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Sumário

● A função de onda● A equação de Schrödinger● Partícula em uma caixa● Poço de potencial● Barreira de potencial e o efeito túnel● Oscilador harmônico

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A função de onda Ψ

● descreve uma partícula material na mecânica quântica

● não tem uma interpretação física direta (pode ser complexa!)

● o problema da mecânica quântica consiste em determinar Ψ para uma partícula como função da posição e do tempo

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Interpretação probabilística

● |Ψ|2 = Ψ*Ψ é proporcional à probabilidade de encontrar a partícula num dado ponto do espaço

● |Ψ|2 é uma densidade de probabilidade.

● ∫ dV |Ψ|2 = 1 (condição de normalização)

● a partícula deve estar em algum ponto do espaço!

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Ondas progressivas numa corda

● y: deflexão vertical● x: direção de propagação● y = A cos (kx-ωt)● A: amplitude (y máximo)● k = 2π/λ: número de onda● λ: comprimento de onda● ω = 2πν: frequência angular● y = A cos[-2π(-x/λ + νt)]

● usando a relação:eiα = cos α+i sen αonde cosα = Re(eiα) é a parte real de eiα

● y = A Re[e-2πi( -x/λ + νt)]

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Ondas de matéria● Ψ é, em geral, um número complexo● Ψ = A e-2πi(-x/λ + νt)

● Planck: E = h ν →ν = E/h, De Broglie: λ = h/p● Ψ = e(-2πi/h)(-px+Et), ∂Ψ/∂x = (2πi/h) p Ψ

∂2Ψ/∂x2 = (2πi/h)2 p2 Ψ2 ∂Ψ/∂t = -(2πi/h) E Ψ● para uma partícula livre: E = K = p2/2m● E Ψ = (p2Ψ)/2m, isto é, a onda de matéria de uma

partícula livre satisfaz a equação diferencial:

-(h/2πi) ∂Ψ/∂t = -(h2/8mπ2) ∂2Ψ/∂x2

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Partícula num campo de força

● forças conservativas: são deriváveis de uma energia potencial V(x):

● F(x) = - dV(x)/dx● ex: energia potencial

elástica V(x) = kx2/2● F(x) = - kx (Lei de Hooke)● energia total E = K + V(x)

= p2/2m + V(x)

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Equação de Schrödinger (1927)

● para uma partícula com energia potencial V(x) temos que

● E Ψ = (p2 Ψ)/2m + V(x) Ψ● a função de onda satisfaz

a seguinte equação diferencial:

-(h/2πi) ∂Ψ/∂t = V(x) Ψ -(h2/8mπ2) ∂2Ψ/∂x2

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Equação de Schrödinger independente do tempo

● para uma partícula livre Ψ(x,t) = e(-2πi/h)(-px+Et)

● se a partícula tiver energia potencial V(x)

● Ψ(x,t) = ψ(x) e(-2πi/h)Et

● substituindo na equação de Schrödinger

-(h2/8mπ2) d2ψ/dx2 + V(x)ψ = E ψ

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● Densidade de probabilidade |Ψ|2 = Ψ* Ψ● Vimos que Ψ(x,t) = ψ(x) e(-2πi/h)Et

● Complexo conjugado: Ψ*(x,t) = ψ*(x) e(+2πi/h)Et

● Logo |Ψ(x,t)|2 = |ψ(x)|2 : para uma partícula que está num estado com a energia definida a densidade de probabilidade é independente do tempo

● Condição de normalização da função de onda (em uma dimensão): ∫ dx |Ψ(x,t)|2 = 1

● Portanto ∫ dx |ψ(x)|2 = 1

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Partícula em uma caixa● caixa unidimensional de paredes infinitamente rígidas (impenetráveis)

● V = 0 se 0 < x < L-(h2/8mπ2) d2ψ/dx2 = E ψ

● definindo k2 = 8mπ2E/h2

ψ'' + k2ψ = 0● que tem a soluçãoψ = A sen kx + B cos kx

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Autofunções e autovalores● a função de onda deve se anular

nas paredes● ψ(0) = 0 →A = 0● ψ(L) = 0 →sen kL = 0 ● kL = nπ (n=1,2,3,... )● autovalores de energia

En= n2h2/8mL2

● autofunções da energia

ψ(x) = A sen (nπx/L)

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Normalização da função de onda

● condição de normalização:

∫ dx ψ2 = B ∫ dx sen (nπx/L) = 1 (0<x<L)

● obtemos daí B = √2/L● autofunções normalizadas

ψ(x) = √2/L sen (nπx/L)● densidade de probabilidade

= ψ2 = 2/L sen2 (nπx/L)

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Problema resolvido

● Uma partícula está no estado fundamental, num poço de potencial verticial e infinito. Achar a probabilidade de se encontrar a partícula (a) na região 0 < x < L/4, e (b) em ∆x = 0,01 L, nas vizinhanças de x = L/2.

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Problema proposto

● Achar a energia (em eV) de um elétron, confinado numa caixa unidimensional, de comprimento 0,1 nm, no seu estado fundamental.

● Fazer um diagrama dos níveis de energia e achar os comprimentos de onda dos fótons emitidos em todas as transições que principiam no estado n = 3, ou num estado mais baixo, e terminam em qualquer estado mais baixo

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Potencial degrau

● Caso E > V0: há transmissão (com diminuição da velocidade) e reflexão de partículas

● Caso E < V0: a onda de matéria penetra na região classicamente proibida (com atenuação exponencial) , e as partículas são totalmente refletidas

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Poço de potencial finito

● é uma caixa de paredes não-rígidas

● E = K + V(x)

● se E > V0 a região é classicamente permitida (K positiva)

● se E < V0 a região é classicamente proibida (K negativa, velocidade imaginária)

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Penetração da parede

● nas regiões classicamente proibidas a onda de matéria penetra um pouco

● mas é exponencialmente atenuada

● partícula é refletida após penetrar um pouco na parede

● autofunções e autovalores mudam em relação à caixa de paredes rígidas

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Valores esperados

● valor médio na medição da posição de um grande número de partículas com a mesma função de onda ψ(x)

● <x> = ∫ dx x |ψ(x)|2 ● <f(x)> = ∫ dx f(x) |ψ(x)|2

● Problema resolvido: Calcular o valor esperado da posição x de uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito

● Problema proposto: idem para x2

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Barreira de potencial

● nas regiões classicamente permitidas a onda se propaga normalmente

● dentro da barreira (E < V0) a região é classicamente proibida e há atenuação exponencial da onda

● se a barreira for curta o suficiente a partícula atravessa a barreira (efeito túnel)

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Efeito túnel

● ondas de matéria podem penetrar barreiras intransponíveis para partículas clássicas

● parte da onda é refletida pela barreira

● parte da onda é transmitida com amplitude menor

● aplicações em eletrônica

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Problema resolvido

● Um elétron com energia 5,1 eV aproxima-se de uma barreira com altura 6,8 eV e largura 750 pm. (a) Qual o comprimento de onda do elétron incidente? (b) Qual o coeficiente de transmissão pela barreira?

Problema proposto: repita o problema se a partícula incidente for um próton.

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Exemplos de efeito túnel

● elétrons num metal: poço de potencial com paredes finitas

● junção metal-isolante-metal: há uma barreira de potencial

● aplicação de campo elétrico: emissão “fria” de elétrons

● conexão USB

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Microscopia de varredura de tunelamento

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Oscilador harmônico

● partícula de massa m presa a uma mola de constante elástica k

● Lei de Hooke F = -kx● energia potencial elástica

V(x) = k x2/2● solução da equação de

movimento

x(t) = A cos(ωt)● ω = √k/m: frequência natural

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Equação de Schrödinger

-(h2/8mπ2) d2ψ/dx2 + (kx2/2) ψ = E ψ

● só possui solução se os valores da energia forem quantizados

En = (n+1/2) h ν (n = 0, 1, 2,...)

● energia de ponto zero

E0 = h ν/2

● níveis de energia são igualmente espaçados de ΔE = hν

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Autofunções de energia (não-normalizadas)

● n=0: ψ0 = e-x2/2

● n=1: ψ1 = x e-x2/2

● n=2: ψ2 = (2x2-1) e-x2/2

● n=3: ψ3 = (2x3-3x) e-x2/2

● anulam-se em |x| = ∞● autofunções ímpares se

anulam na origem● há alguma penetração na

região classicamente proibida

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Problema resolvido

● Normalize a autofunção do estado fundamental do oscilador harmônico

● Problema proposto: normalize a autofunção para o primeiro estado excitado

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Densidade de probabilidade

● P(x) = ψ2 dx : probabilidade de achar a partícula entre x e x+dx

● n=0: e-2x2/2● n=1: x2 e-2x2/2● n=2: (2x2-1)2 e-2x2/2● n=3: (2x3-3x)2 e-2x2/2● P=0: pontos onde é menos

provável encontrar a partícula

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Problema resolvido

● Determine os valores esperados de x e x2 para uma partícula no estado fundamental do oscilador harmônico

● Problema proposto: idem para a autofunção com n = 1

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Problema proposto

● Determine a energia de ponto zero (em eV) para um pêndulo de período igual a 1s.

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FIM