Σημειώσεις στην Ευθεία από την ask4math

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  • ( ) :

  • 1000 - 1

    1

    30--2016

    - 2016

  • 2 ___________________________________________________________ 1

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    2.5. ______________________________________________________ 113

    __________________________________________________________________ 121

    2.6. _____________________________________________________________ 139

  • http://www.askisiologio.gr/index.php/component/phocadownload/category/491-geogebra-b-lykeiou-mathimatika-prosanatolismou-eftheia?Itemid=0http://www.askisiologio.gr/index.php/component/phocadownload/category/493-ppt-eftheia

  • 2

    2.1.

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  • : A s k 4 M a t h

    2 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 3 152

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  • : A s k 4 M a t h

    4 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

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  • : A s k 4 M a t h

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  • : A s k 4 M a t h

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

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    3

    2016

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  • : A s k 4 M a t h

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  • : A s k 4 M a t h

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  • : A s k 4 M a t h

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  • : A s k 4 M a t h

    14 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 15 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    16 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 17 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    18 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 19 152

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  • : A s k 4 M a t h

    20 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 21 152

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  • : A s k 4 M a t h

    22 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 23 152

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    (1,3) : y 3x 5 . -

    , .

    :

    11

    3

    :

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    24 152 www.askisiologio.gr

    1 1 10y 3 (x 1) y x

    3 3 3

    :

    y 3x 5

    3x y 5 1 7x,y ,1 10

    x 3y 10 2 2y x3 3

    1 7

    ,2 2

    :

    A A AA

    1 x1x x 2

    2 2

    x

    2

    x

    A A A

    y y 3 y7y y 4

    2 2 2

    2,4

    13.

    ( 4,4) 1 3

    ( ) : y x2 2

    . -

    , ().

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 25 152

    1. ;

    2. x x ;

    3. ;

    4. ,

    .

    5. ;

    6. ;

    7. ;

    8. x x

    ;

    9. ;

    10. 0,

    ( 0 );

    11. x x

    ;

    1. y x 0 ............................. -

    x x ..................... y y -

    .................. ........................ .................................

    ................. 0 , ......................

    x x ........................ , 0 , ......................

    x x .............................. .

    2. y .............................. -

    y y ...................

    3. x ........................... ...........................

    y y ...............................

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    26 152 www.askisiologio.gr

    1 . -

    .

    1, 3 21 2

    x 3y2 3

    0 , 2 2x 4y 5 0

    1 3,

    2 2

    2 2x y 4

    12 ,

    3

    y 3x

    1, 2 1yx

    2y

    x2

    1. x,2 1,0

    2,3 2,1 , x :

    . 3 . -2 . 2 . 1 . 5

    2. y y 0,4

    2,3 6, , :

    . 4 . 7 . 3 . -3 . -2

    3. x x ,0 , 0

    0,4 2,6 , :

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 27 152

    . 4 . 3 . 3

    4 .

    4

    3 . 6

    4. i j 1 y 2x 3 ,

    :

    . 2

    3

    . 1

    2

    1

    3

    . 2

    3

    .

    3

    2

    .

    1

    2

    5. 1

    y 1 x 32

    , :

    . 1,3 1

    2 . 1, 3

    1

    2 . 1,3

    1

    2

    . 1, 3

    1

    2

    6. y 3x . -

    :

    . 30 . 60 . 45

    . 90 . 135

    ( ) ()

    1. 1 1x , y 2 2x ,y

    1 21 2

    1 2

    y yy y (x x )

    x x

    1 2x x .

    2. .

    3. x 5 y 2 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    28 152 www.askisiologio.gr

    4. 1 2 1 2

    1 2 , 1 2 1 .

    5. 1 1x , y , 2 2x ,y 1 2x x , 2 1

    2 1

    y y

    x x

    .

    6. y 2 x 1 -

    1,2 .

    7. 0x x x x .

    8. y 5x 2 x x .

    9. y 3 .

    10. y 5 y 5x .

    11. 0 0x , y

    0x x .

    12. -

    y x , 0 .

    13. x y y x .

    14. y 2x 1 x x .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 29 152

    1 C1, C2 C3 :

    2 2x y 2x 3y 3 0 , 3x y 0 x 2y 5 0 .

    i. C1, C2 C3

    0,0 1,2 3,0 ;

    ii. C1 C2

    iii. ;

    .

    i. O 0,0 2C

    A 1,2 3C

    3,0 1C

    ii. A 1,3 ,

    3 9B ,

    10 10

    iii. A 1,3

    2 C x y 0 , , , 0 . C

    ,

    ,

    , , .

    .

    2 2 2 ,

    3 2 x 3 y 3 1 0 .

    2,6 4,2 .

    .

    4 2 1,

    2x 3y 1 0 ;

    .

    1

    5 , , x y 1

    1,2 3,3 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    30 152 www.askisiologio.gr

    . 1 4

    9 9

    6 C1, C2 C3 :

    2 2x y 2y 1 0 , 2 22x y 4x 4 0 , 2 2x y 1 . :

    i. C1 y y

    ii. C2 x x iii. C3 x x , y y

    .

    i) , ,

    y y .

    ii) , ,

    x x . iii) .

    7 x x :

    i. 6

    ii.

    2

    3

    iii.

    3

    4

    iv. 2

    v. 0

    .

    i) 3

    3 ii) 3 iii) 1

    iv) v) 0

    8 -

    : i. 4,2 , 1, 5 ii. 1,3 , 2,3

    iii. 3,4 , 0,5 iv. 3, 4 , 3,0

    .

    i) 7

    5 ii) 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 31 152

    iii) 3

    3 iv)

    9 x x :

    i. 1,2 3 3 , 2 1, 3 3 , 2 ii. 4, , 1, ,

    iii. 2,3 , 2, 1 ,

    iv. 5, 1 , 4, 1 ,

    .

    i) 3 60 ii) 0 0

    iii)

    90 iv) 0 0

    10 . - x x : i. 3,2 ii. 1,3 iii. 5,0

    .

    i) 2

    03

    90

    ii) 3 0 90 iii) 0 0

    11 2 . 1 . 2 . (),

    y y :

    i. 6

    ii.

    4

    iii.

    3

    iv. 2

    3

    v.

    3

    4

    vi.

    5

    6

    .

    i) 3

    3 ii) 1 iii) 3

    iv) 3 v) 1 vi) 3

    3

    12 1,2 , 3, 1 , 2, 4 . -

    :

    i. , ii. iii.

    .

    i) 3

    2 ii)

    1 5,

    2 2

    , 9

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    32 152 www.askisiologio.gr

    3

    5

    2

    iii) 1

    2

    13 2,4 :

    i. 0 ii. 2 iii. 4 iv.

    . i) y 4 ii) y 2x 8

    iii) y 4x 4 iv) x 2

    14 :

    i. 0,0 2, 2 ii. 1, 4 0, 3

    iii. 2, 5 4, 3 iv. 1, 9 4, 9

    v. 2,7 2, 7 vi. 8,16 8,10

    .

    i) y x ii) y x 3 iii) 1 13

    y x3 3

    iv) y 9 v) x 2 vi) x 8

    15 6, 3

    x x :

    i. 0 ii. 45

    iii. 60 iv. 90

    v. 120 vi. 135

    .

    i) y 3 ii) y x 9 iii) y 3x 6 3 3

    iv) x 6 v) y 3x 6 3 3 vi) y x 3

    16 3,1 ,

    :

    i. 2, 4

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 33 152

    ii. 1

    ( ) : y x 23

    iii. 0,3

    iv. x x 3

    4

    v. 3,5

    vi. . .

    i) y 2x 5 ii) 1

    y x 23

    iii) y 1

    iv) y x 2 v) x 3 vi) 1

    y x3

    17

    4,7 :

    i. 2,3

    ii. 0,3

    iii. y x 100

    iv. y 4

    v. x 5

    .

    i) 2 29

    y x3 3

    ii) x 4 iii) y x 13

    iv) x 4 v) y 7

    18 1,2

    y x 1 x x .

    3,1 . .

    : y x 1 , 3

    19 : i. y 2x 1 ii. y x 2 iii. y 5x 1

    iv. y x 8 v. y 4x vi. y 5x

    vii. y 6 viii. x 1

    .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    34 152 www.askisiologio.gr

    i) 1

    A ,0 , B 0,12

    , ii) A 2,0 , B 0, 2 , iii) 1

    A ,0 , B 0, 15

    , iv) A 8,0 , B 0, 8 ,

    v) O 0,0 , O 0,0 , vi) O 0,0 , O 0,0 , vii) A 0,6 , x x , viii) A 1,0

    y y , x ' x

    20 , , -:

    i. ( ) : y 2x 5 ( ) : y x 5

    ii. ( ) : y x 8 ( ) : y 2x 6

    iii. ( ) : y x 2 ( ) : y x 4

    iv. ( ) : y 2 ( ) : x 9

    .

    i)10 5

    M ,3 3

    ii) M 14,22 iii) iv) M 9,2

    21

    1

    : y x 53

    x x y y

    , 6.

    . y 3 x 9

    22 ,

    1: y x 6

    2 , x x y y -

    : i.

    4

    ii.

    9

    iii.

    0 2

    .

    i) y 2x 8 ii) : y 2x 6 : y 2x 6 iii) *y 2x ,

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 35 152

    23 2, 3 , 0,1 2, 5 .

    :

    i. ii.

    iii. iv.

    .

    i) AB: y 2x 1 , :1

    y x 42

    , : y 3x 1 , ii)AM:1 7

    y x3 3

    , :x=0, :

    4 7y x

    3 3 , iii) :

    1 7y x

    3 3 , : y 2x 4 ,

    :1 3

    y x2 2

    , iv):1 7

    y x3 3

    , : y 2x 1 :1

    y x 42

    )

    24 , :

    i. 2,4 , 5,1 , 2, 2 , 1,1 , .

    ii. 5,2 , 7,0 , 1, 2 , 1,0 , .

    25 3,2 , 2,5 : y 2x 1 .

    ,

    .

    .

    29 22

    M ,14 7

    26 4,2 2, 3 . -

    .

    . 9,1 , 1, 5 1, 5 , 9,1

    27 4,2 , 5,3 , 6,5 , 2,1 .

    i. .

    ii. .

    .

    ii)3

    y x2

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    36 152 www.askisiologio.gr

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 37 152

    2.2. ()

    :

    Ax By 0 A 0 0

    , .

    .

    yy 0, ,

    y x , :

    x 1 y 0

    0 0( )x ,y ,

    0x x , :

    0x 0 y x 0

    :

    Ax By 0 A 0 0

    , Ax By 0 A 0 0 .

    0 , A

    xB B

    y

    -

    A

    B yy 0,

    B

    .

    0 , , 0 x

    ,

    xx ,0

    .

    Ax By 0 A 0 0 .

    Ax By 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    38 152 www.askisiologio.gr

    0 0 0

    Ax By 0 0 .

    Ax By 0 A 0 0 x x

    ,0

    y y 0,

    .

    2.2.1.

    xy

    Ax By 0 , A 0 0 . 0 ,

    ,

    ( , ) . 0 , y y ,

    0 0,

    ( , ) . :

    Ax By 0 , A 0 0

    ( , ) .

    2.2.2.

    ( , ) . :

    ( , ) ( , ) 0

    2

    ,

    . : Ax By 0 A 0 0

    (A,B) .

    3

    : 3x 2y 11 0 ( 2, 3) (

    (2,3) ) (3, 2) .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 39 152

    2.2.3. :

    1 1 1 1: x y 0 1 10 0 ,

    2 2 2 2: x y 0 2 20 0

    1 1 1 1( , ) 2 2 2 2( , ) . 1 2 ( , )

    -

    1 2 1 2 1 2

    2 2 2 21 2 1 1 2 2

    .

    14

    -

    :

    1)

    .

    2) -

    , .

    ,

    , -

    .

    1

    1 : 2x y 1 0 2 : x 3y 4 0 .

    :

    1,2 1 ,

    3, 1 2 .

    .

    1( 3) 1 2 ( 1) 5 5 55 10 50 5 2

    2

    5

    2

    22 2

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    40 152 www.askisiologio.gr

    135

    , 45

    14.

    1 : 2 1 x 3 y 2 0

    2 : 3 x 2 y 1 0 .

    2,1

    x x , 35

    .

    x x

    2,4 1,1 .

    y y :

    ) 2,4 1,1

    ) 3,6 2 3 ,13

    2.2.4.

    :

    1 1 1 1 1 1

    2 2 2 2 2 2

    : x y 0, 0 0:

    : x y 0, 0 0

    :

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 41 152

    0 0x , y , 1 2 -

    0 0x , y . -

    :

    1 1 1 11 2 2 1 1 2 2 1

    2 2 2 2

    D 0 0 0

    , 1 2

    . D 0 xD 0 yD 0 .

    1 1 1 1

    2 2 2 2

    1 1 1

    2 2

    x

    1

    2 2

    0

    D 0

    0

    D 0

    1 1 1 1

    2 2 2 2

    1 1 1

    2 2

    y

    1

    2 2

    0

    D 0

    0

    D 0

    , 1 2 ,

    1 2 . 1 1

    x y1

    2 2 2

    D D D 0

    .

    15

    -

    :

    ) ,

    .

    ) , .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    42 152 www.askisiologio.gr

    ) , (

    ).

    1

    1 : y 2x 4 2 : y 4x 6 .

    :

    1 2 :

    2x 4 4x 6 x 5

    2 : y = 2 45 y 14

    ( 5, 14)

    15.

    ( ) 1 : 2x 3y 7 0

    2 : 3x 2y 4 0 .

    : 21 : 6 x y 3 0

    22 : 3 x 2 y 9 0 .

    16 -

    ( )

    , -

    .

    1

    1 : 2x y 5 , 2 : y x 8

    3 : 2x 3y 19 .

    :

    1 2

    .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 43 152

    :

    2x y 5

    x y 8

    3x 3 x 1

    y 7 .

    1 2 1,7

    3

    2 1 3 7 19 .

    3 , .

    16.

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    44 152 www.askisiologio.gr

    .

    x y 1 0

    3x 4 0

    x 2y 2 0

    17 ( . . . )

    ( ...) :

    1) ,

    (x, y) (x, y) 0 .

    2) (x, y) 0 (x, y) 0 ,

    .

    1

    2 2x y 10x 4y 21 0 -

    .

    :

    :

    2 2x y 10x 4y 21 0

    2 2x 10x y 4y 21 0

    2 2x 10x y 4y 25 4 0

    2 2x 10x 25 y 4y 4 0

    2 2

    x 5 y 2 0

    x 5 y 2 x 5 y 2 0

    x y 3 x y 7 0

    x y 3 0 x y 7 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 45 152

    1 : x y 3 0 2 : x y 7 0 .

    1 1 2 1 , -

    .

    2

    3 2 2 22x 3x y 3x xy x 2xy 0 3

    .

    :

    :

    3 2 2 2 2 22x 3x y 3x xy x 2xy 0 x 2x 3xy 3x y 1 2y 0

    22x 2x 3y 3 x y 1 0

    ( x )

    2 2

    1,2

    1

    2

    3 3y 9 y 1 4 2 y 1 3 3y y 1x

    4 4

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    46 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 47 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    48 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 49 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    50 152 www.askisiologio.gr

    : 3x 2y 1 0

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 51 152

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    3x 1,5y 7 0

    3. .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    52 152 www.askisiologio.gr

    x 2y 1 0

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    x 2y 1 0

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 53 152

    . 3x 4y 4 . 3x 4y 16 0 . 4y 3x 4 . 4

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    . 3 . 5 . 10 . 15 . 12

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    : 4x 3y 03

    477

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    5. 2

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    :

    . 4x 2y 5 0 . 4x 2y 13 0 . x 2y 10 0 . 4x 2y 13 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    54 152 www.askisiologio.gr

    6. 3, 2 -

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    . 3x 2y 1 0 . 3x 2y 1 0 . 2x 3y 5 0 . 2x 3y 0

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    3, 2

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 55 152

    .

    10. 21 x 1 y 5 0 ,

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    12. 2x y 1 x 2y 1 .

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    x x 120 .

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    56 152 www.askisiologio.gr

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 57 152

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    .

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    5 1 2 :

    i. 1 : 5x y 7 0 , 2 : 3x 2y 0

    ii. 1 : 3x 2y 1 0 , 2 : 2x 3y 3 0

    iii. 1 : y 2 0 , 2 : x y 1 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    58 152 www.askisiologio.gr

    iv. 1 : x 2y 2 0 , 2 : 2 1 x 1 2 y 1 0

    .

    i. 4

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    i. 1 : 2 x 2 y 3 0 ,

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    1 2

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    1 : x 7y 5 0 2 : 3x 4y 10 0

    .

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    . 1 2 .

    .

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    i. 2,1

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    .

    ii.

    1 : x y 1 0 2 : x y 2 0 ,

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    .

    .

    i. 1( ) : x 5y 7 0 2( ) : 5x y 9 0

    ii.

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 59 152

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    1 : x 1 y 4 0 2 : 3 1 x 2 y 7 0 .

    .

    0 3

    11

    1 : x 2 1 y 4 0 2 : 2x 3y 5 0 .

    .

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    12 1 : 3 2 x 1 y 7 0

    2 : 1 x 4 y 2 0 .

    .

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    i. 2x y 11 0

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    .

    i. ( ) : 2x y 1 0 ii. ( ) : x 3y 12 0

    iii. ( ) : y 5 iv. ( ) : x 3

    v. ( ) : x y 8 0 vi. ( ) : x y 2 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    60 152 www.askisiologio.gr

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    i. 2 x 3 y 1 0

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    .

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 61 152

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    .

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    iii. ( ) : 3x 2y 6 0 iv. ( ) : y x

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    62 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 63 152

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    : x 3y 10 0

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    64 152 www.askisiologio.gr

    iv. (1) x x y y

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    .

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    .

    . 1 : x y 2 0 2 : x y 2 0

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    . 1 : x y 1 0 2 : x y 3 0

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    i. x y 4 2x 3y 8 0 ii. x 1 y 9 0

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    . i. 2 : 2x 3y 8 0 1 : x y 4 0

    ii. 1 : x 1 0 2 : x 9 0

    iii. 1 : x y 0 2 : x 2y 0

    iv. 1 : x y 2 0 2 : x y 1 0

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    i. (1) 1 2

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 65 152

    ii. 1 2

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    i. 1 : x y 0 2 : x y 1 0

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    i. (1) 1 2

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    i. 1 : 2x y 3 0

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    iii. 9

    26

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    66 152 www.askisiologio.gr

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 67 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    68 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 69 152

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    1 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    70 152 www.askisiologio.gr

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    1 : 4x 2y 1 0 2 : y 2x 3 0

    .

    1 : x 2y 3 0

    2 : x 2y 0 5 5 .

    2.3.2.

    2.3.2..

    1 2 -

    1 2 .

    22 - -

    :

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 71 152

    1)

    .

    2) .

    3) , -

    , .

    1( ) , 2( ) ( ) -

    .

    1) (x, y) ( ) .

    2) 1 2d(M,( )) d(M,( )) .

    ( ) .

    1

    1 : x 2y 3 0

    2 : 2x 4y 7 0

    :

    1 2 1

    2 . -

    ,

    :

    1

    : y x2

    (3,0) 3

    ,12

    1 2 .

    9 1

    ,4 2

    . 1 1 9 13

    2 2 4 8

    :

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    72 152 www.askisiologio.gr

    1 13

    : y x2 8

    (x, y) .

    :

    1 2

    x 2y 3 2x 4y 7d(M, ) d(M, )

    5 2 5

    2(x 2y 3) (2x 4y 7) 4x 8y 13 0

    :

    ( ) : 4x 8y 13 0

    22.

    1 : x y 2 0

    2 : x y 4 0 .

    ( 2, 1) , (2,3) , (8,3)

    (2, 1) .

    .

    2.3.2..

    1 2

    .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 73 152

    o 23 - -

    :

    1) .

    2) , .

    3) (x, y) .

    4) A , B , .

    5)

    ( ( A ,

    ) ( , B

    ) -

    ), .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    74 152 www.askisiologio.gr

    ,

    .

    1) (x, y) .

    2) ,

    1 2d( , ) d( , ) ,

    .

    -

    .

    3)

    ,

    1d( , ) 2d( , ) .

    1 2d( , ) d( , ) 1 .

    1 2d( , ) d( , ) 1 .

    1 2d( , ) d( , ) 1 2 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 75 152

    1 2

    1 1 1 1: x y 0 1 0 1 0

    2 2 2 2: x y 0 2 0 2 0

    1 1 1 1( , )

    2 22 2( , )

    ( )x, y

    :

    2 21 1 11 22 2 2 2

    1 1

    2

    2 2

    x yx yd , d ,

    1

    1 : 4x y 14 0 2 : x 4y 4 0 .

    1

    2 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    76 152 www.askisiologio.gr

    :

    1 2 .

    :

    4x y 14 0 x 4

    x 4y 4 0 y 2

    . ( 4, 2)

    2(0, 1) , 1(0,14) 1(x , y ) ( 1

    1 2,

    ).

    :

    (4,1) 17

    (4,16) B 4 17

    o o(x 4, y 2)

    :

    1 2

    . .

    ||. || ||.| |

    0 0 0 0(x 4) 4 (y 2) 1 (x 4) 4 (y 2) 16

    17 4 17

    o o o o3x 3y 6 0 x y 2 0

    1

    1 : x y 2 0

    2 :

    1 2 1 2 21 1

    2 ( 4, 2) 2 1

    :

    2 : y 2 1 (x 4) x y 6 0

    2

    1 : 3x 6y 5 0 2 : 2x y 3 0 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 77 152

    :

    ) -

    ) ;

    :

    ) M(x, y)

    1 : 3x 6y 5 0 2 : 2x y 3 0

    1 2d(M, ) d( , )

    1 2d(M, ) d( , )

    2 2 2 2

    3x 6y 5 2x y 3

    3 ( 6) 2 ( 1)

    5 3x 6y 5 45 2x y 3

    5 3x 6y 5 x y 39 5 2

    3x 6y 5 3 2x y 3

    3x 3y 4 0 9x 9y 14 0

    1 2

    :

    1 : 3x 3y 4 0 2 : 9x 9y 14 0

    ) 2 : 2x y 3 0 , . ( 1,1) . -

    12 2

    3 ( 1) 3 1 4 4d(A, )

    3 23 3

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    78 152 www.askisiologio.gr

    22 2

    9 ( 1) 9 1 14 4d(A, )

    9 23 3

    1 2d( , ) d( , ) . 2 .

    23.

    1 : 2x y 1 0 2 : 2x 4y 1 0 .

    1 2 .

    1 : x 2y 1 0 2 : 2x y 1 0 .

    ) -

    ) ;

    2.3.3.

    1 1x , y , 2 2x , y

    3 3x , y :

    2 1 2 13 1 3 1

    x x y y1 1det , | |

    x x y y2 2

    1 2 1 23 2 3 2

    x x y y1 1det , | |

    x x y y2 2

    1 3 1 32 3 2 3

    x x y y1 1det , | |

    x x y y2 2

    2 1 2 1x x ,y y , 3 1 3 1x x ,y y , 1 2 1 2x x ,y y ,

    3 2 3 2x x ,y y , 1 3 1 3x x ,y y , 3 2 3 2x x ,y y .

    - (x1, y1), (x2, y2) (x3, y3),

    . -

    .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 79 152

    . : 1

    ( ) ( ) ( )2

    (1). :

    2 2

    3 2 3 2( ) (x x ) (y y ) 2 2

    1 1( ) (x x ) (y y )

    2 3x x , 3 2

    3 2

    y y

    x x

    3 22 2

    3 2

    y yy y (x x )

    x x

    2 3 2 3 2 2y y x x y y (x x ) 0 (2)

    2 3x x , 3x x ,

    (2).

    (2),

    :

    3 2 3 2 2 3 3 2(y y )x (x x )y y x y x 0

    () :

    3 2 1 3 2 1 2 3 3 22 2

    3 2 3 2

    (y y )x (x x )y y x y x( )

    (y y ) (x x )

    (3)

    2 1 2 1x x ,y y 3 1 3 1x x ,y y , :

    2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 13 1 3 1

    x x y ydet( , ) x x y y y y x x

    x x y y

    =

    3 2 1 3 2 1 2 3 3 2(y y )x (x x )y y x y x

    (3) :

    det( , )( ) det( , ) ( ) ( )

    ( )

    (1) :

    1 1( ) ( ) ( ) ( ) det( , )

    2 2

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    80 152 www.askisiologio.gr

    :

    1 1( ) det( , ) det( , )

    2 2

    24 - .

    :

    ) 2

    AB

    ) :

    1

    det ,2

    1

    2, 3 , 1,5 2, 2 ,

    .

    :

    AB

    (1 2,5 ( 3)) ( 1,8)

    (2 1,2 5) (1, 3)

    det( , ) :

    (x y 1 8

    det(AB,A ) 1 5x y 1 3

    3) 8 1

    :

    1 1 5( ) det( , ) 5

    2 2 2

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 81 152

    24.

    1 : x y 1 , 2 : y 2 3 : 4x 3y 6 .

    .

    1 : x 2y 2 0 2 : x y 1 0 3

    4

    .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    82 152 www.askisiologio.gr

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 83 152

    1. 0 0x , y

    x By 0 ;

    2. ,

    ;

    3. ;

    1. :

    ) 0 0x , y x By 0

    d ,

    ) ..

    2.

    1 : 3x 4y 8 0 2 : 4x 3y 4 0

    3 :12x 5y 9 0 4 : 5x 12y 72 0 5 : 24x 7y 69 0 6 : 7x 24y 192 0

    1,1 . id ,

    i , i 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

    3. ,2 :

    1. 1 : 7x 8y 5 0 ;

    2. 1,4 4, 1 ;

    3. 2 : 3x 4y 8 0 3 : 4x 3y 6 0 ;

    4. 5,3 1,6 16 ..;

    5. 4 : 3x 4y 8 0 5 : 3x 4y 4 0 ;

    6. 7,2 6,4 14

    ..;

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    84 152 www.askisiologio.gr

    4. ( ) :

    1. x y 0

    1 : 2x 3y 7 0 ;

    2.

    2 x y 5 0

    21 1

    : x y 1 03 2

    ;

    3.

    1, 3 : 3x 4y 5 0

    8

    5;

    4. 1, 4 : 3x 4y 2 0

    5 :12x y 0 ;

    5. , 1,5 , 1,4 , , 2 5

    2 ..;

    -

    .

    1. 0,0 , ,0 ,

    . 2

    .

    2

    . .

    2

    .

    2

    2. 5, 1 3x 2y 2 0

    . 13 15

    13 .

    13 15

    15 .

    15 13

    13 .

    15 15

    13 .

    15 13

    15

    3.

    3x 3y 6

    . 9

    2 . 9 . 4 . 2 . 1

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 85 152

    .

    1. 0 0x , y : x By 0 :

    0 02 2

    x Byd ,

    .

    2. d , 0 0x , y

    : x By 0

    0 0x By d , 2 2

    3.

    det ,

    4. 1 1: y x 2 2: y x

    : 1 21 22

    d ,1

    .

    5. y x y x 1 1.

    6. 2x 5y 10

    x x y y , 5 ..

    7. , , ()

    , :

    det , 2

    det , 2

    8. d ,

    d , 0 . .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    86 152 www.askisiologio.gr

    9. det , det , .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 87 152

    1 3, 2 :

    i. 1 : 3x 8 0

    ii. 2 : 2y 5 0

    iii. 3 : 3x 4y 11 0

    .

    i. 11

    d ,3

    ii. 21

    d ,2

    iii. 36

    d ,5

    2 :

    i. 1, 2 : 2x 3y 5 0

    ii. 0,4 : x y 1 0

    iii. 3, 2 : y 2x 5

    iv. 7,3 : y 5

    v. 4, 9 : x 2

    .

    i. 13

    d ,13

    ii. 3 2

    d ,2

    iii. 5

    d ,5

    iv. d , 2 v. d , 6

    3 4,13 ,

    10,1 , 2,5 .

    .

    60 . . , 4 10 . , 3 10 .

    4 : 3x 4y 5 0

    1,2 3.

    .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    88 152 www.askisiologio.gr

    1 : 3 x 4y 20 0 2 : 3 x 4y 10 0

    5 : 6x 8y 7 0

    2,3 3.

    .

    1 : 4 x 3y 16 0 2 : 4 x 4y 14 0

    6

    3 5.

    .

    1 : y 3x 5 10 0 2 : y 3x 5 10 0

    7 x x

    : 5x 12y 60 0 .

    .

    15

    ,02

    10

    ,03

    8 1,3 1.

    .

    4

    : y x2

    9 x y 2 0 ,

    12x 5y 60 0 1.

    .

    0 037 51

    x ,y ,7 7

    0 0x , y 9, 7

    10 2, 1

    : 1 x y 3 2 0 d 4 .

    .

    0 1

    11

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 89 152

    1

    x y: 0

    2 : x y 2 0 .

    d1, d2 0,0 1

    2 , : 2 2 2

    1 24d d .

    .

    1d 2d 0 0

    2 2

    Ax Byd( , )

    12 3 x 2 1 y 0 (1) 1,5

    i. (1)

    ii. , d , 2

    i) 0 ii)9

    ,111

    13 B 1,1

    B 3,4 2.

    .

    5x 12y 7 0

    14 1,2 5,4 .

    i.

    ii. : x y 1 0 -

    .

    i) y 2x 9 , ii) 0 0x , y 8, 7

    15 3,2 , 3,1 , 4,0 .

    i.

    ii.

    .

    i) x 6y 9 0 ii) 13 37

    37 y 6x 24

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    90 152 www.askisiologio.gr

    16 : 5x 3y 2 0 -

    1 , 2 1 2d , 10 .

    1 2 .

    1 : 5x 3y 2 5 34 0 , 2 : 5x 3y 2 5 34 0

    17 : 6x 8y 9 0 -

    1 2 2 .

    1 2 . .

    1 :6x 8y 19 0 , 2 :6x 8y 1 0

    18 : 2x y 1 0

    1 2 5 .

    .

    .

    15 5

    : 2x y 1 02

    , 25 5

    : 2x y 1 02

    19

    1 : 3x 4y 12 0 , 2 : 3x 4y 22 0 .

    .

    : 3x 4y 17 0

    20 Oxy 1, 2

    3, , , .

    i. ,

    1 : y x 3 2 : y x 3

    ii. 1 , 2

    . ii) : x y

    21 1 : 3x y 10 0 2 : x 3y 16 0 .

    1 2 .

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 91 152

    .

    1 : x y 13 0 , 2 : 2x 2y 3 0

    22 -

    1 : 3x 2y 4 0 2 : 2x 3y 6 0 .

    .

    1 : x y 2 0 , 2 : x y 2 0

    23 -

    1 : y 2x 1 2 : 2x 4y 1 0 .

    .

    1 : 2x 2y 1 0 , 2 : 2x 2y 1 0

    24 : 7x 4y 16 0

    1 : 3x 4y 4 0

    2 : 5x 12y 4 0 . .

    25 :

    i.

    1 : 2x y 3 0 2 : 2x 4y 9 0

    ii. ;

    . i) 1 : 2x 2y 15 0 , 2 : 2x 2y 1 0

    ii) 2 .

    26 :

    i. 1 : y 2x 3 2 : y 2x 16 ,

    ii. 1 : 3x 2y 5 0 2 : 6x 4y 15 0 ,

    iii. 1 : y 1 2 : y 20 ,

    iv. 1 : x 7 2 : x 12 .

    .

    i) 19 8

    8 ii)

    25 13

    26 iii) 21 iv) 19

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    92 152 www.askisiologio.gr

    27 1 : x y 1 0 2 : 2 x 2y 0 , .

    , : 1 2 1 2d , 2 2 . .

    , 1,10 , 1, 6 , 1,6 , 1, 10

    28 1 : 3x 4y 12

    2 : 3x 4y 2 .

    .

    1 2d , 2

    29 ,

    : 2x y 2 0 4

    .

    1 : 2x y 4 0 , 2 : 2x y 4 0

    30 2,6

    3.

    .

    1 : 3x 2y 6 0 , 2 : 6x y 6 0

    31 1,4 1, 5 .

    i. -

    .

    ii. .

    iii.

    .

    iv. -

    .

    v.

    .

    ,

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 93 152

    .

    i.

    10,

    2

    ii. 9

    2 iii.

    2 1y x

    9 2

    iv. 2

    y x9

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    36

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    94 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 95 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    96 152 www.askisiologio.gr

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 97 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    98 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 99 152

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    http://www.askisiologio.gr/

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    100 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 101 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    102 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 103 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    104 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 105 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    106 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 107 152

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  • : A s k 4 M a t h

    108 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    110 152 www.askisiologio.gr

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  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 111 152

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  • : A s k 4 M a t h

    112 152 www.askisiologio.gr

    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 113 152

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  • : A s k 4 M a t h

    114 152 www.askisiologio.gr

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    www.askisiologio.gr 115 152

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    http://www.askisiologio.gr/

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    116 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 117 152

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    118 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 119 152

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    120 152 www.askisiologio.gr

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    http://www.askisiologio.gr/

  • : A s k 4 M a t h

    www.askisiologio.gr 121 152

    http://www.askisiologio.gr/

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    http://www.askisiologio.gr/

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    www.askisiologio.gr 123 152

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    124 152 www.askisiologio.gr

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