Pauta para Examen N°1 ,

Elaborada por Addi Josué Elvir C. , para la Secciones 1601, 1701.

N°1 Una caja de peso Fg es empujada por una fuerza P sobre un piso horizontal. Si el coeficiente

de fricción estática es μs y P está dirigida a un ángulo θ debajo de la horizontal, muestre que el

valor mínimo de P que moverá la caja esta dado por:

� = ������� − ��������

Situación Diagrama de Cuerpo libre

Del diagrama, aplicando la primera Ley de Newton tenemos:

� �� = 0 � �� = 0

�� − �� = 0 � − �� − �� = 0

� �� ! − "�� = 0 � = � #�! + ��

� �� ! − "��� #�! + �� � = 0

� �� ! − "�� #�! − "��� = 0

Ahora dividamos toda la ecuación entre cos θ :

% &'�(&'�( − )*% �+,(

&'�( − )*-.&'�( = 0

� − "�� /0� ! − "��� #� ! = 0

Sacando factor común P y acomodando la ecuación:

� �1 − "� /0� !� = "��� #�! Despejando para P :

� = "��� #�! �1 − "� /0� !��2 Hemos llegado a lo requerido.

N°2 Una bola de nieve rueda del techo de un granero con inclinación hacia debajo de 40°. El borde

del techo está a 14 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7 m/s al dejar el techo. a) ¿ A qué

distancia al borde del granero golpea la bola el piso si no golpea otra cosa al caer? b) Un hombre

de 1.9 m de estatura está parado a 4 m del granero. ¿ Lo golpeará la bola?

304� : 6 = −14 8

9 = 7 8/

! = 40°

= = ?

a) Empleando la ecuación de la trayectoria:

6 = 40�! = − ? @29BC�� C!D =C

La distancia que tenemos que encontrar nos obliga a resolver una cuadrática:

− ? @29BC�� C!D =C + 40�! = − 6 = 0

− E 9.8 8/ C2�7 8/ �C�I� �−40°��CJ =C + tan�−40°� = − �−14 8 � = 0

−0.1704=C − 0.839= + 14 = 0

La solución cuadrática:

=2,C = 0.839 ± Q�0.389�C − 4�−0.1704��14�2�−0.1704�

Quedándonos las soluciones:

=2 = −11.59

=C = 6.67 8

La distancia a la que llega la bola de nieve con respecto a la pared es 6.67 m.

b) Para éste segundo inciso tenemos que calcular la altura que desciende la bola exactamente

encima de la persona. Por lo que tenemos que trabajar con los 4 m a los que se encuentra ubicado

de la pared. Para que la bola le pegue tiene que descender (14 m – 1.9 m) = 12.1 m arriba de él.

6 = tan�−40°� �4 8 � − E 9.8 8/ C2�7 8/ �C�I� �−40°��CJ �48�C

6 = −6.08 8 , dado éste valor la bola no le pega a la persona.

N°3 Una curva de 120m de radio en un camino horizontal tiene el peralte apropiado para una

rapidez de 20 m/s. Si un coche la toma a 30 m/s, ¿ Qué coeficiente mínimo de fricción estática

debe de haber entre las ruedas y el camino para no barrerse?

304� : T = 120 8

92 = 20 8/

9C = 30 8/

"� = ?

Situación

Diagrama de cuerpo libre para cuando el auto va a 20 m/s ( No hay fricción):

Primera Ley :

� �� = 0 �� − U = 0

� �� V = 8@

� = W�&'�X �1�

En el eje “x” aplicamos segunda Ley:

� �� = 80 Y �� = 80 Y

� #�V = 80 Y (2)

Sustituyendo el despeje de la normal (1) en (2):

W�

&'�X #�V = 80 Z1

Cancelando las masas y sustituyendo la fórmula de aceleración Radial:

@/0�V = [\]^

Nos queda una fórmula para obtener el ángulo del peralte:

V = /0��2� [\]�^ ) (3)

Ahora analizaremos cuando el coche va 30 m/s

En éste caso agregamos la fuerza de fricción estática que como vector iría en sentido contrario al

posible movimiento del coche, el cual tendería a salirse de la curva. Por lo que la fuerza de fricción

va hacia adentro al ras de la superficie inclinada.

Volvemos a aplicar las Leyes de Newton:

� �� = 80YC � �� = 0

�� + ��� = 80YC �� − ��� − U = 0

� #�V + "���� V = 80YC �4� ��� V − "�� #�V = 8@ �5�

Si dividimos la ecuación (4) entre la ecuación (5) :

,�+,X_ )*,&'�X,&'�X� )*,�+,X = W`a]

W�

Del lado izquierdo de la ecuación podemos cancelar la normal y en el lado derecho la masa:

�+,X_ )*&'�X &'�X� )*�+,X = `a]

�

Acomodando la ecuación:

@� #�V + "��� V� = 0YC��� V − "� #�V�

@ " �� V + 0Z2" #�V = 0Z2�� V − @ #�V

"��@�� V + 0YC #�V � = 0YC�� V − @ #�V

Despejando para el coeficiente de fricción:

"� = `a]&'�X���+,X�&'�X _`a]�+,X

Para que no tengamos tanto dato en la ecuación, vamos a calcular el ángulo con la ecuación (3) y

la aceleración radial:

V = /0��2� [\]�^ ) =/0��2[ �cB W/��]

�d.e W/�]��2CBW�] = 18.79° 0YC = []]

^ = �cB W/��]2CB W = 7.5 8/ C

Sustituyendo estos resultados para encontrar el μs :

"� = �7.5 8/ C�cos �18.79°� − �9.8 8/ C� #��18.79°��9.8 8/ C��� �18.79°� + �7.5 8/ C� #��18.79°�

"� = 0.34

N°4 Dos bloques conectados por un cordel que pasa por una polea pequeña sin fricción descansan

en un plano sin fricción.

a) ¿ Hacia dónde se moverá el sistema cuando los bloques se suelten del reposo?

b) ¿ Qué aceleración tienen los bloques?

c) ¿ Qué tensión hay en el cordel?

304� : 82 = 100 j@

8C = 50 j@

k = 30°

! = 53.1°

0 = ?

/ = ?

a) Asumimos que el movimiento es hacia la derecha debido a la diferencia de masas, aunque la

dirección real lo determinará el signo final de la aceleración.

Para m1 : Para m2 :

Aplicando la Segunda Ley a ambos cuerpos:

� �� = 820 � �� = 8C0

U2� − / = 820 (1) /− UC� = 8C0

/ = 8C0 + UC� (2)

Sustituyendo el despeje de T (2) en la ecuación (1) :

U2� − �8C0 + UC�� = 820

82@ #�k − 8C0 − 8C@ #�! = 820

Agrupando la incógnita al lado derecho de la ecuación:

82@ #�k −8C@ #�! = 820 + 8C0

@� 82 #�k −8C #�! � = 0 � 82 + 8C�

Despejando para la aceleración:

0 = �� W\ �+,l �W] �+,( �� W\_W]�

Sustituyendo los valores:

0 = �d.e W/�]��� 2BB m���+,cB°��nB m���+,nc.2° �2BB m�_nB m�

0 = 0.65 8/ C

Para la tensión utilizamos la ecuación (2) :

/ = 8C0 + 8C@ #�!

/ = �50 j@ ��0.65 8/ C + 9.8 8/ C )

/ = 424.35 o

Ing. Addi Elvir