Dosagem de concreto

Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira

Regressão linear simplesMétodo dos mínimos quadrados

Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira

Fonte: Dario Dafico

3/23

� Dada um conjunto de pontos conhecidos de coordenadas (x,y) que descrevem uma tendência linear como da figura abaixo:

Regressão linear simplesMétodo dos mínimos quadrados

Y

ε1

ε2

ε3

x3x2x1

y3

y2

y1

X

y = a + b.x

ε1, ε2, ε3, ..., εi são os erros de previsão ou desvios

4/23

� Para obter os coeficientes a e b da equação da reta de regressão representativa de um fenômeno linear, calcula-se:

= média dos valores de x= média dos valores de y

Regressão linear simplesMétodo dos mínimos quadrados

21 )( xxS i

nixx −Σ= =

)).(( yyxxS n −−Σ=

xy

� Os coeficientes a e b são obtidos pelas expressões:

� Calculados os coeficientes, obtém-se a equação:

xbay .+=

)).((1 yyxxS iinixy −−Σ= =

xx

xy

S

Sb = xbya .−=

5/23

Regressão linear simplesMMQ no Excel

6/23

Regressão linear simplesMMQ no Excel

y = -8274,3 + 4,16.x

7/23

� Para auxiliar o processo de cálculo da regressão linear, pode-se empregar a tabela modelo abaixo:

Regressão linear simplesMétodo dos mínimos quadrados

Ponto xi yi

1

2

3

)).(( yyxx ii −−)( yyi −)( xxi − 2)( xxi −

4

5

6

7

8

⁞

n

Resultadosӯ 2

1 )( xxS inixx −Σ= = )).((1 yyxxS ii

nixy −−Σ= =x

8/23

� Uma empresa produtora de blocos de concreto celular localizada na cidade de São Paulo possui uma rede distribuidora por todo o interior do Estado. Realizou um estudo para determinar qual a função que liga o preço do produto ao consumidor e a distância do mercado consumidor da cidade de São Paulo.

Exercício de fixação

YiPreço

(R$/bloco)36 48 50 70 42 58 91 69

� Estimar a reta de regressão para representar essa relação.(R: P = 30,19 + 0,12.d)

� Com base na equação da reta encontrada estime o preço ao consumidor numa nova “praça” situada a 420 Km de São Paulo. (R: R$ 80,58)

� Calcule e organize em uma tabela os erros de previsão de cada praça.

Yi (R$/bloco)36 48 50 70 42 58 91 69

XiDistância

(km)50 240 150 350 100 175 485 335

Regressão linear simplesLeis de Abrams, Lyse e Molinari

Prof. M.Sc. Ricardo Ferreira

Fonte: Dario Dafico

10/23

� A resistência à compressão de um concreto correlaciona-se com a relação água/cimento a/c através de uma curva do tipo:

Lei de Abrams

cac k

kf

/2

1=

11/23

� Linearizando-se a equação de Abrams, através de logaritmos, temos:

Lei de Abrams

cack

kf /

2

1loglog =

cac kkf /

21 logloglog −=

cac k

kf

/2

1=

� Reorganizando-se na forma de equação de reta, temos:

c kkf 21 logloglog −=

21 log.loglog kkf ca

c −=

ca

c kkf .logloglog 21 −=

y a b x

12/23

� Para obter-se a equação de Abrams particular faz-se uma regressão linear entre log fc e a/c obtendo-se a e b como coeficientes da reta. Se:

Lei de Abrams

ak

ak

ka

10

log

log

1

1

1

=

==

bk

bk

kb

−=

−=−=

10

log

log

2

2

2

� Então:

� Com os valores dos coeficientes k1 e k2 tem-se a equação de Abrams. Para se encontrar o valor da relação a/c necessária para uma resistência especificada faz-se:

k 101 =

bk −= 102

k = 102

ak 101 =

2

1

log

loglog

k

fk cc

a−=

13/23

Lei de Inge Lyse

� Para um certo conjunto particular de materiais, mantida a consistência do concreto medida pelo ensaio do abatimento do tronco de cone, o traço m é diretamente proporcional à relação a/csegundo a equação:

cakkm .43 += c43

14/23

Lei de Inge Lyse

� Denomina-se teor de água do concreto, representado pela letra H, o valor da relação massa de água/massa de materiais secospresentes na mistura. Assim sendo:

� Como:

)( bac

água

MMM

MH

++=

águaaM

= aMa = bM

b =

,

,

� Logo:

� Como o traço m é a soma das proporções de areia a e brita b em relação ao cimento, ou seja:

c

águac

a

M=

c

a

Ma =

c

b

Mb =

)..(

).(

ccc

cca

MbMaM

MH

++=

)1.(

).(

baM

MH

c

ca

c

++=

bam +=)1(

)(

mH c

a

+=

15/23

Lei de Inge Lyse

� Considerando H constante como afirma a lei de Lyse e fazendo mcomo função de a/c temos:

� Chamando:

,

,

Hm c

a )(1 =+ 1

)( −=H

m ca

).(1

1 ca

Hm +−=

� Chamando:

� Obtemos a equação de uma reta:

Hkek

11 43 =−=

).(43 cakkm +=

y a b x

16/23

Lei de Molinari

� O consumo de cimento de um concreto correlaciona-se com o valor do traço seco m através de uma curva do tipo:

mkkC

.

1000

65 +=

17/23

Lei de Molinari

� Para a obtenção dos valores de k5 e k6 é necessário linearizar a equação de Molinari, permitindo assim o uso do Método dos Mínimos Quadrados. Para isso faz-se:

Cmkk

3

65

10. =+

mkkC

.

1000

65 +=

� Rearranjando-se, para o formato da equação de reta, tem-se:

mkkC

.10

65

3

+=

y a b x

18/23

Diagramas de dosagem

m

19/23

� 1) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa seca encontrado foi de 51%, o abatimento do tronco de cone adotado foi de (140 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 2,5% e foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias.

Exercício resolvido

� A) Calcular as equações da lei de Abrams , Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.

� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiênciapara um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 35 MPa.

fc(MPa) a/c m

C (kg/m³)

38,0 0,41 4,0 472

28,0 0,55 5,0 371

20,0 0,70 6,0 309

20/23

Exercício resolvido

Ponto x y

1 0,41 1,5798 - 0,1433 0,0205 0,1371 - 0,0196

2 0,55 1,4472 - 0,0033 0,0000 0,0045 - 0,0000

3 0,70 1,3010 0,1467 0,0215 0,1417 - 0,0208

Resultadosӯ

0,5533 1,4427 0,0420 - 0,0404

21 )( xxS i

nixx −Σ= = )).((1 yyxxS ii

nixy −−Σ= =

)).(( yyxx ii −−)( yyi −)( xxi − 2)( xxi −

x0,5533 1,4427 0,0420 - 0,0404

9619,00420,0

04040,0 −=−==xx

xy

S

Sb

9749,1)5533,0.9619,0(4427,1. =−−=−= xbya

ca

cf .9619,09619,1log −=

38,941010 9749,11 === ak

16,910

1

10

19619,02 === −b

k

cacf /16,9

38,94=

log k1 log k2

21/23

� A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei de Abrams , Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.

Exercício resolvido

cacf /15,9

32,94= ).(894,6185,1 cam +=

mC

.559,0111,0

1000

+−=

� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiênciapara um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 35 MPa.

m = 4,27

C = 439 kg/m³ Ef = 12,5 kg/MPa

1 : 1,69 : 2,58 : 0,45

22/23

� 2) Os dados de dosagem abaixo são resultados de um estudo de dosagem pelo método IPT/EPUSP. O teor ideal de argamassa seca encontrado foi de 55%, o abatimento do tronco de cone adotado foi de (120 ± 10)cm, o teor de ar medido foi de 1,5% e foram empregados uma areia natural média e uma brita de granito com Dmáx de 19 mm. A idade de controle foi 28 dias.

Exercício resolvido

� A) Calcular as equações da lei de Abrams , Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.

� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiênciapara um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 50 MPa.

fc(MPa) a/c m

C (kg/m³)

57,5 0,36 3,0 47943,7 0,42 4,0 37131,4 0,49 5,0 295

23/23

� A) Com base nas informações fornecidas, calcule as equações da lei de Abrams , Lyse e Molinari para o estudo de dosagem desenvolvido.

Exercício resolvido

cacf /17,107

81,307= ).(35,1550,2 cam +−=

mC

.65,012,0

1000

+=

� B) Calcular o traço unitário , o consumo de cimento e a eficiênciapara um concreto que deva apresentar uma resistência à compressão (fc) na idade de controle de 50 MPa.

m = 3,49

C = 418 kg/m³ Ef = 8,4 kg/MPa

1 : 1,47 : 2,02 : 0,39