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Ejercicios de la unidad 2

2.1 Un vector AP se gira θ grados sobre y se gira subsecuentemente φ grados

sobre .Proporcione la matriz de rotación que realice estas rotaciones en el orden dado.

2.2 Un vector AP se gira 30 grados sobre y subsecuentemente otros 45 grados

sobre .Proporcione la matriz de rotación que realice estas rotaciones en el orden dado.

2.3 Una trama {B} se encuentra inicialmente coincidente con una trama {A}.

Giramos {B} θ grados sobre y luego giramos la trama resultante φ grados sobre

. Proporcione la matriz de rotación que cambie las descripciones de los vectores de BP a AP.

2.4 Una trama {B} se encuentra inicialmente coincidente con una trama {A}.

Giramos {B} 30 grados sobre y luego giramos la trama resultante 45 grados

sobre . Proporcione la matriz de rotación que cambie la descripción de los vectores de BP a AP.

2.5 es una matriz de 3 x 3 con los valores propios 1, e+ai y e-ai; en donde

.

¿Cuál es el significado físico del vector propio de asociado con el valor propio 1?

2.6 ¿Bajo qué condición se conmutan dos matrices de rotación que representan rotaciones finitas? No se requiere una prueba.

2.7 Un vector de velocidad se da de la siguiente forma:

dada

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Calcule

2.8 {A} Y {B} son tramas que difieren sólo en su orientación. {B} se obtiene de la siguiente manera: empezando en forma coincidente con {A}, {B} se gira θ

radianes sobre el vector unitario , esto es,

= K(θ)

Muestre que

= e kθ

en donde

2.9 Otro conjunto familiar de tres coordenadas que puede utilizarse para describir un punto en el espacio son las coordenadas cilíndricas. Las tres coordenadas se definen como se muestra en la figura. La coordenada θ proporciona una dirección en el plano xy sobre el cual se realiza la traslación radialmente con base en una cantidad r. Finalmente se da z para especificar la altura sobre el plano xy. Calcule las coordenadas cartesianas del punto AP en términos de las coordenadas cilíndricas θ, r y z.

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2.10 Otro conjunto de tres coordenadas que puede usarse para describir un punto en el espacio son las coordenadas esféricas. Las tres coordenadas se definen según se muestra en la figura. Se puede considerar que los ángulos α y β describen el acimut y la elevación de un rayo que se proyecta en el espacio. La tercera coordenada (r) es la distancia radial sobre ese rayo hasta el punto que se está describiendo. Calcule las coordenadas cartesianas del punto AP en términos de las coordenadas esféricas α , β y r.

BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA DE LA UNIDAD 2

[1] B. Noble, Applied Linear Algebra, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1969.

[2] D. Ballard y C. Brown, Computer Vision, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1982.

[3] O. Bottema y B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland, Amsterdam, 1979.

[4] R.P. Paul, Robot Manipulators, MIT Press, Cambridge, MA, 1981.

[5] 1. Shames, Engineering Mechanics, 2a Edición, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1967.

[6] Symon, Mechanics, 3a Edición, Addison-Wesley, Reading, MA, 1971.

[7] B. Garla y M. Renaud, Robots Manipulateurs, Cepadues-Editions, Toulouse, 1984.