PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ALGEBRA LINEALPROBLEMAS RESUELTOS

Rodrigo Vargas

Santiago de Chile

2007

ii

Prefacio

Este libro con problemas resueltos pretende sirvir para los estudiantes delplan comun de Ingeneria Civil de la Pontificia Universidad Catolica de Chile.As espero facilitar el estudio y la comprension de los estudiantes. Gruposespeciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentacion mascompleta y los alumnos, por as decirlo, normales que busquen lecturas com-plementarias pueden consultar el libro Linear Algebra de Hoffman y Kunzeque trata los mismos topicos con un enfoque mas amplio.

La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, quesirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en muchos textosde algebra lineal y como oportunidad para que el lector compruebe lo sencillode algunas soluciones. Naturalmente, me gustara que el lector solo consultaselas soluciones despues de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cadaproblema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin exito, el que nos conducea buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

Los problemas que el lector encontrara se basan en las ayudantias delcurso de algebra lineal impartido en la Pontificia Universidad Catolica deChile, el cual esta dirigido a estudiantes de Ingeneria Civil.

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iv

Indice general

1. Algebra Lineal Elemental 1

2. Factorizaciones de Matrices 21

3. Determinantes 43

4. Espacios Vectoriales 49

5. Transformaciones Lineales, Teorema de la Dimension y Cam-

bio de Base 61

6. Bases Ortonormales y Proyecciones 79

7. Vectores y Valores Propios, Diagonalizacion 85

v

vi

Captulo 1

Algebra Lineal Elemental

1.1. Se dice que v es combinacion lineal convexa de u1, u2, ..., uk si v =1v1 +2v2 + ...+kvk donde i 0, i = 1, ..., k y 1 +2 + ...+k = 1.Demuestre que si u4 es combinacion convexa de u1, u2, u3 y v es combi-nacion convexa de u1, u2, u3, u4 entonces v es combinacion convexa deu1, u2, u3.

Solucion: Si u4 es combinacion convexa de u1, u2, u3, entonces

u4 = 1u1 + 2u2 + 3u3 ,

donde

i = 1 y i 0 para i = 1, . . . , 3. Si v es combinacion convexade u1, u2, u3, u4, entonces

v = 1u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4 ,

donde

i = 1 y i 0 para i = 1, . . . , 4. Luego,v = 1u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4

= 1u1 + 2u2 + 3u3 + 4(1u1 + 2u2 + 3u3)

= (1 + 41)u1 + (2 + 42)u2 + (3 + 43)u3

= 1u1 + 2u2 + 3u3

donde 1 = 1 + 41 0, 2 = 2 + 42 0 y 3 = 3 + 43 0.Ademas,

i = 1 + 2 + 3 + 4

= 1 + 41 + 2 + 42 + 3 + 43

= 1 + 2 + 3 + 4(1 + 2 + 3)

= 1 + 2 + 3 + 4 = 1 .

Por lo tanto, v es combinacion convexa de u1, u2, u3.

1

2 Captulo 1. Algebra Lineal Elemental

1.2. Demuestre que si u1 = 2v1 + 3v2, u2 = v1 + 3v2 entonces se cumpleque: < u1, u2 >=< v1, v2 >.

Solucion: Primero probaremos que < u1, u2 > < v1, v2 >. Paraesto, sea x < u1, u2 > entonces

x = 1u1 + 2u2

= 1(2v1 + 3v2) + 2(v1 + 3v2)= (21 2)v1 + 3(1 + 2)v2 .

Como x es combinacion lineal de los vi, es claro que x < v1, v2 > y,por lo tanto, hemos probado que

< u1, u2 > < v1, v2 > .

Ahora se probara que < v1, v2 > < u1, u2 >. Notemos que:

u1 = 2v1 + 3v2 3v2 = u1 2v1y

u2 = v1 + 3v2 3v2 = u2 + v1 .Igualando obtenemos que

u1 2v1 = u2 + v13v1 = u1 u2v1 =

1

3(u1 u2) .

Despejando obtenemos

v2 =1

9(u1 + 2u2) .

Sea x < v1, v2 >, este vector se puede escribir de la forma

x = 1u1 + 2u2

= 11

3(u1 + u2) + 2

1

3u1

=1

3(1 + 2)u1 +

1

31u2 .

Como x es combinacion lineal de los ui, es claro que x < u1, u2 > y,por lo tanto, hemos probado que

< v1, v2 > < u1, u2 >

y por lo tanto, < u1, u2 >=< v1, v2 >.

Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 3

1.3. Sean

u =

[0.60.8

]

, v =

[34

]

, w =

[43

]

.

(a) Calcule los productos puntos u v, u w, w v.(b) Determine la longitud de cada uno de los vectores.

(c) Verifique las desigualdades (Schwarz):

| u v| uv y | v w| vw .Solucion:

a)

u v = (0.6, 0.8) (3, 4) = (0.6)(3) + (0.8)(4) = 1.4 ,u w = (0.6, 0.8) (4, 3) = (0.6)(4) + (0.8)(3) = 0 ,w v = (4, 3) (3, 4) = (4)(3) + (3)(4) = 24 .

b)

u =

u u =

(0.6)2 + (0.8)2 = 1 ,v =

v v =

(3)2 + (4)2 = 5 ,

w =

w w =

(4)2 + (3)2 = 5 .

c)

| u v| = |1.4| = 1.4 5 = (1)(5) = uv ,| v w| = |24| = 24 25 = (5)(5) = vw .

1.4. Para u = (1, 2), v = (1, 3) determine un escalar tal que u v seaperpendicular a u.

Solucion: Notemos que

u v = (1, 2) (1, 3)= (1 + , 2 3) .

Para que los vectores sean perpendiculares basta que el producto internoentre los vectores sea cero

0 = u (u v)= (1, 2) (1 + , 2 3)= 1(1 + ) + 2(2 3)= 5 5 .

Entonces, = 1 y tenemos que u v = (2,1).

4 Captulo 1. Algebra Lineal Elemental

1.5. Exprese el plano x + y + 2z = 1 como combinacion lineal de vectores.Indique el vector normal unitario al plano.

Solucion: Podemos despejar cualquiera de las variables de la ecuaciondel plano en funcion de las otras dos. Por ejemplo, podemos despejar xy obtenemos x = 1 y 2z en forma vectorial

xyz

=

1 y 2zyz

=

100

+

110

y +

201

z .

Se puede observar que el plano se puede expresar como combinacionlineal de los vectores (1, 1, 0), (2, 0, 1), donde el primer vector siempreesta ponderado por 1, esto es

P =

100

+ .

En general, el vector normal de un plano ax + by + cz = d es (a, b, c),en nuestro caso el vector normal es ~n = (1, 1, 2) con modulo

~n =

12 + 12 + 22 =

6 .

Luego, el vector normal unitario es:

n =16(1, 1, 2) .

1.6. Si un hiperplano pasa por los puntos (1,1, 1, 1), (2,1, 2, 1), (0, 1, 1, 1),(1, 0, 0, 1). Determine los valores , tal que el punto (, , , +)pertenezca al hiperplano.

Solucion: La ecuacion de un plano en R4 es:

ax + by + cz + dw = e .

Como el hiperplano pasa por los puntos (1,1, 1, 1), (2,1, 2, 1), (0, 1, 1, 1),(1, 0, 0, 1) las constantes a, b, c, d, e deben cumplir

a b + c + d = e ,2a b + 2c + d = e ,

b + c + d = e ,

a + d = e .

Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 5

Entonces tenemos 4 ecuaciones y 5 incognitas. Hay una variable libreque es e y a, b, c, d son variables basicas. Resolviendo el sistema obten-emos

a = b = c = 0, d = e .

La ecuacion del hiperplano es entonces:

dw = d w = 1 .

Luego, para que (, , , + ) pertenezca al hiperplano se debecumplir que:

+ = 1 .

1.7. Para que valor(es) de seran linealmente dependientes los vectores

123

214

34

?

Solucion: Suponga que

c1

123

+ c2

214

+ c3

34

= 0 =

000

.

Entonces mulptiplicando y sumando se obtiene

c1 + 2c2 + 3c32c1 c2 + c33c1 + 4c2 + 4c3

=

000

.

Esto nos lleva al sistema de tres ecuaciones y tres incognitas

c1 + 2c2 + 3c3 = 0 , (1.1)

2c1 c2 + c3 = 0 , (1.2)3c1 + 4c2 + 4c3 = 0 . (1.3)

As, los vectores seran linealmente dependientes si y solo si el sistematiene soluciones no triviales. Despejando en (1.1)

c1 = 2c2 2c3 . (1.4)

Si (1.4) en (1.3) y despejando

c2 = 5c32

. (1.5)

6 Captulo 1. Algebra Lineal Elemental

Si (1.5) en (1.4) obtenemos

c1 = 2c3 . (1.6)

Finalmente (1.5) y (1.6) en (1.2) obtenemos

2c1 c2 + c3 = 02(2c3) +

5

2c3 + c3 = 0

( +13

2)c3 = 0 .

Para obtener infinitas soluciones necesitamos que una de las ecuacionesse anule esto se consigue con = 13

2, con este valor los vectores son

linealmente dependientes.

1.8. Considere el sistema de ecuaciones

x1 + x2 + x3 = 1 ,

x1 2x2 + ax3 = b ,2x1 + x2 + 3x3 = c ,

donde a, b, c son constantes. Determine los valores de a, b, c tales que elsistema: no tenga solucion, tenga solucion unica, tenga infinitas solu-ciones.

Solucion: Primeros hacemos eliminacion de Gauss

1 1 11 2 a2 1 3

1bc

1 1 10 3 a 10 1 1

1b 1c 2

1 1 10 1 1

3(1 a)

0 1 1

113(1 b)c 2

1 0 1 + 13(a 1)

0 1 13(1 a)

0 0 13(4 a)

13(b 1) + 113(1 b)

13(3c b 5)

.

La ultima fila de la matriz ampliada equivale a

1

3(4 a)x3 =

1

3(3c b 5) (4 a)x3 = 3c b 5 .

Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 7

Para que no haya soluciones es necesario que el sistema sea inconsis-tente, es decir, que algunas de sus ecuaciones contenga alguna contradic-cion. La unica posible es 0 x3 6= 0. Es decir, con a = 4 y 3c b5 6= 0.Para que existan infinitas soluciones se necesita una identidad que secumpla siempre. La unica que se cumple siempre independiente del va-lor de x3 es 0 x3 = 0. Es decir, con a = 4 y 3c b 5 = 0.Si se quiere una sola solucion, se debe tener tantas ecuaciones lineal-mente independientes como incognitas y ademas el sistema debe serconsistente. Esto se cumple para cualquier valor de a, b, c excepto parael valor a = 4.

1.9. Encuentre eficientemente la solucion general de los sistemas

1 1 12 1 13 1 1

x1x2x3

=

234

y

1 1 12 1 13 1 1

x1x2x3

=

235

.

Solucion: Con el metodo de eliminacion de Gauss es posible resolvermultiples sistemas con la misma matriz de coeficientes y distintos vec-tores a la ve