Ampliación de Álgebra Lineal y Geometría

Resumen

1 Elementos de Álgebra Lineal

Modos de determinar un subespacio:

Generado por k vectores linealmente independientes: S =< u1, u2, . . . , uk >

Ecuación vectorial de S: S = λ1u1 + . . .+ λkuk (siendo u1, . . . , uk los vectores generadores de S)

Ecuación paramétrica de S:

x1 = λ1α11 + · · ·+ λnαn1

. . .

xn = λkαk1 + · · ·+ λαnk

donde cada αij sale de las coordenadas

de cada ui vector generador de S pasando de una ecuación vectorial a un sistema de ecuaciones en elcuerpo.

Ecuación cartesiana de S: Si, ahora, se impone que la matriz

x1 ... ... xnα11 ... ... α1n

... ... ......

αk1 ... ... αkn

tenga rango

n-k (o euqivalentemente, que el determinante sea 0) se obtienen las ecuaciones cartesianas.

Dimensión: Número de vectores que engendran el subesapcio vectorial. Si un subespacio tiene kecuaciones cartesianas, su dimensión siempre será de n-k.

Recta vectorial: Subespacio de dimensión 1

Plano vectorial: Subespacio de dimensión 2

Hiperplano: Subespacio de dimensión n-1 (en un espacio vectorial de dimensión n)

Retículo de subespacios

S(V): Familia de subespacios de un espacio vectorial V. Con la relación de inclusión se forma unretículo, donde inf{S, T} = S ∩ T y sup{S, T} = S + T

S + T : es la suma de subespacios. Se halla uniendo las bases de ambos subespacios S y T

S∩T : es la intersección de subespacios. Se halla imponiendo que se cumplan las ecuaciones cartesianasde ambos supespacios S y T

Fórmula de Grassman: dim(S + T ) = dim(S) + dim(T )− dim(S ∩ T )S ⊕ T : es la suma directa de subespacios. Es una suma de subespacios en la que S ∩ T = 0.

Suplemento: Se dice que S es suplemento de T cuando S ∩ T = 0 y S ⊕ T = V (es decir, engendrantodo el espacio

1

Aplicaciones lineales

Aplicación lineal: es una apliación f : V → V ′ entre espacios vectoriales que conserva combinacioneslineales, es decir: f(λ1x1 + λ2x2) = λ1f(x1) + λ2f(x2)

Matriz asociada a una aplicación lineal: será una matriz compuesta por las imágenes de losvectores de la base de V escritos en la base V'.

Propiedades de las aplicaciones lineales: Sea f : V → V ′ una aplicación lineal y A su matrizasociada

(1) Ker(f) ≤ V y Im(f) ≤ V ′

(2) f es monomor�smo (aplicación lineal inyectiva)⇐⇒ Ker(f) = 0⇐⇒ conserva independencia lineal

(3) Si dim(V ) = dim(V ′); f es monomor�smo ⇐⇒ f es epimor�smo (aplicación lineal sobreyectiva)

(4) rango(A) = dim(f(V ))

(5) Si dim(V ) = dim(V ′); f es isomor�smo (aplicación lineal biyectiva) ⇐⇒ A es inversible

Cambio de base: Para hacer un cambio de base se debe multiplicar el vector x por la matriz delcambio de base que no es más que las imágenes de los vectores de la primera base puestos en �la.

Espacio dual

Forma lineal: Es una aplicación lineal φ : V → K donde V es un espacio vectorial sobre el cuerpo Kque también es espacio vectorial sobre sí mismo

V ∗: Es el espacio dual a V. Se de�ne como el espacio vectorial sobre K constituido por todas las formaslineales provisto de las operaciones φ + ψ : v 7→ φ(v) + ψ(v) y λφ : v 7→ φ(v)λ. A V ∗ también se lellama ortogonal. Dado un subespacio S ≤ V se obtiene S∗ = {f ∈ V/f(S) = 0}. Dado un subespacioS ≤ V ∗ se obtiene que S∗ = ∩f∈Sker(f)

2 Elementos de Geometría Afín y Proyectiva

Retículo de subespacios

Espacio afín A: Es un espacio vectorial V sobre K al que a los vectores se les llama puntos

Subespacio afín: Es un subespacio vectorial trasladado. T ≤ A ⇐⇒ T = τa(S). Además, severi�ca que dim(S) = dim(T )

Espacio proyectivo: Si V es un espacio vectorial cuya dim(V ) = n+ 1 sobre K, con n ≥ −1, P (V )es el conjunto de los subespacios de S ≤ V con dim(S) = 1. Se tiene que dim(P (V )) = n

Subespacio proyectivo: P (S) será un subespacio proyectivo de P (V ) si S es subespacio vectorialde V

Puntos: Son los elementos de P (V )

Rectas: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = 1

Planos: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = 2

Hiperplanos: Son los subespacios S ≤ P (V ) tales que dim(S) = n − 1 (en un espacio P (V ) condim(P (V )) = n)

2

Fórmula de Grassman: se sigue veri�cando en espacios proyectivos de la siguiente manera dim(P (S)+P (T )) = dim(P (S)) + dim(P (T )) − dim(P (S) ∩ P (T )). Como observación de esta fórmula se puededecir que cada par de rectas un plano proyectivo se interseca en un punto y cada par de hiperplanosse interseca según uno de sus hiperplanos

Independencia

Puntos independientes: Si tenemos que P1 =< v1 > . . . Pn =< vn >. P1 . . . Pn son independientesen el espacio proyectivo si, y sólo si, {v1, . . . vn} son linealmente independientes

P (S) : Subespacio engendrado por S. Es el subespacio más pequeño que contiene a S = {P1 . . . Pn}.Se halla encontrando una base de dicho subespacio, es decir, encontrando el máximo número de puntoslinealmente independientes de S.

Observaciones:

(1) Un punto es independiente

(2) Dos puntos son independientes ⇐⇒ los puntos son distintos

(3) Tres puntos son independientes ⇐⇒ los puntos no están sobre la misma recta

(4) En P (V ) con dim(P (V )) = n caben, a lo sumo, n+1 puntos independientes. Además n+1 puntosindependientes generan la totalidad del espacio P (V )

Subespacios por sus ecuaciones: Se hace de manera similar al espacio vectorial

Coordenadas homogéneas

Coordenada homogénea de P: Es la n+ 1− upla (λ0, . . . , λ1) siendo esta la clase de equivalenciade las coordenadas de los vectores que engendran el punto P. Es decir, (λ0, . . . , λ1) y sus múltiplos(exceptuando el 0)

Número de puntos de P (V ) sobre un cuerpo K con q elementos: qn+1−1q−1

Sistema de coordenadas homogéneo: Es equivalente a una base en un espacio vectorial. Se puededar de dos formas:

(1) Por las clases de equivalencia: {v0, v1, . . . , vn}

(2) Tomando n+1 puntos independientes y añadiéndole uno, llamado unidad U, que no esté en ningunode los hiperplanos engendrados por los primeros n+ 1 puntos {P0, P1, . . . , Pn;U}

Cambio de base: Si A es la matriz del cambio de base, entonces la ecuación: λx′ = xA es la delcambio de base, siendo, x' el nuevo vector en las nuevas coordenadas, x el vector en las primerascoordenadas y A la matriz cuyas �las son las imágenes de los vectores de la base con respecto alsegundo sistema de coordenadas.

Espacio afín dentro del proyectivo

Construcción del espacio afín: Sea H un hiperplano del espacio vectorial V sobre K. Al conjuntode puntos A(V,H) que quedan en el epacio proyectivo P (V ) al eliminar P (H) se le denomina espacioafín sobre K. Es decir, A(V,H) = P (V ) − P (H). Dos hiperplanos diferentes H y H ′ del espacioproyectivo P (V ) generan dos espacios a�nes diferentes, pero, en esencia son el mismo

Envolvente proyectiva de A(V,H): es el espacio proyectivo P (V ) en el que está insertado

3

Puntos del in�nito: Los puntos P de P (V ) tales que P ∈ P (H)

Hiperplano del in�nito o impropio: Es el hiperplano proyectivo P (H)

Subespacio afín: T ≤ A(V,H) ⇐⇒ ∃S ∈ V/S * H tal que T = P (S)− P (H)

Dimensión de A(V,H): coincide con la dimensión del espacio vectorial V y es una menos que ladimensión de su envolvente proyectiva

Coordenadas cartesianas: Llamaremos así a las coordenadas dadas en un espacio afín A(V,H)

Cambio de coordenadas homogéneas a cartesianas: Si tenemos un punto expresado en lascoordenadas homogéneas (x0, x1, . . . , xn), sus coordenadas cartesianas serán (y1, . . . , yn) donde cadayi =

xi

x0para i = 1, . . . , n

Cambio de coordenadas cartesianas a homogéneas: Si tenemos un punto expresado en lascoordenadas cartesianas (y1, . . . , yn), sus coordenadas homogéneas serán (1, y1, . . . , yn)

Principio de dualidad

Correlación estándar: Son las aplicaciones S 7→ S∗ y su inversa S∗ 7→ S que resulta ser un an-tiisomor�smo de retículos (cambia de sentido las inclusiones y, por consiguiente, cambia sumas enintersecciones y viceversa)

Principio de dualidad: Todo teorema en espacios proyectivos con dim(P (V )) = n sobre un cuerpoK, enunciado en términos de inclusiones, sumas, e intersecciones de subespacios proporciona un teo-rema dual, igualmente válido en espacios proyectivos n − dimensionales sobre el mismo cuerpo K,obtenido mediante la inversión de las inclusiones, la sustitución de sumas por intersecciones y vicev-ersa y los subespacios de dimensión r por n− r − 1. Esto se debe fundamentalmente a la correlaciónestándar

3 Proyectividades, Involuciones y A�nidades

Proyectividades

Transformación regular: Es una aplicación lineal f : V → V ′ en la que Ker(f) = 0 (equivalente-mente, f es inyectiva)

Proyectividad: Es una aplicación P (f) : P (V )→ P (V ′) de�nida como P (f) < v >=< f(v) > dondef es una transofrmación regular

Propiedades:

(1) Tiene carácter functorial: P (1v) = 1P (V ) y P (f ◦ g) = P (f) ◦ P (g)

(2) dim(P (V )) ≤ dim(P (V ′)); la igualdad se produce cuando hay proyectividad

(3) Las proyectividades conservan subesapcios: Si P (S) ≤ P (V )⇒ f(P (S)) ≤ f(P (V ))

(4) La inversa de una proyectividad es una proyectividad

(5) Una proyectividad conserva: inclusiones, sumas e intersecciones

(6) Si A ∈ BC ⇒ σ(A) ∈ σ(B)σ(C) donde σ es una proyectividad

Ecuación de una proyectividad: λx = x′A donde x es el vector �la de coordenadas homogénasde P en la base B, x' es el vector imagen respecto al sistema B', y A es la matriz cuyas �las son lasimágenes del sistema B en coordenadas B'

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A�nidades

A�nidad: Es la aplicación restricción de una proyectividad al dominio A(V,H) y a la imagenA(V ′, H ′). No hay problema porque se sabe que una proyectividad conserva dimensiones, por tanto,transforma un hiperplano H en otro hiperplano H ′

Ecuación de una a�nidad: Existen dos formas:

(1) (1, y′1, . . . , y′n) = (1, y1, . . . , yn)

1 α01 ... α0n

0 α11 ... α1n

... ... ......

0 αn1 ... αnn

donde, y son las coordenadas cartesianas

de un punto de A(V,H); y' son las coordenadas de su imagen y la matriz es la asociada a laaplicación.α00 6= 0 porque como uo /∈ P (H);P (F ) < uo >/∈ P (H ′) (es decir, el primer vector dela base cae fuera del hiperplano impropio) y los demás caen dentro y por eso αi0 = 0 con i > 0

(2) También puede escribirse como: y′ = a+ yA donde a = (α01, . . . , α0n) y A =

α11 ... α1n

.... . .

...αn1 ... αnn

Teorema fundamental de la Geometría proyectiva

Símplex: Son n+ 2 puntos de un plano proyectivo P (V ) con dim(P (V ) ≥ 1 sobre K de manera quelos n+1 primeros son independientes y el último no pertenece a ninguno de los hiperplanos engendra-dos por los n+1 primeros. Tiene la misma construcción que un sistema de coordenadas homogéneo{Po, P1, . . . , Pn;U}

Teorema fundamental de la Geometría Proyectiva: Dados {Pi}, {Qi} dos símplex de dos es-pacios proyectivos P y P ′ con dim(P ) = dim(P ′) > 0 sobre K, ∃!σ : P → P ′ proyectividad tal queσ(Pi) = Qi para cada i. Observación: Se deduce de este teorema que basta dar la imagen del simplexpara determinar por completo una proyectividad

Proyectividades entre rectas en un plano

Perspectividad de centro O de r sobre s: es una aplicación πo : r → s de�nida como A 7→ A′ =S ∩OA

Punto doble: es un punto que se aplica sobre sí mismo a través de una aplicación. Punto �jo

Propiedades inmediatas:

(1) πO es biyectiva

(2) M = r ∩ s es un punto doble

(3) r = s ⇐⇒ πO = id

(4) π−1O es otra perspectividad con el mismo centro

Abcisa: Es el número λ ∈ K tal que en una perspectividad πO, dadas las imágenes de un sistemade coordenadas {A,B;C} de la recta s, donde A =< a >,B =< b >,C =< a + b >, sobre la recta r{A′, B′;C ′} existe un único escalar λ ∈ K tal que si se toma D ∈ r con D 6= A, D =< λa + b >enel sistema de coordenadas {A,B;C} en el que A está en el in�nito, B en el origen y C es el puntounidad. λ es la coordenada cartesiana en la recta afín r −A

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Razón doble de cuatro puntos: (ABCD) = λ siendo A,B,C,D ∈ P1(V ) con A 6= B 6= C 6= A yD 6= A

Propiedades de la razón doble:

(1) Las perspectividades conservan la razón doble

(2) (ABCB) = 0

(3) (ABCC) = 1

(4) (ABCD) = λ1µo

λ0µ1donde A,B,C,D ∈ P1(V ) y {a, b} es base de V ; A =< λ0a >,B =< λ1b > y

D =< µ0a+ µ1b > elegido el par (λ0, λ1) para que C sea el punto unidad.

(5) (ABCD) = (γ−α)(δ−β)(δ−α)(γ−β) donde A,B,C,D tienen abcisa α, β, γ, δ en un sistema de coordenadas

pre�jado

Ecuación explicita de una perspectividad: x′ = λ0+λ1xµ0+µ1x

donde λ0, λ1, µ0, µ1 son escalares quevienen dados al manipular la fórmula obtenida de la razón doble (ABCX) = (σ(A)σ(B)σ(C)X ′)despejando x′ y se conocen las abcisas de dichos cuatro puntos.

Puntos límite: son las imágenes y originales de los respectivos puntos impropios de r y s. Se puedenhallar haciendo tender a 0 el denominador y a ∞ la x

Teorema: Sea σ : r → s una biyección entre rectas de un mismo plano proyectivo. Entonces: σconserva razones dobles ⇐⇒ σ es una proyectividad ⇐⇒ σ se descompone, a lo sumo, en productode 3 proyectividades

Teorema: σ : r → s es una perspectividad entre rectas del mismo plano ⇐⇒M = r ∩ s es un puntodoble

Teorema: Sean A,B,C,D cuatro puntos distintos dos a dos de una recta proyectiva con (ABCD) = λ.Se tiene que se reducen a 6 las posibles razones dobles de 4 puntos distintos (que pueden ordenarse de4! maneras)

Involuciones

Ecuación implícita de σ: λxx′ + µx + νx′ + ζ = 0 (operando desde la ecuación explícita) dondeλζ−µν 6= 0 y los puntos límite se pueden hallar dividiendo por x y x' y hallando límite cuando tiendena ∞ respectivamente

Hallar puntos dobles: Se pueden obtener los puntos dobles de una proyectividad tomando x = x′

en la ecuación implícita y hallando sus raíces

Proyectividad hipérbolica: Es una proyectividad que posee dos puntos �jos

Proyectividad parabólica: Es una proyectividad que posee un punto �jo

Proyectividad elíptica: Es una proyectividad que no posee puntos �jos

Involución: Es una proyectividad de una recta r en sí misma con σ2 = 1r

Lema: Si ∃A ∈ r/σ(A) 6= A y σ2(A) = A⇒ σ es una involución con σ 6= id

Cuadrivértice: Es un símplex en el plano proyectivo {A,B,C,D}

Vértices: Cada uno de los puntos que forman un cuadrivértice

Puntos diagonales: E = AB ∩ CD, F = AC ∩BD, G = AD ∩BC

Cuadrilátero: Son cuatro rectas {a, b, c, d} tales que no haya tres de ellas concurrentes. Es el conceptodual de cuadrivértices

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Lados: Son las rectas que forman el cuadrilátero

Diagonales: Las tres rectas distintas de los lados que determinan los siete puntos de intersección delos cuatro lados

Segundo teorema de Desargues: Sea {A,B,C,D} un cuadrivértice de un plano proyectivo y r unarecta del plano que no contiene a ninguno de los vértices y que corta a BC en P, AD en P', a AB en Q,a CD en Q′, a BD en R y a AC en R′. Entonces, la única proyectividad σ : r → r tal que σ(P ) = P ′,σ(Q) = Q′ y σ(R) = R′ es una involución. Esto quiere decir que una recta corta a los lados opuestosde un cuadrivértice según parjeas de puntos que están en involución

Teorema de Fano

Teorema de Fano: Los tres puntos diagonales de un cuadrivértice sobre un plano proyectivo estánalineados ⇐⇒ la característica del cuerpo base es 2. Dice lo mismo que su dual.

Trapecio: Es un cuadrivértice con un punto diagonal en el in�nito (tiene un par de lados opuestosparalelos)

Paralelogramo: Es un cuadrilátero con dos de sus puntos diagonales en el in�nito (tiene dos parejasde lados paralelos)

Cuaterna armónica

Cuaterna arnmónica: Es una cuaterna A,B,C,D tal que (ABCD) = −1

Cuarto armónico: Es el punto D que produce una cuaterna armónica en la terna (A,B,C)

Conjugados armónicos: A los puntos C y D se les denomina conjugados armónicos de A y B deuna cuaterna armónicaA,B,C,D

Punto medio R del segemento PQ: R = P+Q2 . Sólo tiene sentido en el espacio afín

Lema: Cuatro puntos A,B,C,D de una recta proyectiva se encuentran en cuaterna armónica ⇐⇒B se localiza, cuando A está en el in�nito, en el punto medio del segmento CD

Lema: Las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio

Transformaciones entre haces de rectas (concepto dual)

Lápiz (a, b, c, d): Son cuatro rectas distintas dos a dos y concurrentes de un plano proyectivo

Lápiz armónico: Es un lápiz en el que existe un cuadrilátero que integre a a y b como dos de suslados, a c como una de sus diagonales y a d que pase por el punto de corte de las otras dos rectasdiagonales. Observación: Si una recta cualquiera r corta al lápiz en A,B.C,D, estos puntos formanuna cuaterna armónica

A∗ : Es el haz de rectas que pasa por A ∈ P(V )

Perspectividad de eje r: Es la aplicación π : A∗ → B∗, de�nida como: πr(a) = a′ = (a ∩ r)B dondea ∈ A∗ y a′ ∈ B∗

Razón doble de un lápiz: Concepto dual de la razón doble de cuatro puntos(ABCD)

Teorema: Sea (a,b,c,d) un lápiz de un plano P y r una recta arbitraria de P que no pase pora ∩ b⇒(abcd) = (ABCD), donde A = a ∩ r, B = b ∩ r, C = c ∩ r, D = d ∩ r

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Teorema (de dualizaciones):

(1) Toda proyectividad entre haces del mismo plano factoriza en producto de, a lo sumo, tres perspec-tividades

(2) Las proyectividades entre haces de recta de un mismo plano que conserve dobles de lápices es unaproyectividad

(3) Toda biyección entre haces de rectas de un mismo plano que conserve razones dobles de lápices esuna proyectividad

(4) Una proyectividad entre haces de rectas A∗ y B∗ de un plano es una perspectividad ⇐⇒ la rectaAB es doble

(5) El lápiz (a, b, c, d) es armónico ⇐⇒ (abcd) = −1(6) Una proyectividad σ 6= id de un haz en sí mismo es una involución ⇐⇒ existe una recta a delhaz tal que σ(a) 6= a y σ2(a) = a

(7) Una involución en un haz distinta de la identidad tiene, a lo sumo, 2 rectas dobles

4 Teoremas de con�guración

Homologías, homotecias y traslaciones

Subespacio doble: Es un subespacio que permanece invariante por una proyectividad

Recta doble: Es una recta que permanece invariante por una proyectividad.

Observación: Los puntos que forman la recta no tienen por qué ser dobles. Ahora bien, si P = r ∩ sentonces sí que es doble. Además toda recta determinada por dos puntos dobles es doble

Proyectividad central: proyectividad σ : P → P tal que existe un punto C ∈ P tal que cada rectapor C es doble, es decir, si X 6= C⇒ XC = σ(XC). Además, C es el centro de la proyectividad

Propiedades:

(1) Si hay en P dos rectas distintas llenas de puntos dobles ⇒σ = id

(2) Si C es el centro de una proyectividad ⇒ C es doble

(3) Si existen C y C ′ centros de una proyectvidad ⇒σ = id

(4) Si σ es central con centro C y r es una recta doble que no pasa por C ⇒ todo punto de r es doble

Homología: Es una proyectividad central de un plano en sí mismo distinta de la identidad

Teorema: Toda homología posee una única recta con todos sus puntos dobles

Eje de homología: Es la única recta del plano cuyos puntos son dobles por la homología

Observación: Una homología queda determinada por su centro C, su eje r, y un par de puntos A yσ(A). Si nos dan B, σ(B) se obtiene como la intersección de σ(A)P ∩ CB donde P = AB ∩ rHomotecia de centro C: Es una a�nidad que es la identidad o una restricción de una homología dela envolvente proyectiva que tiene a C por centro, y a la recta del in�nito por eje. C es un punto delafín

Teorema de Tales: Para cada homotecia σ de centro C existe un escalar λ, denominado razónde la homotecia, tal que σ(X) − C = λ(X − C). Es más, para cualquiera X,Y del plano afín:σ(X)− σ(Y ) = λ(X − Y )

Observación: La restricción al afín en la que el eje es la recta impropia y C es un punto del in�nito,no es más que una traslación

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Teorema de Pappus

Teorema de Pappus: En un plano proyectivo, dadas dos ternas (A,B,C) y (P,Q,R) de puntosalineados, los puntos X = AB ∩ BP, Y = AR ∩ CP y Z = BR ∩ CQ están en línea recta. Comoobservación podemos decir que se sule usar como regla nemotécnica para recordar las interseccionesque intervienen el colocar (A,B,C) y (P,Q,R) como si se fuera a hacer el cálculo de un determinante

Teorema: Sean (A,B,C) una terna de puntos distintos de una recta r de un plano afín y (P,Q,R)otra terna de puntos situados sobre otra recta s del mismo plano secante con la anterior en un puntoO /∈ {A,B,C} y tales que AQ ‖ BP y AR ‖ CP ⇒BR ‖ CQTeorema menor de Pappus: Sean A,B,C puntos de una recta r de un plano afín y P,Q,R otrostres puntos situados sobre una recta s del mismo plano paralela a r. Si AQ ‖ BP y AR ‖ CP , entoncesBR ‖ CQTeorema: En un plano proyectivo, se veri�ca el teorema de Pappus ⇐⇒ un par de homologías sonconmutativas (σ ◦ τ = τ◦σ)

Teorema de Desargues

Teorema de Desargues: Sean ABC y A′B′C ′ dos triángulos de un plano proyectivo tales que lasrectas AA′, BB′ y CC ′concurren en un punto O ⇒ las parjeas de lados (AB,A′B′), (AC,A′C ′) y(BC,B′C ′) se cortan según puntos que están alineados

Con�guración de Desargues: Es la disposición en la que se encuentran dos triángulos bajo lashipótesis del Teorema de Desargues

Triángulos homólogos: Son dos triángulos que se encuentran en la con�guración de Desargues

Teorema de Desargues (Dual): Sean (A,B,C) y (A′, B′, C ′) dos triángulos de un plano proyectivo.Entonces, las rectas que pasan por vértices homónimos concurren en un punto ⇐⇒ las parejas delados homónimos se cortan según puntos que están alineados.

Teorema: Sean (A,B,C) y (A′, B′, C ′) dos ternas de puntos de un plano afín tales que, o bienAA′,BB′, CC ′ se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí:

(1) Si P = AB ∩A′B′, Q = AC ∩A′C ′ y R = BC ∩B′C ′, entonces R ∈ PQ (P,Q,R están alineados)

(2) Si AB‖A′B′, entonces QR‖AB‖A′B′

(3) Si AB‖A′B′ y AC‖A′C ′, entonces BC‖B′C ′

(4) El recíproco también es cierto, es decir, Si se veri�ca (1),(2), o (3), entonces se tiene que, o bienAA′,BB′, CC ′ se cortan en un punto O, o bien las retas son paralelas entre sí

Teorema: Dado un cuadrivértice (A,B,C,D) de un plano proyectivo con puntos diagonales E =AB ∩ CD,F = AC ∩ BD,G = AD ∩ BC, sea M la intersección de la diagonal EF y el lado AD.Entonces G ∈ PQ donde P = AB ∩ CM y Q = CD ∩BMTeorema: En un plano afín, las medianas de un triángulo concurren en un punto de la envolventeproyectiva, que, además reside en el afín a partir de caracterísitca 3.

Baricentro: Es el punto de corte de las medianas de un triángulo

5 Geometría ortogonal

Formas cuadráticas

Producto interno: Es una forma bilineal simétrica q : V ×V → K, es decir, veri�ca las propiedades:

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(1) q(λu+ µv,w) = λq(u, v) + µq(v, w)

(2) q(u, v) = q(v, u)

Forma cuadrática: Es una aplicación q : V → K tal que veri�ca:

(1) q(λv) = λ2q(v)

(2) La aplicación q(u, v) = 12 (q(u+ v)− q(u)− q(v)) constituye un producto itnerno

Polarizada de q: Si q es una forma cuadrática, la aplicación q(u, v) = 12 (q(u+ v)− q(u)− q(v)), que

es un producto interno, es su polarizada

Observación:

(1) Notamos igual a la forma cuadrática y a su polarizada (que es un producto interno), pero no debehaber lugar a confusión porque la forma cuadrática q(u) toma sólo un argumento, mientras que lapolarizada q(u, v) toma dos

(2) Cada producto interno q induce una forma cuadrática cuya polarizada coincide con q

(3) Cada forma cuadrática q induce un producto interno (su polarizada)

(4) Cada matriz simétrica A induce una forma cuadrática (en esencia, no hay más ejemplos)

Matrices congruentes: Lo son A y B si A = PBP t donde P es una matriz inversible del cambiode base. A y B son matrices de la misma forma cuadrática, pero en bases diferentes. La congruenciaconstituye una relación de equivalencia

Vectores ortogonales: Son u, v cuando q(u, v) = 0, donde u, v ∈ V que es espacio vectorial provistode una forma cuadrática q

Vectores isótropos: Son vectores u ∈ V ortogonales a sí mismos (q(u, u) = 0)

Base ortogonal: Es una base del espacio V dada por vectores ortogonales 2 a 2

Subespacio totalmente isotrópico: Es un subespacio compuesto únicamente por vectores isótropos

Espacio no isotrópico: Es un subespacio que tiene como vector isótropo únicamente al 0

Radical de V : Rad(V ) = {u ∈ V : q(u, v) = 0, para cada v ∈ V }

El ortogonal de S: S⊥ = {u ∈ V : q(u, v) = 0, para cada v ∈ S}

Espacio o forma cuadrática degenerada: Si Rad(V ) posee otros vectores además del 0

Suma ortogonal-directa: Si V = S ⊕ T con q(u, v) = 0 para cada u ∈ S y cada v ∈ T

Isometría: Es un isomor�smo lineal f entre dos K − espacios vectoriales V y V ′ sobre los que hayde�nidas sendas formas cuadráticas q y q′ que satisface q′(f(u)) = q(u) para cualquier u ∈ V

Teorema: Si q : V → K es una forma cuadrática en el K− espacio vectorial V , se satisfacen entonceslas siguientes propiedades:

(1) El ortogonal S⊥ de cada subconjunto S de V es un subespacio. Si S ⊆ T entonces T⊥ ⊆ S⊥

(2) Un subespacio S de V tal que V = Rad(V )⊕ S nunca puede degenerar

(3) Si A es la matriz asociada a q, dim(V ) = dim(Rad(V )) + rango(A). La no degeneración equivalea la inversibilidad de A

(4) Si V es totalmente isotrópico, entonces q(u, v) = 0 para cada u, v ∈ V y la matriz de q en cualquierbase se llena de ceros

(5) La no isotropía de un subespacio conlleva la no degeneración del mismo

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Lema: Para cualquier S ≤ V con forma cuadrática, se veri�ca dim(S⊥) = dim(V )−dim(S)+dim(S∩Rad(V ))

Corolario: Si S ≤ V es no degenerado, se tiene (S⊥)⊥ = S

Teorema del sumando directo: S ≤ V no degenerado, entonces V = S ⊕ S⊥ es suma ortogonaldirecta.

Complemento ortogonal de S, no degenerado: es el subespacio S⊥ que completa el espacio V

Teorema de diagonalización: Cada espacio vectorial V provisto de una forma cuadrática q poseeuna base ortogonal

Encontrar una base ortogonal de Witt:

(1) Se busca un vector no isótropo u1 (si no existe, entonces cuaquier pareja de vectores es ortogonaly cualquier base es ortogonal también)

(2) Se calcula V1 =< u1 > y V = V1 ⊕ V ⊥1 en suma ortogonal-directa

(3) Se aplica lo mismo sobre V ⊥1 encontrando u2 (si no existe, entonces se completa u1 con cualquierbase de V ⊥1 )

(4) Se continúa así un máximo de n pasos porque cada V ⊥i disminuye en 1 su dimensión, y caben dosposibilidades: o V ⊥i = 0 con lo que se encuentra {u1, . . . , un}, o bien, algún V ⊥i = Rad(V ) ya quetodos los vectores serían isótropos

Observación: La matriz diagonal B de la forma cuadrática q en la base ortogonal {u1, . . . , un}, tendrápor elementos diagonales ai,i = q(ui) para i = 1, . . . , n

Descomposición de Sylvester

Cuerpo ordenado: Si existe en él una relación de orden total compatible con la suma y la multipli-cación de elementos mayores que 0, esto es, α ≤ β⇒α + λ ≤ β + λ para cualquier λ y αλ ≤ βλ paraλ > 0

Teorema de descomposición de Sylvester (Ley de la inercia): q : V → K una forma cuadráticade un espacio vectorial V sobre K con K cuerpo ordenado. Existen, entonces subespacios V+, V0, V−que satisfacen las siguientes condiciones:

(1) El espacio V se descomopone en suma ortogonal-directa como: V = V+ ⊕ V0 ⊕ V−(2) La restricción de q a V+ es de�nida positiva (q(u) > 0 para todo u ∈ V+)

(3) La restricción de q a V− es de�nida negativa (q(u) < 0 para todo u ∈ V−)

(4) V0 es totalmente isotrópico

(5) Además, cualquier otra descomposición dada de esta manera V = W+ ⊕W0 ⊕W− que veri�ca loanterior, veri�ca que las dimensiones de homónimos son iguales

Método para la descompoisición de Sylvester:

(1) V0 = Rad(V )

(2) De la obtención de la base ortogonal de Witt, se tiene la base ortogonal {u1, . . . , un}. EntoncesV+ es el espacio engendrado por los vectores ui tales que q(ui) > 0 y V− es el espacio engendrado porlos vectores ui tales que q(ui) < 0

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Descomposición de Witt

Plano hiperbólico: es un espacio vectorial bidimensional provisto de un producto interno no degen-erado y que contiene al menos un vector isótropo no nulo

Lema: Para un espacio vectorial V bidimensional con forma cuadrática no degenerada sobre K, setiene que: V es un plano hiperbólico ⇐⇒ ∃u, v ∈ V tal que {u, v} de�ne una base ortogonal para la

que q toma la forma

(0 11 0

)⇐⇒ Hay otra base para la que q toma la forma

(1 00 −1

)Lema: Si V es un espacio vectoral con producto interno no degenerado sobre K, entonces todos sussubespacios totalmente isotrópicos maximales tienen la misma dimensión.

Además: V se expresa como suma ortogonal-directa de n planos hiperbólicos ⇐⇒ existen dossubespacios W1 y W2 totalmente isotrópicos maximales y de dimensión n tales que V =W1 ⊕W2

Índice de Witt: Es lal invariante n (dimensión de los subespacios totalmente isotrópicos maximales)

Teorema de descomposición de Witt: Sea q : V → K una forma cuadrática, entonces V es sumaortogonal-directa de V = Rad(V )⊕ [⊕i∈sPi]⊕W con cada Pi un plano hiperbólico y W un subespaciono isotrópico.

Además, cualquier otra doscomposición de V en suma ortogonal-directa de esta forma ha de conservarel número de planos y la dimensión de W

Observación: El cardinal de S no es más que el índice de Witt

Método para la descomposición de Witt:

(1) Si en V no hay más vectores isótropos que el 0 ya se ha terminado, V = Rad(V )⊕W donde W esun subespacio no isotrópico

(2) En caso contrario, tómese u1 ∈ V − {0} con q(u1) = 0. Como V es no degenerado, existe otrovector v1 ∈ V tal que q(u1, v1) 6= 0

(3) El subespacio P =< u1, v1 > es un plano hiperbólico

(4) Se toma a V1 = P⊥1 y se sigue con el mismo procedimiento

(5) Si en V1 no se encuentran vectores isótropos, hemos terminado V = Rad(V ) ⊕ P ⊕ V1 dondeV1 =W , si no, se continúa el proceso

Observación:

(1) En un cuerpo ordenado en el que todo elemento positivo admita raíz cuadrada, se puede obtenerla descomposición de Witt mediante Sylvester, donde las parejas (ui, vi) con ui base de V+ y vi basede V− generan los planos hiperbólicos y los vectores que quedan sueltos de vi generan el espacio noisotrópico W y V0 = Rad(V )

(2) En productos internos sobre espacios vectoriales reales, la descomposición de Sylvester proporcionala de Witt ahorrando bastantes cálculos

6 Cuádricas en el proyectivo

Generalidades

Cuádrica proyectiva: Q(q) Es el conjunto de puntos de un espacio proyectivo P (V ) engendrado porlos vectores isótropos no nulos de q donde V es un espacio vectorial sobre K provisto de una formacuadrática q : V → K.

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Cónica proyectiva: Es el caso particular de una cuádrica proyectiva en dimensión 2

Observación:

(1) Cuádricas procedentes de formas cuadráticas no isométricas pueden de�nir los mismos lugaresgeométricos

(2) Ecuación reducida de la cuádrica: α0x20+ · · ·+αnx2n = 0 cuando se expresa Q(q) diagonalizda,

en una base ortogonal

Teorema: Una proyectividad entre espacios proyectivos transforma cuádricas en cuádricas

Cuádrica en un espacio proyectivo de dimensión −1: Sólo existen dos opciones, o bien llenael espacio (que consta sólo de un punto), o bien es vacía, dependiendo de si K como espacio vectorialsobre sí mismo es totalmente isotrópico o no

Cuádrica en una recta proyectiva: Se considera la cuádrica reducida α0x20 + α1x

21 = 0. Hay tres

posibilidades:

(1) rango(q) = 2. La cuádrica puede poseer dos puntos o ninguno, dependiendo de si la ecuación(x1

x0)2 = −α0

α1tiene solución en K. Si λ es una de las dos raíces cuadradas, la cuádrica se compondra

de los puntos (1, λ), (1,−λ), de lo contrario sólo estará el 0 como vector isótropo

(2) rango(q) = 1. Entonces uno de los dos coe�cientes se anula, y la ecuación tiene única solución(0, 1) ó bien (1, 0)

(3) rango(q) = 0. Entonces α0 = α1 = 0 y todo punto de la recta pertenece a la cuádrica

Posiciones relativas de una recta a una cuádrica: Si P (S) ≤ P (V ) tomamos qS como larestricción de q a la recta S, entonces:

Recta secante a la cuádrica: Si qS no degenera y tiene dos puntos de corte

Recta exterior a la cuádrica: Si qS no degenera y no tiene puntos de corte

Recta tangente a la cuádrica: Si qS degenera (luego cortará a la cuádrica en un punto o estarácontenida totalmente)

Subespacio tangente a una cuádrica: Es un subespacio tal que qS degenera

Vértice de la cuádrica: Es el subespacio P (Rad(V ))

Punto singular: Aquellos puntos que pertenecen al vértice de la cuádrica

Directriz de la cuádrica: es la cuádrica de S no degenerada Q(qS), si se descompone V = Rad(V )⊕S, con S no degenerado

Generatriz de la cuádrica: es cualquier recta que contenga puntos singulares y puntos de unadirectriz

Teorema: Si una cuádrica no se reduce al vértice, entonces es la unión del haz de sus generadores, esdecir, se compone de rectas que pasan por puntos del vértice y se apoyan en una directriz

Teorema: Un punto está en el vértice ⇐⇒ pertenece a la cuádrica y cada recta que pase por él estangente a la cuádrica

Un primer estudio de las cónicas

Cónicas (Cuádricas sobre un espacio proyectivo de dimensión 2): Se considera Q(q) unacónica del plano proyectivo P (V ) sobre K de ecuación reducida α0x

20 + α1x

21 + α2x

22 = 0. Hay cuatro

posibilidades:

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(1) La forma cuadrática q es no degenerada (rango(q) = 3): Si V es no isotrópico, entonces Q(q) = ∅.Si existe V 6= 0 isótropo, podrá aplicarse la descomposición de Witt y sacar que Q(q) tiene al menosdos puntos (de hecho tantos como cualquier recta)

(2) rango(q) = 2. Entonces puede suponerse α0 = 0 y entonces v = (1, 0, 0) es el vértice de la cónicay el suplemento del radical . Pueden darse ahora dos situaciones ya que qS no degenera, la directriz otiene dos puntos P y Q, o no tiene ninguno. Luego, la cónica, o bien consiste en dos rectas V Q y V Psecantes en el vértice, o bien, se reduce al vértice V

(3) rango(q) = 1 Puede suponerse α0 = α1 = 0. Enonces Rad(V ) =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >. Unsuplemento del radical debe ser no isotrópico, luego la cónica se reduce al vértice V

(4) rango(q) = 0. Entonces la cónica llena todo el espacio

Lema: Una cónica Q degenera en cada una de las siguientes circunstancias:

(1) Hay en Q al menos tres puntos alineados

(2) La cónica se reduce a un punto

(3) Todo punto del plano pertenece a Q

Teorema: Si una cónica Q no ocupa todo el plano y contiene al menos 5 puntos, entonces Q quedadeterminada por completo por 5 de los puntos de los que pasa ⇐⇒ hay, a lo sumo, 3 de ellos colineales.Además si de entre los cinco, no hay 3 colineales, la cónica es no degenerada, mientras que la alineaciónde 3 de ellos implica que Q degenere en dos rectas secantes

Polaridad inducida por una cuádrica

Espacios conjugados respecto de una cuádrica: si P (S), P (T ) ≤ P (V ) sobre K tales queq(S, T ) = 0

Subespacio polar de A: A⊥ que es un hiperplano (si A no es singular) o todo el espacio (si A essingular)

Polo del hiperplano H: H⊥ que es un punto cuando H no corta al vértice

Propiedades:

(1) Los hiperplanos polares de los puntos de un hiperplano pasan todos por el polo del hiperplano

(2) Hiperplanos que pasan por un punto tienen su polo en el hiperplano polar del punto

(3) Un punto pertenece a la cuádrica ⇐⇒ está en su hiperplano polar

Polaridad inducida por la cuádrica: Es la pareja de aplicaciones A 7→ A⊥ y H 7→ H⊥

Lema (Dual del apartado 3): Un hiperplano es tangente a una cuádrica ⇐⇒ contiene a su polo

Ecuación tangencial de la cuádrica: v.adj(A)vt = 0 que se deduce de imponer que el hiperplanopase por el polo. La ecuación tangencial de una cuádrica, permite saber qué hiperplanos son tangentesa la cuádrica

Observación: En ambiente no degenerado, un punto sobre la cuádrica dualiza en hiperplano tangentea la cuádrica y el concepto de cuádrica es autodual

Teorema: Para un punto no singular de una cuádrica, su hiperplano polar, denominado en este casoel hiperplano tangente, contiene a todas las rectas tangentes a la cuádrica que pasan por el punto

Polaridad σ inducida por una cuádrica Q sobre una recta r: Es una biyección σ : r → r talque:

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(1) Si r ⊆ P⊥ se tiene la tangencia entre r y Q y σ(P ) = P

(2) Si P⊥ ∩ r = P ′ entonces σ(P ) = P ′

Observación: Estas dos son las únicas posibilidades si se toma en cuenta que r no pasa por el vértice(luego P no es singular) y la fórmula de Grassman

Posibildades para σ:

(1) σ = 1r si r ⊆ Q, es decir, si r es tangente a Q en todos sus puntos

(2) σ es una aplicación constante si r es tangente a Q en un único punto

(3) σ es una involución elíptica o hiperbólica dependiendo de si r es exterior o secante a Q

Teorema: Los puntos de intersección de una recta secante a una cuádrica son conjugados armónicosde cualquier pareja de puntos conjugados respecto de la cuádrica

Corolario: Si un cuadrivértice se inscribe en una cónica, entonces cada punto diagonal no singular esel polo de la recta determinada por los otros dos puntos diagonales

Observación: El teorema y el corolario permiten un método grá�co para hallar, dado P un punto nosingular, P⊥ y las tangentes a una cónica que pasan por P si es que existen:

(1) Se circunscribe un cuadrivértice en la cónica {A,B,A′, B′}

(2) Se hallan sus puntos diagonales, entre los cuales se debe encontrar P = r ∩ s

(3) P⊥ no es más que QR que es la recta que une las otras dos diagonales y los puntos por los quepasan las tangentes son S y S′ que son las intersecciones de la recta dada con los lados r y s

Razón doble de cuatro puntos sobre una cónica

Teorema: Si σ : A∗ → B∗ es una proyectividad entre haces de rectas un plano tal que A 6= B yσ(AB) 6= AB entonces Q = {r ∩ σ(r) : r ∈ A∗} es una cónica no degenerada que pasa por A y B.Además, σ transforma la tangente a la cónica por A en la recta AB y, ésta última en la tangente a Qpor B

Teorema: Dada una cónica no degenerada Q y dos puntos A y B distintos sobre ella, la aplicación

σ : A∗ → B∗ dada por σ(r) =

BP r = AP ; P ∈ Q− {A,B}AB r = A⊥

B⊥ r = AB

es una proyectividad

Teorema de Steiner: Si A,B,C,D se sitúan sobre una cónica Q que no ocupa todo el plano y Xes otro punto de Q para el que tiene sentido referirse al lápiz (XA,XB,XC,XD) entonces la razóndoble del lápiz no depende de la elección de X. Además, esta razón doble coincide con la de los lápicesdel tipo (A⊥, AB,AC,AD) cada vez que estos existan

Teorema de Pascal: Si A,B,C, P,Q,R son seis puntos sobre una cónica Q para los que existen lasintersecciones X = AQ ∩BP , Y = AR ∩ CP , Z = BR ∩ CQ, entonces X,Y, Z están alineados

Teorema: Sean P,Q,R,B,C cinco puntos distintos sobre una cónica no degenerada Q y r una rectaarbitraria que pasa por el punto Z = CQ ∩BR, entonces A = RY ∩QX pertenece a la cónica, dondeY = CP ∩ r y X = BP ∩ r

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Clasi�cación proyectiva de las cuádricas

Cuádricas proyectivamente equivalentes: Si existe alguna proyectividad que transforme una en la otra

Teorema: Si dos cuádricas son proyectivamente equivalentes, entonces coinciden el rango y el índicede Witt de las formas cuadráticas q y q′

Observación: El recíproco es cierto si el cuerpo K es algebraicamente cerrado o es un cuerpo ordenadoen el que cada elemento positivo admite raíz cuadrada

Clasi�cación sobre P2(Z3) (Ejemplo accesible sobre un cuerpo pequeño)

I. Cónicas no degeneradas: Son cuadrivértices del plano y todos son proyectivamente equivalentes

II. Cónicas de�nidas por rango(q) = 2:

(a) Si la ecuación es x20 + x21 = 0, entonces no tiene solución y la cónica se limita al vértice

(b) Si la ecuación es 2x20 + x21 = 0, entonces la cónica consta de 7 puntos distribuidos en dos rectas

III. Cónicas de�nidas por rango(q) = 1 : Es la recta x0 = 0 que pasa por 4 puntos

IV. Cónicas de rango(q) = 0: La cónica llena el espacio y posee 13 puntos

Clasi�cación de cónicas reales

I. Rango 3. Cónicas no degeneradas:

I.1) Índice 0. Q(q) ≡ x20 + x21 + x22 = 0 A = ±diag(1, 1, 1). La cónica no tiene puntos y se dice que esuna elipse imaginaria

I.2) Índice 1. Q(q) ≡ −x20 + x21 + x22 = 0 A = ±diag(−1, 1, 1) Hay vectires isótropos y se le denominaelipse real

II. Rango 2. El vértice consiste en un punto:

II.1) Índice 0. Q(q) ≡ x20+x21 = 0 A = ±diag(0, 1, 1) La directriz no tiene puntos y la cónica se reduceal vértice y se le denomina pareja de rectas imaginarias que se cortan en un punto real

II.2) Índice 1. Q(q) ≡ x21−x22 = 0 A = diag(0, 1,−1) La directriz es ahora una cuádrica no degeneraday no vacía sobre una recta y la cónica constará de dos generatrices que pasan por el vértice y se apoyanen los dos puntos de la directriz. La cónica son la pareja de rectas x2 = x1 y x2 = −x1III. Rango 1. El vértice es toda una recta Q(q) ≡ x22 = 0 A = ±diag(0, 0, 1) La directriz no tienepuntos y la cónica coincide con el vértice, se le denomina recta doble

IV. Rango 0. Q(q) ≡ 0 = 0 A = 0. El índice se anula y la cónica llena el plano

Observación: La clasi�cación de complejos se reduce a tomar siempre los subcasos con el índice deWitt máximo

Clasi�cación de cuádricas tridimensionales reales

Reglada: Es una cuádrica no degenerada en la cual, por cada punto, pasan rectas contenidas en lacuádrica

Cono: Es una cuádrice en la que el vértice se reduce a un punto

I. Rango 4. Cuádricas no degeneradas

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I.1) Índice 0. Q(q) ≡ x20 + x21 + x22 + x23 = 0 A = ±diag(1, 1, 1, 1) La cuádrica no tiene puntos y se ledenomina elpsoide imaginario

I.2) Índice 1. Q(q) ≡ −x20+x21+x22 = 0 A = ±diag(−1, 1, 1, 1) Sí tiene puntos, pero no contiene rectasy se ele denomina elipsoide real no reglado

I.3) Índice 2. Q(q) ≡ −x20 + x21 − x22 + x23 = 0 A = ±diag(−1, 1,−1, 1) Por cada punto de la cuádricapasan dos rectas totalmente contenidas en ella y se le denomina elpsoide real reglado

II. Rango 3. El vértice es un punto

II.1) Índice 0. Q(q) ≡ x21 + x22 + x23 = 0 A = ±diag(0, 1, 1, 1) La directriz es una elpise imaginaria y lacuádrica se limita al vértice y se le denomina cono imaginario con vértice real

II.2) Índice 1. Q(q) ≡ −x21 + x22 + x23 = 0 A = ±diag(0,−1, 1, 1) La cuádrica consiste en el haz derectas que pasan por el vértice y atraviesan una elpise real, se le denomna cono real

III. Rango 2. El vértice es una recta

Índice 0.Q(q) ≡ x22 + x23 = 0 A = ±diag(0, 0, 1, 1) La directriz no tiene puntos y se reduce al vértice,se le denomina par de planos imaginarios que se cortan en una recta real

Índice 1. Q(q) ≡ x22−x23 = 0 A = ±diag(0, 0, 1,−1) La directriz consiste en una cuádrica no degeneradano vacía sobre una recta luego consta de 2 puntos, la cuádrica se comone de dos planos secantes enuna recta (el vértice)

IV. Rango 1. El vértice ocupa todo un plano Q(q) ≡ x23 = 0 A = ±diag(0, 0, 0, 1) La cuádrica sereduce a un plano doble

IV. Rango 0. Q(q) ≡ 0 = 0 A = 0. El índice se anula y la cónica llena el espacio

Cómo clasi�car una familia de cónicas

(1) Se escribe la matriz A asociada a la forma cuadrática q

(2) Se halla el determinante de A y los casos degenerados se dejan para el �nal (Cuando |A| = 0)

(3) Se determina el índice de Witt encontrando una base ortogonal (con el método de Witt por ejemplo)

(4) Se sigue hallando el rango y el índice de Witt en los casos en los que |A| = 0

7 Cuádricas en el afín

Posición relativa de una cuádrica y un hiperplano

Cuádrica afín: Es el conjunto Q(q,H) = Q(q)−P(h) = Q(q)∩A(V,H) donde Q(q) es una cuádricade la envolvente proyectiva de A(V,H)

Observación: Dependiendo del hiperplano del in�nito escogido, la misma cuádrica proyectiva, puedegenerar diferentes cuádricas a�nes

Cuádrica del in�nito de una cuádrica afín: Es la restricción Q(qH) = Q(q) ∩ P(H)

Observación:

(1) Se evidencia que Q(q) = Q(q,H) ∪Q(qH)

(2) Se debe tener cuidado ya que la misma cuádrica afín puede proceder de dos cuádricas proyectivasdistintas, es decir, Q(q,H) = Q(q′, H) con q y q′ ni siquiera equivalentes

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Teorema: Si f : V → V ′ es un isomor�smo lineal entre espacios vectoriales, entonces cada cuádricaafín Q(q,H) de A(V,H) se transforma por la a�nidad A(f) en una cuádrica afín de A(V ′, f(H))

Teorema: Si H es un hiperplano vectorial de V de dimensión n ≥ 2 sobre K en el que hay de�nidauna forma cuadrática q, entonces:

(a) Si H⊥ * H, entonces V se descompone en suma ortogonal directa V =< u > ⊕H para cada vectoru ∈ H⊥ −H

(b) Si H⊥ ⊆ H, existen entonces un subespacio U y un par hiperbólico (u, v) con v ∈ H⊥ − Rad(V )y u /∈ H tales que V y H se descomponen en suma ortogonal directa como V =< u, v > ⊕U yH =< v > ⊕U

Cuádricas con centro: Son aquellas cuádricas a�nes Q(q,H) en las que H⊥ * H.

Propiedades:

(1) Se puede tomar base ortogonal {u1, . . . , un} y completarla con u de manera que Q(q,H) ≡ λ0 +λ1y

21 + · · · + λny

2n = 0 mediante el paso a coordenadas cartesianas de la expresión de la cuádrica

proyectiva resultante Q(q) ≡ λ0x20 + · · ·+ λnx2n = 0.

(2) La matriz de q, en la base dada, queda como:

λ0 0 . . . 00 λ1 . . . 0...

.... . . 0

0 0 0 λn

(3) Si un punto P ∈ Q(q,H), entonces −P ∈ Q(q,H) porque se veri�ca la ecuación, de manera que elpunto O =< u > ejerce de centro

Paraboloides: Son aquellas cuádricas a�nes Q(q,H) en las que H⊥ ⊆ H

Propiedades:

(1) Se puede tomar el sistema de coordenadas homogéneas {u, v, u2, . . . , un} con (u, v) el par hiperbólicoy los ui intergrando una base ortonogal de U . La ecuación de la cuádrica proyectiva será Q(q) ≡2x0x1 + λ2x

22 + · · ·+ λnx

2n que proporciona la cuádrica afín Q(q,H) ≡ 2y1 + λ2y

22 + . . . y2n

(2) La matriz de q, en la base dada, queda como:

0 1 0 . . . 01 0 0 . . . 00 0 λ2 . . . 0...

......

. . ....

0 0 0 . . . λn

(3) Si un punto P = (α1, . . . , αn) está en el paraboloide, su simétrico con respecto del eje r ≡ y2 =· · · = yn = 0; P ′ = (α1,−α2, . . . ,−αn) también pertenece al paraboloide

Observación: La cónica Q(q,H) donde q = 0, es decir, la que llena todo el espacio, se sitúa entre lascuádricas con centro

Ecuación reducida de la cuádrica afín: Es de la forma Q(q,H) ≡ 2y1 + λ2y22 + . . . y2n ó Q(q) ≡

λ0x20 + · · ·+ λnx

2n = 0

Ejes de la cuádrica: La parte af´ni de las rectas proyectivas P0Pi con P0 =< u > y Pi =< ui >donde {u, u1, . . . , un} es la base donde se alcanza la ecuación reducida de q

Observación: El eje P0P1 es en realidad el eje de simetría en un paraboloide

Vértice: Es la intersección de la cuádrica afín con sus ejes (que pueden existir o no)

Centro de una cuádrica: (En una cuádrica con centro) es la parte afín del subespacio P(H⊥), esdecir, el polo del hiperplano impropio

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Observación: En dimensión n, las cuádricas no degeneradas, admiten como sistema de ejes a cualquierconjunto de n rectas concurrentes en el centro y conjugadas dos a dos, mientras que todo punto V deun paraboloide puede hacer de vértice

Elipsoide: Si Q(q) es exterior al in�nito (cuádrica en el in�nito vacía)

Hiperboloide: Si Q(q) se sitúa secante al in�nito

Observación: En dimensión 2, al elipsoide se le conoce como elipse, al hiperboloide como hipérbolay alos paraboloides no degenerados por parábolas

Diámetro: Es la parte afín de los hiperplanos polares de los puntos del in�nito (Para cuádricas a�nescon centro no degeneradas)

Asíntota: Es la recta tangente a una cuádrica en un punto del in�nito

Extensión proyectiva de una cuádrica afín

Teorema: Una cuádrica afínQ no contenida en ningún hiperplano (del afín), posee una única extensiónproyectiva Q′

Lema: Si los vectores isótropos de un espacio vectorial provisto de una forma cuadrática constituyenun subespacio, entonces todo vector isótropo está en el radical

Lema: Una cuádrica proyectiva no vacía contenida en un hiperplano se reduce al vértice

Teorema: Las únicas cuádricas proyectivas no degeneradas y no vacías cuya restricción al afín estácontenida en un hiperplano son:

(1) La que consiste en dos puntos de una recta proyectiva con uno de ellos en el in�nito

(2) La constituída por un símplex del plano proyectivo sobre Z3 con dos puntos en el in�nito, ende�nitiva, una cuádrica degenerada de P2(Z3)

Corolario: En dimensión mayor que 1 y sobre cuerpos con más de 3 elementos, si una cuádrica afínno vacía posee extensión proyectiva no degenerada, entonces ésta es única

Clasi�cación afín de las cuádricas

Pares afínmente equivalentes: Son (q,H) y (q′, H ′), donde H y H ′ son hiperplanos de V y V ′

respectivamente, y q y q′ son sendas formas cuadráticas, de manera que existe un isomor�smo linealf : V → V ′ tal que q = q′ ◦ f y f(H) = H ′

Teorema: Si dos pares (q,H) y (q′, H ′) son afínmente equivalentes, entonces, coinciden los rangos eíndices de Witt de las formas cuadráticas y sus restricciones a los hiperplanos impropios

Observación: El recíproco es cierto cuando se trata de un cuerpo algebraicamente cerrado, o bien,un cuerpo ordenado que admita raíz cuadrada de cada elemento positivo

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Clasi�cación de las cónicas de R2

Cónica r r0 i i0 ecuación reducida

elipse imaginaria 3 2 0 0 1 + x2 + y2 = 0elipse real 3 2 1 0 −1 + x2 + y2 = 0hipérbola 3 2 1 1 1 + x2 + y2 = 0

dos rectas secantes imaginarias (*) 2 2 0 0 x2 + y2 = 0dos rectas secantes 2 2 1 1 x2 − y2 = 0

dos rectas imaginarias paralelas 2 1 0 0 x2 + 1 = 0dos rectas paralelas 2 1 1 0 x2 − 1 = 0

recta doble 1 1 0 0 x2 = 0recta impropia doble (el vacio) 1 0 0 0 1 = 0

todo el plano 0 0 0 0 0 = 0parábola 3 1 1 0 2x+ y2 = 0

una recta (y la impropia) 2 0 1 0 2x = 0

(*) Las rectas secantes imaginarias se cortan en un punto real

Observación: Hemos tomado como parámetros de clas�cación a r y r0 que son los rangos de q y qHe i, i0 que son los índices de Witt de q y qH

Clasi�cación de cuádricas de R3

Cuádrica r r0 i i0 ecuación reducida

elipsoide imaginario 4 3 0 0 1 + x2 + y2 + z2 = 0elipsoide real 4 3 1 0 −1 + x2 + y2 + z2 = 0

hiperboloide elíptico 4 3 1 1 1− x2 + y2 + z2 = 0hiperboloide hiperbólico 4 3 2 1 1− x2 + y2 − z2 = 0

cono imaginario 3 3 0 0 x2 + y2 + z2 = 0cono real 3 3 1 1 −x2 + y2 + z2 = 0

cilindro imaginario 3 2 0 0 1 + +x2 + y2 = 0cilindro con base una elipse 3 2 1 0 −1 + x2 + y2 = 0

cilindro con base una hipérbola 3 2 1 1 −1 + x2 − y2 = 0par de planos imaginarios 2 2 0 0 x2 + y2 = 0par de planos secantes 2 2 1 1 x2 − y2 = 0

par de planos imaginarios paralelos 2 1 0 0 1 + x2 = 0par de planos paralelos 2 1 1 0 −1 + x2 = 0

plano doble 1 1 0 0 x2 = 0plano impropio doble 1 0 0 0 1 = 0

todo el espacio 0 0 0 0 0 = 0paraboloide elíptico 4 2 1 0 2x+ y2 ++z2 = 0

paraboloide hiperbólico 4 2 2 1 2x− y2 + z2 = 0cilindro con base una parábola 3 1 1 0 2x+ y2 = 0

plano y el impropio 2 0 1 0 2x = 0

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