z2) z'+z '=− y z'−z ¿

( y¿¿2 z2) z'+z '+ y z '=−z ¿

( y¿¿2 z2+1+ y) z'=−z¿

z '= −z

( y¿¿2 z2+1+ y )¿

z X=0+cos ( x+z )(1)=cos ( x+2 )

z y=0+cos ( x+ z )(0)=1

z XY=0

zYX=0

z XY=zYX

0=0

a) PUNTOS CRITICOS

F x=x4+ y4−4 xy+2=4 x3−4 y

F y=x4+ y4−4 xy+2=4 y3−4 x

4 x3−4 y=0

4 x3=4 y y=x3

4 y3−4 x=0

4 ¿

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4 x9−4 x=0

x9−x=0

x (x¿¿8−1)=0¿

x=0 ; x8=1−−−−−−x=1

x=0 ; x= 1− ¿+¿¿ ¿

y=0; y= 1− ¿+¿¿ ¿

COMPROBAR SI F xy=F yx

x4+ y 4−4 xy+2=x4+ y 4−4 xy+2

4 x3−4 y=4 y3−4 x

−4=−4 (Son iguales)

OBTENCIÓN DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS

F xx=4 x3−4 y=12 x2

F yy=4 y3−4 x=12 y2

F xy=4 x3−4 y=−4

P1=(0,0)

P2=(1,1)

P3=(−1 ,−1)

SUSTITUYO LOS PUNTOS EN LAS SEGUNDAS DERIVADAS

F xxP1=12x2=0

F yyP1=12 y2=0

F xxP2=12x2=12

F yyP2=12 y2=12

F xxP3=12x2=12

F yyP3=12 y2=12

Page 26: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

F xy=−4

F yx=−4

OBTENCIÓN DEL HESSIANO

D=[Fxx Fxy

F yx F yy]

D=[ 0 −4−4 0 ]=−16

D=[ 12 −4−4 12 ]=144−(16 )=128

D=[ 12 −4−4 12 ]=144−(16 )=128

b) PUNTOS CRITICOS, MAXIMOS, MINIMOS, PUNTO SILLA

D F xx Max, Min, P silla

(0,0) D<0 0 PUNTO SILLA(1,1) D>0 12>0 MIN LOCAL

(-1,-1) D>0 12>0 MIN LOCAL

c) ANALISE EL COMPORTAMIENTO DE LAS CURVAS DE NIVEL EN PUNTOS CERCANOS A LOS PUNTOS CRITICOS (Z=k)

x4+ y 4−4 xy+2=k

x4+ y 4−4 xy=k−2

K( ) x4+ y 4−4 xy=k−2 Resultado

K(1) x4+ y 4−4 xy=1−2 x4+ y 4−4 xy=−1

K(2) x4+ y 4−4 xy=2−2 x4+ y 4−4 xy=0

K(3) x4+ y 4−4 xy=3−2 x4+ y 4−4 xy=1

K(4) x4+ y 4−4 xy=4−2 x4+ y 4−4 xy=2

Page 27: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

K( 0 ) x4+ y 4−4 xy=0−2

K(0.5) x4+ y 4−4 xy=0.5−2 x4+ y 4−4 xy=−1.05

K(-0.5) x4+ y 4−4 xy=−0.5−2 x4+ y 4−4 xy=−2.5

K(0.9)x4+ y 4−4 xy=0.9−2 x4+ y 4−4 xy=−1.1

K(1.1)x4+ y 4−4 xy=1.1−2 x4+ y 4−4 xy=−0.9

K(1.5) x4+ y 4−4 xy=1.5−2 x4+ y 4−4 xy=0.5

Es falso -1≤ x≤1noescerrado

puesnocontiene asus puntoo todo

limites contrarios

−1≤ y ≤1

Esvedadero o≤x ≤1

contiene a todos sus puntos limites y fronteras

−1≤ y ≤1 si esacotado

Page 28: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

f ( x , y )=x2+ y2+x2 y+4

d ( x )≤1 ( y )≤1

se tenemos

( x )≤1→−1≤x ≤1

Derivadas parciales

fx=2 x+0+2 xy+0

fx=2 x+2xy

fy=0+2 y+x2+0

fy=x2+2 y

Resolviendo

2 x+2xy=0 x2+2 y=0

Si tiene los puntosP1 (−√2 .−1¿P2 (0 ,0¿P3 (√3 ,−1¿

Donde la gráfica de los puntos P1 (−√2 .−1¿ y P2 (√3 ,−1¿

1) punto crítico P (0, 0)

fx=0+0+0+0+4

fx=4f(0, 0)= 4

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2) Determinación de los valores de F en limite R

Línea 1 ; y=1

f ( x ,−1 )=x2+(−1 )2+x2 (−1 )+4

f ( x ,−1 )=x2+1−x2+4

f ( x ,−1 )=5

Línea 2 X=1

f (1 , y )=(1 )2+ y2+(1 ) y+4

f (1 , y )=1+ y2+ y+4

f (1 , y )= y2+ y+5

Para f (1 , y )= y2+ y+5 en y −1≤ y ≤1

fx (1 ,1 )=(1 )2+(1 )2+(1 )2+4

fx (1 ,1 )=7

Línea 3 Y=1

f ( x ,1 )=x2+1+x2 (1 )+4

f ( x ,1 )=2 x2+5en x−1≤ x≤1

f (1 ,1 )=12+12+12+4

f (1 ,1 )=7

f (−1 ,1 )=−12±12+−12+4

f (−1 ,1 )=7

Línea 4; x=-1

F (1 , y )=−(1 )2+ y2+(−1 )2 y+ y

F (1 , y )=1+ y2+ y+4

F (1 , y )= y2+ y+5en y−1≤ y≤1

f (−1 ,1 )=(−1 )2+1+(−1 )+4

Page 30: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

F (−1,1 )=7

f (−1 ,−1 )=(−1 )2+(1)+(−1 )2+4

f (−1 ,−1 )=1+4=5

Como F(o, 0)= 4 es el menor de todos entre

F (0, 0)= -4 mini absoluto

Como f (1,1)=f(-1,1)=7 es el mayor de todos

F (1, 1)=f (-1, 1)=7 Máximo absoluto

V=xyz=4

A=2xy+2 xz+2 yz

Funciones objetivo P=4x+4y+4z

Funciones restricciones V= x y z z=64xy

F=4 x+4 y+ 256x2 y

fx=4−256x2 y 4−

256

x2 y=0

fy=4−256x y2

4−256

x y2=0

Page 31: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

256=4 x y2 x=64y2

4− 256

( 64y )2

y

=0

256=4 ( 64y2 )2

y=0

64=4096Y 3

Y 3=64 X=64Y 6 Z= 64

XY

Y=4 X=4 Z=4

Todas las aristas deben ser iguales

V= x y z A=2xy+2 xz+2 yz

64=4x4x4 A=2(4 )(4)+2(4)(4)+2(4)(4 )

64=64A=96 pl g2

VOLUMEN DE LA CAJAV ( x , y )=6x+4 y+3 z=24

6 x+4 y+3 z=24

z=243

−43

y−63

x

z=24−4 y−6 x3

V=xyz=xy [ 24−12 xy−4 y3 ]=[ 24 xy−12x2 y−4 x y2

3 ]volmax

DERIVADA

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V X=24 y−12 xy−4 y

3= y3

(24−12 x−4 y)

V y=24 x−8xy−6 x2

3= x3(24−6 x−8 y)

24−12 x−4 y=0

24−6 x−8 y=0

x=0 y=0

x2=43

y2=2

DERIVANDO OTRA VEZV XX=−4 y V yy=

−8x3

V xy=−24−12x−8 y

3

POR TEOREMA DE EXTREMOSd=f x (a ,b ) f yy (c ,d )−[ f xy (a ,b ) ]2 con(4 /3,2)

d=−8(−329 )−(−83 )2

=643

>0(es unmax)

V XX( 43 ,2)=−8<0(esunmin) VOLUMEN MAXIMOV ( x , y )=V ( 43 ,2)=24 xy−6 x2 y−4 x y2

3=24 ( 43 )(2 )−6( 43 )

2

2−4( 43 )(2)23

=649

unidades3

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZO

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZO

Libro de texto Stewart: “cálculo de varias variables (sexta 6dicción)”

Sección 14.1

Page 33: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

Trace la gráfica de la función 22. f ( x , y )= y

z= yx=0

28. f ( x , y )=√16−x2−16 y2

z=√16−x2−16 y2

z≥0

z2+ x2+16 y2=16

38. Se ilustra un mapa de curvas de nivel de la función. Apóyese en el para elaborar un esquema aproximado de la gráfica f.

Page 34: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

42. Curvas de nivel

f ( x , y )=e y / x

eyx=k

y=xlnkx≠0

Sección 14.2

Page 35: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

30. Puntos en donde la función es continua

o f ( x , y )= x+ y

1+ x2+ y2

o D=1+x2+ y2=0∴ Por ser una función con denominador de 1+x2+ y2 su continuidad son todos los # reales al estar elevadas al cuadrado x,y.

32. f ( x , y )=ex2 y+√ x+ y2

ex2 y →es continua paratodoslos numeros reales.

√ x+ y2→ x+ y2≥0

x≥ y2

∴ f ( x , y )=ex2 y+√ x+ y2 escontinuoen eldominio (x ≥ y2)

Page 36: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

Sección 14.3

10. Se representa un mapa de curvas de nivel de una función f. estime f (2,1) y fy (2,1)

30. 1era. Derivadas parciales.f ( x , y , z )=xsen ( y−z )fx (x , y , z )=sen ( y−z )fy ( x , y , z )=xcos ( y−z )fz (x , y , z )=xcos ( y−z ) (−1 )=−xcos ( y− z)

38. u=sen (x ,+2x2+..+nx∞)i=1 ,….n ,axi

¿ icos(x ,+2 x2+...+n xn) 60. Teorema de clairaut se cumple uxy=u yx

u=xye y

ux= y e y

uxy= y e y+e y

¿e y ( y+1 )

Page 37: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

uy=( y e y+ey )¿ x ey ( y+1 )uxy=e y ( y+1)

∴uxy=u yx

Sección 14.4

El factor de enfriamiento, W es la temperatura ue se percibe cuando la temperatura real T y la velocidad del aire es V. de modo que W=f(T.V). La tabla siguiente de valores es tan solo una parte de la tabla 1 seccion 14.1

Velocidad del viento (Km/h)

T/V 20 30 40 50 60 70-10 -18 -20 -2 -22 -23 -23-15 -24 -26 -27 -24 -30 -30-20 -30 -33 -34 -35 -36 -37-25 -37 -39 -41 -42 -43 -44

f (−15,50 )=−29 se estima f T (−15,50 ) y f V (−15,50 )

f T (−15,50 )=lim ¿h→0f (−15+h ,50 )−f (−15,50)

h h=±5

f T (−15,50 ) ≈ f (−10,50 )−f (−15,50 )5

=−22−(−29 )

5=1.4

f T (−15,50 ) ≈ f (−10,50 )−f (−15,50 )−5

=−25−(−29 )

5=1.2

∴ f T (−15,50 ) ≈1.3

f y (−15,50 )= lim f (−10,50+h )−f (−15,50 )h

h=±10

f v (−15,50 )≈ f (−15,60 )−f (−15,50 )10

=−0.1

f v (−15,50 )≈ f (−15,60 )−f (−15,50 )−10

=−0.2

∴Fv (−15,50 )≈−0.15

∴ cuandoT=17C y V=55 kmh

F(-17.55)= -24+(1.3)(-17+15)-(0.5)(55-30)=

-32.35, entonces estimamos que el enfriamiento cambio - -52,35

Page 38: CALCULO VECTORIAL GUIA N3.docx

28. Diferencial de la función.

T= v1+uvw

dT=aT

aV

+aT

aU

+aT

aw

dT=V (−1 ) (1+uvw )−2 (vw ) du+1 (1+uvw )−v (uw)

(1+uvw)2dv+v (−1) (1+uvw )−2(uv)dw

dT= −v2

(1+uvw )du+ 1

(1+uvw )2dv− uv2

(1+uvw )2dw

30. w=xy exz

dw=awax

+ away

+ awaz

dw=(xyz exz+ y exz )dx+(x exz )dy+(x2 y exz )dz

¿ ( xz+1 ) ye xzdx+ xexz dy+ x2 y exzdz