CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul...

31
CAPITOLUL I 6 Probleme rezolvate 1. Pe mulţimea matricelor mn (K) = {A | A = [a ij ], a ij K, i = m , 1 , j = n , 1 } se definesc operaţiile: "+" : mn (K) × mn (K) mn (K) prin C = A + B, C = [c ij ], c ij = a ij + b ij , "•" : K × mn (K) mn (K) prin D = αA, D = [d ij ], d ij =αa ij , pentru A = [a ij ], B = [b ij ] mn (K), α K. Să se arate că (mn (K), +, •) este un K-spaţiu vectorial de dimensiune mn. Soluţie. Operaţia de adunare este o operaţie internă pe mn (K), care satisface proprietăţile: 1.1. (A + B) + C = A + (B + C), A, B, C mn (K); 1.2. A + B = B + A; A, B mn (K); 1.3. O mn mn (K), matricea cu toate elementele egale cu 0, a.î. A + O mn = A, A mn (K); 1.4. A = [a ij ] mn (K), -A = [-a ij ] mn (K) a.î. A + (-A) = O mn ; Operaţia de înmulţire a matricelor cu scalari din K este o operaţie externă, care verifică proprietăţile: 2.1. α(βA) = (αβ)A, α, β K, A mn (K); 2.2. α(A + B) = αA +αB, α K, A, B mn (K); 2.3. (α + β)A = αA + βA, α, β K, A mn (K); 2.4. 1• A = A, A mn (K) (unde 1 este elementul unitate din corpul K). Demonstraţiile proprietăţilor se fac utilizând definiţiile celor două operaţii şi proprietăţile câmpului K.

Transcript of CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul...

Page 1: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

6

Probleme rezolvate 1. Pe mulţimea matricelor

ℳmn(K) = {A | A = [aij], aij ∈ K, i = m,1 , j = n,1 } se definesc operaţiile: "+" : ℳmn(K) × ℳmn(K) → ℳmn(K) prin C = A + B, C = [cij], cij = aij + bij,

"•" : K × ℳmn(K) → ℳmn(K) prin D = αA, D = [dij], dij =αaij, pentru ∀A = [aij], B = [bij] ∈ ℳmn(K), ∀α ∈ K.

Să se arate că (ℳmn(K), +, •) este un K-spaţiu vectorial de dimensiune mn. Soluţie. Operaţia de adunare este o operaţie internă pe ℳmn(K), care satisface proprietăţile: 1.1. (A + B) + C = A + (B + C), ∀A, B, C ∈ ℳmn(K); 1.2. A + B = B + A; ∀A, B ∈ ℳmn(K); 1.3. ∃Omn∈ ℳmn(K), matricea cu toate elementele egale cu 0, a.î.

A + Omn = A, ∀A ∈ ℳmn(K); 1.4. ∀A = [aij] ∈ ℳmn(K), ∃-A = [-aij] ∈ ℳmn(K) a.î.

A + (-A) = Omn ; Operaţia de înmulţire a matricelor cu scalari din K este o

operaţie externă, care verifică proprietăţile: 2.1. α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K, ∀A ∈ ℳmn(K); 2.2. α(A + B) = αA +αB, ∀α ∈ K, ∀A, B ∈ ℳmn(K); 2.3. (α + β)A = αA + βA, ∀α, β ∈ K, ∀A ∈ ℳmn(K); 2.4. 1• A = A, ∀A ∈ ℳmn(K) (unde 1 este elementul unitate din corpul K). Demonstraţiile proprietăţilor se fac utilizând definiţiile celor două operaţii şi proprietăţile câmpului K.

Page 2: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

7

Fie BC = {Eij ∈ ℳmn(K) | i = m,1 , j = n,1 }, Eij fiind matricea care are elementul 1 la intersecţia liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind egale cu 0. BC formează o bază în ℳmn(K), numită baza canonică (sau baza naturală). Într-adevăr, dacă αij ∈ K, i = m,1 , j = n,1 , atunci din orice

combinaţie liniară de forma∑∑= =

αm

1i

n

1jijijE = Omn rezultă

∑∑= =

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

ααα

αααααα

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

αm

1i

n

1j

mn2m1m

n22221

n11211

ij

...............

...

...

0...0...0...............0......0...............0...0...0

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

0...00............0...000...00

,

deci αij = 0, ∀i = m,1 , j = n,1 ; BC este un sistem de vectori liniar independenţi. Deoarece pentru ∀A ∈ ℳmn(K), A = [aij], i = m,1 , j = n,1 , are loc egalitatea

A = ∑∑= =

m

1i

n

1jijijEa ,

rezultă că BC este şi un sistem de generatori pentru spaţiul ℳmn(K). Numărul elementelor din BC este mn, ceea ce implică dim ℳmn(K) = mn. Spaţiul vectorial ℳnn(K) al matricelor pătratice se notează cu ℳn(K) şi dim ℳn(K)= n2.

Page 3: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

8

Observaţie. Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial peste el însuşi.

Spaţiul vectorial ℳ1n(K), al matricelor linie, se identifică cu spaţiul Kn.

Spaţiul vectorial ℳm1(K), al matricelor coloană, se identifică cu Km.

2. Pe mulţimea Kn = 4434421

orinde

K...KK ××× = {x | x = (x1, x2, ... , xn), xi ∈ K, i = n,1 }

se definesc operaţiile: "+" : Kn × Kn → Kn, x + y = (x1 + y1, x2 + y2 ... , xn + yn), "•" : K × Kn → Kn, αx = (αx1, αx2, ... , αxn),

pentru ∀x = (x1, x2, ... , xn), y = (y1, y2 ... , yn) ∈ Kn, ∀α ∈ K. Să se arate că (Kn, +, •) este un K-spaţiu vectorial de dimensiune n (spaţiul vectorial aritmetic). Soluţie. Rezultă din identificarea lui Kn cu spaţiul vectorial ℳ1n(K).

Baza canonică a lui Kn este BC = { ie | ie = (0, 0, .... , 0, 1, 0, ....., 0), i = n,1 }

(în vectorul ie toate coordonatele sunt nule, cu excepţia celei de pe locul i, care este 1). Pentru K = ℝ (K = ℂ) se obţine ℝ-spaţiul vectorial ℝn (ℂ-spaţiul vectorial ℂn). 3. Fie V un ℝ-spaţiu vectorial. Pe mulţimea VC = V × V se definesc operaţiile:

"+" : VC × VC → VC, (x 1, y 1) + (x 2, y 2) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) "•" : ℂ × VC → VC, (α + iβ)( x 1, y 1) = (αx 1 - β y 1, α y 1+ βx 1),

pentru ∀( x 1, y 1), ( x 2, y 2) ∈ VC, ∀α, β ∈ ℝ.

Page 4: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

9

Să se arate că (VC, +, •) este un ℂ -spaţiu vectorial (spaţiu liniar complex), numit complexificatul ℝ-spaţiului vectorial V. Soluţie. Folosind proprietăţile ℝ-spaţiului vectorial V se poate arăta că (VC, +) este un grup comutativ.

Au loc şi proprietăţile: (2.1.) (α + iβ)[(γ + iδ)( x 1, y 1)] =

= (α + iβ)(γx 1 - δ y 1, γ y 1+ δx 1) = = (α(γx 1 - δ y 1) - β(γ y 1 + δx 1), α(γ y 1 + δx 1) + β(γx 1 - δ y 1)) = = ((αγ - βδ) x 1 - (αδ + βγ) y 1, (αγ - βδ) y 1 + (αδ + βγ) x 1) = = [(αγ - βδ) + i(αδ + βγ)]( x 1, y 1) = [(α + iβ)(γ + iδ)]( x 1, y 1).

(2.2.) (α + iβ)[( x 1, y 1) + ( x 2, y 2)] = = (α + iβ) ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) = = (α( x 1 + x 2) - β( y 1 + y 2 ), α( y 1 + y 2) + β( x 1 + x 2)) = = ((αx 1 - β y 1) + (αx 2 - β y 2), (α y 1 + βx 1) + (α y 2 + βx 2)) = = (αx 1 - β y 1, α y 1 + βx 1) + (αx 2 - β y 2, α y 2 + βx 2) = = (α + iβ) ( x 1, y 1) + (α + iβ) ( x 2, y 2).

(2.3.) [(α +iβ) + (γ + iδ)] ( x 1, y 1) = = [(α + γ) + i(β + δ)] ( x 1, y 1) = = ((α + γ) x 1 - (β + δ) y 1, (α + γ) y 1 + (β + δ) x 1) = = ((α x 1- β y 1) + (γx 1 - δ y 1), (α y 1 + βx 1) + (γ y 1 + δx 1)) = = (α x 1- β y 1, α y 1 + βx 1) + (γx 1 - δ y 1, γ y 1 + δx 1) = = (α + iβ)( x 1, y 1) + (γ + iδ)( x 1, y 1).

(2.4.) 1• ( x 1, y 1) = (1 + i0) • ( x 1, y 1)= (1 x 1 -0 y 1, 1 y 1 + 0 x 1) = = ( x 1, y 1).

Caz particular. Dacă V = ℝ, atunci VC = ℝ × ℝ este ℂ-spaţiu vectorial faţă de operaţiile:

"+" : VC × VC → VC, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 +y2 ), "•" :ℂ × VC → VC, (α + iβ) (x1, y1) = (αx1 - βy1, αy1 + βx1),

pentru ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ VC, ∀α, β ∈ ℝ.

Page 5: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

10

Dacă se interpretează x1 ca partea reală şi y1 ca partea imaginară a unui număr complex, atunci "+" şi "•" coincid cu operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor complexe. 4. Fie V un ℂ- spaţiu vectorial (spaţiu liniar complex). Pe mulţimea V se definesc operaţiile:

"+" : V × V → V, rămâne aceeaşi din V, "•" : ℝ × V → V prin ax = (a + 0i)x , ∀x ∈ V, ∀a ∈ ℝ. Să se arate că (V, +, •) este un spaţiu vectorial real

(decomplexificatul spaţiului V, notat prin Vℝ), cu dim Vℝ = 2n, dacă dim V = n. Soluţie. (V, +) este un grup comutativ. Înmulţirea cu un număr real a coincide cu înmulţirea cu numărul a + i0, deci sunt satisfăcute şi proprietăţile (2.1.) - (2.4.) din definiţia spaţiului vectorial. Caz particular. Decomplexificatul lui ℂn este (ℂn)ℝ.

Dacă z = (z1, z2, ... , zn) ∈ ℂn, zk = xk + iyk, unde xk, yk ∈ ℝ, k = n,1 , atunci z se identifică cu ( x , y) = (x1, x2, ... , xn, y1, y2, ... , yn) ∈ ℝn × ℝn = ℝ2n. Pentru n = 1, decomplexificatul lui ℂ este ℝ2. Dacă B = ( 1e , 2e , ... , ne ) este o bază pentru V, atunci mulţimea Bℝ = ( 1f , 2f , ... , nf , 1nf + , ... , n2f ) este o bază pentru spaţiul Vℝ, unde vectorii din Bℝ sunt daţi de egalităţile:

1f = 1e , 2f = 2e , ... , nf = ne , 1nf + = (0, 1) 1e = i 1e , ... , n2f = i ne . Orice vector v ∈ V se poate scrie sub forma

v = ∑=

n

1kkkev , vk ∈ ℂ.

Dacă înlocuim vk = (Re vk, Im vk), atunci:

Page 6: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

11

v = ∑ ∑∑ ∑= == =

+=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ n

1k

n

1kkkkk

n

1k

n

1kkkkk e)v(Imie)v(Ree)v(Im,e)v(Re =

= ( )∑=

++n

1kknkkk f)v(Imf)v(Re .

Deci [Bℝ] = Vℝ. În plus, Bℝ este o mulţime liniar independentă în Vℝ. 5. Pe mulţimea Φ(X, V) = {f | f : X → V}, unde K este un câmp nevid şi V este un K-spaţiu vectorial, se definesc operaţiile:

"+" : Φ(X, V) × Φ(X, V) → Φ(X, V), prin h = f + g; h(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ X;

"•" : K × Φ(X, V) → Φ(X, V) prin ϕ = αf, ϕ(x) = αf(x), ∀x ∈ X,

pentru ∀f, g ∈ Φ(X, V), ∀α ∈ K. Să se arate că (Φ(X, V), +, •) este un K-spaţiu vectorial. Soluţie. Deoarece adunarea determină pe V o structură de grup comutativ, rezultă că adunarea indusă pe Φ(X, V) determină pe această mulţime o structură de grup comutativ. Legea de compoziţie externă în V peste K induce legea de compoziţie externă "•" în Φ(X, V). (2.1.) [α (βf)](x) = α (βf)(x) = α (βf(x)) = (αβ)f(x) = ((αβ)f)(x), pentru ∀x ∈ X, deci are loc: α (βf) = (αβ)f, ∀f ∈ Φ(X, V), ∀α, β ∈ K. Analog se demonstrează şi celelalte proprietăţi: (2.2.) α(f + g) = αf + αg, ∀f, g ∈ Φ(X, V), ∀α ∈ K; (2.3.) (α + β)f = αf + βf, ∀f ∈ Φ(X, V), ∀α, β ∈ K; (2.4.) 1•f = f, ∀f ∈ Φ(X, V), cu 1 ∈ K.

Page 7: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

12

6. Pe mulţimea polinoamelor de grad mai mic sau egal cu n, cu coeficienţi din corpul K, Kn[x] = {p(x)| p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn, ai ∈ K, i = n,0 }, se definesc operaţiile:

"+": Kn[x] × Kn[x] → Kn[x] prin r(x) = p(x) + q(x), r(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 + ... + (an + bn)xn, "•": K × Kn[x] → Kn[x] prin s(x) = (αp)(x), s(x) = (αa0) + (αa1)x + (αa2)x2 + ... + (αan)xn,

pentru ∀p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn ∈ Kn[x], ∀q(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn ∈ Kn[x], ∀α ∈ K. Să se arate că (Kn[x], +, •) este un K-spaţiu vectorial de

dimensiune (n + 1). Soluţie. Oricărui element p(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn din

Kn[x], ai ∈ K, i = n,0 , i se poate asocia (n + 1)-uplul format din coeficienţi, (a0, a1, a2, ... , an) ∈ Kn + 1, deci Kn[x] se poate identifica cu Kn + 1. Mulţimea BC = {1, x, x2, ... , xn} formează o bază în Kn[x] (numită baza canonică) şi deci dim Kn[x] = n + 1. 7. Pe mulţimea ℝ*

+= {x | x ∈ ℝ, x > 0} se definesc operaţiile:

"⊕" : ℝ*+ × ℝ*

+ → ℝ*+ , x ⊕ y = xy,

"⊙" : ℝ × ℝ*+ → ℝ*

+ , α ⊙ x = xα, pentru ∀x, y ∈ ℝ*

+ , ∀α ∈ ℝ. Să se arate că (ℝ*

+ , ⊕, ⊙) este un ℝ-spaţiu vectorial. Soluţie. (ℝ*

+ , +) este un grup comutativ deoarece operaţia "⊕" este internă, comutativă, asociativă, numărul e = 1 este element neutru şi ∀x ∈ ℝ*

+ admite un simetric faţă de operaţia "⊕", anume

Page 8: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

13

x' = x1 ∈ ℝ*

+ (sunt proprietăţile de grup abelian ale lui ℝ*+ faţă de

înmulţirea obişnuită). Se verifică şi proprietăţile lui ℝ*

+ faţă de înmulţirea cu scalari reali: (2.1.) (αβ)⊙x = xαβ = (xα)β = (xβ)α = α⊙xβ = α⊙(β⊙x); (2.2.) α⊙(x⊕y) = α⊙(xy) = (xy)α = xαyα = xα⊕yα =

= (α⊙x) ⊕ (α⊙y); (2.3.) (α + β)⊙x = xα + β = xαxβ = xα⊕xβ = (α⊙x)⊕(β⊙x); (2.4.) 1⊙x = x1 = x, pentru ∀x, y ∈ ℝ*

+ , ∀α, β ∈ ℝ. 8. Pe mulţimea ℝ2 = {x ∈ ℝ2 | x = (x1, x2), xi ∈ ℝ, i = 1, 2} se definesc operaţiile: x + y = (x1 + y1, x2 + y2), ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ ℝ2, αx = (αx1, x2), ∀α ∈ ℝ, ∀x ∈ ℝ2. Să se studieze dacă (ℝ2, +, •) este un ℝ-spaţiu vectorial. Soluţie. Deoarece (α + β)x = ((α + β) x1, x2), αx + βx = (αx1, x2) + (βx1, x2) = ((α + β)x1, 2x2), rezultă că (α + β)x ≠ αx + βx , deci (ℝ2, +, •) nu este un ℝ-spaţiu vectorial. 9. Să se arate că dacă S1 şi S2 sunt subspaţii liniare ale K-spaţiului vectorial V, atunci mulţimile S1 ∩ S2 şi S1 + S2 = {x | x = 1x + 2x , 1x ∈ S1, 2x ∈ S2} sunt subspaţii vectoriale ale lui V. Soluţie. ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x , y ∈ S1 şi x , y ∈ S2 ⇒ αx + β y ∈ S1 şi αx + β y ∈ S2 ⇒

Page 9: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

14

⇒ αx + β y ∈ S1 ∩ S2 ⇒ S1 ∩ S2 este subspaţiu liniar. Pentru ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ S1 + S2 ⇒ ⇒ x = 1x + 2x , y = 1y + 2y , 1x , 1y ∈ S1 şi 2x , 2y ∈ S2 ⇒ ⇒ α 1x + β 1y ∈ S1 şi α 2x + β 2y ∈ S2 ⇒ ⇒ αx + β y = α( 1x + 2x ) + β( 1y + 2y ) =

= (α 1x + β 1y ) + (α 2x + β 2y ) ∈ S1 + S2 ⇒ ⇒ S1 + S2 este subspaţiu liniar. Observaţie. Dacă S1 ∩ S2 = { 0} (caz în care S1 şi S2 se numesc subspaţii liniar independente), atunci suma lor, S1 + S2, se numeşte sumă directă şi se notează cu S1 ⊕ S2.

În plus, dacă S1 ⊕ S2 = V, atunci S1 şi S2 se numesc subspaţii suplimentare şi dim V = dim S1 + dim S2. 10. Fie S1 şi S2 subspaţii liniare ale K-spaţiului vectorial V. Să se arate că V = S1 ⊕ S2 dacă şi numai dacă pentru ∀x ∈ V, ∃ 1x ∈ S1 şi 2x ∈ S2 unic determinaţi astfel încât x = 1x + 2x . Soluţie. Necesitatea. Presupunem că V = S1 ⊕ S2 şi x = 1x + 2x = 1y + 2y , 1x , 1y ∈ S1 şi 2x , 2y ∈ S2. Deoarece S1 ∩ S2 = { 0}, rezultă că 0 = x - x = ( 1x - 1y ) + ( 2x - 2y ) ∈ S1 ∩ S2 ⇒ ⇒ 1x - 1y = 0 , 2x - 2y = 0 ⇒ 1x = 1y , 2x = 2y . Suficienţa. Presupunem că ∀x ∈ V, ∃ 1x ∈ S1 şi 2x ∈ S2 unic determinaţi astfel încât x = 1x + 2x .

Să arătăm că S1 ∩ S2 = { 0}. Dacă u∈ S1 ∩ S2 ⇒ x = ( 1x + u ) + ( 2x - u ), cu 1x + u∈S1,

Page 10: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

15

2x - u ∈ S2. Din unicitatea descompunerii rezultă că 1x = 1x + u ,

2x = 2x - u, deci u = 0, de unde S1 ∩ S2 = {0}. 11. În spaţiul vectorial ℳn(K) se consideră submulţimile: Σn(K) = {A ∈ ℳn(K)| A = At} (mulţimea matricelor simetrice) Αn(K) = {A∈ℳn(K)| A = -At}(mulţimea matricelor antisimetrice) Să se arate că mulţimile Σn(K) şi Αn(K) sunt subspaţii vectoriale ale lui ℳn(K), ℳn(K) = Σn(K) ⊕ Αn(K) şi

dim Σn(K) = 2

)1n(n + , dim Αn(K) = 2

)1n(n − .

Soluţie. ∀A, B ∈ Σn(K) ⇒ A = At, B = Bt. ∀α, β ∈ K ⇒ (αA + βB)t = (αA)t + (βB)t = αAt + βBt = αA + βB ⇒ αA + βB ∈ Σn(K) ⇒ Σn(K) este subspaţiu vectorial. Analog se demonstrează că Αn(K) este subspaţiu vectorial. Orice matrice A ∈ ℳn(K) se poate scrie A = A1 + A2, unde

A1 = 21 (A + At), A2 =

21 (A - At), cu A1 ∈ Σn(K), A2 ∈ Αn(K).

Se demonstrează că descompunerea este unică. Presupunem că are loc şi decompunerea A = B1 + B2 cu B1 ∈ Σn(K), B2 ∈ Αn(K).

Atunci A = A1 + A2 = B1 + B2, deci A1 - B1 = B2 - A2. Deoarece A1, B1 ∈ Σn(K), care este subspaţiu vectorial,

rezultă că A1 - B1 ∈ Σn(K). Analog B2 - A2 ∈ Αn(K).

Deci C = A1 - B1 = B2 - A2 ∈ Σn(K) ∩ Αn(K) ⇒ ⇒ C = Ct şi C = - Ct ⇒ 2C = On ⇒ A1 = B1, A2 = B2. Se observă că matricea A = [aij] n,1j,n,1i ==

∈ Σn(K) se poate

identifica cu vectorul de coordonate

Page 11: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

16

(a11,a12,a13,...,a1n, a22, a23, ..., a2n, ..., an - 1, n - 1, an - 1, n, ann) ∈ K 2)1n(n +

.

Deci dim Σn(K) = 2

)1n(n + . Din relaţia dimensiunilor rezultă

dim Αn(K) = n2 - 2

)1n(n + = 2

)1n(n − .

12. Să se arate că vectorii 1u , 2u , ... , nu din spaţiul vectorial ℝn sunt liniar independenţi dacă rangul matricei

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

nnn2n1

2n2212

1n2111

x...xx............

x...xxx...xx

A ∈ ℳn(ℝ),

formată pe coloane din coordonatele vectorilor într-o bază oarecare, B = { 1e , 2e , ... , ne } din ℝn, este n, adică egal cu numărul vectorilor.

Soluţie. Dacă în relaţia 0un

1iii =α∑

=, αi ∈ ℝ, i = n,1 ,

introducem expresiile vectorilor iu în baza B, iu = ∑=

n

1jjijex ,

obţinem următorul sistem liniar şi omogen în necunoscutele α1, α2, ... , αn

0xn

1iiji =α∑

=.

Sistemul admite numai soluţia banală, αi = 0, i = n,1 ,dacă matricea sistemului A are determinantul nenul, deci rangA = n. Observaţie. Rangul sistemului de vectori linie ai unei matrice este egal cu rangul sistemului de vectori coloană.

Page 12: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

17

Rangul unei matrice A este rangul comun sistemelor de vectori linie sau coloană, adică este egal cu numărul maxim de vectori linie sau coloană liniar independenţi ai ei. 13. Să se stabilească dacă următorii vectori sunt liniar independenţi sau liniar dependenţi: a) 1u = (1, -1, 2), 2u = (-1, 3, -2), 3u = (5, -11, 10); b) 1u = (1, -1, 0), 2u = (-1, 2, 1), 3u = (1, 1, 1). Soluţie. a) Considerăm combinaţia liniară α 1u + β 2u + γ 3u = 0 , care conduce la sistemul liniar şi omogen

⎪⎩

⎪⎨

=γ+β−α=γ−β+α−

=γ+β−α

010220113

05.

Matricea sistemului este

.000010001

~000620

511~

10221131511

A2:2L1L23L

1L2L

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−=

−+

şi rang A = 2 < 3 = numărul necunoscutelor. Sistemul este compatibil nedeterminat cu soluţia α = -2γ, β = 3γ, γ = γ, γ ∈ ℝ. Rezultă că vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar dependenţi şi satisfac relaţia de dependenţă

-2γ 1u + 3γ 2u + γ 3u = 0 , γ ∈ ℝ. În particular, pentru γ = -1, se obţine relaţia de dependenţă 2 1u - 3 2u - 3u = 0 .

b) Considerăm combinaţia liniară α 1u + β 2u + γ 3u = 0 , care conduce la sistemul liniar şi omogen

Page 13: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

18

⎪⎩

⎪⎨

=γ+β=γ+β+α−

=γ+β−α

002

0

Matricea sistemului este

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡ −

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

−=

−+

100210111

~110210111

~110121111

A2L3L2L1L

.

şi rang A = 3. Sistemul admite numai soluţia banală, α = β = γ = 0, deci

vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar independenţi.

14. Să se studieze, după valorile parametrului real m ∈ ℝ, dependenţa liniară a sistemului de vectori

{ 1u = (1, 2, 3), 2u = (4, 5, 6), 3u = (7, 8, m)}. În cazul în care sistemul este liniar dependent să se găsească o

relaţie de dependenţă. Soluţie. Considerăm combinaţia liniară

α 1u + β 2u + γ 3u = 0 , care conduce la sistemul liniar şi omogen

⎪⎩

⎪⎨

=γ+β+α=γ+β+α=γ+β+α

0m630852074

.

Matricea sistemului este

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

−−

−−

9m00210741

~21m60

630741

~m63852741

A)3(:2L2L23L

1L33L1L22L

.

Pentru m ≠ 9 ⇒ rangA = 3 ⇒ vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar independenţi.

Page 14: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

19

Pentru m = 9 ⇒ rang A = 2 ⇒ vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar dependenţi. Soluţia sistemului este α = γ, β = -2γ, γ = γ, γ ∈ ℝ. Pentru γ = 1 se obţine relaţia de dependenţă 1u -2 2u + 3u = 0 . 15. Să se discute, după valorile parametrilor reali m, n, dependenţa liniară a vectorilor:

a) 1u = (1, 1, 2m), 2u = (2, -1, m2), 3u = (1, 2, 3); b) 1u = (m, 1, 1), 2u = (n, mn, n), 3u = (1, 1, m). Soluţie. a) Cu coordonatele vectorilor 1u , 2u , 3u aşezate pe

coloane se construieşte matricea

2C3C

2

1mL23L12L

1C3C1C22C2

~m23m4m0

130001

~3mm2211121

A↔−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−−

+9m10m00

010001

~m4mm230

310001

~2

2L)m23(3L

2C33C2

Dacă m ∈ ℝ \ {1, 9}, atunci rangA = 3 şi vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar independenţi. Dacă m = 1 sau m = 9, atunci rangA = 2 şi vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar dependenţi. Se poate determina relaţia de dependenţă folosind transformări elementare asupra liniilor matricei At. Pentru m = 1 obţinem

~110330

211

uuu2u

u~

321112211

uuu

13

12

1

3

2

1

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

Page 15: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

20

~ ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−+−−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

000110211

3/)u2u(uu)3/()u2u(

u~

110110211

uu)3/()u2u(

u

1213

12

1

13

12

1

Deci 3u - 1u +31 ( 2u - 2 1u ) = 0 , adică relaţia de dependenţă

liniară este 5 1u - 2u - 3 3u = 0 . Pentru m = 9

~1510

45301811

uuu2u

u~

32181121811

uuu

13

12

1

3

2

1

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−+−−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−−

0001510211

3/)u2u(uu3

u2uu

~15101510211

uu3

u2uu

~

1213

121

13

121

.

Relaţia de dependenţă liniară este 5 1u - 2u - 3 3u = 0 .

b) 1mL3L

1L2L

1mC3C1nC2C

1C3C~

1nm1mn1mn1

~mn11mn11nm

A−−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−−−

)m1)(m1()m1(n0m1)1m(n0

001~

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+−−−

+

)2m)(m1(00m1)1m(n0

001~

2L3L

Dacă n ∈ ℝ \ {0} şi m ∈ ℝ \ {-2, 1}, atunci rangA = 3 şi vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar independenţi. Dacă n ∈ ℝ \ {0} şi m = 1, atunci rangA = 1 şi vectorii 1u ,

2u , 3u sunt liniar dependenţi. Dacă n ∈ ℝ \ {0} şi m = - 2, atunci rangA = 2 şi vectorii 1u ,

2u , 3u sunt liniar dependenţi.

Page 16: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

21

Dacă n = 0 şi m ∈ ℝ \ {-2, 1}, atunci rangA = 2 şi vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar dependenţi.

Dacă n = 0 şi m = - 2, atunci rangA = 2 şi vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar dependenţi.

Dacă n = 0 şi m = 1, atunci rangA = 1 şi vectorii 1u , 2u , 3u sunt liniar dependenţi.

16. Se dau vectorii 1u = (3 + 2 , 1 + 2 ), 2u = (7, 1 + 2 2 ).

Să se arate că vectorii sunt liniar dependenţi în ℝ2 considerat ca un ℝ-spaţiu vectorial şi liniar independenţi în ℝ2 considerat ca un ℚ-spaţiu vectorial. Soluţie. Din relaţia α 1u + β 2u = 0 rezultă sistemul

(S) ⎩⎨⎧

=β++α+=β+α+

0)221()21(07)23(

Determinantul sistemului este

22121723

+++ = 0,

deci vectorii 1u , 2u sunt liniar dependenţi în ℝ2 considerat ca ℝ-spaţiu vectorial. Are loc relaţia de dependenţă: 7 1u - (3 + 2 ) 2u = 0 . Sistemul (S) se mai poate scrie sub forma

⎩⎨⎧

=β+α+β+α=α+β+α

02)2()(02)73( ,

cu soluţia α = β = 0, adică vectorii 1u , 2u sunt liniar independenţi în ℝ2 considerat ca ℚ-spaţiu vectorial. 17. Să se arate că sistemul de vectori S = {p(x), p'(x), p''(x), ... , p(n)(x)} ⊆ ℝn[x] este liniar independent.

Page 17: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

22

Soluţie. Dacă p(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an - 1xn - 1 + anxn ∈ ℝn[x],

atunci: p'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ... + nanxn - 1 p''(x) = 2a2 + 2.3a3x + 4.3a4x2 + ... + n(n - 1)an xn - 2 ... p(n - 1)(x) = (n - 1)! an - 1 + n! anx p(n)(x) = n! an.

Din combinaţia liniară α0p(x) + α1p'(x) + ... + αnp(n)(x) = 0 = 0 + 0x + ... + 0xn rezultă sistemul liniar omogen în necunoscutele αk, k = n,0 :

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

=α=α+α

=α+α−++α+α=α+α−++α+α+α

−−−

−−

0a0ana

..........................................0a!na)!1n(...a2a0a!na)!1n(...a2aa

n0

n11n0

n1n1n2n2110

nn1n1n221100

Deoarece sistemul admite numai soluţia banală, rezultă că sistemul de vectori S este liniar independent. 18. Se dă sistemul de vectori B = { 1v , 2v , 3v } ⊆ ℝ3, unde

1v = (1, 2, 1), 2v = (2, 3, 3), 3v = (3, 7, 1). a) Să se arate că B este o bază în ℝ3. b) Să se scrie matricea S a schimbării de baze, de la baza canonică BC din ℝ3 la B, BC ⎯→⎯S B. c) Să se afle coordonatele vectorului x = (3, -1, 2) în baza B. Soluţie. a) Deoarece numărul vectorilor din B este egal cu dim ℝ3 = 3, este suficient să arătăm că B este sistem liniar independent. Din combinaţia liniară α 1v + β 2v + γ 3v = 0 rezultă sistemul

Page 18: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

23

⎪⎩

⎪⎨

=γ+β+α=γ+β+α=γ+β+α

030732

032,

care admite numai soluţia banală, α = β = γ = 0, deci B este o bază în ℝ3. b) Deoarece 1v = 1e + 2 2e + 3e

2v = 2 1e + 3 2e + 3 3e 3v = 3 1e + 7 2e + 3e ,

rezultă că matricea S este

S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

131732321

.

c) Folosind formula schimbării coordonatelor la o schimbare de bază, avem

XB = S-1XCB =

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−−

−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

81551

21

3

113125

5718

21

3

131732321 1

.

În concluzie, x = (-51, 15, 8)B = -51 1v + 15 2v + 8 3v . Din definiţie, coordonatele vectorului x în baza B sunt scalarii α, β, γ din relaţia x = α 1v + β 2v + γ 3v , care conduce la sistemul liniar neomogen

⎪⎩

⎪⎨

=γ+β+α−=γ+β+α

=γ+β+α

231732

332

cu soluţia α = -51, β = 15, γ = 8. 19. Se consideră baza B1 = { 1u = (1, 1, 1), 2u = (2, -1, 1), 3u = (-1, 1, 1)}, sistemul de vectori

Page 19: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

24

B2 = { 1v = (1, 0, 1), 2v = (0, 1, 1), 3v = (1, 1, 0)} şi vectorul x = (1, -1, 0). a) Să se scrie matricea S a trecerii de la baza B1 la sistemul de vectori B2, B1 ⎯→⎯S B2 şi să se arate că B2 este o bază. c) Să se afle coordonatele vectorului x în cele două baze. Soluţie. a) Se caută descompunerile vectorilor din sistemul B2 în raport cu vectorii din baza B1, adică: (1) 1v = s11 1u + s12 2u + s13 3u (2) 2v = s21 1u + s22 2u + s23 3u (3) 3v = s31 1u + s32 2u + s33 3u . Relaţiile (1), (2), (3) conduc la sistemele liniare neomogene:

(S1) ⎪⎩

⎪⎨

=++=+−=−+

1sss0sss1ss2s

131211

131211

131211

;

(S2) ⎪⎩

⎪⎨

=++=+−=−+

1sss1sss0ss2s

232221

232221

232221

;

(S3) ⎪⎩

⎪⎨

=++=+−=−+

0sss1sss1ss2s

333231

333231

333231

;

Se observă că matricele coeficienţilor necunoscutelor celor trei sisteme coincid, având pe coloane coordonatele vectorilor 1u ,

2u , 3u . Cele trei sisteme se pot rezolva simultan (a se vedea anexa – p. 246).

3L2L1L3L1L2L

~110

011101

210230121

~011110101

111111121

−↔−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

Page 20: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

25

1L3L32L3L2)4(:4L

1L2L23L2L3

~321110121

400210

301~

011110101

230210121 +−

+−

+−+

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−−

−−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

43

21

41

210

21

45

21

41

100010001

~ .

În concluzie: s11 = 41 ; s12 =

21 ; s13 =

41 ;

s21 = 21 ; s22 = 0; s23 =

21 ;

s31 = 45 ; s32 = -

21 ; s33 = -

43 ,

adică S = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−321202

521

41

43

21

41

210

21

45

21

41

.

Deoarece matricea S este nesingulară (detS ≠ 0), rezultă că B2 este o bază în ℝ3 şi vectorii ei, descompuşi după vectorii bazei B1, sunt:

1v = 41 1u +

21

2u + 41 3u ;

2v = 21

1u + 21

3u ;

Page 21: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

26

3v = 45

1u - 21

2u - 43

3u .

Vectorul x în baza B1, respectiv B2, are coordonatele date de:

X1B = S 1

1− X

CB =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

− −

41

2141

01

1

111111121 1

, unde BC ⎯→⎯ 1S B1.

X2B = S 1

2− X

CB = ⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

01

1

01

1

011110101 1

, unde BC ⎯→⎯ 2S B2.

Matricea X

2B poate fi determinată şi folosind relaţia

X2B = S- 1X

1B , unde B1 ⎯→⎯S B2. 20. Fie baza B = { 1v , 2v , 3v , 4v } ⊆ ℝ4, unde

1v = (1, 2, 0, -1), 2v = (-1, 0, 3, 0), 3v = (2, 1, 0, 4), 4v = (3, 0, -1, 5) şi vectorii v = (1, 1, -1, 0) şi w = (1, 1, 1, -1). Să se determine coordonatele vectorilor v şi w în această bază. Soluţie. Putem rezolva această problemă şi prin lema substituţiei, rezultat des folosit în problemele de algebră liniară. Dacă B = { 1v , 2v , ... , nv } este o bază în K-spaţiul vectorial

V, ∑=α=

n

1iiivv ∈ V este un vector fix şi B* = { 1v , 2v , ... , vi - 1, v,

vi + 1, ... , nv } este un sistem de vectori obţinut din B prin înlocuirea vectorului vi cu vectorul v , atunci au loc afirmaţiile:

Page 22: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SSPPAAŢŢIIII VVEECCTTOORRIIAALLEE

27

- B* este o bază pentru V dacă şi numai dacă αi ≠ 0; - dacă B* este o bază pentru V, atunci legătura dintre coordonatele unui vector x în bazele B, respectiv B*, este dată de relaţiile:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≠α

α−α

=ijpentru,

x

ijpentru,xx

x

j

ji

jiij

*j ,

unde x = (x1, x2, ... , xn)B şi x = (x1*, x2*, ... , xn*)B*.

Pentru uşurinţa calculelor se construiesc tabelele:

B v x 1v α1 x1

... ... ... iv αi xi

... ... ... jv αj xj

... ... ... nv αn xn

B* v x 1v 0

i

1ii1 xxα

α−α

... ... ... 1iv − 0

i

1iii1i xxα

α−α −−

v 1

i

ixα

1iv + 0

i

1iii1i xxα

α−α ++

... ... ... jv 0

i

jiij xxα

α−α

... ... ... nv 0

i

niin xxα

α−α

Page 23: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

28

Pe coloane sunt coordonatele vectorilor corespunzători în bazele indicate la începutul fiecărui tabel. Deoarece s-a presupus că αi ≠ 0, rezultă că se poate înlocui iv cu v .

Elementul αi se numeşte pivot şi se marchează printr-un cerc. Trecerea de la tabelul B la B* se face astfel: - elementele liniei din B* corespunzătoare liniei pivotului se

obţin împărţind toate elementele liniei pivotului prin pivot; - se completează coloana corespunzătoare pivotului cu 0-uri; - toate celelalte elemente xj, j ≠ i, se înlocuiesc prin

i

jiij*j

xxx

α

α−α= = xj -

i

ixα

αj.

Trecerea de la coordonatele xj în baza B la coordonatele *

jx în B* se face cu regula dreptunghiului, schematizată prin:

jj

ii

x

x

α

α

i

jiij

i

i

xx0

x1

α

α−α

α

Observaţii - în calcule se aleg, dacă este posibil, pivoţi cât mai simpli (de

exemplu ±1), - dintre doi pivoţi egali va fi ales cel care are pe linia şi

coloana sa elemente cât mai mici, - dacă pe coloana (linia) pivotului apare un 0, atunci coloana

(linia) corespunzătoare se copiază neschimbată în noul tabel. Pentru exemplificarea acestei metode, vom rezolva problema

folosind lema substituţiei. Avem:

Page 24: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SPAŢII VECTORIALE

29

BC 1v 2v 3v 4v v w

1e 1 -1 2 3 1 1 2e 2 0 1 0 1 1 3e 0 3 0 -1 -1 1 4e -1 0 4 5 0 -1

B1 1v 2v 3v 4v v w

1v 1 -1 2 3 1 1 2e 0 2 -3 -6 -1 -1 3e 0 3 0 -1 -1 1 4e 0 -1 6 8 1 0

B2 1v 2v 3v 4v v w

1v 1 0 21 0

21

21

2v 0 1 - 23 - 3 -

21 -

21

3e 0 0 29 8

21

25

4e 0 0 29 5

21 -

21

Page 25: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

30

B3 1v 2v 3v 4v v w

1v 1 0 0 -98

94

92

2v 0 1 0 - 31 -

31

31

3v 0 0 1 9

16 91

95

4e 0 0 0 -3 0 -3

B4 1v 2v 3v 4v v w

1v 1 0 0 0 94

910

2v 0 1 0 0 -31

32

3v 0 0 1 0 91 -

911

4v 0 0 0 1 0 1

Concluzia: v = 91 (4, - 3, 1, 0)B

w = 91 (10, 6, - 11, 9)B.

21. Să se afle matricea schimbării de bază, S, de la baza

canonică BC din ℝ4[x] la baza B, adică BC ⎯→⎯S B, unde: a) B = {1, 1+x, (1 + x)2, (1 + x)3, (1 + x)4};

b) B = {1, x, 21 (3x2 - 1),

21 (5x3 - 3x),

81 (35x4 - 30x2 + 3)}.

Page 26: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SPAŢII VECTORIALE

31

Soluţie. a) Exprimând vectorii bazei B în funcţie de vectorii bazei canonice BC = {1, x, x2, x3, x4}, obţinem:

1 = 1 + 0.x + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 1 + x = 1 + 1.x + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 (1 + x)2 = 1 + 2.x + 1.x2 + 0.x3 + 0.x4 (1 + x)3 = 1 + 3.x + 3.x2 + 1.x3 + 0.x4 (1 + x)4 = 1 + 4.x + 6.x2 + 4.x3 + 1.x4

În concluzie S =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

1000041000631004321011111

b) Analog se determină matricea schimbării de bază

S =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

8350000000004

1525

2300

023010

830

2111

22. Fie S mulţimea soluţiilor sistemului liniar şi omogen de m

ecuaţii liniare cu n necunoscute

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++

=+++=+++

0xa...xaxa..........................................

0xa...xaxa0xa...xaxa

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

adică S = {X ∈ ℳn1(ℝ)| AX = Om1}, unde

Page 27: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

32

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

n

2

1

x...xx

X şi A =

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa............

a...aaa...aa

este matricea sistemului.

a) Să se arate că S este un subspaţiu liniar al lui ℳn1(ℝ); b) Să se arate că dim S = n - r, unde r = rang A. Soluţie. a) Vectorul nul On1 ∈ S şi pentru orice X1, X2 ∈ S şi ∀α, β ∈ ℝ avem:

A(αX1 + βX2) = αAX1 + βAX2 = αOm1 + βOm1 = Om1 , deci αX1 + βX2 ∈ S, adică S este un subspaţiu vectorial.

b) Dacă r = n, atunci sistemul liniar şi omogen admite numai

soluţia banală, adică S = {On1} este subspaţiul nul al lui ℳn1(ℝ) şi dim S = 0 = n - r.

Dacă r = 0, atunci A = Omn şi sistemul admite ca soluţie orice vector X ∈ ℳn1(ℝ), ceea ce înseamnă că S = ℳn1(ℝ), deci dim S = n = n - r.

Dacă 0 < r < n atunci, printr-o eventuală renumerotare a necunoscutelor şi o reordonare a ecuaţiilor, putem presupune că primele r necunoscute sunt principale şi primele r ecuaţii sunt principale.

Sistemul format din ecuaţiile principale se scrie sub forma

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+++−=+++

+++−=++++++−=+++

++++

++++

++++

)xa...xaxa(xa...xaxa.........................................................................................

)xa...xaxa(xa...xaxa)xa...xaxa(xa...xaxa

nrn2r2r,r1r1r,rrrr22r11r

nn22r2r,21r1r,2rr2222121

nn12r2r,11r1r,1rr1212111

Sistemul de mai sus admite soluţia

Page 28: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SPAŢII VECTORIALE

33

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+++=

+++=+++=

++++

++++

++++

nrn2r2r,r1r1r,rr

nn22r2r,21r1r,22

nn12r2r,11r1r,11

xc...xcxcx....................................................

xc...xcxcxxc...xcxcx

,

unde xr + 1, xr + 2, ... , xn sunt necunoscutele secundare, iar cij ∈ ℝ, i = r,1 , j = n,1r + . Soluţia generală a sistemului omogen iniţial este

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+++

++++++

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

+

+

++++

++++

++++

+

+

n

2r

1r

nrn2r2r,r1r1r,r

nn22r2r,21r1r,2

nn12r2r,11r1r,1

n

2r

1r

r

2

1

x......xx

xc...xcxc......

xc...xcxcxc...xcxc

x...xxx...xx

X

Dacă necunoscutele secundare iau, pe rând, valorile xr + 1 = 1, xr + 2 = 0, xr + 3 = 0, ..., xn = 0; xr + 1 = 0, xr + 2 = 1, xr + 3 = 0, ..., xn = 0; .............................................. xr + 1 = 0, xr + 2 = 0, xr + 3 = 0, ..., xn = 1,

atunci se obţin soluţiile particulare

Page 29: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

34

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

= +

+

+

++

+

+

+

1...00c...cc

X,...,

0...10c...cc

X,

0...01c...cc

X rn

n2

n1

n2r,r

2r,2

2r,1

2r1r,r

1r,2

1r,1

1r

Soluţia generală a sistemului se poate scrie sub forma X = xr + 1Xr + 1 + xr + 2Xr + 2 + ... + xnXn. Se poate arăta că sistemul de vectori B = {Xr + 1, Xr + 2, ... , Xn} este o bază pentru S, deci dim S = n - r. Baza B se numeşte sistem fundamental de soluţii pentru sistemul liniar şi omogen şi poate fi determinată cu ajutorul tabloului

Necunoscute principale

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

++

++

++

rn2r,r1r,r

n22r,21r,2

n12r,11r,1

r

2

1

c...cc............

c...ccc...cc

x...xx

Necunoscute secundare

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+

+

1...00............0...100...01

x...xx

n

2r

1r

Xr + 1 Xr + 2 ... Xn

Page 30: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

SPAŢII VECTORIALE

35

23. Să se afle dimensiunea şi o bază pentru subspaţiul S al soluţiilor sistemului liniar şi omogen

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−+−−=+−−+

=+−−+=−++−

0xxx2xx30x5x5x5x7x

0xxxxx20xxxx2x

54321

54321

54321

54321

Soluţie. Vom determina rangul matricei A a sistemului prin transformări elementare asupra liniilor

2L533L

31

2L4L

1L34L1L3L1L22L

~

22550666903335011121

~

11213555711111211121

A−

−−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−

−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−−−−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−

−−−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

−−−

−−−−

−−−

1100011100

3335011121

~

3320011100

3335011121

~3L24L3L5

Deci rang A = 4; necunoscutele principale sunt x1, x2, x3, x4 iar x5 = α este necunoscuta secundară. Se obţine sistemul

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

==+−=−−

=++−

αxαxxα3x3x3x5

αxxx2x

4

43

432

4321

,

care se rezolvă folosind metoda eliminării totale (Gauss).

Page 31: CAPITOLUL I Probleme rezolvatefliacob/An1/2009-2010/Resurse...CAPITOLUL I 8 Observaţie.Spaţiul vectorial ℳ11(K) se identifică cu K, deci K poate fi considerat ca spaţiu vectorial

CCAAPPIITTOOLLUULL II

36

3L1L5:)3L32L(

4L1L4L32L

4L3L

~

1000

1000010003500121

~

113

1

100011003350

1121−

+−+−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡−−−

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎡ −+

1000

1000010000100001

~

1000

1000010000100021

~2L21L

Soluţia sistemului este x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = α, x5 = α, α ∈ ℝ. Mulţimea soluţiilor sistemului liniar omogen iniţial este S = {x ∈ ℝ5 | x = (0, 0, 0, α, α), α ∈ ℝ} =

= {x ∈ ℝ5 | x = α(0, 0, 0, 1,1), α ∈ ℝ}. Mulţimea B = { 1v = (0, 0, 0, 1, 1)} este o bază pentru S şi

dim S = 1.