A.1.1 Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη φυσικών –...

ΦΦυυσσιικκοοίί ααρριιθθμμοοίί

ΠΠ αα ρρ αα ττ ηη ρρ ήή σσ εε ιι ςςΚάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο αριθμό.Κάθε φυσικός αριθμός (εκτός από το 0) έχει έναν προηγούμενο φυσικό αριθ-μό.Ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς δεν υπάρχει άλλος φυσικόςαριθμός.Αφού κάθε φυσικός αριθμός έχει έναν επόμενο, οι φυσικοί αριθμοί μπορούννα συνεχίζονται ατελείωτα και, όπως λέμε, είναι άάππεειιρροοιι.Oι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε: αα)) άρτιους ή περιττούς, ββ)) μονοψήφιους (έχουν ένα ψηφίο), διψήφιους (έχουν δύο ψηφία), τριψήφιους(έχουν τρία ψηφία) κτλ.

ΔΔεεκκααδδιικκόό σσύύσσττηημμαα ααρρίίθθμμηησσηηςς

Για να γράψουμε ένα φυσικό αριθμό, χρησιμοποιούμε τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9. O τρόπος με τον οποίο διαβάζουμε, συμβολίζουμε και ονομάζουμε ένα φυ-σικό αριθμό μάς δίνει το δδεεκκααδδιικκόό σσύύσσττηημμαα ααρρίίθθμμηησσηηςς.

5

4

3

2

1

OÚÈÛÌfi˜

ΦΦυυσσιικκοοίί ααρριιθθμμοοίί –– ΔΔιιάάττααξξηη φφυυσσιικκώώνν –– ΣΣττρροογγγγυυλλοοπποοίίηησσηη 11

AA..11..11ΦΦυυσσιικκοοίί ααρριιθθμμοοίί –– ΔΔιιάάττααξξηη φφυυσσιικκώώνν –– ΣΣττρροογγγγυυλλοοπποοίίηησσηη

11.. ΦΦυυσσιικκοοίί ααρριιθθμμοοίί λέγονται οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, ... και συμβολίζονται με το γράμ-μα ΝΝ (το οποίο είναι το αρχικό γράμμα της λέξης Nature, που σημαίνει φύση),δηλαδή ΝΝ = {0, 1, 2, 3, ...}.

22.. ΆΆρρττιιοοςς (ή ζζυυγγόόςς) λέγεται κάθε φυσικός αριθμός που τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8.33.. ΠΠεερριιττττόόςς (ή μμοοννόόςς) λέγεται κάθε φυσικός αριθμός που τελειώνει σε 1, 3, 5,

7, 9.

kefalaio 1.1.qxp 17/5/10 16:52 1

Για να ονομάσουμε ένα φυσικό αριθμό, ακολουθούμε τα εξής βήματα:Χωρίζουμε το φυσικό αριθμό από δεξιά ανά τρία ψηφία.Έτσι, η πρώτη (από δεξιά) τριάδα αποτελεί τις μονάδες, η δεύτερη τις χιλιά-δες, η τρίτη τα εκατομμύρια, η τέταρτη τα δισεκατομμύρια κτλ.Για να διαβάσουμε το δοσμένο αριθμό, παίρνουμε κάθε τριάδα από αριστε-ρά προς τα δεξιά και ανάλογα με τη θέση της ενώνουμε το ανάλογο συνθε-τικό.

ΠΠ αα ρρ άά δδ εε ιι γγ μμ ααO αριθμός 1.345.405 διαβάζεται 1 εκατομμύριο 345 χιλιάδες και 405 μονάδες.Επιπλέον, το πρώτο από δεξιά ψηφίο καλείται ψψηηφφίίοο ττωωνν μμοοννάάδδωωνν, το δεύτερο ψψηη--φφίίοο ττωωνν δδεεκκάάδδωωνν, το τρίτο ψψηηφφίίοο ττωωνν εεκκααττοοννττάάδδωωνν, το τέταρτο ψψηηφφίίοο ττωωνν χχιιλλιιάάδδωωνν,το πέμπτο ψψηηφφίίοο ττωωνν δδεεκκάάδδωωνν χχιιλλιιάάδδωωνν, το έκτο ψψηηφφίίοο ττωωνν εεκκααττοοννττάάδδωωνν χχιιλλιιάάδδωωνν,το έβδομο ψψηηφφίίοο ττωωνν εεκκααττοομμμμυυρρίίωωνν κτλ. Σχηματικά έχουμε:

Oι αριθμοί αυτοί διαβάζονται: 1.087.546 → ένα εκατομμύριο ογδόντα επτά χιλιάδες

πεντακόσιες σαράντα έξι μονάδες1.037.450.098 → ένα δισεκατομμύριο τριάντα επτά εκατομμύρια

τετρακόσιες πενήντα χιλιάδες και ενενήντα οκτώ μονάδες

ΔΔιισσεεκκααττοομμμμύύρριιαα EEκκααττοομμμμύύρριιαα XXιιλλιιάάδδεεςς MMοοννάάδδεεςς

δ δ δ

ε ι ι ι

κ σ σ σ ε ε ε ε ε ε

α ε ε ε κ κ κ κ κ χ χ χ κ

τ κ δ κ κ α α δ α α α ι δ ι ι α δ μ

ο α ε α α τ τ ε τ τ τ λ ε λ λ τ ε ο

ν τ κ τ τ ο ο κ ο ο ο ι κ ι ι ο κ ν

τ ο ά ο ο ν μ ά μ μ ν ά ά ά ά ν ά ά

ά μ δ μ μ τ μ δ μ μ τ δ δ δ δ τ δ δ

δ μ ε μ μ ά ύ ε ύ ύ ά ε ε ε ε ά ε ε

ε ύ ς ύ ύ δ ρ ς ρ ρ δ ς ς ς ς δ ς ς

ς ρ ρ ρ ε ι ι ι ε ε

ι ι ι ς α α α ς ς

α α α

1 0 8 7 5 4 6

1 0 3 7 4 5 0 0 9 8

OOιι φφυυσσιικκοοίί ααρριιθθμμοοίί12

kefalaio 1.1.qxp 17/5/10 16:52 Page 12

ΔΔιιάάττααξξηη φφυυσσιικκώώνν ααρριιθθμμώώνν

Για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς, χρησιμοποιούμε τα σύμβολα:το ίσον ( = ) για ίσους αριθμούς,το διάφορο ( � ) για άνισους αριθμούς,το μεγαλύτερο από ( > ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μεγαλύτερος,το μικρότερο από ( < ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μικρότερος,το μεγαλύτερο ή ίσο από ( ≥ ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μεγαλύτερος ή

ίσος,το μικρότερο ή ίσο από ( ≤ ) όταν ο αριθμός αριστερά είναι μικρότερος ή ίσος.

ΠΠ αα ρρ αα δδ εε ίί γγ μμ αα ττ αα5 = 5, 10 � 5, 6 < 7, 8 > 4, 4 ≤ 4, 5 ≥ 5, 6 ≥ 5, 8 ≤ 10.

KK αα νν όό νν αα ςς σσ ύύ γγ κκ ρρ ιι σσ ηη ςςΓια να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς, αρχικά μετράμε τα ψηφία τους.➢ Αν κάποιος έχει περισσότερα ψηφία, είναι ο μεγαλύτερος.➢ Αν έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, τότε συγκρίνουμε τα ψηφία της μεγαλύτερης

τάξης (τα πρώτα από αριστερά). Αν κάποιο είναι μεγαλύτερο, τότε ο αριθμόςστον οποίο βρίσκεται είναι ο μεγαλύτερος. Αν είναι ίσα, συνεχίζουμε την ίδια δια-δικασία με το δεύτερο από αριστερά ψηφίο κτλ.

ΠΠ αα ρρ αα δδ εε ίί γγ μμ αα ττ αα56 < 123, 3.405 > 3.298, 9.997 > 9.996.

Το γεγονός ότι μπορούμε να συγκρίνουμε τους φυσικούς αριθμούς μάς δίνει τηδυνατότητα να τους διατάξουμε (να τους βάλουμε στη σειρά) από το μικρότεροπρος το μεγαλύτερο, δηλαδή 0 < 1 < 2< 3 < … Επιπλέον, μας δίνεται η δυνα-τότητα να τους παραστήσουμε πάνω σεμια ευθεία γραμμή. Θεωρούμε μια ευθείακαι επιλέγουμε ένα σημείο O πάνω σε αυτήν και ένα σημείο Α δεξιά του, το οποίοεκφράζει το 1. Τότε, με μονάδα μέτρησης το OΑ βρίσκουμε τους επόμενους φυ-σικούς αριθμούς.

H γραμμή αυτή λέγεται ηημμιιάάξξοοννααςς των αριθμών και το O λέγεται ααρρχχήή ττοουυ ηημμιιάά--ξξοονναα.

OÚÈÛÌfi˜

0 1 2 3

O A

4 5 6


ΣΣύύγγκκρριισσηη δδύύοο ααρριιθθμμώώνν είναι η διαδικασία που μας δείχνει αν οι αριθμοί είναι ίσοιή ποιος από τους δύο είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος).


ΣΣττρροογγγγυυλλοοπποοίίηησσηη

ΚΚααννόόννααςς σσττρροογγγγυυλλοοπποοίίηησσηηςς11.. Αν το ψηφίο της επόμενης τάξης προς τα δεξιά είναι 0, 1, 2, 3, 4 (μικρότερο του

5), αφήνουμε τον αριθμό όπως είναι μέχρι το ψηφίο που κάνουμε στρογγυλο-ποίηση και βάζουμε τα υπόλοιπα ψηφία προς τα δεξιά ίσα με μηδέν.

22.. Αν το ψηφίο της επόμενης τάξης προς τα δεξιά είναι 5, 6, 7, 8, 9 (μεγαλύτεροή ίσο του 5), αυξάνουμε κατά μία μονάδα το ψηφίο της τάξης που γίνεται ηστρογγυλοποίηση και βάζουμε τα υπόλοιπα ψηφία προς τα δεξιά ίσα με μηδέν.

ΠΠ αα ρρ αα ττ ηη ρρ ήή σσ εε ιι ςςΣτρογγυλοποίηση μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε ψηφίο του αριθμού, ανα-φέροντας πάντα την τάξη στην οποία γίνεται. Έτσι, μιλούμε για στρογγυλο-ποίηση στη μονάδα, στη δεκάδα, στην εκατοντάδα κτλ. Είναι απαραίτητο ναγνωρίζουμε το ψηφίο στρογγυλοποίησης!!! Tο σύμβολο � διαβάζεται ««ππεερρίίπποουυ ίίσσοο μμεε»» και συχνά χρησιμοποιείται στηστρογγυλοποίηση.

ΑΑ ΜΜOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΦΥΣΙΚOΙ ΑΡΙΘΜOΙ

ΝΝαα οοννοομμάάσσεεττεε ττοουυςς φφυυσσιικκοούύςς ααρριιθθμμοούύςς:: 77..223344,, 3344..000066,, 22..330044..779988..

ΛΛ YY ΣΣ HH7.234 → επτά χιλιάδες και διακόσιες τριάντα τέσσερις μονάδες ή

επτά χιλιάδες διακόσια τριάντα τέσσερα34.006 → τριάντα τέσσερις χιλιάδες και έξι μονάδες ή

τριάντα τέσσερις χιλιάδες έξι2.304.798 → δύο εκατομμύρια τριακόσιες τέσσερις χιλιάδες και επτακόσιες

ενενήντα οκτώ μονάδες ήδύο εκατομμύρια τριακόσιες τέσσερις χιλιάδες επτακόσια ενε-νήντα οκτώ.

11

2

1

OÚÈÛÌfi˜


ΣΣττρροογγγγυυλλοοπποοίίηησσηη είναι η διαδικασία με την οποία αντικαθιστούμε τον αριθμό μεμια προσέγγισή του, δηλαδή μικραίνουμε ή μεγαλώνουμε τον αριθμό ώστε ναγίνει πιο εύχρηστος.


ΝΝαα γγρράάψψεεττεε ττοουυςς αακκόόλλοουυθθοουυςς ααρριιθθμμοούύςς:: αα)) ττεεττρραακκόόσσιιαα εεξξήήνντταα οοκκττώώ,, ββ)) δδύύοο χχιιλλιιάάδδεεςς κκααιι εεππττάά,, γγ)) ττρρίίαα εεκκααττοομμμμύύρριιαα κκααιι δδιιαακκόόσσιιαα ππεεννήήνντταα..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) 468, ββ)) 2.007, γγ)) 3.000.250.

ΝΝαα ββρρεείίττεε ττηηνν ττάάξξηη ττοουυ υυπποογγρρααμμμμιισσμμέέννοουυ ψψηηφφίίοουυ σσττοουυςς ππααρραακκάάττωω φφυυσσιικκοούύςς

ααρριιθθμμοούύςς:: αα)) 223344,, ββ)) 66..778833,, γγ)) 9922..008811,, δδ)) 770099..993344,, εε)) 11..223344..556677..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) Δεκάδες, ββ)) χιλιάδες, γγ)) μονάδες, δδ)) δεκάδες χιλιάδες, εε)) εκατοντάδες.

ΑΑνν σσήήμμεερραα εείίννααιι ΔΔεευυττέέρραα,, ττιι μμέέρραα θθαα εείίννααιι μμεεττάά ααππόό 1177 μμέέρρεεςς;;

ΛΛ YY ΣΣ HHΑφού 17 = 14 + 3, οι 17 μέρες είναι δύοεβδομάδες και 3 μέρες, άρα θα έχουμε Πέ-μπτη.

ΠΠόόσσεεςς εείίννααιι οοιι σσεελλίίδδεεςς εεννόόςς ββιιββλλίίοουυ ααννάάμμεε--σσαα σσττηη σσεελλίίδδαα 3355 κκααιι σσττηη σσεελλίίδδαα 4411;;

ΛΛ YY ΣΣ HH41 – 35 – 1 = 5 (οι 36, 37, 38, 39, 40).

ΠΠόόσσεεςς εείίννααιι οοιι σσεελλίίδδεεςς εεννόόςς κκεεφφααλλααίίοουυ πποουυααρρχχίίζζεειι σσττηη σσεελλίίδδαα 3355 κκααιι ττεελλεειιώώννεειι σσττηη σσεε--λλίίδδαα 6611;;

ΛΛ YY ΣΣ HH61 – 35 + 1 = 27 (οι 35, 36, 37, …, 60, 61).

ΒΒ´ MMOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΣΥΓΚΡΙΣΗ KAI ΔΙΑΤΑΞΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

αα)) ΝΝαα ββάάλλεεττεε σσεε ααύύξξοουυσσαα σσεειιρράά ττοουυςς ααρριιθθμμοούύςς:: 334455,, 334444,, 5566,, 110022,, 6677,, 223399..ββ)) ΝΝαα ββάάλλεεττεε σσεε φφθθίίννοουυσσαα σσεειιρράά ττοουυςς ααρριιθθμμοούύςς:: 6677,, 112255,, 112200,, 115522,, 7766,, 110022..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) 56 < 67 < 102 < 239 < 344 < 345.ββ)) 152 > 125 > 120 > 102 > 76 > 67.

77

66

55

44

33

22


Κάθε 7 μέρες (1 εβδομάδα)έχουμε την ίδια μέρα.

Oι φυσικοί αριθμοίανάμεσα στο α και στο βείναι: β – α – 1 (β > α).

Oι φυσικοί αριθμοί από το α μέχρι και το βείναι: β – α + 1 (β > α).

➢ Αύξουσα σειρά: από το μι-κρότερο στο μεγαλύτερο.

➢ Φθίνουσα σειρά: από το μεγα-λύτερο στο μικρότερο.


ΝΝαα κκαατταασσκκεευυάάσσεεττεε έένναανν ηημμιιάάξξοονναα μμεε μμοοννάάδδαα μμέέττρρηησσηηςς OOΑΑ ίίσσοο μμεε 33 ccmm.. ΝΝααττοοπποοθθεεττήήσσεεττεε τταα σσηημμεείίαα ΒΒ,, ΓΓ,, ΔΔ σσεε ααπποοσσττάάσσεειιςς 66 ccmm,, 99 ccmm,, 1155 ccmm.. ΠΠοοιιοοιι ααρριιθθ--μμοοίί ααννττιισσττοοιιχχοούύνν σστταα σσηημμεείίαα ααυυττάά;;

ΛΛ YY ΣΣ HHΚατασκευάζουμε τον ημιάξονα καιπροκύπτει το διπλανό σχήμα.Επιπλέον, αφού το OΑ εκφράζει τημονάδα μέτρησης, στο Α αντιστοι-χεί το 1, στο Β το 2 (2 ⋅ 3 cm), στο Γ το 3 (3 ⋅ 3 cm) και στο Δ το 5 (5 ⋅ 3 cm).

ΓΓ´ ΜΜOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΣΤΡOΓΓΥΛOΠOΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΝΝαα σσττρροογγγγυυλλοοπποοιιήήσσεεττεε ττοουυςς αακκόόλλοουυθθοουυςς ααρριιθθμμοούύςς σσττηη δδεεκκάάδδαα:: αα)) 556611,, ββ)) 11..228877,, γγ)) 1122..009999..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) Εντοπίζουμε το ψηφίο των δεκάδων του 561, που είναι το 6. Το

αμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 1, που ανήκει στην πρώτη ομά-δα (0, 1, 2, 3, 4), άρα γίνεται 0 και το 6 παραμένει 6, δηλαδή ο ζη-τούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο 560.

ββ)) Εντοπίζουμε το ψηφίο των δεκάδων του 1.287, που είναι το 8. Τοαμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 7, που ανήκει στη δεύτερηομάδα (5, 6, 7, 8, 9), άρα γίνεται 0 και το 8 γίνεται 9, δηλαδή οζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο 1.290.

γγ)) Εντοπίζουμε το ψηφίο των δεκάδων του 12.099, που είναι το 9.Το αμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 9, που ανήκει στη δεύτερηομάδα (5, 6, 7, 8, 9), άρα γίνεται 0 και το 9 γίνεται 10!!! Προφα-νώς αυτό δεν μπορεί να συμβεί, οπότε το 9 γίνεται 0 και η εκα-τοντάδα (10 δεκάδες) προστίθεται στις εκατοντάδες και έτσι το0 γίνεται 1, δηλαδή ο ζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμόςείναι ο 12.100.

ΝΝαα σσττρροογγγγυυλλοοπποοιιήήσσεεττεε ττοονν ααρριιθθμμόό 99..999999 σσττηηνν εεκκααττοοννττάάδδαα..

ΛΛ YY ΣΣ HHΕντοπίζουμε το ψηφίο των εκατοντάδων του 9.999, που είναι το 9 (9.999). Τοαμέσως δεξιά ψηφίο του είναι το 9, που ανήκει στη δεύτερη ομάδα, άρα γίνεται0 και το 9 γίνεται 10!!! Προφανώς αυτό δεν μπορεί να συμβεί, οπότε προ-σθέτουμε 1 στη χιλιάδα και έτσι το 9 γίνεται 10!!! Επομένως στο ψηφίο των δε-κάδων χιλιάδων (το 0) προσθέτουμε 1, και το 0 (09.999) γίνεται 1, δηλαδή οζητούμενος στρογγυλοποιημένος αριθμός είναι ο 10.000.

1100

99

88

12.0 9 910↓ ↓

12.1 0 0

1. 2 8 7↓ ↓

1. 2 9 0

5 6 1↓ ↓

5 6 0

0 13 cm 2 3

O A B °

5



ΠΠοοιιοοιι εείίννααιι οοιι φφυυσσιικκοοίί ααρριιθθμμοοίί πποουυ,, αανν ττοουυςς σσττρροογγγγυυλλοοπποοιιήήσσοουυμμεε σσττηηνν ππλληη--σσιιέέσσττεερρηη δδεεκκάάδδαα,, ππααίίρρννοουυμμεε ττοονν ααρριιθθμμόό 7700;;

ΛΛ YY ΣΣ HHΣτο 70 το ψηφίο των δεκάδων είναι το 7. Από τους κανόνες στρογγυλοποίη-σης γνωρίζουμε ότι το ψηφίο στο οποίο στρογγυλοποιούμε είτε παραμένει ίδιοείτε αυξάνεται κατά ένα, δηλαδή το ψηφίο των δεκάδων του αρχικού αριθμούείναι 6 ή 7, άρα οι αριθμοί θα έχουν μορφή: 6_ ή 7_.➢ Αν ο αριθμός είναι ο 6_, για να γίνει 70, θα πρέπει η κενή θέση να είναι 5,

6, 7, 8 ή 9, ώστε με τη στρογγυλοποίηση το 6 να γίνει 7. Συνεπώς οι αριθ-μοί είναι: 65, 66, 67, 68 ή 69.

➢ Αν ο αριθμός είναι ο 7_, για να γίνει 70, θα πρέπει η κενή θέση να είναι 0,1, 2, 3 ή 4, ώστε με τη στρογγυλοποίηση το 7 να παραμείνει 7. Συνεπώς οιαριθμοί είναι: 70, 71, 72, 73 ή 74.

Επομένως οι αριθμοί είναι οι: 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73 ή 74.

NNαα σσυυμμππλληηρρώώσσεεττεε τταα κκεεννάά σσττιιςς αακκόόλλοουυθθεεςς φφρράάσσεειιςς.. ΕΕιιδδιικκάά γγιιαα ττιιςς εερρωωττήήσσεειιςς 11 κκααιι22 νναα σσυυμμππλληηρρώώσσεεττεε μμεε <<,, >>,, ==..

11.. Αφού 12 … 13 και 15 … 13, τότε 12 … 15.

22.. 123 + 346 … 184 + 285.

33.. O αριθμός 7.162 στρογγυλοποιείται στη δεκάδα ως ……............. και στηνεκατοντάδα ως ……............. .

44.. Ανάμεσα στο 145 και στο 732 υπάρχουν …….. φυσικοί αριθμοί.

55.. Αν σε έναν ημιάξονα OΑ = 4 cm και OΒ = 12 cm, το Β εκφράζει τον αριθμό… .

ΑΑ´ OOμμάάδδαα

11.. Να ονομάσετε τους φυσικούς αριθμούς: 4.903, 13.209, 123.456.789.

1111


E P ø T H ™ E I ™N E O Y T Y ¶ O Y


22.. Να γράψετε τους ακόλουθους αριθμούς: αα)) χίλια οκτακόσια έξι, ββ)) επτακόσια είκοσι πέντε, γγ)) οκτώ χιλιάδες τριάντα δύο, δδ)) δύο εκατομμύρια δέκα χιλιάδες και τριακόσια εβδομήντα οκτώ.

33.. Να βρείτε την τάξη του υπογραμμισμένου ψηφίου στους παρακάτω φυσικούςαριθμούς: αα)) 3.124, ββ)) 16.002, γγ)) 316, δδ)) 892, εε)) 231.234.567.

44.. Nα γράψετε τους άρτιους από το 125 ως το 141.

55.. Να γράψετε τους περιττούς αριθμούς από το 562 ως το 580.

66.. Αν σήμερα είναι Δευτέρα, τι μέρα θα είναι:αα)) μετά από 21 μέρες, ββ)) μετά από 30 μέρες, γγ)) μετά από 234 μέρες;

77.. Πόσες διανυκτερεύσεις θα γίνουν σε μια πενθήμερη εκδρομή;

88.. Πόσες είναι οι σελίδες ενός βιβλίου ανάμεσα στη σελίδα 178 και στη σελίδα 443;

99.. Aπό το βιβλίο των Mαθηματικών δόθηκαν στους μαθητές για το επόμενο μά-θημα οι ασκήσεις από την 4 ως και την 8. Πόσες ασκήσεις δόθηκαν;

1100.. Πόσες είναι οι σελίδες ενός κεφαλαίου που αρχίζει στη σελίδα 96 και τελειώνειστη σελίδα 678;

1111.. αα)) Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς: 987, 789, 897, 879, 978, 798.ββ)) Να βάλετε σε φθίνουσα σειρά τους αριθμούς: 120, 210, 12, 21, 102, 201.

1122.. Να κατασκευάσετε έναν ημιάξονα με μονάδα μέτρησης OΑ ίσο με 4 cm. Νατοποθετήσετε τα σημεία Β, Γ, Δ σε αποστάσεις 8 cm, 20 cm, 36 cm. Ποιοι αριθ-μοί αντιστοιχούν στα σημεία αυτά;

1133.. Να στρογγυλοποιήσετε τους ακόλουθους αριθμούς στην εκατοντάδα:αα)) 872, ββ)) 31.526, γγ)) 87.919, δδ)) 999.

1144.. Να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό 12.702.935: αα)) στη δεκάδα, ββ)) στην εκατοντάδα, γγ)) στις δεκάδες χιλιάδες, δδ)) στα εκατομμύρια.

1155.. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα κάνοντας τις στρογγυλοποιήσεις στοψηφίο που ζητείται.

XXιιλλιιάάδδαα EEκκααττοοννττάάδδαα ΔΔεεκκάάδδαα1122..334455

33..445511

990088..661155

7700..000022




BB´ OOμμάάδδαα

1166.. Nα γράψετε όλους τους τετραψήφιους φυσικούς αριθμούς που έχουν ως ψη-φία ένα πεντάρι, ένα δυάρι, ένα οκτάρι και ένα εννιάρι.

1177.. Να βρείτε πόσοι είναι όλοι οι τετραψήφιοι αριθμοί.

1188.. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός διαφορετικός του μηδενός, να γράψετε:αα)) τον επόμενό του, ββ)) τον προηγούμενό του και γγ)) τον επόμενο του επομένου του.

1199.. Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί που, αν τους στρογγυλοποιήσουμε στην πλη-σιέστερη δεκάδα, παίρνουμε τον αριθμό 250;

2200.. Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί που, αν τους στρογγυλοποιήσουμε στην πλη-σιέστερη εκατοντάδα, παίρνουμε τον αριθμό 700.

2211.. Να βρείτε τους τετραψήφιους αριθμούς που είναι μικρότεροι του 10.000και που η στρογγυλοποίησή τους στην πλησιέστερη χιλιάδα είναι 10.000.

2222.. Να συμπληρωθεί το κενό με το κατάλληλο ψηφίο, ώστε ο αριθμός 1.7_7, ότανστρογγυλοποιηθεί στην πλησιέστερη δεκάδα, να γίνει 1.760.

2233.. Ένας φυσικός αριθμός στρογγυλοποιείται στην πλησιέστερη δεκάδα. Ναβρεθεί το τελευταίο ψηφίο, αν με τη στρογγυλοποίηση:αα)) μικραίνει κατά 2, ββ)) μεγαλώνει κατά 3.

2244.. Να εξετάσετε σε ποιες περιπτώσεις δε γίνεται στρογγυλοποίηση:αα)) στον ταχυδρομικό κώδικα μιας περιοχής,ββ)) στον τηλεφωνικό αριθμό του σπιτιού σου,γγ)) στην τιμή ενός προϊόντος, δδ)) στον αριθμό της διεύθυνσής σου,εε)) στο πλήθος των μαθητών ενός σχολείου.



ΑΑππααννττήήσσεειιςς σσυυμμππλλήήρρωωσσηηςς:: 11.. <, >, <, 22.. =, 33.. 7.160, 7.200, 44.. 586, 55.. 3.11.. Tέσσερις χιλιάδες και εννιακόσια τρία, δεκατρείς χιλιάδες διακόσια εννέα, εκατόν είκοσι τρία εκα-

τομμύρια τετρακόσιες πενήντα έξι χιλιάδες και επτακόσια ογδόντα εννέα.

22.. αα)) 1.806, ββ)) 725, γγ)) 8.032, γγ)) 2.010.378.

33.. αα)) Eκατοντάδες, ββ)) χιλιάδες, γγ)) δεκάδες, δδ)) μονάδες, εε)) δεκάδες εκατομμύρια.

44.. 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140.

55.. 563, 565, 567, 569, 571, 573, 575, 577, 579.

66.. αα)) Δευτέρα, ββ)) Τετάρτη, γγ)) Πέμπτη.

77.. 4.

88.. 264.

99.. 5.

1100.. 583.

1111.. αα)) 789 < 798 < 879 < 897 < 978 < 987, ββ)) 210 > 201 > 120 > 102 > 21 > 12.

1122.. Το Β είναι το 2, το Γ είναι το 5 και το Δ είναι το 9.

1133.. αα)) 900, ββ)) 31.500, γγ)) 87.900, δδ)) 1.000.

1144.. αα)) 12.702.940, ββ)) 12.702.900, γγ)) 12.700.000, δδ)) 13.000.000.

1155..

1166.. 2.589, 2.598, 2.859, 2.895, 2.958, 2.985, 5.289, 5.298, 5.829, 5.892, 5.982, 5.928, 8.259, 8.295,8.529, 8.592, 8.925, 8.952, 9.258, 9.285, 9.528, 9.582, 9.825, 9.852.

1177.. 9.000.

1188.. αα)) ν + 1, ββ)) ν – 1, γγ)) ν + 1 + 1= ν + 2.

1199.. 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254.

2200.. 650, 651, …, 749.

2211.. 9.500, 9.501, …, 9.999.

2222.. 1.757.

2233.. αα)) 2, ββ)) 7.

2244.. αα,, ββ,, δδ..

XXιιλλιιάάδδαα EEκκααττοοννττάάδδαα ΔΔεεκκάάδδαα

1122..334455 12.000 12.300 12.350

33..445511 3.000 3.500 3.450990088..661155 909.000 908.600 908.620

7700..000022 70.000 70.000 70.000

Y ¶ O ¢ E I • E I ™ – A ¶ A N T H ™ E I ™


ΠΠρρόόσσθθεεσσηη,, ααφφααίίρρεεσσηη κκααιι πποολλλλααππλλαασσιιαασσμμόόςς φφυυσσιικκώώνν ααρριιθθμμώώνν 21

ΠΠρρόόσσθθεεσσηη

ΠΠ αα ρρ αα ττ ήή ρρ ηη σσ ηηΓια να προσθέσουμε κάθετα φυσικούς αριθμούς, βά-ζουμε τις μονάδες κάτω από τις μονάδες, τις δεκάδες κά-τω από τις δεκάδες κτλ., ώστε τα ψηφία της κάθε τάξηςνα είναι στην ίδια στήλη. Αυτό σημαίνει ότι «στοιχίζουμε»τους προσθετέους από δεξιά.

ΙΙδδιιόόττηηττεεςς ττηηςς ππρρόόσσθθεεσσηηςς

Το 0, όταν προστεθεί σε ένα φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει. Το 0 λέγεται οουυδδέέττεερροο σσττοοιιχχεείίοο ττηηςς ππρρόόσσθθεεσσηηςς.Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος. Η ιδιότητα αυτή λέγεται ααννττιιμμεεττααθθεεττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα.Μπορούμε να αντικαθιστούμε προσθετέους με το άθροισμά τους ή να ανα-λύουμε έναν προσθετέο σε άθροισμα.Η ιδιότητα αυτή λέγεται ππρροοσσεεττααιιρριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα.

ΑΑφφααίίρρεεσσηη

OÚÈÛÌfi˜

αα ++ ββ == ββ ++ αα

95.7921.209

+ 652173.082

95.7921.209

+ 65297.653

OÚÈÛÌfi˜

αα ++ ((ββ ++ γγ)) == ((αα ++ ββ)) ++ γγ

αα ++ 00 == 00 ++ αα == αα

AA..11..22ΠΠρρόόσσθθεεσσηη,, ααφφααίίρρεεσσηη κκααιι πποολλλλααππλλαασσιιαασσμμόόςς φφυυσσιικκώώνν ααρριιθθμμώώνν

ΠΠρρόόσσθθεεσσηη είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α και β, πουλέγονται ππρροοσσθθεεττέέοοιι, βρίσκουμε έναν τρίτο αριθμό γ, που είναι το άάθθρροοιισσμμάά τους,δηλαδή αα ++ ββ == γγ.

ΑΑφφααίίρρεεσσηη είναι η πράξη με την οποία, όταν δοθούν δύο αριθμοί, ο μμεειιωωττέέοοςς (Μ)και ο ααφφααιιρρεεττέέοοςς (Α), βρίσκουμε τη δδιιααφφοορράά τους (Δ), δηλαδή ΜΜ –– ΑΑ == ΔΔ,αφού ΑΑ ++ ΔΔ == ΜΜ.

Παράδειγμα



ΠΠ αα ρρ αα ττ ηη ρρ ήή σσ εε ιι ςςΣτην αφαίρεση φυσικών αριθμών ο αφαιρετέος (Α) πρέπει να είναι πάντα μι-κρότερος ή ίσος του μειωτέου (Μ), αλλιώς η πράξη δεν μπορεί να γίνει.ΠΠ αα ρρ αα δδ εε ίί γγ μμ αα ττ αα

123 – 99 = 24, ενώ 99 – 123 = ;;;Για να αφαιρέσουμε κάθετα δύο φυσικούς αριθμούς, βάζουμε επάνω το μειωτέο,από κάτω τον αφαιρετέο και τις μονάδες κάτω από τις μονάδες, τις δεκάδες κά-τω από τις δεκάδες κτλ., ώστε τα ψηφία της κάθε τάξης να είναι στην ίδια στήλη.Η αφαίρεση είναι η αντίθετη πράξη της πρόσθεσης και ως εκ τούτου η πρό-σθεση είναι η επαλήθευση της αφαίρεσης. Ισχύουν οι σχέσεις:

ή ή

ΠΠοολλλλααππλλαασσιιαασσμμόόςς

ΠΠ αα ρρ αα ττ ήή ρρ ηη σσ ηηΤο γινόμενο 3 ⋅ 4 διαβάζεται «3 φορές το 4» και γράφουμε: 3 ⋅ 4 = 4 + 4 + 4.Oμοίως, αν έχουμε μεταβλητές: α + α + α = 3 ⋅ α = 3α, x + x + x + x + x = 5 ⋅ x = 5x, β = 1 ⋅ β, 0 ⋅ γ = 0.Προσέξτε ότι στο γινόμενο αριθμού με μεταβλητή ή μεταξύ μεταβλητών το επί (⋅ )μπορεί να παραληφθεί, κάτι το οποίο δεν μπορεί να συμβεί ανάμεσα σε αριθμούς!!!

ΙΙδδιιόόττηηττεεςς ττοουυ πποολλλλααππλλαασσιιαασσμμοούύ

Το 1, όταν πολλαπλασιαστεί με ένα φυσικό αριθμό, δεν τον μεταβάλλει.Το 1 λέγεται οουυδδέέττεερροο σσττοοιιχχεείίοο ττοουυ πποολλλλααππλλαασσιιαασσμμοούύ.

Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου. Η ιδιότητα αυτή λέγεται ααννττιιμμεεττααθθεεττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα.

Μπορούμε να αντικαθιστούμε παράγοντες με το γινόμενό τους ή να αναλύουμεέναν παράγοντα σε γινόμενο.Η ιδιότητα αυτή λέγεται ππρροοσσεεττααιιρριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα. αα ⋅ ((ββ ⋅ γγ)) == ((αα ⋅ ββ)) ⋅ γγ

αα ⋅ ββ == ββ ⋅ αα

αα ⋅ 11 == 11 ⋅ αα == αα

OÚÈÛÌfi˜

ΑΑ == ΜΜ –– ΔΔΜΜ == ΑΑ ++ ΔΔΔΔ == ΜΜ –– ΑΑ

3

2

1

ΠΠοολλλλααππλλαασσιιαασσμμόόςς είναι η πράξη με την οποία από δύο φυσικούς αριθμούς α καιβ, που λέγονται ππααρράάγγοοννττεεςς, βρίσκουμε έναν τρίτο φυσικό αριθμό γ, που είναιτο γγιιννόόμμεεννόό τους, δηλαδή αα ⋅ ββ == γγ.



Το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν κάνει πάντα μηδέν. Το 0 λέγεται ααπποορρρροοφφηηττιικκόό σσττοοιιχχεείίοο.

ΕΕππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ωωςς ππρροοςς ττηηνν ππρρόόσσθθεεσσηη::Γεωμετρική απόδειξηΘεωρούμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ με δια-στάσεις ΑΔ = α, ΑΒ = β + γ και εμβαδόνΕΑΒΓΔ = α ⋅ (β + γ).Παίρνουμε σημείο Κ στην ΑΒ ώστε ΑΚ = β,οπότε ΚΒ = γ, και φέρνουμε ΚΛ // ΑΔ // ΒΓ.Δημιουργούμε έτσι δύο νέα ορθογώνια,τα ΑΚΛΔ και ΚΒΓΛ, διαστάσεων α, β και α,γ αντίστοιχα, με εμβαδά ΕΑΚΛΔ = α ⋅ β και ΕΚΒΓΛ = α ⋅ γ.Αφού ΕΑΒΓΔ = ΕΑΚΛΔ + ΕΚΒΓΛ, έχουμε: α ⋅ (β + γ) = αβ + αγ.

ΕΕππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ωωςς ππρροοςς ττηηνν ααφφααίίρρεεσσηη::Γεωμετρική απόδειξηΘεωρούμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ με δια-στάσεις ΑΔ = α, ΑΒ = β – γ (β>γ) και εμ-βαδόν ΕΑΒΓΔ = α ⋅ (β – γ).Προεκτείνουμε την ΑΒ προς το Β καιπαίρνουμε σημείο Κ ώστε ΒΚ = γ,οπότε ΑΚ = β – γ + γ = β,και φέρνουμε ΚΛ // ΑΔ // ΒΓ.Δημιουργούμε έτσι δύο νέα ορθογώνια, τα ΑΚΛΔ και ΚΒΓΛ, διαστάσεων α,β και α, γ αντίστοιχα, με εμβαδά ΕΑΚΛΔ = α ⋅ β και ΕΚΒΓΛ = α ⋅ γ.Αφού ΕΑΒΓΔ = ΕΑΚΛΔ – ΕΚΒΓΛ, έχουμε: α ⋅ (β – γ) = αβ – αγ.

ΠΠ αα ρρ αα ττ ήή ρρ ηη σσ ηηΌταν πολλαπλασιάζουμε ένα φυσικό με 10, 100, 1.000 κτλ., γράφουμε στο τέλοςτου αριθμού τόσα μηδενικά όσα και τα μηδενικά του παράγοντα 10, 100, 1.000, …

ΠΠ αα ρρ αα δδ εε ίί γγ μμ αα ττ αα1.587 ⋅ 10 = 15.870, 1.587 ⋅ 100 = 158.700, 1.587 ⋅ 1.000 = 1.587.000.

ΠΠρροοττεερρααιιόόττηητταα ττωωνν ππρράάξξεεωωνν

Αν μας ζητούν να βρούμε ένα αριθμητικό αποτέλεσμα, η σειρά με την οποία θα κά-νουμε τις πράξεις (που είδαμε μέχρι στιγμής) είναι:

Oι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις, όπου πρώτα κάνουμε τους πολλαπλα-σιασμούς και μετά προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά.Πολλαπλασιασμοί.Προσθέσεις και αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά.3

2

1

αα⋅ ((ββ –– γγ)) == αα⋅ ββ –– αα⋅ γγ

αα ⋅ 00 == 00 ⋅ αα == 00

αα ⋅ ((ββ ++ γγ)) == αα ⋅ ββ ++ αα ⋅ γγ

A

§ °

·

+

K B

·

A

° §

– B K



ΠΠ αα ρρ άά δδ εε ιι γγ μμ αα19 – 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ (11 ⋅ 12 + 6 – 15 ⋅ 9) + 12 ⋅ 7 – 5= = 19 – 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ (132 + 6 – 135) + 12 ⋅ 7 – 5 = [πολλαπλασιασμοί στις παρενθέσεις]

= 19 – 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ (138 – 135) + 12 ⋅ 7 – 5 = [προσθέσεις και αφαιρέσεις στις παρενθέσεις]

= 19 – 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 + 12 ⋅ 7 – 5 = [πολλαπλασιασμοί]

= 19 – 12 + 6 + 84 – 5 == 7 + 6 + 84 – 5 = 13 + 84 – 5 = 97 – 5 = 92. [προσθέσεις και αφαιρέσεις

από αριστερά προς τα δεξιά]

ΑΑ ΜΜOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΝΝαα γγίίννοουυνν οοιι ππρράάξξεειιςς:: αα)) 88..990022 ++ 334455 ++ 33..886677,, ββ)) 2233..002233 –– 99..887766,, γγ)) 778844 ⋅⋅ 3322..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) ββ)) γγ))

ΝΝαα σσυυμμππλληηρρώώσσεεττεε τταα κκεεννάά μμεε ττοουυςς κκααττάάλλλληηλλοουυςς ααρριιθθμμοούύςς,, ώώσσττεε νναα ππρροοκκύύ--ψψοουυνν σσωωσσττέέςς ππρράάξξεειιςς..αα)) ββ)) γγ))

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) ββ)) γγ)) 764

x 896876

+ 611267.996

90.735– 2.94687.789

4.567+ 8945.461

7 � 4x 8 9� 8 7 �

+ 6 1 1 2

9�.7 3 �

–2. 9 � 6�7.� 8 9

�.5 � 7+ 8 9 �

5.� 6 1

22

784x 321 568

+ 23 5225.088

23.023– 9.87613.147

8.902345

+ 3.86713.114

11



ΝΝαα κκάάννεεττεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς:: αα)) 112233 –– 6677 ++ 4488,, ββ)) 112233 –– 6677 –– 4488,, γγ)) 112233 –– ((6677 –– 4488)),, δδ)) 112233 –– ((6677 ++ 4488)),, εε)) 889933 –– 667722 ++ 330088 –– 8866 –– 225533..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) 123 – 67 + 48 = 56 + 48 = 104. ββ)) 123 – 67 – 48 = 56 – 48 = 8. γγ)) 123 – (67 – 48) = 123 – 19 = 104. δδ)) 123 – (67 + 48) = 123 – 115 = 8.εε)) 893 – 672 + 308 – 86 – 253 =

= 221 + 308 – 86 – 253 == 529 – 86 – 253 = 443 – 253 = 190.

ΝΝαα κκάάννεεττεε μμεε δδύύοο ττρρόόπποουυςς ττιιςς ππρράάξξεειιςς:: αα)) 550099 –– 4455 –– 5511,, ββ)) 996677 –– 9955 –– 8866..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) 1ος τρόπος: 509 – 45 – 51 = 464 – 51 = 413.

2ος τρόπος: 509 – 45 – 51 = 509 – (45 + 51) = 509 – 96 = 413. ββ)) 1ος τρόπος: 967 – 95 – 86 = 872 – 86 = 786.

2ος τρόπος: 967 – 95 – 86 = 967 – (95 + 86) = 967 – 181 = 786.

ΝΝαα ββρρεείίττεε τταα αακκόόλλοουυθθαα ααπποοττεελλέέσσμμαατταα:: ΑΑ == 33 ⋅⋅ 44 ++ 55 ⋅⋅ 77 –– 44 –– 66 ⋅⋅ 44,, ΒΒ == 1122 ⋅⋅ 3344 –– 1199 ⋅⋅ 77 ++ 8855 –– 1111 ⋅⋅ 1133,, ΓΓ == 33 ⋅⋅ ((1122 ⋅⋅ 99 –– 88 –– 55 ⋅⋅ 99)) ++ 1111 ⋅⋅ 77 –– 1155 ⋅⋅1122..

ΛΛ YY ΣΣ HHΑ = 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 – 4 – 6 ⋅ 4 = 12 + 35 – 4 – 24 = [πολλαπλασιασμοί]

= 47 – 4 – 24 = 43 – 24 = 19. [προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά]

Β = 12 ⋅ 34 – 19 ⋅ 7 + 85 – 11 ⋅ 13 = [πολλαπλασιασμοί]

= 408 – 133 + 85 – 143 = [προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά]

= 275 + 85 – 143 = 360 – 143 = 217.Γ = 3 ⋅ (12 ⋅ 9 – 8 – 5 ⋅ 9) + 11 ⋅ 7 – 15 ⋅12 =

= 3 ⋅ (108 – 8 – 45) + 11 ⋅ 7 – 15 ⋅ 12 = [πολλαπλασιασμοί στις παρενθέσεις]

= 3 ⋅ (100 – 45) + 11⋅ 7 – 15 ⋅12 = [προσθέσεις και αφαιρέσεις στις παρενθέσεις]

= 3 ⋅ 55 + 11 ⋅ 7 – 15 ⋅12 = 165 + 77 – 180 = [πολλαπλασιασμοί]

= 242 – 180 = 62. [προσθέσεις, αφαιρέσεις από αριστερά προς τα δεξιά]

ΒΒ´ ΜΜOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΑΑνν αα == 339966,, ββ == 559977,, νναα υυπποολλοογγίίσσεεττεε τταα ααπποοττεελλέέσσμμαατταα:: αα)) αα ++ ββ,, ββ)) ββ –– αα,, γγ)) αα –– 9988 ++ ββ,, δδ)) αα ++ 667722 –– 889933 ++ ββ..

66

55

44

33

Κάνουμε πρώτα τις πράξειςστις παρενθέσεις και μετά τιςπροσθέσεις και τις αφαιρέσειςαπό αριστερά προς τα δεξιά.

αα –– ββ –– γγ == αα –– ((ββ ++ γγ))..


ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) α + β = 396 + 597 = 993. ββ)) β – α = 597 – 396 = 201. γγ)) α – 98 + β = 396 – 98 + 597 = 298 + 597 = 895. δδ)) α + 672 – 893 + β = 396 + 672 – 893 + 597 = 1.068 – 893 + 597 =

= 175 + 597 = 772.

ΑΑνν αα ++ ββ == 1177 κκααιι ββ ++ γγ == 1155,, νναα υυπποολλοογγίίσσεεττεε τταα ααπποοττεελλέέσσμμαατταα::αα)) αα ++ ββ –– 1111,, ββ)) αα ++ 22 ++ ββ,, γγ)) ββ ++ αα ++ γγ ++ ββ,, δδ)) ββ –– 1133 ++ γγ ++ 77..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) α + β – 11 = 17 – 11 = 6. ββ)) α + 2 + β = α + β + 2 = 17 + 2 = 19. γγ)) β + α + γ + β = α + β + β + γ =

= 17 + 15 = 32. δδ)) β – 13 + γ + 7 = β + γ – 13 + 7 =

= 15 – 13 + 7 = 2 + 7 = 9.

ΝΝαα ββρρεεθθεείί πποοιιοοςς ααρριιθθμμόόςς μμπποορρεείί νναα ππάάρρεειι ττηη θθέέσσηη ττοουυ xx,, ώώσσττεε νναα ιισσχχύύοουυνν οοιι

αακκόόλλοουυθθεεςς ιισσόόττηηττεεςς:: αα)) xx ++ 4499 == 9922,, ββ)) 662277 –– xx == 449911..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) ββ))

ΓΓ´ ΜΜOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΕΦΑΡΜOΓΕΣ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗΣ ΙΔΙOΤΗΤΑΣ

ΝΝαα γγρράάψψεεττεε ππιιοο σσύύννττοομμαα ττιιςς αακκόόλλοουυθθεεςς ππααρραασσττάάσσεειιςς::αα)) xx ++ xx ++ xx ++ xx,, ββ)) yy ++ yy ++ 55yy –– 33yy,, γγ)) ααββ ++ ααββ ++ ααββ ++ ααββ ++ ααββ ++ ααββ..

99

M¤ıÔ‰Ô˜

Στην ισότητα 627 – x = 491θεωρούμε Μ = 627, Α = xκαι Δ = 491, για να ισχύει Μ – Α = Δ, οπότε, αφού Α = Μ – Δ, έχουμε ότι: x = 627 – 491 = 136.

Στην ισότητα x + 49 = 92θεωρούμε Α = x, Δ = 49και Μ = 92, για να ισχύειΑ + Δ = Μ, οπότε, αφού Α = Μ – Δ, έχουμε ότι: x = 92 – 49 = 43.

88

77


Χρησιμοποιούμε τις α ⋅ (β +– γ) = αβ +– αγ ξεκινώντας από το μέλος της επιμε-

ριστικής ιδιότητας που μας εξυπηρετεί καλύτερα.

Δεν αντικαθιστούμεσυγκεκριμένες τιμές στα α, β, γ.

Δε βάζουμε, για παράδειγμα, α = 10, β = 7, γ = 8!!!

ΔΔ == MM –– AAήή

ΜΜ == ΑΑ ++ ΔΔήή

ΑΑ == ΜΜ –– ΔΔ


ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) x + x + x + x = (1 + 1 + 1 + 1)x = 4x.ββ)) y + y + 5y – 3y = (1 + 1 + 5 – 3)y = 4y.γγ)) αβ + αβ + αβ + αβ + αβ + αβ = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)αβ = 6αβ.

ΝΝαα ββρρεεθθοούύνν τταα αακκόόλλοουυθθαα ααπποοττεελλέέσσμμαατταα μμεε ττηη ββοοήήθθεειιαα ττηηςς εεππιιμμεερριισσττιικκήήςς ιιδδιιόό--ττηηττααςς:: αα)) 887733⋅⋅ 9999,, ββ)) 11..226677 ⋅⋅ 110022,, γγ)) 559944 ⋅⋅ 3333 ++ 559944 ⋅⋅ 6677,, δδ)) 33..228899 ⋅⋅ 11..223355 –– 33..228899 ⋅⋅ 223355..

ΛΛ YY ΣΣ HHαα)) 873 ⋅ 99 = 873 ⋅ (100 – 1) = 873 ⋅ 100 – 873 ⋅ 1 =

= 87.300 – 873 = 86.427.ββ)) 1.267 ⋅ 102 = 1.267 ⋅ (100 + 2) =

= 1.267 ⋅ 100 + 1.267 ⋅ 2 == 126.700 + 2.534 = 129.234.

γγ)) 594 ⋅ 33 + 594 ⋅ 67 = 594 ⋅ (33 + 67) == 594 ⋅100 = 59.400.

δδ)) 3.289 ⋅1.235 – 3.289⋅235 = 3.289⋅(1.235 – 235) = 3.289⋅1.000 = 3.289.000.

ΔΔ´ ΜΜOOΡΡΦΦΗΗ ΑΑΣΣΚΚΗΗΣΣΕΕΩΩΝΝ:: ΠΡOΒΛΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΣΣεε έένναα ττρρίίγγωωννοο ηη μμίίαα ππλλεευυρράά ττοουυ εείίννααιι 7755 ccmm,, ηη δδεεύύττεερρηη εείίννααιι 3399 ccmm μμεεγγαα--λλύύττεερρηη ααππόό ααυυττήή κκααιι ηη ττρρίίττηη εείίννααιι κκααττάά 1177 ccmm μμιικκρρόόττεερρηη ααππόό ττηηνν ππρρώώττηη.. ΝΝααββρρεεθθεείί ηη ππεερρίίμμεεττρροοςς ττοουυ ττρριιγγώώννοουυ..

ΛΛ YY ΣΣ HHΗ δεύτερη πλευρά είναι: 75 + 39 = 114 cm καιη τρίτη πλευρά είναι: 75 – 17 = 58 cm.Επομένως η περίμετρος είναι: 75 + 114 + 58 = 247 cm.

ΓΓιιαα ττηηνν έέννααρρξξηη ττηηςς σσχχοολλιικκήήςς χχρροοννιιάάςς ηη ΧΧααρρααυυγγήή ππηηγγααίίννεειι σσττοο ββιιββλλιιοοππωωλλεείίοο κκααιιααγγοορράάζζεειι 55 ττεεττρράάδδιιαα ππρροοςς 22 εευυρρώώ ττοο έένναα,, μμίίαα σσάάκκαα ππρροοςς 2288 εευυρρώώ,, μμίίαα κκαασσεε--ττίίνναα ππρροοςς 1111 εευυρρώώ,, 33 γγόόμμεεςς ππρροοςς 11 εευυρρώώ ττηηνν κκααθθεεμμίίαα κκααιι 22 ξξύύσσττρρεεςς ππρροοςς 11εευυρρώώ ττηηνν κκααθθεεμμίίαα.. ΠΠόόσσαα χχρρήήμμαατταα έέδδωωσσεε σσυυννοολλιικκάά;;

ΛΛ YY ΣΣ HHΈχουμε ότι:τετράδια: 5 ⋅ 2 = 10 ευρώ,γόμες: 3 ⋅ 1 = 3 ευρώ, ξύστρες: 2 ⋅ 1 = 2 ευρώ.Επομένως θα πληρώσει συνολικά: 10 + 28 + 11 + 3 + 2 = 54 ευρώ.

1122

1111

1100


Σε όλα τα ερωτήματαθα μπορούσαμε να κάνουμε

τις πράξεις που εμφανίζονται.

1⋅ x = x.


ΝΝαα ααννττιισσττοοιιχχίίσσεεττεε τταα δδεεδδοομμέένναα ττηηςς 11ηηςς σσττήήλληηςς μμεε τταα δδεεδδοομμέένναα ττηηςς 22ηηςς σσττήήλληηςς..

ΑΑ´ OOμμάάδδαα

11.. Να γίνουν οι πράξεις: αα)) 83 + 51 + 12, ββ)) 1.234 + 568, γγ)) 18.971 + 209 + 74.

22.. Να γίνουν οι πράξεις: αα)) 444 – 38, ββ)) 4.716 – 3.928, γγ)) 83.501 – 4.075.

33.. Να γίνουν οι πράξεις: αα)) 56 ⋅ 78, ββ)) 723 ⋅ 54, γγ)) 1.945 ⋅ 895.

44.. Να συμπληρώσετε τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να προκύ-ψουν σωστές πράξεις.

αα)) ββ)) γγ))

δδ)) εε)) σσττ))9 2 �

x 3 76 4 � 2

+ � 7 7 83 4.� 6 2

5 � 3x 7 6� 5 5 �

+ 4 1 5 1�5. 0 � 8

�.7 � 3– 5 9 �

6.� 8 8

6 �.1 2 �

– 8. 5 � 4�6.� 9 2

3 �.8 7 �

+2.9 � 6�7.� 2 5

�.4 � 2+ 6 7 �

8.� 7 5

ΣΣττήήλληη 11ηη ΣΣττήήλληη 22ηη 10 AA

11 4 + 5 + 6 + 7 11 ΒΒ22 4 + 5 + 6 ⋅ 7 22 ΓΓ33 4 + 5 – 6 + 7 33 ΔΔ44 4 ⋅ 5 + 6 + 7 41 ΕΕ55 4 + 5 ⋅ 6 + 7 51 ΣΣTT

67 ZZ


E P ø T H ™ E I ™N E O Y T Y ¶ O Y


55.. Να κάνετε τις πράξεις: αα)) 964 – 345 + 208, ββ)) 964 – (345 – 208), γγ)) 964 – 345 – 208, δδ)) 964 – (345 + 208).

66.. Να κάνετε με δύο τρόπους τις πράξεις: αα)) 509 – 45 – 51, ββ)) 967 – 95 – 86.

77.. Να κάνετε τις πράξεις: αα)) 602 – 189 – 274 + 65, ββ)) 915 – 706 + 224 – 77.

88.. Να βρείτε τα ακόλουθα αποτελέσματα: Α = 9 ⋅ 8 – 5 ⋅ 6 + 3 + 16 ⋅ 4,Β = 19 ⋅ 14 – 12 ⋅ 9 + 293 – 11 ⋅ 17, Γ = 8 ⋅ (7 ⋅ 6 – 33 + 5 ⋅ 3) – 13 ⋅ 6 + 17⋅ 2, Δ = 9 ⋅ (849 – 89 ⋅ 6 + 37) – 285, Ε = 345 + 283 ⋅ 3 – 45 ⋅ (34 – 29 + 71 – 66).

99.. Αν α = 705, β = 304, να υπολογίσετε τα αποτελέσματα:αα)) α + β + 3, ββ)) α – β, γγ)) α – 486 + β, δδ)) α + 774 – 205 – β.

1100.. Αν α + β = 26 και β ⋅ γ = 12, να υπολογίσετε τα αποτελέσματα:αα)) α + β – 23, ββ)) α + β ⋅ (γ + 1), γγ)) β + α – 12, δδ)) β ⋅ γ + 9 + α + β, εε)) β ⋅ 3 ⋅ γ.

1111.. Να βρεθεί ποιος αριθμός μπορεί να πάρει τη θέση του x, ώστε να ισχύουν οιακόλουθες ισότητες: αα)) x + 27 = 82, ββ)) 462 – x = 205, γγ)) x – 672 = 843.

1122.. Να γράψετε πιο σύντομα τις ακόλουθες παραστάσεις:αα)) x + x + x, ββ)) y + 2y + 3y – 4y, γγ)) α + 3α + 7α + α – 4α.

1133.. Να βρεθούν τα αποτελέσματα με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας: αα)) 504 ⋅ 101, ββ)) 4.319 ⋅ 98, γγ)) 253 ⋅ 64 + 253 ⋅ 36, δδ)) 5.304 ⋅10.173 – 5.304 ⋅173.

BB´ OOμμάάδδαα

1144.. O Νίκος έχει 26 ευρώ, η Νίκη έχει 8 ευρώ περισσότερα και ο Γιάννης έχει 29ευρώ λιγότερα από τα χρήματα που έχουν ο Νίκος και η Νίκη μαζί. Πόσα χρή-ματα έχουν και τα τρία παιδιά μαζί;

1155.. O Πέτρος αγόρασε ένα πουκάμισο προς 55 ευρώ και του έμειναν άλλα τόσακαι επιπλέον 68 ευρώ. Πόσα ευρώ είχε αρχικά;

1166.. Ένας πατέρας είναι 32 χρόνια μεγαλύτερος από το γιο του και ο γιος είναι 7χρόνια μεγαλύτερος από την αδερφή του. Αν το κορίτσι είναι 18 ετών, πόσωνετών είναι ο πατέρας και πόσων ετών είναι ο γιος;

1177.. Σε μια εκδρομή συμμετέχουν 120 άτομα, άντρες, γυναίκες και παιδιά. Oιάντρες και οι γυναίκες μαζί είναι 80 και οι γυναίκες με τα παιδιά 90. Να βρεί-τε πόσοι είναι οι άντρες, πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά.

1188.. Ένας μαθητής σκέφτηκε έναν αριθμό ο οποίος, όταν αυξηθεί κατά 19 και στησυνέχεια μειωθεί κατά 14, δίνει αποτέλεσμα 35. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;




1199.. Αν για τους φυσικούς αριθμούς x, y, z ισχύουν οι σχέσεις x + y – z = 35,y – z = 23 και y + z = 25, να βρεθούν οι αριθμοί x, y, z.

2200.. Ένας μανάβης αγοράζει για το μαγαζί του 52 κιλά μήλα, 38 κιλά αχλάδια και27 κιλά πορτοκάλια. Αν πούλησε 28 κιλά μήλα, 29 κιλά αχλάδια και 18 κιλά πορ-τοκάλια, να βρείτε πόσα κιλά φρούτα τού έμειναν.

2211.. Σε μια βιοτεχνία εργάζονται 48 υπάλληλοι. Oι 20 υπάλληλοι έχουν μισθό700 ευρώ, οι 23 παίρνουν 800 ευρώ το μήνα και οι υπόλοιποι παίρνουν 900ευρώ το μήνα. Πόσα χρήματα πληρώνει κάθε μήνα η βιοτεχνία στους εργα-ζομένους;

2222.. Ένας παππούς έχει 3 παιδιά, καθένα από τα οποία παντρεύτηκε και απέκτη-σε από 4 παιδιά. Καθένα από αυτά παντρεύτηκε και απέκτησε από 2 παιδιά.Να βρείτε πόσα εγγόνια και πόσα δισέγγονα έχει ο παππούς.

2233.. Σε ένα τουρνουά ποδοσφαίρου συμμετέχουν 5 ομάδες, που η καθεμία έχει18 αθλητές και 5 παράγοντες. Συμμετέχουν επίσης 4 διαιτητές και 10 βοηθοίδιαιτητή. Πόσα άτομα ασχολούνται με το τουρνουά;


ΑΑππααννττήήσσεειιςς ααννττιισσττοοίίχχιισσηηςς:: 11.. Γ, 22.. ΣT, 33.. A, 44.. Δ, 55.. Ε.

11.. αα)) 146, ββ)) 1.802, γγ)) 19.254.

22.. αα)) 406, ββ)) 788, γγ)) 79.426.

33.. αα)) 4.368, ββ)) 39.042, γγ)) 1.740.775.

44.. αα)) 7.402 + 673 = 8.075, ββ)) 34.879 + 2.946 = 37.825, γγ)) 65.126 – 8.534 = 56.592,

δδ)) 6.783 – 595 = 6.188, εε)) 593⋅ 76 = 45.068, σσττ)) 926⋅ 37 = 34.262.

55.. αα)) 827, ββ)) 827, γγ)) 411, δδ)) 411.

66.. αα)) 509 – 45 – 51 = 509 – (45 + 51) = 413, ββ)) 967 – 95 – 86 = 967 – (95 + 86) = 786.

77.. αα)) 204, ββ)) 356.

88.. Α = 109, Β = 264, Γ = 148, Δ = 2.883, Ε = 744.

99.. αα)) 1.012, ββ)) 401, γγ)) 523, δδ)) 970.

1100.. αα)) 3, ββ)) 38, γγ)) 14, δδ)) 47, εε)) 36.

1111.. αα)) 55, ββ)) 257, γγ)) 1.515.

1122.. αα)) 3x, ββ)) 2y, γγ)) 8α.

1133.. αα)) 504⋅ 101 = 504⋅ (100 + 1) = 50.904, ββ)) 4.319⋅ 98 = 4.319⋅ (100 – 2) = 423.262,γγ)) 253⋅ 64 + 253⋅ 36 = 253⋅ (64 + 36) = 25.300,δδ)) 5.304⋅ 10.173 – 5.304⋅ 173 = 5.304⋅ (10.173 – 173) = 53.040.000.

1144.. Νίκη: 34 €, Γιάννης: 31 € και συνολικά: 91 €.

1155.. 55 + 55 + 68 = 178 €.

1166.. Γιος: 25 ετών, πατέρας: 57 ετών.

1177.. Γυναίκες: 50, άντρες: 30, παιδιά: 40.

1188.. 30.

1199.. x = 12, y = 24, z = 1.

2200.. (52 – 28) + (38 – 29) + (27 – 18) = 42 κιλά.

2211.. 36.900 €.

2222.. 3⋅ 4⋅ 2 = 24 δισέγγονα και 3⋅ 4 = 12 εγγόνια.

2233.. 129.


Y ¶ O ¢ E I • E I ™ – A ¶ A N T H ™ E I ™


A.1.1 Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη φυσικών –...

Documents

Transcript of A.1.1 Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη φυσικών –...