1.CONVERSION DE UNIDADES: VUELTAS, GRADOS, RADIANES.

a) En una vuelta completa de circunferencia hay 360º, lo que equivale a 2π radianes ............. Si : ................360º = 2π radianes .......... ...Entonces : .....180º = π radianes 

b) Una revolución es una vuelta completa a la circunferencia 

c) En una revolución hay 360º ó 2π radianes 

Con estos elementos, es recomendable utilizar el Método de las Fracciones equivalentes para efectuar Conversiones, es decir, ir multiplicando por una fracción que equivale lo mismo en el numerador como en el denominador.( Así estamos multiplicando por la unidad y su valor no cambia). 

EJERCICIOS RESUELTOS:

 EJERCICIOS PROPUESTOS……OJO…..:AQUÍ INSERTAR UNA IMAGEN….X QUE ES UN TALLER…….

Grados Sexagesimales a radianes:

a) 45o

b) 90o

c) 30o

d) 60o

e) 390o

Radianes agrados sexagesimales:

a)

π12

radianes

b)

13π6

radianes

c)−π

6radianes

d)

5π6

radianes

e)−5π

12radianes

2. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL PLANO CARTESIANO

DEFINICIÓNSon relaciones entre las longitudes de la hipotenusa y los catetos del triángulo

rectángulo.

Existen seis funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cotangente (cot), secante (sec) y cosecante (csc).Las tres priemras funciones se llaman funciones directas y las tres últimas se llaman funciones recíprocas o inversas.

En el triángulo ACB de la siguiente figura consideramos el ángulo Ac = Longitud de la hipotenusaa = Longitud del cateto opuesto al angulo A b = Longitud del cateto adyacente angulo A

Las funciones trigonométricas del ángulo A son:

Seno de A = sen A =

catetoopuestohipotenusa

=ac

Coseno de A = cos A =

catetoadyacentehipotenusa

=bc

Tangente de A = tan A =

catetoopuestocateoadyacente

=ab

Cotangente de A = cot A =

catetoadyacentecatetoopuesto

=ba

Secante de A = sec A =

hipotenusacatetoadyacente

= cb

Cosecante de A = csc A =

hipotenusacatetoopuesto

= ca

2.1.SIGNOS DE LAS FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO

Nota: Recuerde los signos de las funciones trigonométricas:

Cuadrante I II III IV

Función

positiva

Todas senθ−cscθ tanθ−cot θ cosθ−secθ

todas sin tan cos

TALLER:…(HAY QUE INSERTAR UN GRAFIQUITO MEDIO ALAJA……PLEASE…).

1. Hallar las equivalente de las siguientes funciones trigonométricas de ángulos

agudos. (Dibujar los ángulos)

a) Sen120o =

b) Sen(-210º)

c) Cos240o =

d) Tan 315º =

e) Sec 330º =

f) Cot (-300º) =

2. Completar la siguiente tabla:

A I II III IV

Sen (A)

Cos (A)

Tan (A)

Cot (A)

Sec (A)

Csc (A)

2.2 VALORES PREDEFINIDOS DE 300 , 600 , y 450 . MULTIPOS Y SUBMULTIPLOS

INSERTAR UN GRAFICO DE FORO – DEBATE…PLEASE….

FORO DEBATE: TRABAJR EN GRUPOS DE 3 PERSONAS Y EN PAPELOTES DE COLORES DIBUJAR LOS TRIANGULOS RECTANGULOS CON SUS RESPECTIVOS VALORES DEFINIDOS EN LA SIGUEINTE TABLE.

1)Construir un tabla de senos y cosenos para los ángulos desde 0º hasta 180º

Ángulos

Funciones

0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º

Senθ0

12

√32 1

√32

12 0

Cosθ1

√32

12 0

− 12 −√3

2 -1Tanθ

01√3

√3 ∞ −√3 − 1√3 0

Ángulos

Funciones

180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

Senθ 0

−12 −√3

2 -1 −√32

−12 0

Cosθ-1 −√3

2− 1

2 0

12

√32 1

Tanθ0

1√3

√3 ∞ −√3 − 1√3 0

2)Construir una tabla de seños y cosenos para los ángulos desde el 45º hasta 270º

Ángulos

Funciones

0º 45º 90º 135º 180º 225º 270º

Senθ 0

1√2 1

1√2 0

− 1√2 -1

Cosθ1

1√2 0

− 1√2 -1

− 1√2 0

Tanθ0 1

∞

-1 0 1

∞

3. RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS

3.1 DEDUCCIONES DE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

Considera la siguiente figura siguiente en donde senθ=a/b ,cosθ=b /c y tanθ=a /b

1) Deducir de

tanθ= senθcosθ

Solución:

Afirmaciones Razones

1.1)

tanθ=ab

Por definición de tangente

1.2)

senθcosθ

=

acbc

Reemplazando valores de senθ

y

cosθ

1.3)

senθcosθ

Simplificado c

1.4)

tanθ= senθcosθ

Reemplazando 1.3 en 1.1

3.2 TEOREMA DE PITAGORAS

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes   y  , y la medida de la hipotenusa es  , se establece que:

Ecuacion 1

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

3.3 AREA DEL TRIANGULO

Su fórmula es: Area=base xaltura2

: en unidades de longitud elevada al cuadrado

TALLER…TRABAJO EN GRUPO….INSERTAR UNA IMAGEN CHEVERUCA..X FA…

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Hallar el valor de x en las siguientes figuras:

5) En la siguiente figura determinar la altura h de la montaña y el valor de x

BIBLIOGRAFIA:

4. RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS

4.1 LEY DE SENOS

teorema del seno

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b,c, entonces:

4.2 LEY DE COSENOS

Teorema del coseno

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

4.3 EJERCICIOS RESUELTOS

1.Los lados de un triángulo son 3,8 y 9. Hallar la altura del triángulo correspondiente al

vértice del ángulo más pequeño.

CosC=a2+b2−c2

2ab

CosC=81+64−9144

CosC=136144

CosC = 0,94

C = 19,19º

C=√81−2 ,25C=√78 ,75C=8 . 87km

2.Las dos diagonales de un paralelogramo son 10 y 12 y forman un ángulo de 49, 18º

hállense los lados solución 10 y 4677

√a2=b2+c2−2bccos130 ,7 º√a2=√25+36−(−39 ,12)√a2=√100 ,12a=10km

√c2=a2+b2−2abcosC√c2=√25+36−39 ,12√c2=√28 ,88c=4 ,68km

3.Para calcular la distancia entre dos puntos A y B, separados por un estanque fig 88 se

tienen los siguientes datos, tal cual, muestra la figura.

c2=a+b2−2abcosC√c2=√(322 ,4 )2+( 426)2−(322 ,4 m)(426 )(cos68 ,42 )

√c2=√103 . 941. 76+18 (26−99779 ,59 )√c2=√185638 ,17c=430 ,86m

4.4. TRABAJO EN GRUPO…MISCELANEA DE EJERCICIOS..INSERTAR UNA IMAGEN…X FIS….JANE AND GABY……

Resolver los siguientes triángulos rectángulos, si C = 90º y además:

1. A = 20º , c = 80cm

2. B = 30º , a = 24cm

3. A = 38º ,b = 64cm

4. c= 32cm, a = 15cm

5. a=48cm, b = 25cm

6. A = 32º , c = 56cm

7. Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 35º y el lado opuesto tiene una

longitud de 25cm. Resolver el triángulo y calcular su área.

8. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 28cm y 32cm. Resolver el triángulo y

calcular su área.

9. Un cateto de un triángulo mide 12cm y su hipotenusa 15cm. Resolver el triángulo y

calcular su área.

10. Un cateto de un triángulo tiene 11m y la hipotenusa mide un metro más que el otro

cateto, calcular el valor de estos dos últimos y el área del triángulo. Resp. 60cm y

61cm.

11. Para calcular el ancho de un río, se mide una distancia AB a lo largo de su orilla,

tomando con referencia que el punto A está directamente opuesto a un árbol C,

sobre el otro lado. Si se observa que el ángulo ABC es de 60º y la distancia AB de

15m, calcular el ancho del río.

12. El triángulo ABC es rectángulo, el segmento AB = √5 cm y los catetos AC y BC

miden xcm y (x+1)cm respectivamente. Determinar el valor de x.

13. Las diagonales de un rombo miden 12cm y 16cm. Calcular el perímetro del rombo.

14. La base de un triángulo isósceles mide 80cm y su altura es de 25cm. Resolver el

triángulo.

15. Si M es el punto medio de BC en el cuadrado ABCD de área = 4cm2. Determinar

los valores de: La diagonal trazado desde A y del segmento AM.

16. El perímetro de un trapecio isósceles es de 54cm. Calcular la altura, sabiendo que la

base mayor mide 20cm y es doble de la base menor.

17. Un observador se encuentra a una determinada distancia medida desde la base de

una colina; en ése instante el determina un ángulo de elevación de 30° con respecto

a la cima de la colina. Si camina l00m acercándose a la colina, el observador

determina que el ángulo ahora es de 45°. ¿Calcular la altura de la colina?

18. ¿Qué ángulo forma el diagonal de un cubo con la diagonal de una cara del mismo

cubo trazado desde el mismo vértice? Resp. 35°16”

19. Un barco navega 30 Km en la dirección N21°O, gira 90° hacia la izquierda y

recorre otros 40km. Encontrar su posición con respecto al punto de partida.

20. Desde un cierto punto sobre el plano del pie de una montaña, el ángulo de elevación

de la cima es de 45°, desde otro punto situado a 200m, más lejos que el punto

anterior, el ángulo de elevación es de 30°, ¿Cuál es la altura de la montaña?

Resp. 2732m

21. De manera simultánea dos observadores miden el ángulo de elevación de un

helicóptero. Uno mide 30° y el otro 60°. Si los observadores están separados una

distancia de 200m y el helicóptero está sobre la línea que los une. Calcular la altura

a la cual se encuentra el helicóptero.

5. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

5.1 DEFINICION

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sin2α como (sin α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas

5.2. IDENTIDADES EN FUNCION DE OTRAS

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

En términos de

5.3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS Y SUS INVERSAS:

5.3.1 RELACIONES FUNDAMENTALES DE IDENTIDADES

POR COCIENTE PITAGÓRICAS INVERSAS

tanθ=senθcosθ

cot θ=cosθsenθ

sen2θ+cos2θ=11+ tan2θ=sec2θ1+cot2θ=csc2θ

senθ=1cscθ

cosθ=1secθ

tanθ=1cot θ

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

5.4 EJERCICIOS RESUELTOS

1. ctgx−sec x csc x (1−2 sen2 x )=tgx1tgx

−sec x csc x (sen2+cos2 x−2 sen2 x )=tgx

1tgx

−sec x csc x (cos2 x−sen2 x )=tgx

1tgx

−cos2 x−sen2 xcos xsenx

=tgx

cos xsenx

−cos2 xcos xsenx

+ sen2 xsenx cos x

=tgx

cos xsenx

−cos xsenx

+ senxcos x

=tgx

senxcos x

=tgx

tgx=tgx

2.( tgx+tgx )sencos x=1

senxcos x

+cos xsenx

. senx cos x=1

sen2 x+cos2 xcos xsenx

. senx cos x=1

sen2 x+cos2 x=1

1=1

3.

seny1+cos y

=1−cos yseny

1csc y

1+cos y1

= 1−cos yseny

1csc y (1+cos y )

=1−cos yseny

csc2 y−ctg2 ycsc y (1+cos y )

=1−cos yseny

csc2 ycsc y (1+cos y )

− ctg2 ycsc y (1+cos y )

= 1−cos yseny

csc2 ycsc y (1+cos y )

− ctg2 ycsc y (1+cos y )

= 1−cos yseny

csc y(1+cos y )

−

cos2 ysen2 y1+cos yseny

=1−cos yseny

csc y1+cos y

−cos2 yseny (1+cos y )

=1−cos yseny

seny csc y−cos2 yseny (1+cos y )

=1−cos yseny

1−cos2 yseny (1+cos y )

=1−cos yseny

(1+cos y )(1−cos y )seny (1+cos y )

=1−cos yseny

1−cos yseny =

1−cos yseny

5.5 EJERCICIOS PROPUESTOS…FORO….TRABAJO EN GRUPO

INSERTAR ALGUNA IMAGEN….GABY…AHÍ BUSCALE ALGO CHEVERUCO……

RESOLVER LA SIGUIENTE MISCELANEA DE EJERCICIOS

EJERCICIOS DE APLICACIÓNDemostrar las siguientes identidades trigonométricas.

1. cosθ . tan θ=senθ

2. senθ .sec θ= tan θ

3. senθ .cot θ=cosθ

4. (1+tan 2θ)cos2θ=1

5. cot2θ−cos2θ=cot2θ . cos2θ

6. sec2θ+csc2θ=sec2θ. csc2θ

7. sen2θ+ tan2θ=sec2θ−cos2θ

8. ( tanθ+ tanB )(1−cot θ . cotB )+( cotθ+cotB )(1− tanθ . tanB )=0

9. ( xsenθ cosB)2+( xsenθ senB )2+( x cosθ )2=x2

10. sen2θ−cos2θ=1−2 cos2θ

11. sen3θ+cos3θ=(senθ+cosθ )(1−senθ cosθ )

12. sen6 θ+cos6θ=(1−2 cos2θ )(1−sen2θ cos2θ )

13. cos4θ−sen4θ+1=2 cos2θ

14.sen3θ+cos3θsenθ+cos θ

=1−senθcosθ

15.

sen θ1+cosθ

+1+cosθsenθ

=2cscθ

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100325171832AA7Ru2w

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas

Trigonometria de Granville

Si desean pueden agregar alguna otra bibliografía chicas….del CAN…jejejejej