Algebraische und geometrische Vielfachheit

Ist ein Eigenwert der n n Matrix A, dann heit die Vielfachheit von als Nullstelle des charakteristischen Polynoms

pA() = det(A E )

die algebraische Vielfachheit m des Eigenwerts .

Die Dimension d des Eigenraums V eines Eigenwertes nennt man diegeometrische Vielfachheit von .Es gilt

d m ,

m = n ,

sowied = n Rang(A E ) .

Algebraische und geometrische Vielfachheit 1-1

Algebraische und geometrische Vielfachheit

Ist ein Eigenwert der n n Matrix A, dann heit die Vielfachheit von als Nullstelle des charakteristischen Polynoms

pA() = det(A E )

die algebraische Vielfachheit m des Eigenwerts .Die Dimension d des Eigenraums V eines Eigenwertes nennt man diegeometrische Vielfachheit von .

Es gilt

d m ,

m = n ,

sowied = n Rang(A E ) .

Algebraische und geometrische Vielfachheit 1-2

Algebraische und geometrische Vielfachheit

Ist ein Eigenwert der n n Matrix A, dann heit die Vielfachheit von als Nullstelle des charakteristischen Polynoms

pA() = det(A E )

die algebraische Vielfachheit m des Eigenwerts .Die Dimension d des Eigenraums V eines Eigenwertes nennt man diegeometrische Vielfachheit von .Es gilt

d m ,

m = n ,

sowied = n Rang(A E ) .

Algebraische und geometrische Vielfachheit 1-3

Algebraische und geometrische Vielfachheit

Ist ein Eigenwert der n n Matrix A, dann heit die Vielfachheit von als Nullstelle des charakteristischen Polynoms

pA() = det(A E )

die algebraische Vielfachheit m des Eigenwerts .Die Dimension d des Eigenraums V eines Eigenwertes nennt man diegeometrische Vielfachheit von .Es gilt

d m ,

m = n ,

sowied = n Rang(A E ) .

Algebraische und geometrische Vielfachheit 1-4

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3 = (4)(5)(3) + 4 = (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3

Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-1

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3

= (4)(5)(3) + 4 = (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3

Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-2

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3 = (4)(5)(3) + 4

= (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3

Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-3

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3 = (4)(5)(3) + 4 = (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3

Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-4

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3 = (4)(5)(3) + 4 = (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3

Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3

Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-5

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3 = (4)(5)(3) + 4 = (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3

Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-6

Beispiel:

A1 =

4 0 00 4 00 0 4

, A2 = 4 0 00 5 1

0 1 3

, A3 = 4 4 03 4 6

0 2 4

gleiches charakteristisches Polynom

(4)3 = (4)(5)(3) + 4 = (4)3 + 12(4)12(4)

= m4 = 3Rang der Matrizen

A1 4E = A2 4E = A3 4E = 0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 1 10 1 1

0 4 03 0 60 2 0

Rang(A1 4E ) = 0 Rang(A2 4E ) = 1 Rang(A3 4E ) = 2

d4 = 3 fur A1, d4 = 2 fur A2 und d4 = 1 fur A3Algebraische und geometrische Vielfachheit 2-7

Algebraische und geometrische Vielfachheit