ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Βρείτε την συντομότερη επίπεδη καμπύλη που συνδέει δύο σημεία Α

και Β .

ΛΤΗ

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα σημεία Α και Β και δύο

διαδρομές που τα συνδέουν.

Από το γνωστό μας Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε:

Αν θέσουμε a=dx, και c=ds, (όπου ds το στοιχειώδες μήκος της

καμπύλης), τότε:

2 2 21 ( ') .ds dx dy y dx

Το μήκος λοιπόν μιας γραμμής που συνδέει τα Α και Β θα είναι:

21 ( ') .

B B

A A

L ds y dx

Σύμφωνα τώρα με τις εξισώσεις Euler-Lagrange, για τη διαδρομή με

το μικρότερο δυνατό μήκος, θα έχουμε:

'

d f f

dx y y ,

όπου στην περίπτωσή μας :

21 ( ')f y

Έτσι λοιπόν θά έχουμε:

0f

y ,

( αφού η f είναι ανεξάρτητη του y) και:

2

'

' 1 ( ')

f y

y y

Επίσης:

22

2

22

1 2 ''' 1 ( ')

2 1 ( ')'

' (1 ' )1 ( ')

yy y

yd f d y

dx y dx yy

ή

22

2

2

''' 1 ( ')

1 ( ')

' (1 ' )

yy y

yd f

dx y y

ή

2 2

3

2 2

''(1 ' ' )

'(1 ' )

d f y y y

dx yy

ή

3

2 2

''

'(1 ' )

d f y

dx yy

Αντικαθιστώντας λοιπόν στην εξίσωση Euler-Lagrange , παίρνουμε:

3

2 2

''0

(1 ' )

y

y

Η παραπάνω εξίσωση αληθεύει για '' 0y ή ' .y , οπότε:

1 2( )y x c x c .

Παίρνουμε λοιπόν την εξίσωση μιας ευθείας , η οποία με

δεδομένο το ότι πρέπει να περνάει από τα σημεία Α και Β, μας δίνει

τελικά σα λύση το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.

ΦΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ