Στην διάταξη του σχήµατος (1) η οµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους L έχει στερεωθεί στις άκρες O1, O2 δύο κατακό ρυφων ιδανικών ελατηρίων του ίδιου φυσικού µήκους µε αντίστοιχες σταθερές k και 3k. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια και τότε κάθε ελα τήριο υποβαστάζει ένα τµήµα του βάρους της ράβδου. i) Να καθορίσετε τις θέσεις των σηµείων Ο1, Ο2, όταν είναι γνωστό ότι τα σηµεία αυτά είναι µέσα των αντίστοιχων τµηµάτων της ράβδου τα οποία υποβαστάζονται από τα δύο ελατήρια. ii) Με την βοήθεια µιας κατακόρυφης κρουστικής δύναµης που ενερ γεί στο µέσο Ο της ράβδου, δίνουµε σ΄ αυτήν ταχύτητα προς τα κάτω

µέτρου

�

gx0 , όπου

�

g η επιτάχυνση της βαρύτητας και x0 η συσπείρω

ση των δύο ελατηρίων από την φυσική τους κατάσταση, όταν η ράβ δος ισορροπεί. Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την ταχύ τητα µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της ράβδου και να δώσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. Η βαρυτική δυναµική ενέργεια της ράβδου µετράται µε επίπεδο αναφο ράς την θέση ισορροπίας της. iii) Να δείξετε ότι κάθε στιγµή η δυναµική ενέργεια ταλάντωσης Uταλ. της ράβδου και η δυναµική ενέργεια Uσυστ. του συστήµατος ράβδος-ελατήρια, συνδέονται µε την σχέση:

�

Uσυστ . = Uταλ . + 2kx02

ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι οι αποστάσεις x1, x2 των σηµείων σύνδεσης Ο1, Ο2

αντιστοίχως της ράβδου µε τις άκρες των δύο κατακόρυφων ελατηρίων, από το κέντρο µάζας Ο της ράβδου έχουν κατάλληλες τιµές που εξασφαλίζει την ισορ ροπία της σε οριζόντια θέση. Στην θέση αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της

�

w

και τις δυνάµεις

�

F 1,0 ,

�

F 2,0 από τα συµπιεσµένα ελατήρια σταθερών k και 3k αν

τιστοίχως. Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνισταµένη των ροπών των δυνάµεων αυτών περί το κεντρο µάζας Ο είναι µηδέν, δηλαδή ισχύει:

�

Στ (O) = 0

�

⇒

�

F1,0 A1O( ) - F2,0 A2O( ) = 0

�

⇒

kx

0x

1-3kx

0x

2=0

�

⇒ x1=3x

2 (1)

Aκόµη η ισορροπία της ράβδου εξασφαλίζει την σχέση:

F

1,0+ F

2,0= w

�

⇒ kx

0+ 3kx

0= w

�

⇒ x

0= w/4k (2)

Σχήµα 1 Το ελατήριο σταθεράς k (αριστερό ελατήριο) υποβαστάζει σύµφωνα µε το πρόβ ληµα τµήµα βάρους της ράβδου µήκους 2(Ο1Α1), δηλαδή θα ισχύει:

F

1,0= w

L2 Α

1Ο

1( )

�

⇒ kx

0= w

L2

L

2-x

1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�

⇒ kx

0= w

LL -2x

1( ) ⇒(2)

k

w

4k= w

LL -2x

1( )

�

⇒

1

4= 1 -

2x1

L

�

⇒ x

1= 3L

8 (3)

Συνδυάζοντας την (1) µε την (3) παίρνουµε:

3L

8=

3x2

8

�

⇒ x

2= L

8 (4)

ii) Επειδή η κατακόρυφη κρουστική δύναµη ενεργεί στο κέντρο µάζας της ράβδου, αυτή δεν περιστρέφεται περί το Ο αλλά εκτελεί µεταφορική κίνηση παραµένουσα συνεχώς οριζόντια. Εξετάζοντας την ράβδο κάποια τυχαία στιγµή που η αποµάκρυνσή της από την θέση ισορροπίας της είναι

�

x , παρατηρούµε ότι

Σχήµα 2 η ράβδος δέχεται το βάρος της

�

w και τις κατακόρυφες δύναµεις

�

F 1,

�

F 2 από τα

παραµορφωµένα ελατήρια. Αν δεχθούµε ως θετική φορά επί της κατακόρυφης

διεύθυνσης την προς τα κάτω, τότε η αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύνα µης επί της ράβδου είναι:

�

ΣF(x) = mg - F1 - F2 = mg - F1,0 + 3kx( ) - F2,0 + kx( )

�

⇒

�

ΣF(x) = mg - F1,0 - F2,0 - 4kx = -4kx (5) H σχέση (5) εγγυάται ότι η µεταφορική κίνηση της ράβδου είναι αρµονική ταλάντωση µε σταθερά ταλάντωσης 4k, που σηµαίνει ότι η γωνιακή συχνότητα ω της ράβδου θα ικανοποιεί την σχέση:

�

4k = mω2

�

⇒

�

4gk = mgω 2

�

⇒

�

4gk = 3kx0 + kx0( )ω 2

�

⇒

�

4gk = 4kx0ω2

�

⇒

�

ω = g/x0 (6) Επειδή κατά την έναρξη της ταλάντωσης της ράβδου (t=0) η αποµάκρυνσή της από την θέση ισορροπίας της είναι x=0 και η ταχύτητά της είναι θετική, η εξί σωση κίνησης της ράβδου έχει την µορφή:

�

x = Aηµωt (7)

Όµως το πλάτος Α της ταλάντωσης σχετίζεται µε την µέγιστη ταχύτητα

�

gx0 της ράβδου µέσω της σχέσεως:

�

gx0 = Aω

�

⇒(4)

�

gx0 = A g/x0

�

⇒

�

A = x0 οπότε η (7) γράφεται:

�

x = x0ηµg

x0

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (8)

Χωρίς να βλάπτει την γενικότητα δεχόµαστε ότι κάποια στιγµή t η ράβδος βρίσκεται κάτω από την θέση ισορροπίας της σε απόσταση x από αυτήν. Η βαρυ τική δυναµική ενέργεια UΒ της ράβδου την στιγµή αυτή είναι UB

= -mgx , η δε

µεταβολή της dUΒ µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt είναι:

dUB= -mgdx

�

⇒

dUB

dt= -mg

dx

dt

�

⇒

dUB

dt= -mgv (9)

όπου m η µάζα της ράβδου, v η αλγεβρική τιµή της ταχύτητάς της την στιγµή t και dUB/dt o ρυθµός µεταβολής ή η ταχύτητα µεταβολής της UΒ την στιγµή αυτή. Εξάλλου η εξίσωση της ταχύτητας της ράβδου έχει την µορφή:

�

v = x0ωσυνg

x0

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = x0

g

x0

συνg

x0

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

⇒

�

v = x0gσυνg

x0

t⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (10)

H (9) µε βάση την (10) γράφεται:

dUB

dt= -mg x

0gσυν g

x0

t⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ (11)

Σχήµα 3

To διάγραµµα της (11) είναι η συνηµιτονοειδής καµπύλη του σχήµατος (3). iii) Χωρίς πάλι να βλάπτεται η γενικότητα δεχόµαστε ότι την τυχαία στιγµή t η ράβδος βρίσκεται κάτω από την θέση ισορροπίας της σε απόσταση x από αυτήν. Η δυναµική ενέργεια Uσυστ. του συστήµατος ράβδος-ελατήρια είναι το άθροισµα της δυναµικής ενέργειας ελαστικής παραµόρφωσης των δύο ελατη ρίων και της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της ράβδου, δηλαδή θα έχουµε:

Uσυστ . =Uελατ .+UΒ = k

2x

0+x( )2 +

3k

2x

0+x( )2 -mgx ⇒

(2)

Uσυστ . =2k x

0+x( )2 - 4kx

0( ) x ⇒(8)

Uσυστ . =2k x

0+x

0ηµωt( )2-4kx

0x

0ηµωt

�

⇒

�

Uσυστ . = 2kx02 1+ ηµωt( )2

- 4kx02ηµωt

�

⇒

Uσυστ . =2kx

02 1+ηµ2ωt+2ηµωt-2ηµωt( )

�

⇒

�

Uσυστ . = 2kx02 + 2kx0

2ηµ 2ωt (12) Την ίδια στιγµή η δυναµική ενέργεια ταλάντωσης Uταλ. της ράβδου είναι:

�

Uταλ . =4k

2x2= 2kx0

2ηµ 2ωt (13)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (12) και (13) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση:

�

Uσυστ . = Uταλ . + 2kx02

P.M. fysikos

Δύο ελαστικές σφαίρες Σ1 και Σ

2 της ίδιας µάζας

είναι στερεωµένες στις άκρες λεπτού αλλά ανθεκτικού νήµατος, µή κους L. Kάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου, η σφαίρα Σ

1 αφήνεται ελεύθερη να κινηθεί προς τα κάτω και

λίγο πριν τεντωθεί το νήµα αφήνεται ελεύθερη και η άλλη σφαίρα Σ2.

i) Eάν ο χρόνος που µεσολαβεί λίγο πριν και αµέσως µετά το τέντωµα του νήµατος είναι πολύ µικρός και το τέντωµα του νήµατος ισοδυνα µεί µε ελαστική κρούση των σφαιρών, να βρεθεί η θέση στην οποία οι δύο σφαίρες θα συναντηθούν. ii) Nα βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου µάζας των δύο σφαιρών κατά την στιγµή της συνάντησής τους. iii) Σε πόσο χρόνο µετά την συνάντηση των δύο σφαιρών θα τεντώσει εκ νέου το νήµα και ποιές θα είναι οι ταχύτητες των σφαιρών λίγο πριν το τέντωµα; Δίνεται η επιτάχυνση

g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Λίγο πριν τεντώσει το νήµα η σφαίρα Σ1 έχει ταχύτητα

v

0 της οποί

ας το µέτρο είναι v

0= 2gL , διότι η σφαίρα προηγουµένως εκτελούσε ελεύθερη

πτώση. Κατά την διάρκεια του µικρού χρόνου που τεντώνεται το νήµα συµβαί νει ελαστική κεντρική κρούση των δύο σφαιρών, όπου αυτές ανταλλάσουν τις ταχύτητές τους αφού έχουν ίσες µάζες, δηλαδή η Σ1 ακινητοποιείται στιγµιαία ενώ η Σ2 την ίδια στιγµή αποκτά ταχύτητα

v

0 (σχ. 4). Στην συνέχεια η Σ1 εκτε

λεί ελεύθερη πτώση εκ της ηρεµίας, ενώ η Σ2 επίσης εκτελεί ελεύθερη πτώση µε αρχική ταχύτητα

v

0 µε αποτέλεσµα να συγκρουσθούν κεντρικά και ελαστι

κά σε µια θέση Ο που βρίσκεται κάτω από την Σ1 σε απόσταση x, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

L+x=v0t1+gt

12/2

x =gt12 / 2

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

(− )

L =v

0t1 ⇒ L=t

12gL ⇒ t1

= L /2g (1)

όπου t1 ο χρόνος που µεσολαβεί από το τέντωµα του νήµατος µέχρις ότου οι δύο σφαίρες συγκρουσθούν. Με βάση την (1) η απόσταση x είναι:

x =g L /2g( )2/2 ⇒

x =g L /2g( )/2=L / 4 (2)

ii) To κέντρο µάζας των δύο σφαιρών την στιγµή της συνάντησής τους βρισκεται στην θέση Ο και έχει ταχύτητα

V

C που θα προκύψει από το γεγονός

ότι η ορµή του συστήµατος των δύο σφαιρών είναι ίση µε την ορµή του κέντ

Σχήµα 4 ρου µάζας τους, αν σ΄ αυτό θεωρήσουµε συγκεντρωµένη την µάζα του συστή µατος. Έτσι θα έχουµε την σχέση:

m1+ m

2( ) VC= m

1

V

1+ m

2

V

2

2V

C= V

1+ V

2 (3)

όπου

V

1, V

2 οι ταχύτητες των σφαιρών Σ1, Σ2 αντιστοίχως, λίγο πριν την κρού

ση τους στην θέση Ο, οι οποίες ταχύτητες είναι συγραµµικές και οµόρροπες προς την

V

C. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων

V

1, V

2 ισχύουν οι σχέσεις:

V1= gt

1

V2= v

0+ gt

1

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

(1)

V1= g L/2g

V2= v

0+ g L/2g

⎫⎬⎪

⎭⎪

V1= gL/2

V2= 2gL + gL/2

⎫⎬⎪

⎭⎪ (4)

H (3) λόγω των (4) γράφεται:

2V

C= gL/2 + 2gL + gL/2

V

C= 2gL (5)

iii) Aµέσως µετά την κρούση των δύο σφαιρών αυτές έχουν ανταλλάξει τις ταχύτητές τους, δηλαδή έχουν ταχύτητες

′V1 και

′V2 των οποίων τα µέτρα

ικανοποιούν τις σχέσεις:

′V1= V

2

′V2= V

1

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

(4)

′V1= 2gL + gL/2

′V2= gL/2

⎫⎬⎪

⎭⎪ (6)

Oι σφαίρες στην συνέχεια θα εκτελέσουν ελεύθερη πτώση στην διάρκεια της οποίας η απόστασή τους µεγαλώνει, διότι είναι V′1>V′2 µε αποτέλεσµα κάποια στιγµή το νήµα να τεντώσει (σχ. 5). Εάν y είναι η απόσταση των δύο σφαιρών την στιγµή αυτήν θα έχουµε τις σχέσεις:

L+y= ′V1t2+gt

22/2

y = ′V1t2+gt

22/2

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

(− )

L = ′V

1- ′V

2( ) t2 ⇒

(6)

L = 2gL + gL/2 − gL/2( ) t2

t2= L / 2gL = L / 2g (7)

Σχήµα 5 όπου t2 ο χρόνος που µεσολαβεί απο την στιγµή της συνάντησης των δύο σφαι ρών µέχρις να τεντώσει εκ νέου το νήµα. Εάν

v

1, v

2 είναι οι ταχύτητες των

σφαιρών Σ1, Σ2 αντιστοίχως την χρoνική στιγµή t2, θα έχουµε τις σχέσεις:

v1= ′V

1+ gt

2= V

2+ gt

2

v2= ′V

2+ gt

2= V

1+ gt

2

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

(4),(7)

v1= 2gL + gL/2 + g L / 2g

v2= gL/2 + g L / 2g

⎫⎬⎪

⎭⎪

v1= 2 2gL

v2= 2gL

⎫⎬⎪

⎭⎪

P.M. fysikos

Mια οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R ηρεµεί πάνω σε µη λείο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή προσ κρούει σ’ αυτήν και ενσωµατατώνεται βληµα που κινείται οριζοντίως σε κατακόρυφο επίπεδο διερχόµενο από το κέντρο K της σφαίρας. Το

βλήµα έχει ορµή P και η µάζα του είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την

µάζα της σφαίρας. i) Nα βρείτε την απόσταση της τροχιάς του βλήµατος από το κέντρο της σφαίρας, ώστε αµέσως µετά την κρούση, που διαρκεί πολύ µικρό χρόνο, το σηµείο αυτό να αποτελεί στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της σφαίρας. ii) Να δείξετε ότι κάποια στιγµή η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας µηδενίζεται και στην συνέχεια αλλάζει η φορά περιστροφής της και ότι τελικά αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση. iii) Εάν στην διάρκεια κίνησης της σφαίρας η θερµότητα που ανα πτύσσεται αποτελεί το 40/49� της ενέργειάς της αµέσως µετά την κρούση, να βρεθεί η τελική ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=2mR2/5 της σφαίρας ως προς άξονα διερ χόµενο από το κέντρο της και η επιτάχυνση

�

g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt εισχώρησης του βλήµατος στην σφαίρα η οριζόντια κρουστική δύναµη που ασκεί το βλήµα στην σφαίρα την θέτει σε κίνηση, η οποία παρουσιάζει µεταφορική συνιστώσα προς την κατεύ

θυνση της ορµής P του βλήµατος, αλλά και περιστροφική συνιστώσα που

οφείλεται στην ροπή της κρουστικής δύναµης περί το κέντρο K της σφαίρας. Επειδή σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος το ανώτερο σηµείο Α της σφαίρας αποτελεί στιγµιαίο κέντρο περιστροφής αυτής, η ταχύτητα του αµέσως µετά την κρούση είναι µηδενική που σηµαίνει ότι η µεταφορική του ταχύτητα

�

v 0 (ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας) είναι αντίθετη της περιστροφικής του ταχύτητας

�

v π (σχ. 6). Για να συµβαίνει αυτό πρέπει η περιστροφή της σφαίρας

να είναι αριστερόστροφη και επιπλέον να ισχύει η σχέση v0=Rω0, όπου

�

ω 0 η

γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση. Εξάλλου στην διάρ κεια του χρόνου Δt η τριβή ολίσθησης

�

T που δέχεται η σφαίρα από το οριζόν

τιο έδαφος ελάχιστα µεταβάλλει τόσο την ορµή του συστήµατος σφαίρα-βλήµα όσο και την στροφορµή του περί το κέντρο K της σφαίρας, (η τριβή δεν είναι ωστική αλλά πεπερασµένη δύναµη), δηλάδη κατά την πλαστική κρούση του βήµατος µε την σφαίρα η ορµή του συστήµατος και η στροφορµή του περί το K δεν µεταβάλλονται και επόµένως µπορούµε να γράψουµε τις σχέσεις:

�

Pλιγο πριν =Pαµεσως µετα

L λιγο πριν(K) = Lαµεσως µετα

(K)

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

P +0 = m+mβ( )v0

L β(K)+0 = Iω0 +mβ xv0 +r2ω 0( )

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ (1)

Σχήµα 6 όπου x η απόσταση της τροχιάς του βλήµατος από το κέντρο K της σφαίρας πριν την κρούση, mβ η µάζα του βλήµατος και r η απόστασή του από το K όταν ενσωµατωθεί στην σφαίρα. Eπειδή mβ<<m η πρώτη εκ των σχέσων (1) µε καλή προσέγγιση γράφεται:

�

P ≈ mv0

�

⇒

�

v0 ≈P /m (2) Εξάλλου ισχύει ω0=v0/R και

�

L β(K)=P x οπότε η δεύτερη εκ των (1) γράφεται:

�

Px =2mRv0

5+mβv0 x +

r2

R

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

�

⇒mβ << m

�

Px ≈2mRv0

5

�

⇒(2)

�

Px ≈2mRP

5m

�

⇒

�

x ≈2R

5 (3)

Σχήµα 7 ii) Eξετάζοντας το σύστηµα σφαίρα-βλήµα µετά την κρουση, παρατηρούµε ότι σε πρώτο στάδιο η τριβή ολίσθησης

�

T επιβραδύνει τόσο την µεταφορική όσο

και περιστροφική συνιστώσα της κίνησής της σφαίρας, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας της και τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης για την περιστροφή της περί το K θα έχουµε τις σχέσεις:

�

T= ma

TR = I ′ ω ⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

nmg = ma

nmgR = 2mR2 ′ ω / 5⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

a = ng

′ ω = 5ng/2R

⎫ ⎬ ⎭ (4)

όπου n o συντελεστης τριβής ολίσθησης µεταξύ σφαίρας και εδάφους,

�

a η

σταθερή επιβράδυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας και

�

′ ω η επίσης σταθερή

γωνιακή της επιβράδυνση. Εάν

�

v είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας µετά

από χρόνο t αφότου εκκίνησε η σφαίρα και

�

ω η αντίστοιχη γωνιακή της

ταχύτητα, θα έχουµε τις σχέσεις:

�

v = v0 -at

ω =ω 0 - ′ ω t⎫ ⎬ ⎭

�

⇒(4)

�

v = v0 -ngt

ω =ω 0 -5ngt/ 2R

⎫ ⎬ ⎭ (5)

Από τις (5) προκύπτει ότι οι χρόνοι µηδενισµού tv και tω των

�

v και

�

ω αντι

στοίχως ικανοποιούν τις σχέσεις:

�

0 = v0 -ngtv

0 =ω 0 -5ngtω / 2R

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

tv = v0/ng

tω = 2ω 0R/5ng

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

tv = v0/ng

tω = 2v0/5ng

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

tv > tω

δηλαδή την χρονική στιγµή tω θα µηδενιστεί η γωνιακή ταχύτητα της σφαί ρας, ενώ θα συνεχίσει να επιβραδύνεται το κέντρο µάζας της µε την τριβή να διατηρεί την φορά και το µέτρο της, αλλά τώρα η ροπή της περί το K θα δηµιουργεί δεξιόστροφη περιστροφή της σφαίρας µε αποτέλεσµα η γωνιακή της ταχύτητα να αλλάζει φορά το δε µέτρο της θα αυξάνεται εκ του µηδενός. Κάποια στιγµή t* τα µέτρα των

�

v και

�

ω θα λάβουν τέτοιες τιµες v* και ω*

αντιστοίχως που θα ικανοποιούν την σχέση v*=Rω* , οπότε το σηµείο επαφής της σφαίρας µε το άδαφος θα αποκτήσει µηδενική ταχύτητα και η σφαίρα θα κυλίεται ισοταχώς χωρίς ολίσθηση η δε τριβή θα µηδενιστεί (σχ. 7). iii) Aµέσως µετά την κρούση η κινητική ενέργεια K0 του συστήµατος σφαί ρα–βλήµα είναι περίπου ίση µε την κινητική ενέργεια της σφαίρας, δηλαδή ισχύει:

�

K 0 =mv0

2

2+

Iω02

2

�

⇒

�

K 0 =mv0

2

2+

mR2ω 02

5=

7mv02

10 (6)

Όταν η σφαίρα βρεθεί σε κατασταση ισοταχούς κύλισης χωρίς ολίσθηση η κινητική ενέργεια

�

K * του σύστήµατος θα είναι:

�

K *=mv*

2

2+

Iω*2

2

�

⇒

�

K *=mv*

2

2+

mR2ω*2

5=

7mv*2

10 (7)

Η θερµότητα Q που παράγεται λόγω της τριβής ολίσθησης από την στιγµή t=0 µέχρι την στιγµή t=t* είναι

�

K 0 -

�

K * και σύµφωνα µε τα δεδοµένα δε του προβλήµατος θα έχουµε:

�

K 0 -

�

K * = 40

�

K 0 /49

�

⇒

�

K * = 9

�

K 0 /49

�

⇒(6),(7)

7mv*2

10=

9

49

7mv02

10

�

⇒ v*=

3

7v

0

Παρατήρηση: To δεδοµένο ότι η θερµότητα που αναπτύσσεται από την στιγµή t=0 έως την στιγµή t* αποτελεί τα 40/49 της κινητικής ένέργειας της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση δεν είναι ένα τυχαίο δεδοµένο, αλλά προκύπτει από λεπτοµερή υπολογισµό, ο οποίος όµως σκόπιµα παραλείφθηκε για να µη πλατειάσει η λύ ση. Ο δύσπιστος αναγνώστης µπορεί να επιχειρήσει απόδειξη της σχέσεως Q=40K0 /49.

P.M. fysikos

H διάταξη του σχήµατος (8) αποτελείται από οµο γενή ράβδο OA µήκους L και µάζας m που µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα διερχόµενο από το άκρο της Ο και από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k που έχει το φυσικό του µήκος, όταν η ράβδος κρατείται οριζόντια. Το ένα άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο στο κέντρο µάζας C της ράβδου, ενώ το άλλο του άκρο είναι συνδεδεµένο µε κυλινδρικό οδηγό Μ που έχει την δυνατότητα να κυλίεται ελεύ θερα σε οριζόντια επιφάνεια και έτσι το ελατήριο παραµένει συνεχώς κατακόρυφο όταν η ράβδος περιστρέφεται. Κάποια στιγµή η ράβδος ελευθερώνεται από την οριζόντια θέση και αρχίζει να στρέφεται περί µε το άκρο της Ο. i) Να εκφάσετε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση. ii) Να βρείτε σε ποια θέση η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου γίνεται µέγιστη και να προσδιορίσετε την µέγιστη αυτή τιµή. iii) Να βρείτε την µέγιστη εκτροπή της ράβδου από την αρχική της θέση, καθώς και την αντίστοιχη γωνιακή της επιτάχυνση. Ποια είναι συνθήκη για να έχει λύση το πρόβληµα. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mL2/3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της και η επιτάχυνση

�

g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Στην διάρκεια της περιστροφής της ράβδου η µηχανική ενέργεια του συστήµατος ράβδος-ελατήριο δεν µεταβάλλεται, που σηµαίνει ότι η µηχανική του ενέργεια την στιγµή t=0 που η ράβδος αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση είναι ίση µε την µηχανική του ενέργεια την στιγµή που η ράβδος βρίσκεται υπό κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση. Μπο ρούµε εποµένως να γράψουµε την σχέση

K(0) + U(0) = K(ϕ) + U(ϕ) ⇒ 0 + 0 = Iω2

2-mgΔy + kΔy2

2 ⇒

0 = mL2ω2

6-mg

L

2ηµϕ + k

2

L

2ηµϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

⇒

mL2ω2

6= mgLηµϕ

2-kL2ηµ2ϕ

8 ⇒

4mL2ω2 = 12mgL-3kL2ηµϕ( ) ηµϕ ⇒

Σχήµα 8

ω2 = 3

4mL4mg -kLηµϕ( ) ηµϕ ⇒

ω = 3k

4m

4mg

kL-ηµϕ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ηµϕ (1)

όπου

ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου την στιγµή που εξετά

ζουµε το σύστηµα και Δy η αντίστοιχη επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση, ίση µε Lηµφ/2. ii) Από την (1) προκύπτει ότι η γωνιακή ταχύτητα γίνεται µέγιστη όταν η

µεταβλητή ποσότητα f(ϕ) = 4mg/kL-ηµϕ( ) ηµϕ γίνει µέγιστη. Όµως παρα

τηρούµε ότι το άθροισµα των όρων 4mg/kL-ηµφ και ηµφ είναι σταθερό και ίσο µε 4mg/kL, που σηµαίνει ότι η ποσότητα f(φ) αποβαίνει µέγιστη όταν οι δύο όροι γίνουν ίσοι, δηλαδή όταν η γωνία κλίσεως της ράβδου ως προς την οριζόντια διεύθυνση λάβει τιµή φ* που ικανοποιεί την σχέση:

4mg

kL-ηµϕ* = ηµϕ* ⇒

ηµϕ* = 2mg

kL (2)

Tότε η µέγιστη τιµή της γωνιακής ταχύητητα της ράβδου θα είναι:

ω

max= 3k

4m

4mg

kL-ηµϕ*

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ηµϕ* ⇒

(2)

ω

max= 3k

4m

4mg

kL-2mg

kL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2mg

kL= 3k

4m

2mg

kL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2mg

kL ⇒

ω

max= 2mg

kL

3k

4m (3)

iii) H γωνιακή εκτροπή της ράβδου από την αρχική της θέση θα λάβει την µεγαλύτερη τιµή της φmax την στιγµή που µηδενίζεται η γωνιακή της ταχύτητα, οπότε η (1) στην περιπτωση αυτή παίρνει την µορφή:

3k

4m

4mg

kL-ηµϕ

max

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ηµϕ

max= 0 ⇒

4mg

kL-ηµϕ

max= 0 ⇒

ηµϕ

max= 4mg

kL (4)

Oι σχέσεις (2) και (4) είναι αποδεκτές εφ’ όσον ισχύουν:

ηµϕ* ≤ 1

ηµϕmax

≤ 1

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

2mg / kL ≤ 1

4mg / kL ≤ 1

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

2mg/L ≤ k

4mg / L≤ k

⎫⎬⎪

⎭⎪

oι οποίες συναληθεύουν όταν k≥4mg/L. Εξάλλου εφαρµόζονας την στιγµή της µέγιστης εκτροπής της ράβδου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε την σχέση:

Στ

(ο)= Ι ′ω ⇒

w L

2ηµϕ

max-Fελ

L

2ηµϕ

max= mL2

3′ω ⇒

Lηµϕmax

2mg -

kL

2ηµϕ

max

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= mL2

3′ω ⇒

(4)

L

2

4mg

kLmg -

kL

2

4mg

kL

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= mL2

3′ω ⇒

2mg

kmg -2mg( ) = mL2

3′ω ⇒

′ω = -

6mg2

kL2 (5)

To αρνητικό πρόσηµο στην (6) δηλώνει ότι η γωνιακή επιτάχυνση ′

ω της

ράβδου στην θέση της µέγιστης γωνιακής της εκτροπής είναι αντίθετη εκείνης που καθορίζει η αριστερόστροφη φορά, την οποία αυθαίρετα δεχθήκαµε ως θετική.

P.M. fysikos

Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε σώµα µάζας M, το οποίο είναι ακίνητο και στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο σε ακλόνητο τοίχωµα. Nα βρείτε κάτω από ποιές συνθήκες είναι δυνατή µία ακόµη οριακή σύγκρουση των µαζών m και Μ και να αποδείξετε ότι η οριακή αυτή σύγκρο ση θα συµβεί ύστερα από χρόνο t* µετά την αρχική σύγκρουση, που είναι ρίζα της εξίσωσης:

�

k

Mt* = εϕ

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

ΛΥΣΗ: Εάν

�

V 1,

�

V 2 είναι οι ταχύτητες των µαζών m και Μ αντιστοίχως αµέ

σως µετά την µετωπική και ελαστική τους κρούση και

�

v 0 η ταχύτητα της µά

ζας m πριν την κρούση, τότε για τις αλγεβρικές τιµές των

�

V 1,

�

V 2 και µε θετι

κή φορά την φορά της

�

v 0 θα ισχύουν οι σχέσεις:

Σχήµα 9

�

V1 =(m - M)v0

m + M και

�

V2 =2mv0

m + M (1)

Το σφαιρίδιο µετά την κρούση θα κινείται επί του λείου οριζόντιου δαπέδου µε σταθερή ταχύτητα

�

v 1= V 1 και η εξίσωση κίνησής του θα έχει την µορφή:

�

x1 = v1t = V1t (2) όπου

�

x 1 η αποµάκρυνσή του (διάνυσµα θέσεως) από το σηµείο σύγκρουσης Ο

την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Εξάλλου το σώµα µετά την κρούση θα

εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε γωνιακή συχνότητα

�

ω= k/M, η δε εξίσωση κίνησής του θα έχει την µορφή:

�

x2 = x0ηµωt = x0ηµ k/Mt( ) (3)

που

�

x 2 η αποµάκρυνσή του από το Ο την χρονική στιγµή t, ενώ το πλάτος

ταλάντωσής του x0 ικανοποιεί την σχέση:

�

MV22

2=

kx02

2

�

⇒

�

x0 = V2

M

k (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

x2 = V2

M

kηµ

k

Mt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (5)

Mπορούµε να διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις:

Σχήµα 10 α. Ισχύει m>M. Τότε V1>0 που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο θα κινείται ευθύς µετά την κρούση κατά την θετική φορά, δηλαδή οµόρροπα προς το σώµα και είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει χρονική στιγµή t* κατά την οποία θα συµβεί και δεύτερη µετωπική σύγκρουση των µαζών m και Μ (σηµείο α στο σχήµα 10). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή δεν µας ενδιαφέρει, αφού δεν πρόκειται για οριακή αλλά για ασφαλή σύγκρουση των δύο µαζών. β. Ισχύει m<M. Τότε V1<0, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο µετά την κρούση θα κινείται κατά την αρνητική φορά, δηλαδή αντίρροπα προς το σώµα. Θα εξετά σουµε αν είναι δυνατή στην περίπτωση αυτή η οριακή σύγκρουση των δύο µαζών, δηλαδή θα αναζητήσουµε αν υπάρχει χρονική στιγµή t* για την οποία οι δύο µάζες m και Μ µόλις έρχονται σε επαφή έχοντας ίσες ταχύτητες (σηµείο β στο σχήµα 10), οπότε για t>t* το σφαιρίδιο θα συνεχίσει κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα

�

V 1 αποµακρυνόµενο από το σώµα, του οποίου η ταχύτητα θα µειώνε

ται. Για να συµβεί αυτό πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις:

�

x1(t*) = x2(t*)

v1(t*) = v2(t*)

⎫ ⎬ ⎭ (6)

H πρώτη από τις σχέσεις (6) µε βάση τις (2) και (5) γράφεται:

�

V1t* = V2

M

kηµ

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

⇒

�

V1

V2

k

Mt* = ηµ

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (7)

H δεύτερη από τις σχέσεις (6) γράφεται:

�

V1 = V2

M

k

k

Mσυν

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

⇒

�

V1

V2

= συνk

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (8)

Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση:

�

k

Mt* = εϕ

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (9)

Παρατήρηση: H σχέση (9) αποτελεί µια υπερβατική εξίσωση η οποία δεν µπορεί να λυθεί ανα λυτικά µε αλγεβρική µέθοδο, µπορεί όµως να λυθεί προσεγγιστικά µε γραφική µέθοδο, δηλαδή µε την βοήθεια των διαγραµµάτων των συναρτήσεων x1(t)=V1t

και x2(t)=(V2/ω)ηµωt. Αν λοιπόν υπολογισθεί γραφικά η ποσότητα

�

k/Mt* µε την βοήθεια της χρονικής συντεταγµένης t* του σηµείου επαφής β των δύο διαγραµµάτων, τότε από την σχέση (8) και µε βάση τις σχέσεις (1) θα έχουµε:

�

m - M

2m= συν

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

�

⇒

�

M

2m=

1

2- συν

k

Mt*

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (10)

Η (10) αποτελεί την απαραίτητη συνθήκη για να συµβεί µια οριακή σύγκρουση των µαζών m και Μ µετά την αρχική τους σύγκρουση.

P.M. fysikos