ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Βρείτε την συντομότερη επίπεδη καμπύλη που συνδέει δύο σημεία Α
και Β .
ΛΤΗ
Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα σημεία Α και Β και δύο
διαδρομές που τα συνδέουν.
Από το γνωστό μας Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε:
Αν θέσουμε a=dx, και c=ds, (όπου ds το στοιχειώδες μήκος της
καμπύλης), τότε:
2 2 21 ( ') .ds dx dy y dx
Το μήκος λοιπόν μιας γραμμής που συνδέει τα Α και Β θα είναι:
21 ( ') .
B B
A A
L ds y dx
Σύμφωνα τώρα με τις εξισώσεις Euler-Lagrange, για τη διαδρομή με
το μικρότερο δυνατό μήκος, θα έχουμε:
'
d f f
dx y y ,
όπου στην περίπτωσή μας :
21 ( ')f y
Έτσι λοιπόν θά έχουμε:
0f
y ,
( αφού η f είναι ανεξάρτητη του y) και:
2
'
' 1 ( ')
f y
y y
Επίσης:
22
2
22
1 2 ''' 1 ( ')
2 1 ( ')'
' (1 ' )1 ( ')
yy y
yd f d y
dx y dx yy
ή
22
2
2
''' 1 ( ')
1 ( ')
' (1 ' )
yy y
yd f
dx y y
ή
2 2
3
2 2
''(1 ' ' )
'(1 ' )
d f y y y
dx yy
ή
3
2 2
''
'(1 ' )
d f y
dx yy
Αντικαθιστώντας λοιπόν στην εξίσωση Euler-Lagrange , παίρνουμε:
3
2 2
''0
(1 ' )
y
y
Η παραπάνω εξίσωση αληθεύει για '' 0y ή ' .y , οπότε:
1 2( )y x c x c .
Παίρνουμε λοιπόν την εξίσωση μιας ευθείας , η οποία με
δεδομένο το ότι πρέπει να περνάει από τα σημεία Α και Β, μας δίνει
τελικά σα λύση το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
ΦΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ
Top Related