ALGEBRA I GU IA N 1 DE TRIGONOMETR IA - mat.uda.cl 2009/Algebra I/Guia Nº1... · 1.Veri car que...
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UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIER ´ IA / DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA ALGEBRA I GU ´ IA N o 1 DE TRIGONOMETR ´ IA Profesor: David Elal Olivero Primer a˜ no Plan Com´ un de Ingenier´ ıa Primer Semestre 2009 1. Verificar que las siguientes proposiciones son verdaderas: a ) 2 sin π 6 cos π 6 = sin π 3 b ) cos π 6 cos π 3 - sin π 6 sin π 3 = cos π 2 c ) cos 2 π 6 - sin 2 π 6 = cos π 3 2. Aplicar la relaci´ on sin 2 α + cos 2 α =1 para determinar el valor de k, donde: a ) sin α = 4 5 ; cos α = k y α est´ a en el primer cuadrante b ) cos α = 1 √ 5 ; sin α = k y α est´ a en el cuarto cuadrante c ) cos α = - √ 15 4 ; sin α = k y α est´ a en el segundo cuadrante 3. Hallar los valores de sin 2α y cos 2α en los siguientes casos: a ) sin α = 3 5 y α est´ a en el primer cuadrante b ) sin α = 3 5 y α est´ a en el segundo cuadrante c ) sin α = - 1 2 y α est´ a en el cuarto cuadrante 4. Pruebe que: a ) sin(α + 45) = 1 √ 2 (sin α + cos α) b ) cos(α + 45) = 1 √ 2 (cos α - sin α) c ) 2 sin(30 - α) = cos α - √ 3 sin α 5. Si α y β son ´angulos agudos y cos α = 4 5 ; y cos β = 3 5 . Encuentre sin(α + β ) y cos(α - β ) 6. Si α y β son ´ angulos agudos y sin α = 3 5 ; y cos β = 12 13 . Encuentre cos(α + β ) y sin(α - β ) ALGEBRA I: GU ´ IA N o 1 DE TRIGONOMETR ´ IA 1
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UNIVERSIDAD DE ATACAMAFACULTAD DE INGENIERIA / DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
ALGEBRA I
GUIA No1 DE TRIGONOMETRIAProfesor: David Elal Olivero
Primer ano Plan Comun de Ingenierıa Primer Semestre 2009
1. Verificar que las siguientes proposiciones son verdaderas:
a) 2 sin π6
cos π6
= sin π3
b) cos π6
cos π3− sin π
6sin π
3= cos π
2
c) cos2 π6− sin2 π
6= cos π
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2. Aplicar la relacion sin2 α + cos2 α = 1 para determinar el valor de k, donde:
a) sinα = 45; cosα = k y α esta en el primer cuadrante
b) cosα = 1√5; sinα = k y α esta en el cuarto cuadrante
c) cosα = −√
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; sinα = k y α esta en el segundo cuadrante
3. Hallar los valores de sin 2α y cos 2α en los siguientes casos:
a) sinα = 35
y α esta en el primer cuadrante
b) sinα = 35
y α esta en el segundo cuadrante
c) sinα = −12
y α esta en el cuarto cuadrante
4. Pruebe que:
a) sin(α + 45) = 1√2(sinα + cosα)
b) cos(α + 45) = 1√2(cosα− sinα)
c) 2 sin(30− α) = cosα−√
3 sinα
5. Si α y β son angulos agudos y cosα = 45; y cos β = 3
5. Encuentre sin(α + β) y
cos(α− β)
6. Si α y β son angulos agudos y sinα = 35; y cos β = 12
13. Encuentre cos(α + β) y
sin(α− β)
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7. Pruebe que:
a) sin 75 = cos 15 =√
3+12√
2
b) sin 15 = cos 75 =√
3−12√
2
c) tan 75 = 2 +√
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8. Si α es un angulo del segundo cuadrante tal que cosα = − 817
, calcule el valor de lasotras relaciones trigonometricas de α.
9. Si secα = 277
y α es un angulo agudo, calcule el valor de las demas relaciones trigonometri-cas de α.
10. El seno de un angulo es a su coseno como 8 es a 15. Calcule el seno y el coseno dedicho angulo.
11. Demuestre que:
a) cos 130 + cos 110 + cos 10 = 0
b) cos 220 + cos 100 + cos 20 = 0
c) cos 465 + cos 165 = −√
62
d) sin 105 + sin 15 =√
62
e) sin 75−sin 15cos 75+cos 15
= 1√3
12. Demuestre que:
a) cos(α− β) + cos(α + β) = 2 cosα cos β
b) cos(α− β)− cos(α + β) = 2 sinα sin β
c) sin(α + β) + sin(α− β) = 2 sinα cos β
d) sin(α + β)− sin(α− β) = −2 cosα sin β
13. Si tanα = 2pqp2−q2 , exprese cosα y cscα en terminos de p y q.
14. Si b tanα = a, calcule el valor de
a sinα− b cosα
a sinα + b cosα
15. Si a cos2 α + b sin2 α = c, demuestre que tan2 α = c−ab−c .
16. Exprese todas las relaciones trigonometricas en terminos de cosα.
17. Demuestre quecot2 α sin2(90◦ − α)
cotα + cosα= tan(90◦ − α)− cosα
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18. Demuestre las siguientes identidades trigonometricas:
a) tanα + cotα = secα cscα.
b) (tanα cscα)2 − (sinα secα)2 = 1.
c) 11−sinα
+ 11+sinα
= 2 sec2 α.
d) 11+sin2 α
+ 11+csc2 α
= 1.
e) (sinα− cscα)2 + (cosα + secα)2 = tan2 α + cot2 α + 7.
f ) sin4 γ(3− 2 sin2 γ) + cos4 γ(3− 2 cos2 γ) = 1.
g) csc6 δ − cot6 δ = 1 + 3 csc2 δ cot2 δ.
h) (tan β + cot β)2 + (tan β − cot β)2 = 2(sin4 β+cos4 β)
sin2 β cos2 β.
i) (sinα cos β + cosα sin β)2 + (cosα cos β − sinα sin β)2 = 1.
j ) sec2 α csc2 β + tan2 α cot2 β − sec2 α cot2 β − tan2 csc2 β = 1.
k) sin(α+β)cosα cosβ
= tanα + tan β
l) sin(α−β)sinα sinβ
= tanα− tan β
m) cot 2α + tanα = csc 2α
n) cotα− cot 2α = csc 2α
n) cos 2αsecα
− sin 2αcscα
= cos 3α
o) 1 + tan 2α tanα = sec 2α
p) sin 3αsinα− cos 3α
cosα= 2
19. Encuentre el valor de tan(α + β) Si tanα = 12
y tan β = 13
20. Exprese cos(90◦ + α) + sin(180◦ − α)− sin(180◦ + α)− sin(−α) en terminos de sinα.
21. Si tan 25◦ = a. Exprese en terminos de a:
tan 205◦ − tan 115◦
tan 245◦ + tan 335◦
22. Desde la cuspide de un faro de 80m de altura, se observan hacia el oeste dos botessegun angulos de depresion de 60◦ y 30◦. Calcule la distancia que separa a los botes.
23. Un asta de bandera esta enclavada en lo alto de un edificio. Desde un punto situado enel suelo, a 12m. del edificio, se observa el techo del edificio segun un angulo de elevacionde 30◦ y la punta del asta segun un angulo de elevacion de 60◦. Calcule la altura deledificio y la longitud del asta.
24. Descendiendo por una colina, inclinada en un angulo α respecto del plano horizontal,una persona observa una piedra, situada en el plano, segun un angulo de depresion β.A mitad del descenso, el angulo de depresion es γ. Demuestre que:
cotα = 2 cot β − cot γ
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