000 PROTOSELIDA SEL - neolaia.gr€¦ · Μία ευθεία της Ελλειπτικής...

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΟΣΙΟ

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α :

από την Επιστήµη στην Εφαρµογή

ΠΕΡΙΛΗΨΕΙΣ

1-2 Ιουνίου 2012ΣΥΝΕ∆ΡΙΑΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ

Επιστηµονική Επιτροπή

∆ρ Ιωάννης Βενέρης, Καθηγητής, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π.∆ρ Α. – Μ. Κουρνιάτη, Επίκουρη Καθηγήτρια, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π.∆ρ Αικατερίνη Λιάπη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Αναπληρώτρια Πρόεδρος Τµήµατος

Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών∆ρ Στέλιος Μαρκάτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

και Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π.∆ρ Βασίλης Παγούνης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Προϊστάµενος Τµήµατος Τοπογρα-

φίας Τ.Ε.Ι. ΑθήναςΚυριάκος Ρόκος, Γλύπτης, Καθηγητής, Τµήµα Συντήρησης Αρχαιοτήτων και Έργων

Τέχνης Τ.Ε.Ι. Αθήνας∆ρ Ιωάννης Τζουβαδάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.

Οργανωτική Επιτροπή

Γεώργιος Λευκαδίτης, Καθηγητής, Τµήµα Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας∆ρ Σταµατίνα Μαλικούτη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Προϊσταµένη Τµήµατος Πολιτι-

κών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. ΠειραιάΆρης Μαυροµµάτης, Μαθηµατικός, Καθηγητής, Εθνική Εστία Επιστηµών, Επιστηµονι-

κός Σύµβουλος Μουσείου Ηρακλειδών

Γραµµατεία

Ιουλιέττα Μαµφρέδα, τελειόφοιτη Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

Τεχνική υποστήριξη

Γεώργιος Εξαρχάκος, Εργαστηριακός Συνεργάτης Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικώνΈργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

Το Συµπόσιο οργανώθηκε από το Τµήµα Πολιτικών ∆οµικών Έργων µε την υποστήρι-ξη του Τ.Ε.Ι. Πειραιά.

Copyright © έκδοσης: 2012 Τµήµα Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. ΠειραιάΘηβών 250 & Π. Ράλλη – 122 44 Αιγάλεωhttp://civil.teipir.gr

Σύγχρονη Εκδοτική Ε.Π.Ε.Σόλωνος 120 – 106 81 Αθήναwww.synchroniekdotiki.gr

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ ...........................................................................7– Προέδρου Τ.Ε.Ι. Πειραιά– Προϊσταµένης Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων

Ιωάννης Αραχωβίτης«Γεωµετρία: Ορισµός και Σύνοψη Εφαρµογών» .................................................11

∆ηµήτρης Γεωργίου - Θανάσης Μεγαρίτης«Ευκλείδειοι Χώροι και Θεωρία ∆ιαστάσεων» .....................................................11«Πεπερασµένοι Χώροι και ∆ιάσταση Κάλυψης» ..................................................12

Στέλιος Μαρκάτης«Γεωµετρία: Θεµέλιος Λίθος της Εκπαίδευσης» ..................................................12

Βασίλειος Παπαντωνίου«Η εξέλιξη της γεωµετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη µέχρι σήµερα»..................13

Αλκιβιάδης Ακρίτας - Κυριακή Τσιλίκα«Το Σύστηµα Υπολογιστικής Άλγεβρας Xcas ως Περιβάλλον ∆υναµικής Γεωµετρίας»...................................................................................................17

Αλέξανδρος Αλιεύς, Αγγελίνα Σκαράκη, ∆ήµητρα Φακλή«Σκέψεις για τη σχέση της ποσοτικής και ποιοτικής διάστασης της γεωµετρίας µε την οικοδοµική επιστήµη και τέχνη στα πλαίσια οργάνωσης σχετικού µαθήµατος σε σχολές µηχανικών – εκπαιδευτικών»............................................18

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ – ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ(µε αλφαβητική παράθεση των πρώτων εισηγητών)

ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ(µε αλφαβητική παράθεση των πρώτων εισηγητών)

Αλέξανδρος Βαζάκας«Επιφάνειες ∆ιπλής Καµπυλότητας και η Κατασκευή τους από ξύλο µε Μεθόδους Cad/Cam: το Πείραµα ενός Μαθήµατος»........................................19

Χρήστος Κίτσος«Εφαρµόζοντας τη Γεωµετρία στην Στατιστική» .................................................20

Γεώργιος Λευκαδίτης - Θανάσης Κουκοφίκης«Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke»...................................21

Στέλιος Μαρκάτης«Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή» ...................22

Άρης Μαυροµµάτης«Γεωµετρία: Μια γέφυρα µετάβασης από την ανάγκη του αισθητικά ωραίου και εφικτώς τεχνικά αναπαραστάσιµου, στην ανάγκη του λογικά αληθούς»...........22

∆ήµος Πανταζής, Ελένη Γκαδόλου, Παναγιώτης Στρατάκης, Θανάσης Κουκοφίκης«Χαρτογραφία και Γεωµετρία: Οµοιότητες και ∆ιαφορές – Εκπαιδευτικά Παραδείγµατα από την ∆ιδασκαλία των µαθηµάτων Χαρτογραφίας στο Τ.Ε.Ι. Αθήνας» .........................................................................................24

Απόστολος Παπανικολάου«H Γεωµετρία ως ιστορική αλλά και διδακτική γενέτειρα θεµελιωδών συναρτήσεων» ...............................................................................................24

Αναστασία Ταουκτσόγλου«Χρήση των Νέων Τεχνολογιών στη ∆ιδασκαλία της Γεωµετρίας» ........................25

∆ηµήτρης Χασάπης«Η Μάθηση της Γεωµετρίας ως Οικειοποίηση της Χρήσης Γεωµετρικών Οργάνων: ∆ύο Μαθησιακά Επεισόδια και Μια ∆ιδακτική Πρόταση».......................28

Φίλιππος Αζαριάδης«Μέθοδοι γεωµετρικής µοντελοποίησης βασισµένες σε σηµειοσύνολα: εφαρµογές στην παραµετροποίηση νέφους σηµείων και στη σχεδίαση προϊόντων»....................................................................................................29

∆ηµήτριος Κοντοκώστας«Καµπύλες Bezier, ένα σχεδιαστικό βοήθηµα» ...................................................30

Παναγιώτης Νικολαΐδης«Γραµµές και Επιφάνειες 2ου Βαθµού: Τυπολογία και Κατασκευή».......................31

Πάρις Πάµφιλος«Ευκλείδεια Γεωµετρία µε το EucliDraw» ...........................................................32

∆ήµητρα Σταθοπούλου«Από την Χορευτική Κίνηση στην Αρχιτεκτονική Μορφή»....................................33

ΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

4 Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή

Γιάννης Αθανασόπουλος«Η µετάβαση από την κλειστή στην ανοικτή µορφή. Μια διαχρονική εξέταση του φαινοµένου»............................................................................................35

Ελένη Αµερικάνου«Αναγνώσεις γεωµετρίας: Η γεωµετρική υφή των στοιχείων σύνταξης του αρχιτεκτονικού χώρου» .............................................................................35

Χρυσούλα Βαρλάµου«Γεωµετρία, πλαστικότητα, αρµονία στην αρχιτεκτονική εσωτερικών χώρων» .......36

Παναγιώτης Βασιλάτος«Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µια κριτική – αιρετική προσέγγιση»...................................................................38

Σταµατίνα Γεωργοπούλου«Η Γεωµετρία του Βέλτιστου Ηλιασµού στην Αρχιτεκτονική» ...............................39

Γιάννης Ζαβολέας, ∆ηµήτρης Ζησιµόπουλος, Βασίλης Παππάς, Βασίλης Στρουµπάκος, Ιωάννα Συµεωνίδου«Καταχρήσεις του Κώδικα στην Αρχιτεκτονική: Τοπολογικοί Πειραµατισµοί µέσω Υπολογιστικών Μεθόδων» .......................................................................40

Λίλα Θεοδωρίδου, Ζωή Σωτηρίου, Γλυκερία Καριώτου«Γεωµετρία ή Χωρική Οργάνωση; Η Συντακτική θεωρία του Χώρου και Ελληνικές Εφαρµογές»....................................................................................41

Αντώνης Κολσούζογλου«Η γεωµετρία του χώρου ως µέσο αφήγησης στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό» .......42

Νίκος Κουρνιάτης«Η γεωµετρική νοηµατοδότηση της αρχιτεκτονικής»...........................................43

Σοφία Κυρατζή«Ορισµός Πολύεδρου από Σκίτσο: Αντίστροφη ∆ιαδικασία Ορθογραφικής Προβολής» ....................................................................................................45

Αικατερίνη Λιάπη«Χωρικές ∆οµές “Tensegrity” και Γεωµετρία: από την Αρχική Ιδέα στην η Υλοποίηση»....................................................................................................46

Στέλιος Μαρκάτης«Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή» ...................47

Γιώργος Ορφανόπουλος«Fractals, µέτρο τάξης και αταξίας στο Χώρο» ...................................................47

Αλέξανδρος Τσίγκας«Το Φαινόµενο της Γεωµετρίας ως ο Βασικός Παράγων στην δηµιουργία Αρχιτεκτονικού Τόπου» ...................................................................................48

ΙΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ – ΜΟΡΦΗ - ΧΩΡΟΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5

Ανδρέας Αρβανιτογεώργος - Μαρίνα Σταθά«Επίλυση ενός προβλήµατος κατασκευής µε χρήση θεωρίας καµπυλών»...............50

Εµµανουήλ Βαϊρακτάρης - Κωνσταντίνος ∆ηµάκος«Γεωµετρία και Μηχανική µε έµφαση στη ∆οµική Μηχανική των Κατασκευών»......50

Σάββας Βασιλειάδης, Αργυρώ Καλλιβρετάκη, Χριστόφορος Προβατίδης, Μαρία Ραγκούση, Στέλιος Ποτηράκης«Ο Ρόλος της Γεωµετρίας στην Υπολογιστική Μοντελοποίηση Υφασµάτων» ...........52

Ανδρεάνα Παπαντωνίου«Κατασκευή ξύλινου κελύφους καµπυλόµορφης γεωµετρίας: Η περίπτωση του συστήµατος “Waffle-Structure”».................................................................53

Ευαγγελία Πέππα«Γεωµετρική Αναπαράσταση και Επίλυση Προβληµάτων Σχεδιασµού»...................54

Βασίλειος ∆ρακόπουλος«Η επιστηµονική και καλλιτεχνική δηµιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτική διαδικασία» ....................................................................................................56

Κωνσταντίνος Καζαµιάκης«Η Γεωµετρία στο Μυθιστόρηµα του Χάρι Μούλις “Η Ανακάλυψη του Ουρανού”» ..............................................................................................57

Ασπασία Παπαδοπεράκη«Η τάξη της Γεωµετρίας και των αριθµών στην Τέχνη του Θησαυρού των Σιφνίων στους ∆ελφούς» ..........................................................................58

Ιάκωβος Ποταµιάνος«Η Γεωµετρία του Φωτός ως Παράγων Γέννησης της Μορφής και του Χώρου»......58

Κυριακή Τσιλίκα«Η Γεωµετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: µια ιστορική αναδροµή» ....................................................................................................59

Χριστίνα Φίλη«Η Γεωµετρικοποίηση της Προοπτικής από τον Alberti» ......................................60

Σταµάτης Ψαρράς1.«Ο Αρµονογράφος – Μουσικές Εξισώσεις»......................................................612.«Πάρκο D# – Γεωµετρικές Αντιστίξεις» ..........................................................62

V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ

IV. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ


ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ

Η πολυεπίπεδη αναβάθµιση των εκπαιδευτικών παροχών, ευρύτερα από την εκπαι-δευτική διαδικασία στις αίθουσες και στα εργαστήρια, συνιστά σταθερό στόχο τουΤεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Πειραιά.

Στο πλαίσιο αυτό, χαιρετίζω την πρωτοβουλία του Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικώνΈργων, να σχεδιάσει και οργανώσει το Συµπόσιο Γεωµετρίας µε θέµα:

«Γεωµετρία: από την Επιστήµη στην Εφαρµογή»

Το θέµα του Συµποσίου είναι εξαιρετικά επίκαιρο, αφού ο εντός των Μαθηµατικώνειδικός ρόλος της Γεωµετρίας και των µεθόδων της έχει κεφαλαιώδη σηµασία, αφενόςγια την επιστηµονική κατάρτιση του µηχανικού, αφετέρου για την υλοποίηση τωνέργων του.

Σε πρώτη θεώρηση, στην καθηµερινή εξάσκηση του επαγγέλµατος, ο επιστήµοναςµηχανικός ασχολείται κυρίως µε ωφελιµιστικές εφαρµογές των πορισµάτων της µαθη-µατικής επιστήµης και όχι µε την µαθηµατική έρευνα. Ωστόσο, εµβαθύνοντας, πρέπεινα συνειδητοποιηθεί το γεγονός, ότι για την καταλληλότερη και αποδοτικότερη εκµε-τάλλευση των πορισµάτων αυτών και για την περαιτέρω διεύρυνση των εφαρµογώναπαιτείται άριστο θεωρητικό υπόβαθρο. Η θεωρητική υποδοµή συνεργεί στην απε-µπλοκή της νοητικής λειτουργίας από τυποποιηµένες λύσεις, που περιορίζουν καιδεσµεύουν την δηµιουργική ικανότητα του επιστήµονα µηχανικού.

Το Συµπόσιο είναι σαφώς προσανατολισµένο προς αυτήν την κατεύθυνση, προ-σεγγίζοντας την Γεωµετρία, τόσο ως επιστήµη, όσο και ως νοητικό εργαλείο πουεγγυάται τη δηµιουργία και την υλοποίηση τεχνικών και τεχνολογικών εφαρµογών.

Λάζαρος Βρυζίδης, ΚαθηγητήςΠρόεδρος Τ.Ε.Ι. Πειραιά

Η εκδήλωση αυτή εντάσσεται στα πλαίσια των επιστηµονικών δραστηριοτήτων τουΤµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων του Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος Πει-ραιά, οι οποίες σχεδιάζονται σε τακτά χρονικά διαστήµατα.

Αφορµή για την οργάνωση του Συµποσίου µε θέµα «Γεωµετρία: από την Επιστή-µη στην Εφαρµογή» αποτέλεσαν οι διαπιστώσεις και ο προβληµατισµός µελών τηςακαδηµαϊκής κοινότητας για τις συνέπειες του ελλειµµατικού γνωστικού υποβάθρουτων φοιτητών στην Γεωµετρία στα Τριτοβάθµια Ιδρύµατα.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ 7

Η υλοποίηση του Συµποσίου δεν θα ήταν εφικτή δίχως την καθοριστική συµβολήτων µελών της Επιστηµονικής και της Οργανωτικής Επιτροπής, την προσφορά τηςγραµµατειακής και της τεχνικής υποστήριξης, το εθελοντικό έργο φοιτητών του Τµή-µατος, καθώς και την οικονοµική στήριξη από την κεντρική διοίκηση του Ιδρύµατόςµας και τον χορηγό της εκδήλωσης.

Από τη θέση αυτή, ευχαριστούµε θερµά όλους τους συντελεστές.

Τ.Ε.Ι. Πειραιά, Μάιος 2012

Σταµατίνα Γ. Μαλικούτη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Προϊσταµένη Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων


ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ

Ιωάννης Αραχωβίτης, Σώµα Οµοτίµων Πανεπιστηµίου Αθηνών, κεντρικός οµιλητής

«Γεωµετρία: Ορισµός και Σύνοψη Εφαρµογών»

Περίληψη Ορισµός κατά F. Klein Ευκλείδεια Γεωµετρία: Κατασκευή Σύµπαντος κατά Πλά-

τωνα (Big Bang) Ευκλείδεια Γεωµετρία: Le Corbusier ο σύγχρονος ΦειδίαςWassilyKandinsky και η Ευκλείδεια θεµελίωση της Τέχνης Αναλυτική Γεωµετρία (η αλγεβρο-ποίηση της Ευκλείδειας): Αρχιτεκτονικές κατασκευές µε κελύφη τύπου ΣΕΦ Αναλυτι-κή Γεωµετρία: ∆ιαστηµικά και επίγεια τηλεσκόπια «πιάτα», ραντάρ, τζάκια, σόµπες ηλε-κτρικές, φανάρια αυτοκινήτων αλλά και µηχανήµατα λιθοτριψίας µε προδιαγραφές τωνπρωτεργατών της Α.Γ. Αφινική Γεωµετρία (περιέχει την Αναλυτική. Μέσα σ’ αυτήνζούµε και ενεργούµε. Την χρησιµοποίησε και ο Einstein και ίσως να είναι η UnificationGeometry του Σύµπαντος): Εφαρµόζεται από τον κουλουρά της γωνίας, τους µαύρουςτης γωνίας µε τα φτηνά «επώνυµα» εµπορεύµατα, αλλά και στα διαστηµικά κέντραεκτόξευσης πυραύλων. Οι χώροι µε τους οποίους ασχολείται είναι οι λεγόµενοι Αφινι-κοί Χώροι στους οποίους ανήκει κάθε ∆ιανυσµατικός Χώρος. Αφινικοί Χώροι εµφανίζο-νται σε χαρακτικά του Escher, ενώ υπό τη µορφή πονταδόρου είναι απαραίτητη ηχρήση τους για την κατασκευή αντιγράφων στην Γλυπτική. Ένα αφινικό επίπεδο απο-τελεί η επιφάνεια που ορίζεται από τη διπλή έλικα του DNA όπως αποδεικνύεται. ΟΛογαριθµικός αφινικός χώρος (ορ. Ι. Αραχωβίτη) χρησιµοποιείται µεταξύ άλλων καιστην κατασκευή µουσικών κλιµάκων (π.χ. C.P.E. Bach) Υποπροϊόντα της ΑφινικήςΓεωµετρίας, εκτός από την Ευκλείδεια είναι και άλλες Γεωµετρίες µίας Συµµετρικής∆ιγραµµικής Μορφής, όπως οι Μη Ευκλείδειες Γεωµετρίες Ελλειπτική και Υπερβολική.Μία ευθεία της Ελλειπτικής Γεωµετρίας που συναντάµε στο CERN είναι η περιφέρεια τουLHC. Ευθύγραµµα τµήµατα είναι – ως τόξα µεγίστων κύκλων – οι πλευρές του σφαιρι-κού τριγώνου των Βερµούδων µε άθροισµα γωνιών περίπου 181° > 180°. ΠαράδειγµαΥπερβολικής Γεωµετρίας – τοπικά – είναι η επιφάνεια της Ψευδοσφαίρας του Beltrami(αφού το άθροισµα των γωνιών ενός καµπυλόγραµµου τριγώνου είναι <180°) πουπεριγράφει την επιφάνεια µίας Μαύρης Τρύπας. Η Ψευδοσφαίρα του Beltrami είναι σαντο «χωνί» παλιού γραµµόφωνου ή µίας «ντουντούκας». Ένα µοντέλο Poincaré Υπερ-βολικής Γεωµετρίας είναι το έργο του Escher “Heaven and Hell”. ∆ιασύνδεση υπάρχεικαι µεταξύ Αφινικής και Προβολικής Γεωµετρίας. Παραδείγµατα υπάρχουν πολλά: σεόσους πίνακες είναι εµφανής η προοπτική. Ένα σκόπιµο αντιπαράδειγµα αποτελεί οπίνακας του Mantegna “The Lamentation over The Christ”. Το αντίστροφο του τίτλουτου Συµποσίου ισχύει; Φτιάξε και συ µία Γεωµετρία! Μπορείς!

∆ηµήτρης Γεωργίου, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµί-ου Πατρών, προσκεκληµένος οµιλητήςΘανάσης Μεγαρίτης, ∆ρ Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών, Συνεργά-της Τµήµατος Λογιστικής Τ.Ε.Ι. Μεσολογγίου

1. «Ευκλείδειοι Χώροι και Θεωρία ∆ιαστάσεων»

Περίληψη

Στην οµιλία αυτή θα παρουσιασθούν συνοπτικά οι Ευκλείδειοι χώροι και θα ανα-

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ – ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗ 11

δειχθούν τα προβλήµατα που οδήγησαν στη θεµελίωση και ανάπτυξη της Θεωρίας∆ιαστάσεων.

2. «Πεπερασµένοι Χώροι και ∆ιάσταση Κάλυψης»

Περίληψη

Οι πεπερασµένοι χώροι µελετούνται συστηµατικά από πολλούς ερευνητές λόγωτων σηµαντικών εφαρµογών που έχουν σε διάφορους τοµείς της επιστήµης όπως γιαπαράδειγµα Computer Graphics και Digital Spaces. Στην οµιλία αυτή θα παρουσια-σθούν συνοπτικά οι πεπερασµένοι χώροι, βασικές ιδιότητες αυτών, όπως επίσης καιένας αλγόριθµος υπολογισµού της διάστασης κάλυψης ενός πεπερασµένου χώρου,βασιζόµενος σε γνώσεις θεωρίας πινάκων.

Στέλιος Μαρκάτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικώνκαι Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π., προσκεκληµένος οµιλητής

«Γεωµετρία: Θεµέλιος Λίθος της Εκπαίδευσης»

Περίληψη

1. Επιδιωκόµενοι Σκοποί µε την διδασκαλία της Γεωµετρίας: 1.1. Ακρίβεια στον συλλογισµό και την έκφραση. 1.2. Βελτίωση της εφευρετικότητας και της φαντασίας. 1.3. Απόκτηση γεωµετρικών γνώσεων.

1.1. Στην Γεωµετρία είναι σαφές το ορθό και το αντίστροφο. Το πεντάπτυχο:

Ανάλυση, Σύνθεση, Κατασκευή, Απόδειξη και ∆ιερεύνηση. Περιγραφή σχηµάτων και έκφραση συλλογισµών µε λόγια.

1.2. Ανάπτυξη στρατηγικής για την λύση προβληµάτων. Η Στερεοµετρία είναι η κατ’ εξοχήν άσκηση της Φαντασίας.

1.3. Κατανόηση των στοιχείων που απαρτίζουν το γεωµετρικό επίπεδο και τον γεω-

µετρικό χώρο, και των σχέσεων µεταξύ των στοιχείων αυτών. Εξοικείωση µε τις ιδιότητες του χώρου, στον οποίο ζούµε και ενεργούµε.

2. Τι ∆ΕΝ είναι η Γεωµετρία:Ο περιορισµός της διδασκοµένης ύλης στο µάθηµα της Γεωµετρίας στο Λύκειο, στακεφάλαια εκείνα που οι ιδιότητες των σχηµάτων εκφράζονται µε αλγεβρικές σχέ-σεις, όπως π.χ. είναι τα θεωρήµατα των διχοτόµων, των διαµέσων, το Πυθαγόρειοθεώρηµα, η µέτρηση γωνιών, µηκών και εµβαδών, εκφυλίζουν την Γεωµετρία σεαπλές ασκήσεις άλγεβρας και αριθµητικών αντικαταστάσεων.

3. Τι ΕΙΝΑΙ η Γεωµετρία: Σύµφωνα µε Θεώρηµα του A. Cayley: Οι µετρικές ιδιότητες είναι καλυµµένες

γραφικές ιδιότητες ή ειδικές περιπτώσεις γραφικών ιδιοτήτων.


Εποµένως, οι γραφικές ιδιότητες είναι σηµαντικότερες, αφού είναι το υπερσύ-νολο που περιλαµβάνει και τις µετρικές ιδιότητες των σχηµάτων.

4. Η Στερεοµετρία είναι απαραίτητη για το κάθε έναν και ιδιαιτέρως για τους θετικούςεπιστήµονες, οι οποίοι κατά κανόνα µελετούν και κατασκευάζουν έργα στον τρι-διάστατο χώρο.

5. Η Γεωµετρία χρησιµεύει:Στους Καλλιτέχνες, Μηχανικούς, Μαθηµατικούς, Φυσικούς, Χηµικούς, Ιατρούς,Αρχαιολόγους, σε όλους τους ανθρώπους.

7. Η κατάσταση σήµερα:Υπάρχει δυσκολία στην δηµιουργία σχήµατος από την περιγραφή στην περιγραφή ενός σχήµατος στον χειρισµό των γεωµετρικών οργάνων.

6. Προτάσεις:Α. ∆ιδασκαλία της Γεωµετρίας συµπεριλαµβανοµένης και της Στερεοµετρίας

στο Λύκειο Όχι συσσώρευση γνώσεων αλλά καλλιέργεια κριτικού πνεύµατος

Β. Ύλη Η περιλαµβανοµένη στο Σχολικό βιβλίο, αλλά να διδάσκεται χωρίς περικο-

πές.Γ. Μέσα

Το υπάρχον σχολικό βιβλίο θεωρείται ικανοποιητικό Εκπαίδευση των (νεωτέρων) καθηγητών Πανελλήνιες εξετάσεις στην Γεωµετρία, έστω για ορισµένες Σχολές. Χρησιµοποίηση της Γεωµετρίας και σε άλλα µαθήµατα (Αναλυτική Γεωµ.,

Ανάλυση, Φυσική κλπ).

Βασίλειος Παπαντωνίου, Οµότιµος Καθηγητής Πανεπιστηµίου Πατρών

«Η εξέλιξη της γεωµετρικής σκέψης από τον Ευκλείδη µέχρι σήµερα»

Περίληψη

Στην εργασία αυτή το επίκεντρο είναι η εξέλιξη της µαθηµατικής σκέψης και ειδι-κότερα των γεωµετρικών εννοιών στον χρόνο. Η προσέγγιση αυτή θα ακολουθήσειτην ανάπτυξη της γεωµετρικής σκέψης και των κύριων σηµείων της σε τέσσερις µεγά-λες περιόδους: την περίοδο των Ελληνικών Μαθηµατικών (6ος π.Χ. - 6ος µ.Χ. αιώ-νας), την περίοδο των Μαθηµατικών του Αραβικού κόσµου (9ος - 15ος µ.Χ. αιώνας),την περίοδο των Κλασικών Μαθηµατικών (16ος - 19ος µ.Χ. αιώνας) και την Σύγχρο-νη περίοδο της Γεωµετρίας (20ος αιώνας - σήµερα).

Η αναδροµή έχει ως σηµείο εκκίνησης τις ιδέες του Θαλή, του Πυθαγόρα, τωνΕλεατών, του Πλάτωνα, συνεχίζει µε τον χρυσό αιώνα των Μαθηµατικών (3ος π.Χ.αιώνας) µε κυριότερους εκπροσώπους τον Ευκλείδη και Αρχιµήδη και η πορεία τηςπρώτης περιόδου κλείνει µε τις ιδέες των Ήρωνα, Θέωνα, Υπατίας και Βοηθίου, τελευ-ταίων µεγάλων µαθηµατικών της Αρχαιότητας. Τα πέντε αξιώµατα του Ευκλείδη, σύµ-


φωνα µε τα οποία γράφτηκαν τα 13 βιβλία του έργου του “Στοιχεία”, αποτελούν χαρα-κτηριστικό σταθµό της πρώτης περιόδου και βάση για την θεώρηση της ΕυκλείδειαςΓεωµετρίας. Το 5ο αξίωµα, αυτό της παραλληλίας, η συµµετρία και οι γεωµετρικέςκατασκευές είναι έννοιες που επηρεάζουν τον τρόπο σκέψης, αλλά και τα αρχιτεκτο-νικά µνηµεία εκείνης της εποχής. Η αρµονία που απορρέει από αυτές τις έννοιες επη-ρεάζουν και προσωπικότητες της επιστήµης και της τέχνης και σε νεώτερες εποχές.

Η σηµασία της συνεισφοράς στην Άλγεβρα και την Τριγωνοµετρία κατά τη δεύτε-ρη περίοδο αναδεικνύεται, ενώ συζητούνται τα θεµέλια που αναπτύχθηκαν κατά τηνΤρίτη περίοδο και δηµιούργησαν τα Κλασικά Μαθηµατικά. Ιδιαίτερα εξετάζεται η ανά-πτυξη των µη Ευκλείδειων Γεωµετριών, καθώς αλλάζει τον τρόπο εξέτασης τουχώρου. Η αµφισβήτηση του αξιωµατικού συστήµατος του Ευκλείδη που αναπτύχθηκεαυτή την εποχή αφορούσε αφενός µεν την πληρότητά του, αφετέρου δε το κατά πόσοτο 5ο αξίωµα ήταν ανεξάρτητο των άλλων ή προέκυπτε ως λογική συνέπεια τωνάλλων αξιωµάτων. Η ενασχόληση πολλών διάσηµων µαθηµατικών του 19ου αιώνα µετο θέµα αυτό οδήγησε στο πρόβληµα αναζήτησης ενός νέου αξιωµατικού συστήµατοςτης Ευκλείδειας Γεωµετρίας. Η κύρια υπόθεση αφορούσε ότι ήταν δυνατό να δηµι-ουργηθεί µια Γεωµετρία, που θα διατηρεί τα τέσσερα πρώτα αξιώµατα του Ευκλείδηκαι ως πέµπτο θα έθετε την άρνηση του πέµπτου αξιώµατος. ∆ηλαδή, ότι από τοσηµείο εκτός ευθείας, άγονται, είτε περισσότερες από µια παράλληλες, είτε καµία. Ηπρώτη εκδοχή εισηγήθηκε από τους Lobatchevski – Bolyai κι έτσι αναπτύχθηκε ηΥπερβολική Γεωµετρία, ενώ η δεύτερη από τον Gauss και οδήγησε στην ΕλλειπτικήΓεωµετρία. Η Υπερβολική Γεωµετρία ιδίως επηρέασε το έργο αρχιτεκτόνων και ζωγρά-φων σε µεταγενέστερες εποχές µέχρι σήµερα. Το πληρέστερο σύστηµα αξιωµάτων τηςΕυκλείδειας Γεωµετρίας διατυπώθηκε από τον Hilbert το 1899 στο έργο του“Grundlagen der Geometrie”.

Την τέταρτη περίοδο θα παρακολουθήσουµε την ανάπτυξη των λεγόµενων Σύγ-χρονων Μαθηµατικών, όπως για παράδειγµα της Αλγεβρικής Γεωµετρίας, της Θεωρίας∆ακτυλίων και Σωµάτων, της ∆ιαφορικής Τοπολογίας, της Λογικής, της ΓεωµετρίαςRiemann, των οµάδων Lie. Η σηµαντική συµβολή του Riemann έγκειται στην απόδει-ξη ύπαρξης πολλών γεωµετριών, οι οποίες δηµιουργούνται όχι αναγκαστικά από τηνάρνηση του 5ου αιτήµατος και µόνο, αλλά από τον ορισµό ενός τανυστή, του λεγό-µενου µετρικού τανυστή, πάνω στον χώρο που µελετούµε. Η ενιαία αυτή θεώρησηείχε ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη της Γεωµετρίας Riemann.


ΕΙΣΗΓΗΣΕΙΣ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ

Αλκιβιάδης Ακρίτας, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοι-νωνιών και ∆ικτύων Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας /Κυριακή Τσιλίκα, ΜαθηµατικόςΑ.Π.Θ., ∆ρ Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., ∆ιδάσκουσα Τµήµατος Οικονοµι-κών Επιστηµών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας, Συνεργάτιδα Τµήµατος ∆ιοίκησης και ∆ια-χείρισης Έργων Τ.Ε.Ι. Λάρισας

«Το Σύστηµα Υπολογιστικής Άλγεβρας Xcas ως Περιβάλλον ∆υναµικής Γεω-µετρίας»

Περίληψη

Σύµφωνα µε την αρχή της ∆υναµικής Γεωµετρίας, αντικείµενα όπως σηµεία,ευθείες και επίπεδα σχήµατα σε ένα περιβάλλον ∆υναµικής Γεωµετρίας σχετίζονταιµεταξύ τους µε γεωµετρικούς περιορισµούς όπως, όταν οποιοδήποτε από τα αντικεί-µενα σύρονται (drag) τα άλλα αντικείµενα δυναµικά ανανεώνουν τον εαυτό τους έτσιώστε οι περιορισµοί να διατηρούνται. Το σύρσιµο (dragging), το οποίο είναι η καρδιάτης δυναµικής γεωµετρίας, απελευθερώνει ένα σχήµα από τον συµβατικό του ρόλοπου είναι η αναπαράσταση ή η τυπική περίπτωση, και µετατρέπεται σε µία γενική περί-πτωση στην οποία αναφέρονται τα Μαθηµατικά (Jackiw, 1996). Οι διδακτικολόγοι τωνµαθηµατικών ισχυρίζονται ότι το δυναµικό γεωµετρικό λογισµικό που έχει αναπτυχθεί,αποτελεί την πιο σηµαντική εξέλιξη στη γεωµετρία από την εποχή του Ευκλείδη.(Davis, 1995. Oldknow, 1995. Τουµάσης Αρβανίτης 2003).

Το δυναµικό γεωµετρικό περιβάλλον που προτείνουµε, παρέχεται µέσα από τοελεύθερο σύστηµα Xcas, λογισµικό γνωστό και ως ελβετικός σουγιάς των µαθηµατι-κών λόγω των πολλαπλών µαθηµατικών δυνατοτήτων του. Το Xcas επιτρέπει στοχρήστη να δηµιουργεί γεωµετρικές κατασκευές σε δύο και τρεις διαστάσεις και να τιςµεταχειρίζεται δυναµικά. Έχει τα πλεονεκτήµατα ότι διατίθεται δωρεάν στο διαδίκτυο,η βοήθεια για την εκµάθησή του δίνεται από το µενού επιλογών του και υπάρχει forumΕλλήνων χρηστών.

Το γεωµετρικό περιβάλλον του Xcas παρουσιάζεται µε µια πειραµατική διερεύνη-ση τριγώνων στα οποία το βαρύκεντρο και το ορθόκεντρο συµπίπτουν. Η συνθετότη-τα του παραδείγµατος και η ανάγκη για κίνηση απαιτούν ένα δυναµικό λογισµικό. Ανά-λογοι πειραµατισµοί µε µολύβι και χαρτί, σε στατικές κατασκευές, θα ήταν κουραστι-κοί, χρονοβόροι και χωρίς ακρίβεια. Απαιτούν πολλές ανακατασκευές τριγώνων µε ταβαρύκεντρα και τα ορθόκεντρά τους και η αλλαγή του τριγώνου όταν τα βαρύκεντρακαι τα ορθόκεντρα αλλάζουν θέση µπορεί να γίνει µόνο νοερά. Σε σχέση µε άλλα γνω-στά λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας (Geometric Supposer, Cabri Geometer,Geometer’s SketchPad, EucliDraw, Geogebra), το Xcas παρέχει όλες τις συνήθειςκατασκευαστικές δυνατότητες και µας επιτρέπει να µεταβάλλουµε το τρίγωνο ώστε ναπαρατηρούµε τις µεταβολές των θέσεων ορθόκεντρου και βαρύκεντρου και, να βγά-λουµε το συµπέρασµα ότι ορθόκεντρο και βαρύκεντρο συµπίπτουν µόνο στο ισόπλευ-ρο τρίγωνο.

Ι. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: ΘΕΩΡΙΑ – ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΣΗ


Με χρήση του µενού Mode στο Xcas, όλες οι γεωµετρικές οντότητες (τρίγωνο, διά-µεσοι, ύψη, σηµεία τοµής) µπορούν να κατασκευαστούν µε το ποντίκι, µε τη λογικήσειρά που θα ακολουθούσε ο χρήστης και στις κατασκευές µε το χέρι. Για χρήστεςµυηµένους σε CAS λογισµικά, παρουσιάζεται, µε θέµα την ίδια εφαρµογή, η δυνατό-τητα χρήσης µιας πληθώρας εντολών για την κατασκευή των απαιτούµενων γεωµε-τρικών αντικειµένων, από την εξειδικευµένη επιλογή «Γεω» του βασικού µενού επι-λογών.

Λέξεις κλειδιά: λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας, ορθόκεντρο, βαρύκεντρο τριγώνου,δυναµικές γεωµετρικές κατασκευές.

Αλέξανδρος Αλιεύς, Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Εκπαιδευτικών Πολιτικών ∆οµι-κών Έργων Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. /Αγγελίνα Σκαράκη, πτυχιούχος Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε., προπτυχια-κή φοιτήτρια Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. /∆ήµητρα Φακλή, πτυχιούχοςΑ.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε., προπτυχιακή σπουδάστρια Τµήµατος Ηλεκτρολογίας Τ.Ε.Ι. Λαµίας

«Σκέψεις για τη σχέση της ποσοτικής και ποιοτικής διάστασης της γεωµετρίαςµε την οικοδοµική επιστήµη και τέχνη στα πλαίσια οργάνωσης σχετικούµαθήµατος σε σχολές µηχανικών – εκπαιδευτικών»

Περίληψη

Η παρούσα εργασία αποτελεί µία παρουσίαση σκέψεων σχετικών µε την εκπαί-δευση του αρχιτέκτονα και του δοµοστατικού πολιτικού µηχανικού στην ιδέα της γεω-µετρίας.

Η αρχιτεκτονική, νοούµενη ως η περιβάλλουσα τις οικοδοµικές επιστήµες καιτέχνες, είναι η ενασχόληση µε την, µε συγκεκριµένο στόχο, αναδιάρθρωση του χώρου(ή της γης κάποτε), του οποίου τη µέτρηση (µελέτη, θεώρηση) επιµελείται η γεωµε-τρία. Η σχέση τους, κατά συνέπεια, είναι άµεση.

Η αµεσότητα, όµως, δεν συνεπάγεται και την απλότητα ή την ευκρίνεια µίας σχέ-σης. Πολύ περισσότερο δεν δηλώνει, αφ’ εαυτής, την ευρύτητα της σχέσης.

Αν δε οι παραδοχές αυτές και η µελέτη τους µπορεί να θεωρηθούν ως “ενδιαφέ-ρουσες” για τον οποιοδήποτε µελετητή της γεωµετρικής διάστασης της αρχιτεκτονικήςή, αντίστροφα, της αρχιτεκτονικής διάστασης της γεωµετρίας, είναι “ιδιαίτερα σηµα-ντικές” για την εκπαίδευση του οικοδόµου µηχανικού. Ο τελευταίος, είτε µε την εξει-


δίκευσή του ως δοµοστατικός µηχανικός, είτε µε εκείνη ως αρχιτέκτων µηχανικός, θαπρέπει, εξ αρχής, να µυηθεί όχι απλά και ανεξάρτητα στο περιεχόµενο καθεµιάς τωνεπιστηµών αυτών, αλλά, κυρίως, στη σύνθεση των δύο αυτών αντικειµένων.

Από τη φύση της η γεωµετρία, ως κλάδος των µαθηµατικών, είναι ένα θεωρητικόγνωστικό αντικείµενο µε κυριαρχούσα τη λογική και ιδεατή διάσταση, έστω και αναυτή κατέχει τον πλέον πρακτικό χαρακτήρα µεταξύ όλων των υπολοίπων µαθηµατι-κών κλάδων. Αντιπροσωπεύει το απλούστερο µοντέλο “σκέψης”, ως κάτι ευθύγραµ-µο, λογικό και αµερόληπτο που, βάσει της Αριστοτελικής λογικής, καθορίζει ότι “αν χ,τότε ψ” ορθολογιστικά και επαγωγικά. Αντίθετα, η αρχιτεκτονική, πέραν των θεωρη-τικών της διαστάσεων, είναι, κυρίως, µία εφαρµοσµένη επιστήµη, µία τέχνη. Στα πλαί-σιά της γίνεται αποδεκτό, αν δεν επιβάλλεται, να µελετώνται θέµατα, όπως αυτά πουαφορούν τις αισθήσεις και τα συναισθήµατα, την οπτική αντίληψη και τις συνοδεύου-σες οπτικές απάτες. Η (γνωστική) αντίληψη της πραγµατικότητας, τόσο στη διάρκειατου σχεδιασµού, όσο και σε εκείνη της κατασκευής και χρήσης τεχνητών (δοµηµένων)χωρικών (και χρονικών) οντοτήτων παρέχει τη δική της διάσταση γεωµετρικής προ-σέγγισης, καταγραφής και θεώρησης - κατανόησης.

∆εδοµένων των προλεχθέντων, η γεωµετρία, ως αποτέλεσµα σειριακής επαγωγι-κής σκέψης και επεξεργασίας που χρησιµεύει στην επίλυση πρακτικών προβληµάτων,απευθύνεται στη διανοητική νοηµοσύνη, ενώ η αρχιτεκτονική, ως προϊόν συνειρµικήςσκέψης, εξετάζει την αντιστοιχία µεταξύ εικόνων και συναισθηµάτων και, κατ’ επέ-κταση, παραπέµπει και στη συναισθηµατική νοηµοσύνη και τα σχετικά αντιληπτικάαποτελέσµατα.

Ο/η σπουδαστής/ρια καλείται να µάθει πως να συνδυάζει τα δύο αυτά είδη νοηµο-σύνης µέσα στα πλαίσια του σπουδαστικού του αντικειµένου, δηλαδή να εµπεδώσει τοπώς στη µία πλευρά η µαθηµατική λογική προσέγγιση καθορίζει ότι δύο και δύο κάνουντέσσερα, ακριβώς και πάντοτε, ενώ στην άλλη πλευρά υπεισέρχεται η υποκειµενικήδιάσταση µεταλλάσσοντας το “ακριβώς και πάντοτε” σε “περίπου και κατά περίπτωση”.

Τα προλεχθέντα εξετάζονται στα πλαίσια της σύγχρονης, αλλά και µίας διαχρονι-κής – υπερτοπικής, παράλληλης µελέτης της γεωµετρίας και της αρχιτεκτονικής,πάντοτε µε το βλέµµα στραµµένο στην εκπαίδευση του οικοδόµου µηχανικού και στησηµασία που έχει γι’ αυτόν και την ολοκληρωµένη συγκρότησή του, ως επιστήµονακαι τεχνικού, µία συγκριτική προσέγγιση των δύο διαφορετικών, αλλά αλληλένδετων,γνωστικών αντικειµένων. Πόσο µάλλον όταν και αν ο µηχανικός αυτός κληθεί, αργό-τερα, να λειτουργήσει και ως δάσκαλος της οικοδοµικής επιστήµης και τέχνης.

Λέξεις κλειδιά: Αρχιτεκτονική, Γεωµετρία, Χώρος, ∆οµή, Μορφή, Αντίληψη, Κατα-σκευή, Εκπαίδευση, Νοηµοσύνη, (Γνωστική) Αντίληψη.

Αλέξανδρος Βαζάκας, Λέκτορας, Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΠολυτεχνείουΚρήτης

«Επιφάνειες ∆ιπλής Καµπυλότητας και η Κατασκευή τους από ξύλο µε Μεθό-δους Cad/Cam: το Πείραµα ενός Μαθήµατος»

Περίληψη

Θέµα της εισήγησης αποτελούν ζητήµατα που προκύπτουν τόσο σε αισθητικό όσο


και σε κατασκευαστικό επίπεδο, κατά τη µελέτη χώρων που προσδιορίζονται από επι-φάνειες διπλής καµπυλότητας. Επίσης, ζητήµατα που προκύπτουν από την χρήση απότο πρώτο στάδιο του σχεδιασµού ψηφιακών εργαλείων τόσο σε επίπεδο λογισµικού όσοκαι σε επίπεδο µηχανών, εργαλεία τα οποία είναι απαραίτητα για τη µελέτη και κατα-σκευή τέτοιων γεωµετριών. Τέτοια ζητήµατα είναι ο σχεδιασµός µε βάση τοπολογικέςπαραµέτρους, µε βάση ιεραρχίες µεταβλητών και σταθερών σχέσεων, ο σχεδιασµός όχιµιας µεµονωµένης, αλλά µιας «οικογένειας» µορφών, καθώς και η «κατασκευασιµότη-τα» των χώρων αυτών τόσο από οικοδοµικής όσο και από οικονοµικής άποψης.

Η εισήγηση παρουσιάζει τα αποτελέσµατα του µαθήµατος «Παραµετρικός σχεδια-σµός». Πρόκειται για ένα µάθηµα επιλογής 4ου - 5ου έτους στο Τµήµα Αρχιτεκτόνωντου Πολυτεχνείου Κρήτης, οι εκπαιδευτικοί άξονες του οποίου περιστρέφονται γύρωαπό τα παραπάνω ερωτήµατα. Το µάθηµα χρησιµοποιεί τη σύγχρονη εργαστηριακήυποδοµή του τµήµατος προκειµένου: – Όλα τα σπουδαστικά θέµατα να ακολουθούνµια «κάθετη» προσέγγιση από το σχεδιασµό στην κατασκευή, δηλαδή να είναι δυνα-τό να κατασκευαστούν στις δεδοµένες εργαστηριακές υποδοµές. – Τα θέµατα να χρη-σιµοποιούν παραµετρικό λογισµικό ως εργαλείο που επιτρέπει το χειρισµό περίπλοκωνγεωµετριών τόσο αισθητικά όσο και κατασκευαστικά και – να χρησιµοποιούν ευρέωςφυσικά µοντέλα ακόµα και κλίµακας 1:1 προκειµένου να αξιολογηθούν αισθητικές καικατασκευαστικές ποιότητες των χώρων. Ως υλικό κατασκευής επιλέχτηκε το ξύλο(φύλλα κόντρα πλακέ και mdf) ένα σύγχρονο υλικό πλήρως επεξεργάσιµο στο εργα-στήριο του Τµήµατος.

Λέξεις κλειδιά: Τοπολογία, Cad/cam, παραµετρικός σχεδιασµός.

Χρήστος Κίτσος, Καθηγητής, Τµήµα Μαθηµατικών Τ.Ε.Ι. Αθήνας

«Εφαρµόζοντας τη Γεωµετρία στην Στατιστική»

Περίληψη

Η Γεωµετρία υπηρετεί και τις δυο γραµµές της επιστηµονικής σκέψης: την Ευκλεί-δεια, δηλαδή την θεωρητική προσέγγιση των Μαθηµατικών και της Επιστήµης και τηνΑρχιµήδεια, δηλαδή την Εφαρµοσµένη προσέγγιση που στηρίζεται ότι δεν αρκεί νααποδεικνύεται ότι υπάρχει λύση, πρέπει και να υπολογίζεται

Ο στόχος αυτής της εργασίας είναι να συζητήσει τις εφαρµογές της Γεωµετρίας µεέµφαση στην Στατιστική. Υιοθετώντας ορισµένες γεωµετρικές έννοιες, µπορούµε τελι-κά να επιλύσουµε ένα µεγάλο αριθµό προβληµάτων της Στατιστικής. Η Μέθοδος τωνΕλαχίστων Τετραγώνων, είναι ένα τυπικό παράδειγµα.

Θα επικεντρωθούµε στον Βέλτιστο Πειραµατικό Σχεδιασµό, ο οποίος αποτελεί την


ραχοκοκαλιά της Στατιστικής, από την εποχή του πρωτεργάτη της Στατιστικής τουFisher.

ΑναφορέςFisher, R.A. (1922). On the Mathematical Foundation of Theoretical Statistics.Phil. Trans. Roy. Soc., London, ser. A., Vol.22, 309 - 368.Fisher, R.A. (1947). The Design of Experiments. Oliver and Boyd. London.Kitsos, C. P. (2012). On the Optimal Continuous Experimental Design Problem.To appear in Discussiones Mathematicae Probability and StatisticsKitsos, C. P. (2011). Invariant Canonical Form for the Multiple Logistic Regression.

Mathematics in Engineering, Science and Aerospace (MESA), Vol 2(3), pg 267-275.

Kitsos, C. P., Edler, L. (2005), Cancer Risk assessment mixtures.In: Quantitative Methods for Cancer and Human Health Risk Assessment, by Lutz

Edler and Christos Kitsos (Eds), 283-298. Wiley, England.Kitsos, C. P., Titterington, D. M., Torsney, B. (1988). An Optimal Design Problem in

Rhythmometry. Biometrics, Vol. 44, pg. 657-671.

Λέξεις κλειδιά: Πειραµατικός Σχεδιασµός, Βελτιστοποίηση, Χώρος Σχεδιασµού.

Γεώργιος Λευκαδίτης, Καθηγητής, Τµήµα Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας, Εντεταλµέ-νος ∆ιδάσκων Τµήµατος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών, Συνεργά-της Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά /Θανάσης Κουκοφίκης,Τοπογράφος Μηχανικός Τ.Ε.

«Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας Karl Pohlke»

Περίληψη

Αντικείµενο της εισήγησης είναι το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αξονοµετρίας, γνω-στό και ως θεώρηµα του K. Pohlke.

Στην προκειµένη περίπτωση, το θεώρηµα αφενός αναπτύσσεται θεωρητικά ως έναεκπαιδευτικό παράδειγµα σύνδεσης της Ευκλείδειας Γεωµετρίας µε την Παραστατική Γεω-µετρία (ιδιαίτερα µε την Μέθοδο Monge) και την Προβολική Γεωµετρία και αφετέρου σχε-διάζεται και παρουσιάζεται σε εύληπτη µορφή µε την βοήθεια ηλεκτρονικών εργαλείων.

Συγκεκριµένα, η εισήγηση αποτελείται από τέσσερα µέρη:1. Στο πρώτο δίνεται πλήρης απόδειξη του θεωρήµατος Pohlke στην γενική περί-

πτωση, καθώς και σε όλες τις ειδικές περιπτώσεις, χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεω-µετρία του Χώρου και κατασκευές κωνικών µε Προβολική Γεωµετρία.

2.1 Στο δεύτερο µέρος, χρησιµοποιώντας την Μέθοδο Παράστασης Monge, σχε-διάζεται σε δύο ορθές προβολές η ζητούµενη από το θεώρηµα τριάδα ίσων και καθέ-των ανά δύο στο χώρο ευθύγραµµων τµηµάτων ΟΜ,ΟΝ,ΟΡ, από τρία δεδοµένα τυχαίασυνεπίπεδα τµήµατα Ο1Μ1,Ο1Ν1,Ο1Ρ1.

2.2 Για την σχεδίαση των απαιτούµενων ελλείψεων - από ένα ζεύγος συζυγών δια-µέτρων ή από πέντε σηµεία - δηµιουργήθηκαν οι κατάλληλες εφαρµογές σε περιβάλ-λον CAD. Ειδικότερα, µε την εφαρµογή σχεδίασης έλλειψης από πέντε σηµεία σχεδιά-ζεται και υπερβολή, µε αυτόµατη επιλογή της κατάλληλης κωνικής.


2.3 Η δηµιουργία του προγράµµατος της σχεδίασης των δύο κωνικών έχει ως θεω-ρητική υποδοµή, από την Προβολική Γεωµετρία, την κεντρική οµολογία. Με το ίδιοπρόγραµµα και την ίδια θεωρία ως βάση, µε τις απαραίτητες προσαρµογές, µπορεί νασχεδιαστεί αυτόµατα και παραβολή. Όµως, για λόγους που αφορούν στην ακρίβεια τηςσχεδιαστικής λύσης στην περίπτωση της παραβολής και απλώς για την συµπλήρωσητων κατασκευών και των τριών κωνικών, προτιµήθηκε η δηµιουργία ειδικής εφαρµο-γής, η οποία επιτυγχάνει την κατασκευή παραβολής από τέσσερα σηµεία.

3. Στο τρίτο µέρος, παρουσιάζονται σε 3D, για εκπαιδευτικούς σκοπούς, οι ακο-λουθούµενες κατά την θεωρητική λύση γεωµετρικές πράξεις.

4. Στο τέταρτο και τελευταίο µέρος, µε την βοήθεια κατάλληλου λογισµικού, τοοποίο δηµιουργήθηκε επίσης ειδικά για το θεώρηµα Pohlke, κατασκευάζεται αυτόµατασε τρισδιάστατο γραφικό περιβάλλον η ζητούµενη τριάδα ευθύγραµµων τµηµάτωνΟΜ,ΟΝ,ΟΡ του χώρου, από τα αρχικά τρία δεδοµένα συνεπίπεδα τυχαία τµήµαταΟ1Μ1,Ο1Ν1,Ο1Ρ1 σε όλες τις δυνατές περιπτώσεις, επιλέγοντας ο χρήστης την εκάστο-τε απαιτούµενη.

Λέξεις κλειδιά: Παράλληλη προβολή, ορθή προβολή, Pohlke, Pohlke-Schwarz.

Στέλιος Μαρκάτης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικώνκαι Φυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π.

«Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή»

Περίληψη

Είναι γνωστό ότι στο τυχαίο σηµείο µιας επιφάνειας υπάρχουν δύο κύριες κατευ-θύνσεις, κάθετες µεταξύ τους, κατά τις οποίες η κάθετη καµπυλότητα λαµβάνει ακρό-τατες τιµές, εξαιρουµένων των οµφαλικών σηµείων, όπου όλες οι κάθετες καµπυλό-τητες είναι ίσες. Υπάρχουν, δηλαδή, δύο διανυσµατικά πεδία επάνω στην επιφάνεια,κάθετα µεταξύ τους, µε ιδιάζοντα σηµεία τα οµφαλικά, η ολοκλήρωση των οποίωνδίνει δύο οικογένειες γραµµών κυρίων καµπυλοτήτων παντού καθέτων µεταξύ τους.

Κατά µήκος µιας γραµµής κύριας καµπυλότητας, η κάθετη καµπυλότητα µεταβάλ-λεται και σε κάποια σηµεία αυτή λαµβάνει ακρότατες τιµές. Τα σηµεία αυτά είναι κορυ-φές της καµπύλης. Οι κορυφές των καµπύλων της κάθε οικογένειας σχηµατίζουνάλλες καµπύλες στην επιφάνεια που λέγονται κορυφογραµµές. Στα σηµεία των κορυ-φογραµµών, η επιφάνεια έχει την ιδιότητα να καµπυλώνεται περισσότερο ή λιγότεροαπό ότι στα υπόλοιπα σηµεία της. Στην παρούσα ανακοίνωση αποδεικνύονται σχέσειςγια τον εντοπισµό των κορυφογραµµών µιας επιφάνειας όταν αυτή δίνεται υπόπεπλεγµένη µορφή.

Άρης Μαυροµµάτης, Καθηγητής Μαθηµατικών, Εθνική Εστία Επιστηµών

«Γεωµετρία: Μια γέφυρα µετάβασης από την ανάγκη του αισθητικά ωραίουκαι εφικτώς τεχνικά αναπαραστάσιµου, στην ανάγκη του λογικά αληθούς»

Περίληψη

Η αντίληψη που έχουµε για το αισθητικά ωραίο, πολύ συχνά µας δηµιουργεί την


ανάγκη της αναζήτησης µιας λογικής δοµής που ενδεχοµένως, υπόρρητα βρίσκεταικάτω από αυτό και το ορίζει αντικειµενικά.

Ένας πίνακας της Αναγέννησης, ένα γλυπτό της κλασικής αρχαιότητας, µια περίο-πτη αρχιτεκτονική δηµιουργία ή τέλος ένα πολυσύνθετο τεχνολογικό κατασκεύασµαείναι πράγµατι µια πρόκληση των αισθήσεων. Εκείνο όµως που υποκρύπτεται πίσω απόοτιδήποτε ονοµάζουµε «όµορφο», δεν είναι και τόσο εµφανές.

Ένα εικαστικό έργο είναι εκφραστική αποτύπωση µιας Ιδέας. Μέσω των τόνων τωνχρωµατικών αποχρώσεων αποτυπώνονται συναισθήµατα. Ενώ µέσω των γραµµών καιτων γεωµετρικών σχηµάτων, καθώς επίσης και των σχέσεων τους, όπως τουλάχιστοναυτές προκύπτουν από τον τρόπο που ο δηµιουργός τους επέλεξε να τοποθετήσει,περικλείεται και ορίζεται η Ιδέα.

Στον εικαστικό χώρο ένας πίνακας του Alberti, πέρα από το οποιοδήποτε εν-νοιολογικό του περιεχόµενο, προκαλεί στον θεατή τον θαυµασµό για την ακριβή ρεα-λιστική απεικόνιση των φυσικών αντικειµένων. Απόρροια του θαυµασµού αυτού είναιη δηµιουργία µιας ανάγκης η οποία αναζητά τον τρόπο, δηλαδή τις τεχνικές µεθόδουςπου εφαρµόστηκαν προκειµένου να παρασταθεί το τρισδιάστατο µε τόση επιτυχίαεπάνω σε µια δισδιάστατη επιφάνεια. Η ανάγκη αυτή θα ικανοποιηθεί µόνο εφόσονακολουθηθεί ο δρόµος που οδηγεί από την εικονιστικότητα στην αφαίρεση, µεταµορ-φώνοντας τα φυσικά αντικείµενα σε σύµβολα που εκτοπίζουν τις φυσικές µορφές. Τασύµβολα αυτά είναι γεωµετρικά αντικείµενα: σηµεία, ευθείες, επίπεδα, τρίγωνα,τετράγωνα, κύκλοι κ.ά. Έτσι το αποτέλεσµα του αισθητικά ωραίου, θα προκύψει ωςλογικό προϊόν σχέσεων µεταξύ αυτών των γεωµετρικών στοιχείων, οι οποίες καθορί-ζονται µε τρόπο έγκυρο, ακριβή και αυστηρά µοναδικό.

Στους τοµείς του αρχιτεκτονικού σχεδιασµού και των τεχνολογικών εφαρµογών,η απεικόνιση της Ιδέας ενός υπό πρόθεση κατασκευής τρισδιάστατου φυσικού αντικει-µένου σε µια δισδιάστατη επιφάνεια, θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε, αφ’ ενός µεν ναδίνει την ψευδαίσθηση της τρισδιάστατης υπόστασης του αντικειµένου, αφ’ ετέρου δενα προσφέρει τη δυνατότητα κατασκευής του µέσα από την ανάγνωση της δισδιά-στατης απεικονιστικής προβολής του.

Οι αισθητικές και τεχνικές ανάγκες που γεννώνται αντίστοιχα τόσο στο χώρο τηςΤέχνης, όσο και στο χώρο της Τεχνικής, µπορούν να λειτουργήσουν ως αισθητές προ-κλήσεις οι οποίες θα δηµιουργήσουν προβληµατισµούς, η επίλυση των οποίων θα οδη-γήσει µε τρόπο αναγκαίο και λογικά συνεχή, στον ιδιάζοντα αφαιρετικά νοητικό κόσµοτόσο της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, όσο και άλλων µη Ευκλείδειων Γεωµετριών. Κατ’ αυτόντον τρόπο ο ρόλος της Γεωµετρίας ως παιδευτικού νοητικού εργαλείου καθίσταται ανα-γκαίος, αφού µπορεί να λειτουργήσει ως γέφυρα µετάβασης από την ανάγκη του αισθη-τικά ωραίου και εφικτώς τεχνικά, αναπαραστάσιµου, στην ανάγκη του λογικά αληθούς.

Στο παρόν άρθρο παρουσιάζονται κατ’ αρχάς δυο ζωγραφικοί πίνακες (Escher καιVasarely), στους οποίους τα εικονιζόµενα αντικείµενα δηµιουργούν έντονη την ψευ-δαίσθηση του χώρου, αφού το µάτι ανακαλύπτει συνεχώς διαφορετικές οπτικές λύσειςκαι αδυνατεί να παγιώσει την εικόνα για πολύ ώρα. Ακολούθως, µέσα από µια διαδο-χική µετάβαση νοητικών αναγκών που προκύπτουν από την αισθητική απόσύνθεσητων συγκεκριµένων ζωγραφικών πινάκων, οδηγούµαστε σε λογικές ερµηνείες πουαιτιολογούνται από θεµελιώδη θεωρήµατα όπως του Pohlke και του Monge και υπο-στηρίζονται από γεωµετρίες όπως η Ευκλείδεια και η Προβολική.


∆ήµος Πανταζής, Καθηγητής, Τµήµα Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας /Ελένη Γκαδό-λου, υποψ. ∆ιδάκτωρ Τµήµατος Γεωγραφίας Χαροκόπειου Πανεπιστηµίου, Συνεργά-τιδα Τµήµατος Τοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας /Παναγιώτης Στρατάκης, υποψ. ∆ιδά-κτωρ Σχολής Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π., Συνεργάτης Τµήµατος ΤοπογραφίαςΤ.Ε.Ι. Αθήνας /Θανάσης Κουκοφίκης, Τοπογράφος Μηχανικός Τ.Ε.

«Χαρτογραφία και Γεωµετρία: Οµοιότητες και ∆ιαφορές – ΕκπαιδευτικάΠαραδείγµατα από την ∆ιδασκαλία των µαθηµάτων Χαρτογραφίας στο Τ.Ε.Ι.Αθήνας»

Περίληψη

Η Χαρτογραφία ¨συνοπτικά¨ ορίζεται σαν η τέχνη και η επιστήµη απεικόνισηςτόπων, φαινοµένων, αντικειµένων, εννοιών…, δηλαδή µε άλλα λόγια η µελέτη και τοαποτέλεσµα µοντελοποίησης της πραγµατικότητας σε ένα τρισδιάστατο ή δισδιάστατοµοντέλο. Η Γεωµετρία από την άλλη µεριά είναι ο κλάδος των µαθηµατικών που ασχο-λείται µε χωρικές σχέσεις µεταξύ αντικειµένων αλλά και άλλων παραµέτρων και εννοι-ών που απεικονίζονται σε ένα δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο. Ο χώρος που χαρα-κτηρίζεται και ορίζεται µέσω αξιωµάτων, σε συνδυασµό µε µαθηµατικούς ορισµούς,περιγράφεται και απεικονίζεται από πολλές «χαρτογραφίες» και από πολλές «γεωµε-τρίες»: θεµατική, µαθηµατική, ναυτική, τοπογραφική, δισδιάστατη, τρισδιάστατη,δυναµική, διαδικτυακή,… όσον αφορά την χαρτογραφία,… και Ευκλείδεια, υπερβολι-κή, σφαιρική, αναλυτική, …, όσον αφορά την γεωµετρία.

Η εργασία αυτή έχει σαν στόχους:Α) να παρουσιάσει συνοπτικά µια σειρά από οµοιότητες και διαφορές των δύο επι-

στηµονικών κλάδων όσον αφορά τους ορισµούς τους, τις κατηγοριοποιήσεις τους, ταεργαλεία τους, τους σκοπούς τους, την χρήση τους,…

Β) να δείξει διάφορα παραδείγµατα από την διδασκαλία χαρτογραφικών εννοιώνκαι χρήσης χαρτών χρησιµοποιώντας βασικές γεωµετρικές γνώσεις και έννοιες σταµαθήµατα: – Γενική και Μαθηµατική Χαρτογραφία και – Βάσεις Χωρικών ∆εδοµένωνκαι Ψηφιακής Χαρτογραφίας, που διδάσκονται στο τρίτο και έκτο εξάµηνο αντίστοιχατου Τµήµατος Τοπογραφίας της Σχολής Τεχνολογικών Εφαρµογών στο ΤΕΙ Αθήνας.

Απόστολος Παπανικολάου, Καθηγητής Μαθηµατικών, Εθνική Εστία Επιστηµών

«H Γεωµετρία ως ιστορική αλλά και διδακτική γενέτειρα θεµελιωδών συναρ-τήσεων»

Περίληψη

Στο παρόν κείµενο θα περιγραφούν οι ιστορικές προσπάθειες ανακάλυψης καµπυ-λών που πληρούν συγκεκριµένες γεωµετρικές ιδιότητες, ιδιότητες οι οποίες µπορούνκάλλιστα να χρησιµεύσουν διδακτικά για την εισαγωγή στις θεµελιώδεις αυτές συναρ-τήσεις. Από τις συναρτήσεις αυτές εστιάζουµε κυρίως στην εκθετική συνάρτηση.

Η εκθετική συνάρτηση εισάγεται στα σχολικά ή πανεπιστηµικά διδακτικά εγχειρίδια,είτε ως επέκταση της έννοιας της δυνάµεως µε φυσικό εκθέτη, είτε ως αντίστροφη τηςλογαριθµικής συνάρτησης. Είτε έτσι όµως είτε αλλιώς, στην αντίληψη των µαθητών


παρουσιάζεται µε µια φορµαλιστική µορφή, ενώ θα µπορούσε να παρουσιασθεί µε βάσητις γεωµετρικές της ιδιότητες, όπως ακριβώς ανακαλύφθηκε από τον Leibnitz.

Η εισαγωγή αυτή στην εκθετική συνάρτηση είναι πλήρως ιστορικογενετική, δηλ.σαν έννοια σχεδιάστηκε και αναπτύχθηκε ως η καµπύλη στην οποία οι τεταγµένεςτριών σηµείων της αποτελούν γεωµετρική πρόοδο, µε τις αντίστοιχες τετµηµένες νααποτελούν αριθµητική πρόοδο. Η καµπύλη αυτή ονοµάσθηκε από τον Leibnitz «λογα-ριθµική» και υποδείχθηκε ως εκείνη που ικανοποιεί την απαίτηση να έχει σταθερήυφαπτοµένη. Υφαπτοµένη (subtangent) ονοµάσθηκε από τον Leibniz το τµήµα ΟΤ καιείναι ένα από τα 6 τµήµατα που ο ίδιος όρισε ως «functions» µιας καµπύλης, όπωςαυτά επεξηγούνται στο παρακάτω σχήµα 1:

Σχήµα 1. «Functions of a curve»

Κατά τον 17ο αιώνα τέθηκαν µια σειρά από τους µαθηµατικούς της εποχής οι οποί-οι µάλιστα αποκαλούσαν τους εαυτούς τους «γεωµέτρες», (συµπεριλαµβανοµένου καιτου Καρτέσιου) προβλήµατα σχετικά µε τη σχέση αυτών των τµηµάτων-functions. Τοσχετικό «πρόβληµα της σταθερής υφαπτοµένης» (“Problem of the constantsubtangent”) έθετε το ερώτηµα ποια καµπύλη έχει την ιδιότητα, για οποιοδήποτεσηµείο Ρ στην καµπύλη, η υφαπτοµένη –subtangent ΟΤ, να έχει ένα δεδοµένο σταθε-ρό µήκος. Στη δηµοσίευση «Nova Methodus», το 1686, o Leibniz έδειξε ότι η καµπύ-λη µε σταθερή υφαπτοµένη-subtangent ήταν αυτή που αποκάλεσε «λογαριθµική»καµπύλη, αλλά εµείς σήµερα αποκαλούµε εκθετική καµπύλη. H καµπύλη µε σταθερότµήµα ΟΝ είναι η παραβολή.

Στο παρόν κείµενο επίσης θα αναζητηθούν ιδιότητες των καµπυλών οι οποίες είναιαναλλοίωτες από την επιλογή και τη διαβάθµιση αξόνων και θα γίνει µια σύγκριση τωνδυνατοτήτων µελέτης των καµπυλών υπό το πρίσµα της ευκλείδειας και της αναλυτι-κής γεωµετρίας αντίστοιχα.

Αναστασία Ταουκτσόγλου, ∆ρ Τµήµατος Μαθηµατικών Α.Π.Θ., Καθηγήτρια ∆ευτε-ροβάθµιας Εκπαίδευσης

«Χρήση των Νέων Τεχνολογιών στη ∆ιδασκαλία της Γεωµετρίας»

Περίληψη

Η Γεωµετρία από τη φύση της εµπεριέχει την εικόνα και την κίνηση. Η χρήση των


Νέων Τεχνολογιών δίνει τη δυνατότητα στο διδάσκοντα της Γεωµετρίας να οπτικοποι-ήσει το αντικείµενο της διδασκαλίας του, να προβάλλει στον διδασκόµενο τις δυνατό-τητες του αντικειµένου µέσω δυναµικών εικόνων, αλλά και να προωθήσει τη δηµι-ουργικότητα του διδασκοµένου δίνοντάς του τη δυνατότητα της διάδρασης µε το ίδιοτο αντικείµενο.

Ξεκινώντας από τη Μέση Εκπαίδευση και τη διδασκαλία π.χ. του µήκους κύκλουµέσω ενός δυναµικού εγγεγραµµένου στον κύκλο κανονικού πολυγώνου…

προχωρώντας στη διδασκαλία του ακτινίου …

και τη διδασκαλία των κωνικών τοµών…


και φτάνοντας έως την Ανώτατη Εκπαίδευση...π.χ. τη διδασκαλία των επιφανειών δεύτερης τάξης…

ή των επιφανειακών καµπύλων…

οι νέες τεχνολογίες έχουν να προσφέρουν έναν νέο τρόπο διδακτικής και ερευνητικήςπροσέγγισης, πολλά υποσχόµενο.

Λέξεις κλειδιά: Νέες Τεχνολογίες, Geogebra, 3D Grapher, Geometer’s SketchPad.


∆ηµήτρης Χασάπης, Αναπληρωτής Καθηγητής Μαθηµατικής Εκπαίδευσης Πανεπι-στηµίου Αθηνών Καθηγητής-Σύµβουλος Εκπαίδευσης Ενηλίκων Ε.Α.Π.

«Η Μάθηση της Γεωµετρίας ως Οικειοποίηση της Χρήσης Γεωµετρικών Οργά-νων: ∆ύο Μαθησιακά Επεισόδια και Μια ∆ιδακτική Πρόταση»

Περίληψη

Η γεωµετρία ως επιστηµονική δραστηριότητα, αλλά και ως πεδίο γνώσης, έχειιστορικά θεµελιωθεί στη χρήση δύο εµβληµατικών οργάνων: του διαβήτη για τη σχε-δίαση τόξων και κύκλων και του κανόνα για τη χάραξη ευθειών. Τα ‘Στοιχεία’ τουΕυκλείδη, κείµενο το οποίο θεµελίωσε τη γεωµετρία ως µαθηµατική πρακτική, θεωρη-τικοποιεί τη χρήση των δύο αυτών οργάνων σχεδίασης για τον ορισµό γεωµετρικώνεννοιών και για την επίλυση των γεωµετρικών προβληµάτων. Παράλληλα, πολλά ιστο-ρικά προβλήµατα της γεωµετρίας, όπως για παράδειγµα το περίφηµο πρόβληµα τουδιπλασιασµού του κύβου, υπέβαλαν την έρευνα για, και την επινόηση νέων γεωµε-τρικών οργάνων χάραξης καµπυλών διαφόρων µορφών και τύπων. Στη βάση τηςιστορικής αυτής εµπειρίας, η µάθηση της γεωµετρίας – τουλάχιστον στην Πρωτοβάθ-µια Εκπαίδευση – µπορεί να προσεγγιστεί και να οργανωθεί η διδασκαλία της ως οικει-οποίηση από τα παιδιά της χρήσης γεωµετρικών οργάνων σχεδιασµού και µέτρησης,είτε παραδοσιακών είτε σύγχρονων, συµπεριλαµβανοµένων των αντίστοιχων προ-γραµµάτων σχεδίασης ηλεκτρονικών υπολογιστών.

Για την υποστήριξη του επιχειρήµατος αυτού παρουσιάζονται στην εισήγηση δύοµαθησιακά επεισόδια τα οποία αναπτύσσονται µε επίκεντρο τη χρήση του γωνιοµέ-τρου, ενός οργάνου για τη χάραξη και τη µέτρηση γωνιών, από ένα παιδί επτά χρο-νών, µαθητή της Β’ τάξης του ∆ηµοτικού σχολείου. Στα δύο αυτά επεισόδια αναδει-κνύεται και σχολιάζεται η επίδραση του συγκεκριµένου γεωµετρικού οργάνου στη δια-µόρφωση από το παιδί µιας έννοιας των παραλλήλων ευθειών ως ευθειών µε ίσηγωνία κλίσης, σε αντίθεση µε την έννοια των παραλλήλων ως ευθειών οι οποίες δεντέµνονται όσο και αν προεκταθούν, η οποία προβάλλεται, χωρίς όµως και να τεκµη-ριώνεται, από τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο ∆ηµοτικό σχολείο.

Μια πρώτη διαπίστωση που προκύπτει από την ανάλυση των µαθησιακών αυτώνεπεισοδίων είναι, ότι η εφαρµογή διαφορετικών µεθόδων χάραξης παραλλήλων ευθει-ών, τις οποίες επιβάλλει η χρήση διαφορετικών γεωµετρικών οργάνων, υποβάλλουνδιαφορετικές εννοιολογικές προσλήψεις και προσανατολίζουν σε διαφορετικούς τυπι-κούς ορισµούς των παράλληλων ευθειών. ∆ηλαδή, η χρήση διαφορετικών γεωµετρι-κών οργάνων δοµεί µε διαφορετικό τρόπο τη σκέψη κατά την εκτέλεση αντίστοιχωνγεωµετρικών εργασιών και ως συνέπεια υποβάλλει διαφορετικές νοητικές διεργασίες,οι οποίες µε τη σειρά τους οδηγούν σε διαφορετικές προσλήψεις και νοητικές προ-σεγγίσεις των γεωµετρικών εννοιών.

Στη διαπίστωση αυτή βασίζεται η συµπερασµατική πρόταση ότι η διδασκαλία τηςστοιχειώδους γεωµετρίας θα πρέπει να οργανωθεί µε αφετηρία και στη βάση τηςοικειοποίησης από τα παιδιά επιλεγµένων γεωµετρικών οργάνων σχεδίασης καιµέτρησης.

Λέξεις κλειδιά: µάθηση-διδασκαλία γεωµετρίας, γεωµετρικά όργανα, παράλληλεςευθείες.


Φίλιππος Αζαριάδης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊ-όντων και Συστηµάτων Πανεπιστηµίου Αιγαίου, προσκεκληµένος οµιλητής

«Μέθοδοι γεωµετρικής µοντελοποίησης βασισµένες σε σηµειοσύνολα: εφαρ-µογές στην παραµετροποίηση νέφους σηµείων και στη σχεδίαση προϊόντων»

Περίληψη

Με τις σύγχρονες τεχνολογίες µέτρησης σηµείων στην τριδιάστατη επιφάνειαπραγµατικών αντικειµένων λαµβάνεται ένα πλήθος σηµείων που αναπαριστά τη γεω-µετρία του µετρούµενου αντικειµένου. Το πλήθος και η ακρίβεια των σηµείων είναι ιδι-αίτερα αυξηµένα δίνοντας τη δυνατότητα ανάπτυξης νέων µεθόδων γεωµετρικήςµοντελοποίησης αποφεύγοντας σε ορισµένες περιπτώσεις «παραδοσιακές» και χρονο-βόρες τεχνικές.

Η παρούσα εισήγηση αναπτύσσει την έννοια της κατευθυνόµενης προβολήςσηµείου σε ένα νέφος σηµείων που αναπαριστά την επιφάνεια ενός αντικειµένου.Βασιζόµενοι στη συγκεκριµένη τεχνική αναπτύσσονται και παρουσιάζονται δύο αλγό-ριθµοι: (α) Ένας αλγόριθµος για τη σχεδίαση καµπυλών υψηλής συνέχειας σε µια επι-φάνεια νέφους σηµείων. (β) Ένας αλγόριθµος για την παραµετροποίηση ενός νέφουςσηµείων.

Στην πρώτη περίπτωση µελετώνται παραδείγµατα προϊόντων όπου η σχεδίασήτους βασίζεται στην ανάπτυξη ενός δικτύου βασικών καµπυλών σε µια επιφάνειαπαρουσιάζοντας περιπτώσεις από τη βιοµηχανία υποδηµάτων. Παράλληλα παρουσιά-ζονται και επεκτάσεις της προτεινόµενης µεθοδολογίας σε εφαρµογές αντίστροφηςµηχανικής. Σε αυτή την περίπτωση οι καµπύλες σχεδιάζονται χρησιµοποιώντας έναναλγόριθµο που λαµβάνει υπόψη του συναρτησιακά που υπολογίζουν την ακρίβειαπροβολής καθώς και την οµαλότητα της παραγόµενης καµπύλης.

Στη δεύτερη περίπτωση µελετώνται πολύπλοκες επιφάνειες που έχουν προσεγγι-σθεί από ένα σηµαντικό πλήθος σηµείων µε σκοπό τον υπολογισµό κατάλληλων παρα-µετρικών τιµών για κάθε ένα σηµείο τους. Ο αλγόριθµος που παρουσιάζεται βασίζεταισε µια επαναληπτική υποδιαίρεση δυναµικών βασικών επιφανειών οι οποίες προσεγγί-ζουν τοπικά το νέφος σηµείων µε υψηλή ακρίβεια. Χρησιµοποιώντας τις τελικές βασι-κές επιφάνειες υπολογίζονται παραµετρικές τιµές του νέφους σηµείων µε υψηλή ακρί-βεια. Στη συνέχεια οι παραµετρικές τιµές αξιοποιούνται για την κατασκευή συνεχόµε-νων τµηµάτων ή για την εφαρµογή µεθόδων τριγωνοποίησης ή για την απεικόνισηυφής στην αρχική επιφάνεια.

Λέξεις κλειδιά: Γεωµετρική µοντελοποίηση, σηµειοσύνολα, νέφη σηµείων, ψηφιακήσχεδίαση, κατευθυνόµενη προβολή.

ΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ

II. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ 29

∆ηµήτριος Κοντοκώστας, Λέκτορας, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσι-κών Επιστηµών Ε.Μ.Π.

«Καµπύλες Bezier, ένα σχεδιαστικό βοήθηµα»

Περίληψη

Οι καµπύλες Bezier χρησιµοποιούνται ευρέως τόσο για το σχεδιασµό άλλωνκαµπυλών όσο και για την προσέγγιση του σχήµατος δοσµένων καµπυλών µε τη βοή-θεια του µεγαλύτερου µέρους των σχεδιαστικών προγραµµάτων στον υπολογιστή.Εφαρµογές τους βρίσκει κανείς στο βιοµηχανικό σχεδιασµό εξαρτηµάτων και τελικώνπροϊόντων, στη βιοµηχανία κινουµένων σχεδίων, στο σχεδιασµό γραµµατοσειρών κιαλλού. Για τους χρήστες των σχεδιαστικών προγραµµάτων τα πιο επιθυµητά χαρα-κτηριστικά τους είναι η εύκολη τροποποίησή τους µέσω ενός πεπερασµένου πλήθουςδεικτών (χερούλια), η παντελής απουσία ανάγκης χειρισµών µαθηµατικών τύπων γιατη σχεδίασή τους, η εύκολη σύνθεση διαδοχικών τέτοιων καµπυλών και η πολύ καλήπροσέγγιση που προσφέρουν για οποιαδήποτε καµπύλη (είτε δοσµένη αναλυτικά µεµαθηµατικό τύπο, είτε δοσµένη ως σχεδιασµένη γραµµή). Για τους προγραµµατιστέςτων σχεδιαστικών προγραµµάτων ελκυστικές είναι σχεδόν όλες οι ιδιότητές τους.

Οι καµπύλες αυτές χρησιµοποιούνται στα προγράµµατα Photoshop (ως paths),Adobe Illustrator, Adobe Flash, Postscript, Metafont, στις γραµµατοσειρές TrueType(που χρησιµοποιούν τετραγωνικές καµπύλες Bezier) και OpenType (που χρησιµοποι-ούν τετραγωνικές και κυβικές καµπύλες Bezier), στο Mathematica (µε την εντολήBezier Curve[pts]), το Sketchpad και σε πλήθος άλλων διαδεδοµένων ή µη προγραµ-µάτων. Κατά πάσα πιθανότητα, όταν κάποιος σχεδιάζει καµπύλες σε κάποιο σχεδια-στικό πρόγραµµα του υπολογιστή, το κάνει χρησιµοποιώντας καµπύλες Bezier.

Οι καµπύλες φέρουν το όνοµα του Pierre Bezier που τις χρησιµοποίησε στο σχε-διασµό αυτοκινήτων για λογαριασµό της αυτοκινητοβιοµηχανίας Renault. Αλλά τουBezier προηγήθηκε ο Paul de Casteljau ο οποίος ανέπτυξε και τον οµώνυµο αλγόριθ-µο που επιτρέπει τη διαµέριση µιας τέτοιας καµπύλης σε δύο διαδοχικά τόξα ώστε τοκαθένα τους να αποτελεί και πάλι καµπύλη Bezier, γεγονός που µε τη σειρά του επι-τρέπει την αποκοπή ενός τυχαίου τόξου και θεώρησής του ως καµπύλης Bezier.

Μια καµπύλη Bezier ορίζεται ως το γράφηµα στο µιγαδικό επίπεδο του πολυω-

νύµου Βn(t) n

i0(1 t)n1 ti zi, t [0, 1].

Τα σηµεία zi ονοµάζονται δείκτες της καµπύλης και το πολύγωνο z0z1…zn1 ονο-µάζεται πολύγωνο ελέγχου της. Η καµπύλη είναι κλειστό και φραγµένο υποσύνολοτου επιπέδου, που ξεκινάει από τον πρώτο δείκτη της και καταλήγει στον τελευταίο. Ηκαµπύλη ανήκει πάντοτε στο κυρτό περίβληµα των δεικτών της, δηλαδή ανήκει σεκάθε κυρτό σύνολο που περιέχει τους δείκτες της. Επίσης εφάπτεται στο πρώτο και τοτελευταίο τµήµα του πολυγώνου ελέγχου στα άκρα της, γεγονός που µας επιτρέπει νασυγκολλούµε εύκολα διαδοχικές τέτοιες καµπύλες δηµιουργώντας αλυσιδωτές καµπύ-λες Bezier ώστε το αποτέλεσµα να είναι λεία καµπύλη. Κάθε καµπύλη Bezier κάποιουβαθµού n µπορεί να θεωρηθεί και ως καµπύλη βαθµού n 1, ιδιότητα που ονοµάζε-ται ανύψωση του βαθµού. Οι καµπύλες Bezier ορίζονται και αναδροµικά ως γραµµικήπαρεµβολή δύο καµπυλών Bezier βαθµού n 1.


Παραδείγµατα προβληµάτων που ενδιαφέρουν τους προγραµµατιστές σχετικά µετις καµπύλες Bezier είναι η εύρεση του περιβάλλοντος κουτιού της καµπύλης και ηεύρεση της τοµής της καµπύλης µε µια δοσµένη ευθεία.

Το αµέσως επόµενο βήµα για σχεδιαστική ευκολία και τελειότητα είναι οι ρητέςκαµπύλες Bezier που αποτελούν γενίκευση των καµπυλών Bezier.

Λέξεις κλειδιά: Καµπύλη Bezier, δείκτες - σηµεία ελέγχου, πολύγωνο ελέγχου, βάσηBernstein, αλγόριθµος Casteljau, αλυσιδωτή καµπύλη Bezier (Bezier spline), αναδρο-µή, γραµµική παρεµβολή, ανύψωση του βαθµού, κυρτό περίβληµα, συµπαγές σύνο-λο, περιβάλλον κουτί (bounding box), τοµή.

Παναγιώτης Νικολαΐδης, υποψ. ∆ιδάκτωρ Σχολής Αρχιτεκτόνων ΜηχανικώνΕ.Μ.Π., Συνεργάτης Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

«Γραµµές και Επιφάνειες 2ου Βαθµού: Τυπολογία και Κατασκευή»

Περίληψη

Η µελέτη των γνωστών από την αρχαιότητα κωνικών και των ευρέωςχρησιµοποιουµένων επιφανειών δευτέρου βαθµού είναι δυνατόν να πραγµατοποιηθείµε γενικό και «κοµψό» τρόπο, µε τη βοήθεια εννοιών και τεχνικών της ΓραµµικήςΆλγεβρας. Συνοπτικά:

Έστω ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων, εξοπλισµένος µε ένα σύστηµα καρτεσια-νών συντεταγµένων. Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων P(x1, x2, …, xn) του χώρου,για τα οποία επαληθεύεται µία εξίσωση της µορφής:

n

i, j1αιjxixj 2

n

i1bixi c0 0 (1)

όπου αιj, bi και c0 σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί, µε αιj αji, ονοµάζεται επιφάνεια 2ουβαθµού.

Στη γενική περίπτωση, αν δηλαδή κανείς εκ των συντελεστών αιj, bi και c0 δενείναι µηδέν, είναι εύκολο να αποδειχθεί, ότι το πλήθος των όρων στο πρώτο µέλος

της (1) είναι . Εποµένως, µια επιφάνεια 2ου βαθµού ορίζεται, αν

δοθούν ή υπολογιστούν Cn συντελεστές.

Μέσω µετασχηµατισµών, οι οποίοι ισοδυναµούν µε αλλαγή του συστήµατος συντε-ταγµένων, η εξίσωση (1) είναι δυνατόν να λάβει τη µορφή:

r

i1kiy

2i 2

n

ir1liyi l0 0 (2)

Η τελευταία εξίσωση, αν r n ή αν όλοι οι συντελεστές l1 είναι µηδέν, αν δηλαδήστερείται πρωτοβαθµίων όρων, παριστάνει µία επιφάνεια, η οποία διαθέτει κέντρο, σεκάθε σηµείο για το οποίο είναι y1 0, y2 0, …, yr 0. Αν η εξίσωση (2) περιλαµβάνειέναν τουλάχιστον πρωτοβάθµιο όρο, αποδεικνύεται ότι υπάρχει µετασχηµατισµός, οοποίος απαλείφει τον όρο l0 και όλους τους πρωτοβάθµιους όρους, πλην ενός, οδηγείεποµένως σε εξίσωση της µορφής:

(n 1)(n 2)

2

(n 1)(n 2)

2


r

i1piz

2i 2qzm (3)

µε r m n, η οποία παριστάνει µία επιφάνεια χωρίς κέντρο.Αν δοθεί η εξίσωση (3) ή η απαλλαγµένη πρωτοβαθµίων όρων εξίσωση (2) –

αναφέρονται ως κανονικές εξισώσεις – είναι εύκολη η αναγνώριση του τύπου και τωνβασικών ιδιοτήτων της αντιστοιχούσης γραµµής ή επιφανείας και η εύρεση οσωνδή-ποτε σηµείων της. Συχνότατα όµως ενδιαφέρει ο ορισµός της γραµµής ή της επιφα-νείας µέσω ενός συνόλου σηµείων, από τα οποία οφείλει να διέρχεται, ή µέσω µιαςγενικής εξίσωσης της µορφής (1). Η λύση αυτού του προβλήµατος προϋποθέτει τηλύση µιας σειράς θεωρητικών και αλγοριθµικών προβληµάτων, µεταξύ των οποίων ηεύρεση των χαρακτηριστικών µεγεθών πραγµατικών συµµετρικών πινάκων και η επί-λυση γραµµικών συστηµάτων (µάλιστα αορίστων) µεγάλου πλήθους εξισώσεων.

Η παρούσα εργασία, πέραν της θεωρητικής διερεύνησης, καταλήγει στην εφαρ-µογή λογισµικού QUADRICS, ανεπτυγµένη στη γλώσσα Visual LISP για το περιβάλλοντου AutoCAD, η οποία επιλύει πλήρως το πρόβληµα, στις δύο και στις τρεις διαστά-σεις. Συγκεκριµένα:

α. Εφόσον δοθούν Cn 1 σηµεία, υπολογίζει τους συντελεστές της εξίσωσης (1),επιλύοντας αυτοµάτως ένα γραµµικό σύστηµα Cn 1 εξισώσεων µε Cn αγνώστους. Ηεπίλυση επιτυγχάνεται µέσω του ενσωµατωµένου υποπρογράµµατος GAUSS.

β. Ευρίσκει την κανονική εξίσωση της καµπύλης ή της επιφανείας και αναγνωρίζειτο είδος της.

γ. Κατασκευάζει την καµπύλη ή την επιφάνεια στο περιβάλλον και µε χρήσηοντοτήτων του AutoCAD, ώστε να είναι πλήρως επεξεργάσιµη.

δ. Κατασκευάζει, σε ειδικά layers, σηµαντικά στοιχεία της καµπύλης ή τηςεπιφανείας. Μεταξύ αυτών, σύνολα γενετειρών ευθειογενών επιφανειών, ασυµπτώ-τους υπερβολών, ασυµπτωτικούς κώνους υπερβολοειδών και χαρακτηριστικές επίπε-δες τοµές των επιφανειών. Επιπλέον, για όλες τις επιφάνειες, κατασκευάζει σύνολασηµείων (point clouds), καταλλήλως κατανεµηµένων. Η πυκνότητα των σηµείων καιτων επιπέδων τοµών ελέγχεται από το «χρήστη». Ελέγχεται επίσης πλήρως το«εύρος» σχεδίασης των µη πεπερασµένων γραµµών και επιφανειών.

Λέξεις κλειδιά: Κωνική, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή, ελλειψοειδές, υπερβολοειδές,παραβολοειδές, κύλινδρος, κώνος, conics, quadrics.

Πάρις Πάµφιλος, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τοµέας Άλγεβρας και Γεωµετρίας,Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης, προσκεκληµένος οµιλητής

«Ευκλείδεια Γεωµετρία µε το EucliDraw»

Περίληψη

Το θέµα της διάλεξης θα είναι η εφαρµογή αυτού του προγράµµατος γιά την µελέ-τη ιδιοτήτων συνθέτων σχηµάτων, όπως λ.χ. ο Άρβηλος, το πρόβληµα εφαπτοµένωνκύκλων του Απολλώνιου, οι αλυσίδες του Steiner, τα πλέγµατα Vecten κ.α..

Το πρόγραµµα επιτρέπει την κατασκευή δυναµικών σχηµάτων, που επιτρέπουν µία


πληρέστερη κατανόηση των σχετικών προβληµάτων, καθώς και την ανίχνευση νέωνιδιοτήτων.

∆ήµητρα Σταθοπούλου, Αρχιτέκτων Μηχανικός Πανεπιστηµίου Πατρών, MPhil inDigital Architectonics, University of Bath

«Από την Χορευτική Κίνηση στην Αρχιτεκτονική Μορφή»

Περίληψη

Η Αρχιτεκτονική και ο χορός, δύο φαινοµενικά ετερόκλητα αντικείµενα, εξερευ-νώνται, αναλύονται και συσχετίζονται σε αυτή την έρευνα µέσω της γεωµετρίας καιτου παραµετρικού σχεδιασµού. Ως µορφές οπτικών τεχνών όµως, µοιράζονται ένακοινό έδαφος, τον τρισδιάστατο χώρο. Εποµένως, το λεξιλόγιο, οι αρχές και οι διαδι-κασίες σχεδιασµού που χρησιµοποιούν είναι στενά συνδεδεµένες (Mattingly 1999). Ηδυσκολία σύνδεσης της αρχιτεκτονικής µε το χορό έγκειται στον εφήµερο χαρακτήρατου τελευταίου. Ωστόσο, οι ραγδαίες εξελίξεις στην τεχνολογία των υπολογιστών,έφερε πιο κοντά τη στατική µορφή µε την κίνηση. Ο άµεσος όµως συσχετισµός τηςαρχιτεκτονικής µε το χορό, παρέµενε ασαφής.

Για να επιτευχθεί η παραπάνω σύνδεση, µελετήθηκαν τα διάφορα µέσα που έχουνχρησιµοποιηθεί ως τώρα για να καταγράψουν τη χορευτική κίνηση. Σε αυτά συµπερι-λαµβάνονται η σηµειογραφία της χορευτικής κίνησης (dance notation/Labanotation),τα animation, το video, η χρήση σύνθετων µέσων (William Forsythe, SynchronousObjects – For One Flat Thing Reproduced), η χρονο-φωτογραφία (Chronopho-tography), και τέλος τα Mocaps (Motion Capture Data). Τα τελευταία αποτέλεσαν τηνπρώτη ύλη για τον πειραµατισµό µε την κίνηση, και την γεωµετρία της µέσα σε παρα-µετρικό περιβάλλον.

Η µεθοδολογία που ακολουθήθηκε για να αποκτήσει γεωµετρική υπόσταση η κίνη-ση, περιλάµβανε τα εξής στάδια. Κατ’ αρχάς δηµιουργήθηκε µία συλλογή από Mocaps,η οποία ακολούθησε την κατηγοριοποίηση της κίνησης σε πέντε συνιστώσες δράσης(action components) (Ricket 1996). Στη συνέχεια, αποµονώθηκαν από τα Mocaps οισυντεταγµένες των σηµείων που αναπαριστούσαν τη θέση των διαφόρων µελών τουσώµατος σε κάθε χρονική στιγµή της κίνησης. Τα σηµεία αυτά αποτέλεσαν στη συνέ-χεια το υπόβαθρο για να αναπαρασταθεί γεωµετρικά η κίνηση.

Η χωρική της υπόσταση µπορούσε να γίνει αντιληπτή είτε µέσω του θετικού είτεµέσω του αρνητικού της χώρου. Ο θετικός χώρος αναφέρεται στο χώρο που κατα-λαµβάνει το σώµα όταν κινείται, και αυτός εκφράστηκε γεωµετρικά µέσω των σηµεί-ων που προκύπτουν στο χώρο σε κάθε χρονική στιγµή της κίνησης, από τα οποία προ-κύπτουν στη συνέχεια γραµµές, επιφάνειες και όγκοι. Ο αρνητικός χώρος αφορά στοχώρο που περιβάλλει το κινούµενο σώµα, και εκφράστηκε γεωµετρικά είτε ως επιφά-νεια που παραµορφώνεται από την κίνηση, είτε ως όγκος ο οποίος λαξεύεται από τηνκίνηση.

Προκειµένου να χρησιµοποιηθεί ο χορός ως γεννήτρια αρχιτεκτονικών µορφών,κρίθηκε απαραίτητη η δηµιουργία εργαλείων τα οποία να τροποποιούν αλλά και νασυνδυάζουν τις διάφορες κινήσεις. Οι τεχνικές τροποποίησης (transformationtechniques) µπορούν είτε να διατηρούν τα µήκη και τις γωνίες της γεωµετρίας


(congruence transformations), όπως είναι η µεταγραφή, η περιστροφή και ο αντικα-τοπτρισµός, είτε να την παραµορφώνουν αλλάζοντας την κλίµακα του αντικειµένουοµοιογενώς (similarity transformations) ή ανοµοιογενώς (shear transformations)(Pottmann 2007).

Τέλος, παρουσιάζεται η εφαρµογή των παραπάνω στο σχεδιασµό ενός παιχνιδιούαναρρίχησης και ενός skate-bowl. Η επεξεργασία των επιµέρους θεµάτων είχε σαναποτέλεσµα να εµπλουτιστεί το παραµετρικό γεωµετρικό µοντέλο µε κατασκευαστικέςλεπτοµέρειες, ελέγχους ασφάλειας και πίνακες δεδοµένων, οι οποίοι εξάγονταν απευ-θείας από τη γεωµετρία και τις ιδιότητές της.

Λέξεις κλειδιά: αρχιτεκτονική, χορός, τεχνικές οπτικοποίησης, παραµετρικός σχεδια-σµός, γεωµετρία, Labanotation, motion capture, digital fabrication, ‘Grasshopper’.


Γιάννης Αθανασόπουλος, Αρχιτέκτων Μηχανικός Ε.Μ.Π., υποψ. ∆ιδάκτωρ Τµήµα-τος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ∆.Π.Θ.

«Η µετάβαση από την κλειστή στην ανοικτή µορφή. Μια διαχρονική εξέτασητου φαινοµένου»

Περίληψη

Στην παρούσα εργασία αναπτύσσονται προβληµατισµοί γύρω από την επίδραση τηςγεωµετρίας στον τρόπο έκφρασης των κλασικών και µετακλασικών φαινοµένων ύφους,η οποία άλλοτε οδηγεί σε µορφές κλειστές και εποµένως στατικές, και άλλοτε σε µορ-φές ανοικτές, δηλαδή δυναµικές, οι οποίες επιχειρούν να αναιρέσουν την στατικότητακαι να εισάγουν την έννοια της κίνησης. Αρχικώς, επιχειρείται, µέσα από την προσπά-θεια ορισµού των δύο αντιθετικών εννοιών, να προσδιοριστεί η διαφορετικότητα τηςαισθητικής προσέγγισης µιας µορφής, είτε από τη θέση του δηµιουργού, είτε του δέκτη.Ακολούθως, η συγκριτική αυτή προσέγγιση εξετάζεται µέσω της διαχρονικής παρουσία-σης της εναλλαγής της µετάβασης από το κλειστό – στατικό στο ανοικτό – κινητικό απότους αρχαίους χρόνους µέχρι τη σύγχρονη εποχή, επιχειρώντας να αναδείξει την περιο-δικότητα των φαινοµένων, και ως ένα βαθµό, να τεκµηριωθεί η θέση του Π. Μιχελή ότιη τέχνη δεν «εξελίσσεται», καθώς «η ζωή ανελίσσεται πάντα προς νέους ορίζοντες,ώστε ν’ ανασυνθέτη κάθε φορά µε νέον τρόπο ό,τι είναι από την αρχή τεθιµένο».

Ελένη Αµερικάνου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών∆.Π.Θ., προσκεκληµένη οµιλήτρια

«Αναγνώσεις γεωµετρίας: Η γεωµετρική υφή των στοιχείων σύνταξης τουαρχιτεκτονικού χώρου»

Περίληψη

Η απλή, «καθαρή» (και αναγκαστικά ευκλείδεια) γεωµετρία είναι ένας από τουςπρωταρχικούς και διαρκείς τρόπους µε τους οποίους η αρχιτεκτονική µπορεί να προ-σφέρει στον άνθρωπο ένα «υπαρξιακό έρεισµα», µεσολαβώντας ανάµεσα σε αυτόν καιτον κόσµο, συµφιλιώνοντας –χάρη στην «κατοίκηση»– τον άνθρωπο µε το περιβάλ-λον του.

Η γεωµετρία του κέντρου και του κύκλου, της ευθείας γραµµής και του επιπέδου,της ορθής γωνίας και του τρισορθογώνιου συστήµατος, των απλών γεωµετρικών σχη-µάτων και στερεών, της µέτρησης και του ρυθµού, είναι αυτή που ο άνθρωπος – τόσοµε το πνεύµα όσο και µε το σώµα– αναγνωρίζει, κατανοεί και εγγράφει στη χωρικήδιάσταση της πραγµατικότητας του κόσµου, του εαυτού του και των τόπων που κατοι-κεί.

Η διαπλοκή των παραπάνω γεωµετρικών συστατικών µε τη «χωρικότητα» του

ΙΙΙ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ – ΜΟΡΦΗ - ΧΩΡΟΣ

III. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ – ΜΟΡΦΗ – ΧΩΡΟΣ 35

σώµατος, αλλά και µε τη φυσική εποπτεία από τον «µεσόκοσµο» της ζωής του, βοη-θάει τον άνθρωπο να είναι µέρος του περιβάλλοντος, να «είναι στον κόσµο».

Αντίστοιχα, η εµπλοκή αυτής της απλής γεωµετρίας στη (γεωµετρική) υφή τωνστοιχείων σύνταξης του αρχιτεκτονικού χώρου συνιστά µια συνθήκη, η οποία επαλη-θεύει τη δυνατότητα των χώρων, των δηµιουργηµένων από τον άνθρωπο, να διαλέ-γονται µε τη φύση και µε τον ίδιο, καθώς ενσωµατώνουν εγγενείς συγγένειες, κρίσι-µες για την εξοικείωση, την κατοίκηση και την ανάδειξή τους σε «δοχεία ζωής». Χάρηστη γεωµετρική συνοχή, εξάλλου, απαντά η αρχιτεκτονική στον κυρίαρχο νόµο τηςεντροπίας µε πρόθεση «οικονοµίας».

Η «ενδόµυχη» γεωµετρία της απλότητας, της καθαρότητας και της στοιχειακήςτάξης, εµπεριέχεται στην ευκλείδεια γεωµετρία που, ενώ –ως αφηρηµένη, νοητικήκατασκευή– έχει κατά πολύ εξελλιχθεί, αµφισβητηθεί και µεταλλαχθεί σε άλλες γεω-µετρίες των νεότερων µαθηµατικών, δεν παύει, ωστόσο, να είναι η µοναδική εκδοχήτης γεωµετρίας, η οποία αντιπροσωπεύει αδιαµεσολάβητα τη φυσική µας εποπτεία τωνχωρικών σχέσεων. Αντίθετα, οι προωθηµένες, περίπλοκες γεωµετρικές θεωρητικέςσυλλήψεις, αν και έχουν συµβάλλει στην προσέγγιση των µυστηρίων του «µικρόκο-σµου» ή του «µακρόκοσµου», αποµακρύνονται από τη φυσική εποπτεία του χώρου τηςκαθηµερινής ζωής. Οι τελευταίες, όταν περνούν ως δάνεια σε αρχιτεκτονικές ιδέες,αλλά κυρίως σε υλοποιηµένα έργα (χάρη στην ψηφιακή τεχνολογία σχεδιασµού), προ-βάλλουν στον αρχιτεκτονικό χώρο τεράστιο πλήθος γεωµετρικών δεδοµένων καιπαγιώνουν ιδιάζουσες χωρικές συνθήκες. Ο άνθρωπος ωθείται σε ένα χωρικό πλαίσιοτο οποίο τον υπερβαίνει και δεν του εξασφαλίζει το µέτρο και τη δυνατότητα οικειο-ποίησης. Ο αρχιτεκτονικός χώρος «απονοηµατοδοτείται», καθώς έχουν αφαιρεθεί βιω-µένα νοήµατα µε σηµασιακό βάρος και καταλήγει «ανοίκειος», ενώ η αρχιτεκτονική,αντί να συνδέει τον άνθρωπο µε το περιβάλλον, µάλλον συµβάλλει στην ανθρώπινηαλλοτρίωση, αποκόπτοντάς τον όλο και περισσότερο από αυτό. Μήπως, αυτή η απου-σία της γόνιµης «συνήχησης» –που αναπτύσσουν τα απλά γεωµετρικά ίχνη τα ενυ-πάρχοντα στον άνθρωπο, τη φύση και τους τόπους που δηµιουργεί– οδηγήσει σ’ έναναλλότριο ερµητικό περίγυρο;

Τα παραπάνω αποτελούν προεκτάσεις του προβληµατισµού µου αναφορικά µε τιςπρόσφατες τάσεις στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό,οι οποίες εκφράζουν την πλήρη απε-λευθέρωση –ή και τη ρήξη– από την κυριαρχία της ευκλείδειας γεωµετρίας. Μια πρώτηαπόπειρα κριτικής αυτών των τάσεων έχω ήδη επιχειρήσει σε κείµενό µου µε τίτλο«Αναγνώσεις γεωµετρίας», στο συλλογικό έργο Ιδέες που συναντιούνται–Ιδέες πουχάνονται, Αθήνα 2004.

Λέξεις κλειδιά: Γεωµετρία, αρχιτεκτονική, στοιχεία αρχιτεκτονικού χώρου, περιβάλ-λον, κατοίκηση, φυσική εποπτεία, ψηφιακή τεχνολογία.

Χρυσούλα Βαρλάµου, Αρχιτέκτων Εσωτερικών Χώρων

«Γεωµετρία, πλαστικότητα, αρµονία στην αρχιτεκτονική εσωτερικώνχώρων»

Περίληψη

Όπως γνωρίζουµε σήµερα, η έννοια του χώρου, όσον αφορά την επιστήµη, συν-


δέεται στενά µε το σύνολο των φυσικών ιδιοτήτων του, η πειραµατική επαλήθευσητων οποίων τον µορφοποιεί αισθητά και ανθρωπίνως λογικά. Η περιγραφή του χώρουµέσω των ιδιοτήτων του είναι θέµα της γεωµετρίας. η έννοια της οποίας δεν µπορεί ναταυτισθεί µε την έννοια του χώρου και του αριθµού των διαστάσεών του. Η γεωµετρίαπεριγράφει µια σειρά ιδιοτήτων, ανεξαρτήτως του αριθµού των διαστάσεών τουχώρου. Οι αισθήσεις µας µπορούν να καταγράψουν και να συγκεκριµενοποιήσουνσχήµατα που µορφοποιούνται µόνο µέσα σε χώρους µέχρι τριών διαστάσεων πουπεριγράφονται από την Ευκλείδεια γεωµετρία.

Η γεωµετρία ασχολείται µε τον αφηρηµένο χώρο, ενώ ο σχεδιασµός εξωτερικώνκαι εσωτερικών χώρων ασχολείται µε αυτόν σε σχέση µε τον άνθρωπο, ως παρατη-ρητή, και ως χρήστη. Η συγκρότηση ενός χώρου προϋποθέτει την ύπαρξη επιµέρουςστοιχείων που ενώνονται, συναρµολογούνται, σύµφωνα µε κάποιο δοµικό κανόνα γιανα σχηµατιστεί ο τρισδιάστατα δοµηµένος χώρος. Η γεωµετρία είναι ο ιστός στον οποίουφαίνουµε το δοµικό, στατικό ή µεταβλητό χώρο, αποτελεί το βασικό «υλικό» για τηναρχιτεκτονική, ενδιαφέρει το µηχανικό, αρχιτέκτονα, αρχιτέκτονα εσωτερικών χώρωνκαι σχεδιαστή βιοµηχανικού αντικειµένου, ως η βασική επιστήµη για τη µελέτη και τηνκατασκευή των δοµηµένων µορφών.

Ο σχεδιασµός κατατάσσεται σε τρεις κατηγορίες: «σύλληψη-σκίτσο», «πρόβληµα-επίλυση», και «επιδίωξη του ιδανικού».

Σχεδιασµός και δηµιουργικότητα είναι έννοιες άρρηκτα συνδεδεµένες µεταξύ τους.Κάθε σχεδιασµός εξηγείται συνήθως ως µια δραστηριότητα για να διατυπώσει µια λύσησχεδιασµού για ένα σκοπό.

Οι έννοιες του σχεδιασµού ουσιαστικά αφορούν δύο φάσεις: τη διανοητική σύλ-ληψη για κάτι, και στη συνέχεια τη δηµιουργία µορφών, έννοιες που αντικατοπτρίζουντα κοινωνικά γίγνεσθαι κάθε εποχής, ενώ ωθούνται από πηγές βάσεων συναισθηµά-των. Τότε οι µορφές µπορούν να θεωρηθούν αρµονικές και το αρχιτεκτόνηµα νασυγκινεί αισθητικά, όχι µόνον τον χρήστη αλλά και τον θεατή.

Το ανεκπαίδευτο ανθρώπινο µάτι, µε η χωρίς εξάσκηση, αντιλαµβάνεται τις αρµο-νικές σχέσεις σηµείων, γραµµών, σχηµάτων, όγκων, χωρίς όµως να διακρίνει το γεω-µετρικό υπόβαθρο που έχει «στηρίξει» κάθε αρχιτεκτονικό η εικαστικό δηµιούργηµαπου τον περιβάλλει, που ίσως συντέθηκε από τµήµατα η εξελικτικές µορφές, δισδιά-στατες ή τρισδιάστατες, των βασικών γεωµετρικών σχηµάτων: τρίγωνο, τετράγωνο,κύκλος, καθώς και της αρχέγονης αρχής της χρυσής τοµής, γνωστά όλα από τηνεποχή των πυραµίδων στην Αίγυπτο, αλλά επιστηµονικά διερευνηµένα και καταγε-γραµµένα από επιφανείς Έλληνες µαθηµατικούς της αρχαίας Ελλάδος.

Αριστουργήµατα πρωτοπόρων σχεδιαστών γίνονται κλασσικά όταν η σχεδίασητους πηγάζει από την κλασσική σχεδιαστική φιλοσοφία, τη γεωµετρία, την επιστήµητων ιδιοτήτων και των αρµονικών σχέσεων των µεγεθών στο χώρο. Τα έργα τους δια-πνέονται από τη συνέπεια, της έννοιας της σύλληψης σχεδιασµού και της ταυτότηταςτης εικόνας.

Ως εκ τούτου, στα έργα τους αναδύεται σχετική οµοιότητα, είτε σύγχρονα, είτεµέσα από διαφορετικές περιόδους.

Λέξεις κλειδιά: Γεωµετρία, ιδιότητες, χώρος, σύλληψη, επίλυση, ιδανικό, αρµονικέςσχέσεις σχηµάτων, µορφών, ανθρώπινη αντίληψη, κλασσική σχεδιαστική φιλοσοφία.


Παναγιώτης Βασιλάτος, Λέκτορας, Σχολή Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π.

«Οι Γεωµετρικές Αναλογίες στον Αρχιτεκτονικό Σχεδιασµό. Το MODULOR, µιακριτική – αιρετική προσέγγιση»

Περίληψη

Η γεωµετρικοποίηση του χώρου αποτελεί πιθανόν µια βαθύτερη ανάγκη τουανθρώπου στην προσπάθεια του να οικοδοµήσει «τάξη» και να οικειοποιηθεί την χαο-τική φύση. Αντιληπτικά ένα περιβάλλον είναι αναγνωρίσιµο και αποδοτικότερο ότανέχει σχέσεις κανονικότητας. Ο άνθρωπος νοηµατοδοτεί και κατ’ επέκταση αποδίδεισηµασίες στην τυχαιότητα της φύσης µε επιδιωκόµενο σκοπό την υπέρβαση τουφόβου του προσδίδοντας τάξη στο χάος που τον περιβάλλει.

Η ανάγκη αυτή βρίσκει πρόσφορο έδαφος και γονιµοποιεί τα έργα του, ειδικότερααυτά της τέχνης και οπωσδήποτε την ίδια την αρχιτεκτονική, που συνειδητά αποτελείτο διαρκέστερο δηµιούργηµά του µέσα στον χρόνο.

Η διαδικασία του «οικοδοµείν» έχει ως προϋπόθεση την ανάλυση και τον σχεδια-σµό, όπου πραγµατώνονται µέσω του Ευκλείδειου αιτήµατος µε την χρήση «κανόνακαι διαβήτη» προσοµοιώνοντας την οικοδοµική πράξη και απαιτώντας καρτεσιανέςαναφορές για τις χαράξεις, την λάξευση ή το κτίσιµο, ενώ παράλληλα αντανακλά µιαδιττή πράξη, την νοητική σύλληψη και την απόδοσή της µε γεωµετρικά όργανα σεσχέδιο ως προϋπόθεση της υλοποίησης του αρχιτεκτονικού έργου. ∆ηµιουργούνταιέτσι, οι προϋποθέσεις για την µαθηµατική διερεύνηση και την θεωρητικοποίηση τωνσχέσεων των σχηµάτων και των µεγεθών, καθώς και της εσωτερικής µεταξύ τουςτάξης, θέτοντας κανόνες που ακυρώνουν την τυχαιότητα και αντανακλούν την ανά-γκη ύπαρξης αντικειµενικού υπόβαθρου που τεκµηριώνει τις επιλογές του αρχιτέκτο-να.

Ο προβληµατισµός για µια αισθητική θεώρηση της γεωµετρίας οδήγησε στηνσηµαντικότερη και γοητευτικότερη απάντηση, την «Χρυσή Τοµή», όπου ήδη από τηναρχαιότητα έχει διερευνηθεί µε πληρότητα.

Κατά την αναγέννηση το ζήτηµα βρέθηκε στο επίκεντρο θεωρητικού έργου, τόσοτων αρχιτεκτόνων αλλά και του συνόλου των καλλιτεχνών, ενώ στην σύγχρονη περίο-δο οι απαιτήσεις της βιοµηχανικής παραγωγής έθεσαν τις νέες προοπτικές µε την ανά-γκη τυποποίησης των προϊόντων της.

Στον αιώνα µας σηµαντικά κινήµατα και προσωπικότητες της αρχιτεκτονικής ασχο-λήθηκαν µε τις γεωµετρικές αναλογίες και ανάµεσα τους καταλαµβάνει κυρίαρχη θέσηη εµβληµατική µορφή του Le Corbusier, µε το θεωρητικό του έργο «Le Modulor», πουπραγµατεύεται αυτό ακριβώς το θέµα.

Με αφετηρία το Modulor αναπτύσσεται ένας κριτικός προβληµατισµός για τηνφύση και τα όρια της πρότασης του αρχιτέκτονα και επιχειρείται να προταθεί ένα νέοσύστηµα αναλογιών, το οποίο παράλληλα µε τα αισθητικά θέµατα, να απαντά πληρέ-στερα στα όρια δυνατότητας χρήσης του στην σύγχρονη δοµική τυποποίηση.


Σταµατίνα Γεωργοπούλου, Αρχιτέκτων Μηχανικός Ε.Μ.Π., υποψ. ∆ιδάκτωρ Τµήµα-τος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ∆.Π.Θ.

«Η Γεωµετρία του Βέλτιστου Ηλιασµού στην Αρχιτεκτονική»

Περίληψη

Ο βιοκλιµατικός σχεδιασµός [1] ως περιβαλλοντική παράµετρος του αρχιτεκτονι-κού σχεδιασµού, αντιµετωπίζει τα παραγόµενα κτίρια και υπαίθριους χώρους, καθώςκαι το κλίµα του τόπου στον οποίο χωροθετούνται, ως µια ενότητα αλληλοεξαρτώµε-νη, µε αµοιβαίες επιδράσεις. Θεωρεί αναγκαία την αξιοποίηση του κλίµατος, όπως τηδιαθέσιµη ηλιακή ενέργεια (για θέρµανση, φυσικό φωτισµό κ.λ.π., και την αξιοποίησητων δροσερών ανέµων (για φυσική ψύξη) κ.λ.π. Οι επικρατούσες συνθήκες µικροκλί-µατος [2] στο άµεσο περιβάλλον του χώρου που σχεδιάζεται µπορούν να αξιολογη-θούν σε θετικές και αρνητικές ως προς τις επιδράσεις τους στο χώρο και ανάλογα ναπαρθούν οι σχετικές αποφάσεις και οι σχεδιαστικές επιλογές που τις αξιοποιούν.

Τα κτίρια και οι υπαίθριοι χώροι γύρω απ΄ αυτά, ηλιάζονται ή µη, σε διάρκεια καιένταση που ποικίλλει αναλόγως του προσανατολισµού τους, του γεωγραφικού πλά-τους στο οποίο βρίσκονται, τις εποχές και την ώρα κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας ανάεποχή. Με την επιδίωξη βέλτιστου ηλιασµού [3] επιτυγχάνεται αύξηση των θερµικώνφορτίων κατά τη διάρκεια των ψυχρών ηµερών σε εσωτερικούς και εξωτερικούςχώρους. Επιπλέον επιτυγχάνεται επαρκής σκιασµός [4] από τη µελέτη των προεξοχώνπου σχεδιάζονται στο ίδιο το κέλυφος των κτιρίων, των άλλων κτιρίων, των φυτεύ-σεων ή ακόµα και των στοιχείων τοπογραφικών διαµορφώσεων γύρω τους.

Τα βασικά γεωµετρικά στοιχεία που διαφοροποιούν και επηρεάζουν από τόπο σετόπο την παραπάνω διερεύνηση είναι το αζιµούθιο [5], δηλαδή η διαδροµή του ήλιουστον ορίζοντα γύρω από το εξεταζόµενο σηµείο από την ώρα που ανατέλλει µέχρι τηνώρα που θα δύσει και η γωνία ύψους ήλιου [6] δηλαδή του άξονα που προσδιορίζειτο ύψος του σε σχέση µε το σηµείο αυτό.

Η δηµιουργία και χρησιµοποίηση σφαιρικών ηλιακών διαγραµµάτων [7] απλου-στεύει σηµαντικά τη διαδικασία προσδιορισµού της χρονικής περιόδου που ένα κτίριοή οικόπεδο σκιάζεται από γειτονικά εµπόδια, παρότι η σχεδιαστική αναπαράσταση τουσκιασµού σε γράφηµα δεν προσδιορίζει τα ακριβή σηµεία που καλύπτει πάνω στο κτί-ριο η σκιά των εµποδίων.

Παρά τα µειονεκτήµατα του τρόπου αυτού, αναγνωρίζουµε τη χρησιµότητά τουςστις περιπτώσεις όπου θέλουµε µια πρώτη άµεση προσέγγιση της καταλληλότητας ωςπρος τον ηλιασµό ενός οικοπέδου σε πυκνοδοµηµένο αστικό ιστό.

Μια πρότυπη εφαρµογή τους σε συνδυασµό µε άλλα κλιµατικά στοιχεία, που αφο-ρούν στο µικροκλίµα της περιοχής µελέτης είναι η σύνταξη βιοκλιµατικού χάρτη [8].Στο χάρτη αυτόν παρουσιάζονται οι κρίσιµες ζώνες ή χώροι στους οποίους διαφαίνο-νται συγκεκριµένα περιβαλλοντικά προβλήµατα για δυο γενικές κλιµατικές περιόδουςτου έτους (θερµή και ψυχρή). Εκεί σχεδιάζονται ζώνες µε γνώµονα τις γενικές επι-διώξεις του βιοκλιµατικού-περιβαλλοντικού σχεδιασµού όπως επιγραµµατικά αναφέ-ρονται παρακάτω:

α. Εξασφάλιση ηλιασµού το χειµώνα.β. Εξασφάλιση προστασίας από τoν ήλιο το καλοκαίριγ. Προστασία από τον άνεµο το χειµώνα


δ. Εξασφάλιση δροσισµού το καλοκαίριε. Εξασφάλιση ηχοπροστασίας

στ. Εντοπισµός περιοχών χωροθέτησης επιφανειακών υγρών στοιχείων για βελ-τίωση της ποιότητας του µικροκλίµατος και την ενίσχυση του φυσικού δροσι-σµού

ζ. Χωροθέτηση µε ανάλογους συνδυασµούς κατάλληλων υλικών.

Μέσω συνεπώς του βιοκλιµατικού χάρτη παρέχονται οι κατευθύνσεις αλλά καιελέγχονται οι προτάσεις συµβατότητας µε τις προδιαγραφές που αφορούν τις επιδιω-κόµενες κλιµατικές συνθήκες. Έτσι η χωροθέτηση χρήσεων και το λειτουργικό διά-γραµµα του χώρου συνδυάζονται παράλληλα µε τα παραπάνω προκύπτοντα στοιχείαπροσεγγίζοντας σε µεγάλο βαθµό τους στόχους του βιοκλιµατικού σχεδιασµού.

Λέξεις κλειδιά: [1] βιοκλιµατικός σχεδιασµός, [2] µικροκλίµα, [3] βέλτιστος ηλιασµός,[4] επαρκής σκιασµός, [5] αζιµούθιο, [6] γωνία ύψους ήλιου, [7] σφαιρικά – πολικάδιαγράµµατα ηλιασµού, [8] βιοκλιµατικός χάρτης.

Γιάννης Ζαβολέας, Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπι-στηµίου Πατρών, προσκεκληµένος οµιλητής∆ηµήτρης Ζησιµόπουλος, Αρχιτέκτων Μηχανικός Α.Π.Θ., MSc Urban StrategiesUniversity of Applied Arts of Vienna /Βασίλης Παππάς, Αναπληρωτής Καθηγητής,Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών /Βασίλης Στρουµπάκος,Εντεταλµένος Λέκτορας, Τµήµα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Πανεπιστηµίου Πατρών/Ιωάννα Συµεωνίδου, Λέκτορας, Technical University of Graz

«Καταχρήσεις του Κώδικα στην Αρχιτεκτονική: Τοπολογικοί Πειραµατισµοίµέσω Υπολογιστικών Μεθόδων»

Περίληψη

Είναι πλέον κοινή πεποίθηση ότι το ψηφιακό µέσο δεν ορίζει µια νέα κατηγορίαέρευνας µε “θολά” τα πεδία των εφαρµογών του, παρά συνιστά ένα εργαλείο σχεδια-στικής δράσης, πλήρως ενσωµατωµένο στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό. Ωστόσο, οι“φυσικές” ιδιότητες του κάθε µέσου - άρα και του ψηφιακού - επηρεάζουν αποφασι-στικά την προσέγγιση του σχεδιασµού. Εποµένως, το µέσο, µε τους τρόπους µε τουςοποίους χρησιµοποιείται συχνά σε κατάχρηση των ιδιοτήτων του, αποτελεί εργαλείοδιαµόρφωσης της σκέψης, αναπόσπαστο της δηµιουργικής πράξης. Στα πλαίσια τηςεισήγησης εκτίθενται η γενική θεωρητική βάση, η µεθοδολογία και τα αποτελέσµαταεργαστηρίου διάρκειας πέντε ηµερών µε θέµα “Καταχρήσεις του Κώδικα στην Αρχιτε-κτονική” που πραγµατοποιήθηκε σε απάντηση της παραπάνω πρόκλησης, στο ΤµήµαΑρχιτεκτόνων Μηχανικών του Πανεπιστηµίου Πατρών, τον Φεβρουάριο του 2012.Σκοπός του εργαστηρίου ήταν η δυναµική ενσωµάτωση παραµετρικών µεθόδων στοναρχιτεκτονικό σχεδιασµό. Αναπτύχθηκε επάνω στη γλώσσα προγραµµατισµού MELπου συντάσσεται ως µέρος της πλατφόρµας του προγράµµατος σχεδίασης Maya. Ανα-λύθηκαν βασικές έννοιες και τεχνικές παραµετρικού σχεδιασµού µε χρήση αλγορίθ-µων. Ταυτόχρονα έγινε συγκριτική αποτίµηση των µεθόδων παραµετρικού σχεδιασµούµε τις συµβατικές µεθόδους ψηφιακής µοντελοποίησης.


Συγκεκριµένα παρουσιάζονται οι φάσεις ως προς τις οποίες οργανώθηκε το εργα-στήριο. Αρχικά εισάγεται η λογική του ψηφιακού κώδικα. Στη συνέχεια, επιχειρούνταιπρώτες εφαρµογές στον ψηφιακό χώρο, µέσα από επαναλήψεις, παραµορφώσεις,προσθέσεις και αφαιρέσεις βασικών και παράγωγων γεωµετρικών σχηµατισµών. Ακο-λουθεί µια σειρά πειραµατισµών επάνω στις τοπολογικές παραλλαγές της επιφάνειας.Το εργαστήριο ολοκληρώνεται µε την ανάπτυξη συνδυαστικών προτάσεων των τεχνι-κών που παρουσιάσθηκαν κατά τις προηγούµενες ηµέρες.

Οι διαδικασίες και τα συµπεράσµατα του εργαστηρίου ήδη αποτελούν τη βάσηανάπτυξης του σχετικού αντικειµένου στα µαθήµατα που πραγµατοποιούνται στησχολή Αρχιτεκτονικής του Πανεπιστηµίου Πατρών. Το υλικό εµπλουτίζεται διαρκώς µεπαραδείγµατα από τη διεθνή δραστηριοποίηση, ενώ επιπλέον προγραµµατίζεται σειράεργαστηρίων µε συνεργασίες στην Ελλάδα και το εξωτερικό. ∆ιαπιστώνονται οι πολύ-πλευρες επιδράσεις στην εκπαίδευση του αρχιτέκτονα από ένα φάσµα κατευθύνσεωνπου ακολουθεί η αρχιτεκτονική έρευνα επάνω στο πεδίο αυτό. Εξαιτίας της απήχησης,των δυνατοτήτων που διανοίγονται, αλλά και της έντονης κριτικής που αναπτύσσεταισχετικά µε τη χρήση του κώδικα από τους αρχιτέκτονες, κρίνεται σκόπιµο, µε αφορ-µή το εργαστήριο, το ζήτηµα των εφαρµογών του να παρουσιασθεί και να συζητηθείστο ενδιαφερόµενο επιστηµονικό κοινό στα πλαίσια του συνεδρίου. Μετά από µιασυνολική εκτίµηση, διαφαίνονται οι πιθανές τοποθετήσεις, καθώς και οι διαφορές πουπροσδίδουν ταυτότητα στην παρούσα προσέγγιση.

Λέξεις κλειδιά: τοπολογία, αλγοριθµική αρχιτεκτονική, προγραµµατισµός, compu-tation, scripting.

Λίλα Θεοδωρίδου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τµήµα Γεωπληροφορικής και Τοπο-γραφίας Τ.Ε.Ι. Σερρών /Ζωή Σωτηρίου, Βιβλιοθηκονόµος, µεταπτυχιακή φοιτήτριαΕ.Α.Π. /Γλυκερία Καριώτου, Καθηγήτρια Εφαρµογών, Τµήµα Γεωπληροφορικής καιΤοπογραφίας Τ.Ε.Ι. Σερρών

«Γεωµετρία ή Χωρική Οργάνωση; Η Συντακτική θεωρία του Χώρου και Ελλη-νικές Εφαρµογές»

Περίληψη

Σε αντίθεση µε τις µετρικές και γεωµετρικές ιδιότητες του χώρου, τις οποίες µπορείκανείς να αντιληφθεί άµεσα (π.χ το µέγεθος ή το σχήµα του), οι ιδιότητες της χωρικήςοργάνωσης (π.χ η θέση ενός συγκεκριµένου χώρου µέσα σ’ ολόκληρο το χωρικό σύστη-µα) είναι πιο αφηρηµένες. Στο βασικό ερώτηµα εάν η τοπολογία ή η γεωµετρία επηρε-άζει τον τρόπο µε τον οποίο βιώνουµε ένα κτίριο έχει απαντήσει εδώ και καιρό η θεω-ρία του space syntax (συντακτικό του χώρου). Η γλώσσα της χωρικής περιγραφής, πουµάς παρέχει το space syntax, µάς επιτρέπει να κατανοήσουµε την χωρική δοµή των κτι-ρίων. O τρόπος, για παράδειγµα, µε τον οποίο οι άνθρωποι κινούνται µέσα σ’ ένα κτίριοκαθορίζεται από το σύστηµα των χωρικών σχέσεων µέσα σ’ αυτό, από τον τρόπο δηλα-δή που το κτίριο διαιρώντας το χώρο (µε τους τοίχους) και επανασυνδέοντας (µε ταανοίγµατα) προσφέρει αλληλουχίες και επιλογές πορείας. Στην παρούσα εισήγηση εξε-τάζονται περιληπτικά βασικά χωρικά εργαλεία, όπως η ορατότητα, η προσβασιµότητα, ηκίνηση, η συνάντηση, η τοπικότητα, η κεντρικότητα κ.λπ., σε συνδυασµό µε την µέθο-


δο χωρικής ανάλυσης µε τη χρήση λογισµικού (depthmap). Επιχειρείται επίσης µιασυστηµατική καταγραφή της βιβλιογραφίας για το ζήτηµα αυτό, καθώς και µιά κριτικήπαρουσίαση αναλύσεων και µελετών για ορισµένα ελληνικά µουσεία και αστικά κέντρα.Συνοψίζοντας, θα ισχυριστούµε ότι επειδή η ανθρώπινη δραστηριότητα έχει την δική της«φυσική γεωµετρία» (οπτικά πεδία που αλλάζουν συνεχώς καθώς κινούµαστε, οπτικέςδιασυνδέσεις µε άλλους χώρους κ.λπ.), ο χώρος δεν πρέπει να αντιµετωπίζεται ως τουπόστρωµα της ανθρώπινης δραστηριότητας, αλλά ως µια εγγενής διάστασή της. Μιαπρώτη αξιολόγηση της παρούσας κατάστασης καταδεικνύει ότι η ελληνική ερευνητικήκοινότητα δεν χρησιµοποιεί επαρκώς τα παραπάνω µεθοδολογικά εργαλεία. Η διαπί-στωση αυτή ενδεχοµένως να επεξηγεί την αδύναµη σχέση µεταξύ δοµηµένου χώρου καιαντίστοιχης κοινωνικής δραστηριότητας και ατυχείς σχεδιαστικούς πειραµατισµούς.Αφήνει όµως να διαφανεί ότι υπάρχουν περιθώρια βελτίωσης, ειδικότερα µέσω της σύν-δεσης των διαφορετικών διατάξεων του χώρου µε το κοινωνικό τους νόηµα.

Λέξεις κλειδιά: Τοπολογία, Γεωµετρία, Συντακτικό του Χώρου, Μουσειακή Εµπειρία,Χωρική Αρχιτεκτονική Μουσείων.

Αντώνης Κολσούζογλου, υποψ. ∆ιδάκτωρ Σχολής Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π.

«Η γεωµετρία του χώρου ως µέσο αφήγησης στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό»

Περίληψη

Ο τρόπος µεταβολής των ποιοτήτων του χώρου µπορεί να αποτελέσει ένα αφηγη-µατικό µέσο στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό. Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να αναζη-τήσουµε τα αφηγηµατικά εργαλεία που έχουµε κάθε φορά στη διάθεσή µας, σε µίαισοδυναµία ποιοτικών µεταβολών του χώρου.

Ως χωρικές ποιότητες εννοούνται υποκειµενικές, σε πρώτο στάδιο, έννοιες όπωςείναι ο φωτισµός, ο ήχος, η διάδραση - επικοινωνία µε τα στοιχεία του χώρου κλπ., ενγένει το περιεχόµενο και το µήνυµα του αρχιτεκτονικού χώρου. Σε ένα δεύτερο στά-διο αναπτύσσεται ένα σύστηµα που θα µπορέσει να ποσοτικοποιήσει τις επιλεγµένεςαπό το σχεδιαστή χωρικές ποιότητες.

Η µεταβολή των χωρικών ποιοτήτων από περιοχή σε περιοχή του χώρου, οδηγείστον προσδιορισµό χωρικών πεδίων, εντός των οποίων ένα σύνολο ποιοτήτων παρα-µένει αµετάβλητο. Οι ακουστικοί περίπατοι της Janet Cardiff1 αποτελούνται από χωρι-κά πεδία, που προσδιορίζονται κατά τον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό του εκθεσιακούχώρου. Εντός των χωρικών πεδίων ο/η επισκέπτης του εκθεσιακού χώρου λαµβάνεισυγκεκριµένη ηχητική πληροφορία, η οποία τον/την προτρέπει να προσεγγίσει έναεπόµενο χωρικό πεδίο, ως µέρος της αφήγησης.

Υπό την έννοια αυτή το χωρικό πεδίο αποτελεί ένα προθάλαµο της κατάστασης τηςπεριοχής του χώρου όπου πρόκειται να βρίσκεται ο/η επισκέπτης στη συνέχεια. Επο-µένως αποτελεί ένα αρχιτεκτονικό κατώφλι στο χώρο αυτό [2,3]. Επίσης βλέπουµε ότιµπορεί να αποτελεί µία προτροπή για να προσεγγίζει ο/η επισκέπτης µία συγκεκριµένηπεριοχή του χώρου, και άρα να ξετυλίγεται ένα προσχεδιασµένο σενάριο αφήγησης.Προς την κατεύθυνση αυτή µπορούν να προσδιοριστούν κατάλληλες γεωµετρικές ισο-δυναµίες µεταξύ του υπό σχεδιασµού ρυθµού µεταβολής των χωρικών ποιοτήτων απότην µία πλευρά και γεωµετρικών µορφών από την άλλη. Η πρόσβαση από ένα χωρικό


πεδίο στο άλλο, δηλαδή η µεταβολή των ποιοτήτων από το ένα χωρικό πεδίο στο άλλο,γίνεται µε συγκεκριµένο τρόπο. Ο τρόπος αυτός περιγράφεται κάθε φορά µέσω µίαςγεωµετρικής µορφής. Έτσι η µεταβολή µπορεί περιγράφεται από ένα τρίγωνο, ένα τόξοκύκλου κλπ. Η προσέγγιση περιλαµβάνει πρωτογενή γεωµετρικά σχήµατα και στερεά.

Με τον τρόπο αυτό αναπτύσσεται µία συνάρτηση µεταξύ των επιθυµητών κάθεφορά χωρικών ποιοτήτων του χώρου, και γεωµετρικών µορφών που προσδιορίζουντον τρόπο µεταβολής αυτών των ποιοτήτων.

Κατά τη διάρκεια της αρχιτεκτονικής µελέτης µπορεί συνεπώς να γίνεται χρήσηκατάλληλων κάθε φορά γεωµετρικών µορφών, οι ιδιότητες των οποίων θα περιγρά-ψουν τον τρόπο µεταβολής των ποιοτήτων του χώρου. Η πρόσβαση του χρήστη τουχώρου εντός των περιοχών που προσδιορίζουν οι γεωµετρικές µορφές, µπορεί ναενεργοποιεί αντίστοιχες µεταβολές στις ποιότητες του χώρου, σύµφωνα µε την γεω-µετρία που έχει επιλεγεί κάθε φορά κατά το σχεδιασµό. Σηµειώνεται ότι οι γεωµερικέςµορφές δεν έχουν υλική υπόσταση στο χώρο, αλλά αποτελούν σχεδιαστικά εργαλεία.Ωστόσο η υποδήλωση των περιοχών αυτών µπορεί να αποκαλύπτεται στον/στην επι-σκέπτη µέσω του αρχιτεκτονικού σχεδιασµού.

Οδηγούµαστε έτσι σε µία σχεδιαστική µεθοδολογία που προϋποθέτει την αναγκαι-ότητα µίας αυστηρά προσδιορισµένης γεωµετρίας του χώρου, η οποία θα προσδιορί-σει ένα γεωµετρικό σύστηµα που θα ορίζει τον τρόπο παρουσίασης – αφήγησης τουπεριεχοµένου στον χρήστη του χώρου. Ο σχεδιαστής του χώρου είναι σε θέση να σχε-διάζει τα γεωµετρικά διαγράµµατα που προσδιορίζουν τις µεταβολές στο περιεχόµενοτου χώρου, ώστε να προσδίδει στο χώρο τον επιθυµητό κάθε φορά χαρακτήρα καιπεριεχόµενο.

Με τον τρόπο αυτό κατά το σχεδιασµό του χώρου µπορούν να αναπτυχθούν δισ-διάστατα ή τρισδιάστατα διαγράµµατα που θα περιγράφουν την ισοδυναµία µεταξύτων διαστάσεων του χώρου και των ποιοτήτων του. Τα διαγράµµατα αυτά συσχετίζουντη γεωµετρία του χώρου µε το περιεχόµενό του. Ο µελετητής είναι σε θέση σχεδιάζο-ντας τη γεωµετρία του χώρου να προσδίδει το επιθυµητό περιεχόµενο και µήνυµα.Μέσω των διαγραµµάτων αυτών προσδιορίζεται επίσης η αφηγηµατική συνέχεια ήασυνέχεια, όπως αυτή καταγράφεται στην µορφή της απεικόνισης της γραφικής παρά-στασης των διαγραµµάτων.

Βιβλιογραφικές αναφορές1. Janet Cardiff: The Walk Book, Walther Konig, Koln, 20052. Herman Hertzberger: Μαθήµατα για Σπουδαστές της Αρχιτεκτονικής, Πανεπι-

στηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π., 20023. Αντωνακάκης ∆ηµήτριος: Παρατηρήσεις στο όριο επαφής δηµόσιου και ιδιωτι-

κού χώρου, Χρονικό ’73, σ. 169-171

Νίκος Κουρνιάτης, υποψ. ∆ιδάκτωρ Σχολής Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π.,Συνεργάτης Τµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

«Η γεωµετρική νοηµατοδότηση της αρχιτεκτονικής»

Περίληψη

Η αναζήτηση της έννοιας του απείρου και των συνθηκών που επικρατούν έξω από


το άµεσα αντιληπτό γήινο περιβάλλον αναδεικνύουν την εξελικτική πορεία της σηµα-σίας που κατέχει ο χώρος και ο χρόνος στην αντίληψη για τον κόσµο, από την εποχήτου Baroque µέχρι σήµερα. Η Γεωµετρία συνέβαλε σηµαντικά στη διαµόρφωση αυτήςτης αντίληψης. Στην πορεία αυτή διακρίνονται τρεις χαρακτηριστικές φάσεις: Η πρώτηφάση ήταν η περίοδος του Baroque, που εξέφρασε µε την πιο αφαιρετική και νοηµα-τική µορφή την ιδέα ότι ο κόσµος µπορεί να ειδωθεί και να εξηγηθεί µέσα από τα µαθη-µατικά και ειδικά τη Γεωµετρία. Ως δεύτερη περίοδος θεωρείται ο Ιστορισµός του 18ουαιώνα, όπου στήνεται µια συναρτησιακή λογική αντιµετώπισης της πραγµατικότητας.Τέλος, η τελευταία περίοδος είναι η σύγχρονη εποχή, όπου ο σχεδιασµός φανερώνειµια διαδικαστική λογική διαχείρισης κάποιας ελάχιστης πληροφορίας (ανεικονική Γεω-µετρία).

Α. Ο δισυπόστατος χώρος και ο αναδιπλούµενος χρόνος (µανιερισµός, µπαρόκ, ροκο-κό) Το αντιληπτό και το ιδεατό

Η γεωµετρία ως το εργαλείο που επέτρεψε τη νοηµατική διασύνδεση του υλο-ποιηµένου, αντιληπτού χώρου µε τον ιδεατό χώρο της πίστης. Η παγωµένηέννοια του χρόνου.

Το κενό ως πτύχωση µεταξύ των δύο καταστάσεωνΤο κενό – διαµεσολαβητής µεταξύ δύο καταστάσεων πλήρους, µιας πραγµατι-κής – υλικής και µιας άλλης που στηρίζεται από την πίστη, νοηµατοδοτώνταςτη µετάβαση από τη µία στην άλλη.

Η ισορροπία των δύο υποστάσεων του χώρου/χρόνουΗ έννοια της ισορροπίας εκφράστηκε µέσα από το µοντέλο της ζυγαριάς, ηοποία θέτει σε σύγκριση δύο στοιχεία – ιδέες.

Β. Η παραµετροποίηση µιας εξελικτικής πορείας (ιστορισµός/νεοκλασικισµός, εκλε-κτισµός, µοντέρνο κίνηµα) Η αντίληψη και η κοινωνική συγκρότηση της ενιαίας γλώσσας

Η παραµετροποίηση του χρόνου. Η αναλυτική προσέγγιση, µε τη βοήθεια τηςαναλυτικής γεωµετρίας. Ο Μοντέρνος µηχανισµός συγκρότησης και πρόβλεψηςτης αντίληψης για τον κόσµο.

Το κενό ως διάκριση φάσεωνΤο κενό ως αντιύλη. Ο ορίζοντας – το φόντο. Το «Μοντέρνο» πλήρες και ηδράση του επισκέπτη.

Η ισορροπία των χρονικών φάσεων –ιστορικών (ιστορισµός)-µελλοντολογικών(µοντέρνο κίνηµα)Ο µηχανισµός εντοπισµού του στίγµατος του παρόντος σε σχέση µε ένα σηµείοαναφοράς, το οποίο µπορούσε να µετατοπίζεται κατά βούληση, άλλοτε στοπαρελθόν κι άλλοτε στο µέλλον. Η χρονική αλληλουχία.

Γ. Η παραµετροποίηση ενός απρόσµενου συµβάντος (µεταµοντέρνο, εννοιολογικήτέχνη, αποδόµηση) Τα σχήµατα αντίληψης και η κατάδειξη της συµβατικότητας τους

Ο συνεχώς ασυνεχής χώρος και χρόνος. Η 0 και 1 αντίληψη για τον κόσµο. Το κενό ως εν δυνάµει πεδίο ανάπτυξης φυσικών και εννοιολογικών δράσεων

Η απουσία τοπικότητας και η επικράτεια ενός κατά βάση αδόµητου κενού. Ηφαντασιακή δράση του χειριστή ενός συστήµατος πληροφοριών.


Η υπερ-ισορροπία των διαφορετικών εκδοχών/ερµηνειών αντικειµένου/ υπο-κειµένουΟ χώρος υπάρχει µόνο εν δυνάµει, µέσα από τη φανταστική ή έµπρακτη δράσητου χειριστή του συστήµατος, και εµφανίζεται ως αντίδραση σε αυτήν τη δράση.Η σχέση δράσης – αντίδρασης ενέχει την έννοια της στιγµιαίας ισορροπίας.

Σοφία Κυρατζή, ∆ρ Τµήµατος Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και ΣυστηµάτωνΠανεπιστηµίου Αιγαίου, ∆ιδάσκουσα σε αυτό

«Ορισµός Πολύεδρου από Σκίτσο: Αντίστροφη ∆ιαδικασία ΟρθογραφικήςΠροβολής»

Περίληψη

Στη σύγχρονη εποχή η τρισδιάστατη µοντελοποίηση µε τη χρήση υπολογιστή(CAD) έχει εισχωρήσει σε µεγάλο βαθµό στη σχεδιαστική διαδικασία προϊόντων, είτεπρόκειται για βιοµηχανικά προϊόντα και προϊόντα καθηµερινής χρήσης, είτε πρόκειταιγια αρχιτεκτονικά, µηχανολογικά ή τοπογραφικά έργα. Παρόλα αυτά, το σκίτσο συνε-χίζει να είναι µια από τις πλέον σηµαντικές σχεδιαστικές δραστηριότητες και αποτελείένα ιδιαίτερα ισχυρό µέσο ανάλυσης των πρώτων σταδίων του Κύκλου Ζωής ενόςπροϊόντος. Αυτό συµβαίνει γιατί ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει τη δυνατότητα να αντι-λαµβάνεται και να αναγνωρίζει µε επιτυχία το 3∆ αντικείµενο που αναπαρίσταται απόένα σκίτσο. Αντιθέτως, για ένα σχεδιαστικό πρόγραµµα στον υπολογιστή, ένα σκίτσοαποτελεί, στην καλύτερη περίπτωση, ένα σύνολο από γραµµές που τέµνονται σεσηµεία-κόµβους.

Η παρούσα εισήγηση πραγµατεύεται τη σχέση µεταξύ προβολής και προβαλλόµε-νου αντικειµένου και, ειδικότερα, επικεντρώνεται στη σχεδίαση και ανάπτυξη ενόςαλγορίθµου για τον ορισµό και την κατασκευή ενός τρισδιάστατου αντικειµένου απόένα δεδοµένο σκίτσο – προβολή. Παρόλο που το πρόβληµα «Ορισµός Πολύεδρου απόΣκίτσο» είναι από τη φύση του ένα γεωµετρικό πρόβληµα, η σύγχρονη βιβλιογραφίααναδεικνύει το σκίτσο ως µια πληροφοριακή δοµή η οποία περιέχει πολύ περισσότεραστοιχεία από αυτά της απλής διδιάστατης γεωµετρίας. Αυτό έχει οδηγήσει ερευνητέςαπό πολλούς και διαφορετικούς επιστηµονικούς χώρους, όπως της Γεωµετρικήςµοντελοποίησης, της 3∆ οπτικοποίησης ή της Τεχνητής Νοηµοσύνης, να ασχοληθούνµε τη 3∆ ανακατασκευή στερεού από σκίτσο.

Συγκεκριµένα, ο «Ορισµός Πολύεδρου από Σκίτσο» παραµένει ένα εν γένει άλυτοπρόβληµα, ακόµη και για την πιο απλή περίπτωση που το σκίτσο αποτελεί την προβο-λή ενός τριεδρικού πολυέδρου. Η παρούσα εισήγηση επικεντρώνεται στην λύση τουπροβλήµατος «ορισµός πολύεδρου από σκίτσο», για την περίπτωση που το δεδοµένοαρχικό σκίτσο αναπαριστά µόνο το ορατό τµήµα ενός τριεδρικού πολύεδρου («φυσι-κό σκίτσο»). Στόχος είναι η κατασκευή του απλούστερου στερεού µοντέλου (minimalpolyhedral model) που αντιστοιχεί στο φυσικό σκίτσο, και όχι ενός απαραίτητα «αλη-θοφανούς» µοντέλου (plausible polyhedral model). Βασικός περιορισµός είναι η ορθήπροβολή του παραγόµενου πολύεδρου να ταυτίζεται µε το αρχικό σκίτσο. Η συγκε-κριµένη έρευνα βασίζεται σε µαθηµατικά εδραιωµένα εργαλεία, τεχνικές, και µεθόδουςπου προέρχονται κυρίως από την Στερεά Μοντελοποίηση, τη Θεωρία Γράφων, την


Τοπολογία και την Ευκλείδεια Γεωµετρία, ενώ παράλληλα γίνεται προσπάθεια ναπεριοριστεί, όσο αυτό είναι εφικτό, η χρήση «ευριστικών κριτηρίων» (heuristiccriteria).

Λέξεις κλειδιά: Γεωµετρική µοντελοποίηση, Φυσικό Σκίτσο, Ορθογραφική Προβολή,3∆ Ανακατασκευή αντικειµένου από προβολή.

Αικατερίνη Λιάπη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τµήµα Αρχιτεκτόνων µηχανικώνπανεπιστηµίου Πατρών

«Χωρικές ∆οµές “Tensegrity” και Γεωµετρία: από την Αρχική Ιδέα στην Υλο-ποίηση»

Περίληψη

O όρος «tensegrity», από το tensional integrity, αναφέρεται σε χωρικές δοµές οιοποίες απαρτίζονται από ένα συνεχές σύστηµα εφελκυόµενων στοιχείων (καλωδίων),και ένα ασυνεχές σύστηµα γραµµικών θλιβόµενων στοιχείων (ράβδων), τα οποία βρί-σκονται σε δυναµική ισορροπία µεταξύ τους. Ο συνδυασµός αυτών των δύο συστη-µάτων προσδίδει στις δοµές αυτές µοναδικότητα µορφής καθώς τα ελεύθερα θλιβόµε-να στοιχεία φαίνονται σαν να έχουν παγιδευτεί αιωρούµενα µέσα σε ένα τρισδιάστατοδίχτυ από καλώδια. Χαρακτηριστικό στοιχείο των δοµών αυτών είναι η δυσκολία στονπροσδιορισµό της γεωµετρίας ισορροπίας τους και η συχνά πολύπλοκη γεωµετρικήµορφή τους.

Μια άλλη χαρακτηριστική ιδιότητα των tensegrity δοµών είναι οτι η στατική συµπε-ριφορά και η γεωµετρική τους µορφή δεν µπορούν να διαχωριστούν αφού η µορφήπροκύπτει αποκλειστικά από τη συνθήκη ισορροπίας της χωρικής δοµής. Αυτή ακριβώςη ιδιότητα τους απετέλεσε και το έναυσµα για πειραµατισµό µε τη γεωµετρία νέωντέτοιων χωρικών δοµών στα πλαίσια διατµηµατικής πανεπιστηµιακής διδασκαλίας.

Ο πειραµατισµός µε τη γεωµετρία tensegrity δοµών οδήγησε στην ανάπτυξη νέαςδοµικής τεχνολογίας ελαφρών κατασκευών η οποία επιτρέπει τη κατασκευή tensegrityχωρικών πλεγµάτων από τη συναρµολόγηση πτυσσόµενων τρισδιάστατων δοµικώνµονάδων tensegrity. Σηµαντικό πλεονέκτηµα της µεθόδου είναι η µορφολογική ποικι-λία των κατασκευών που προκύπτουν.

Σηµαντικό στάδιο σε όλες τις φάσεις πειραµατισµού µε τις tensegrity δοµές απε-τέλεσε τόσο η εξεύρεση της γεωµετρίας ισορροπίας των νέων δοµικών µονάδων όσοκαι της γεωµετρίας που επιτρέπει την συναρµολόγηση πλεγµάτων µονής και διπλήςκαµπυλότητας τα οποία προκύπτουν από τον συνδυασµό µικρότερων tensegrity µονά-δων. Η επίλυση της γεωµετρίας που επιτρέπει τη δηµιουργία πλεγµάτων κατέστησεδυνατή και την ανάπτυξη υπολογιστικής µεθόδου που επιτρέπει την παραµετρική περι-γραφή και αναπαράσταση της πολύπλοκης γεωµετρίας των tensegrity πλεγµάτων σετρισδιάστατο γραφικό περιβάλλον. Η επίλυση της γεωµετρίας και η εξέλιξη της υπο-λογιστικής µεθόδου που ενσωµατώνει τη γεωµετρία διευκολύνει σε µεγάλο βαθµό τηµελέτη αυτών των tensegrity συστηµάτων αφού επιτρέπει τον πειραµατισµό µε µεγά-λο αριθµό γεωµετρικών παραµέτρων και µορφολογικών παραλλαγών.

Στην εργασία παρουσιάζονται αρχικά µικρής κλίµακας tensegrity δοµές που προ-έκυψαν στα πλαίσια της διατµηµατικής προπτυχιακής διδασκαλίας. Κατόπιν παρουσιά-


ζονται α) η επίλυση της γεωµετρίας που εξασφαλίζει την δηµιουργία tensegrity πλεγ-µάτων µονής και διπλής καµπυλότητας καθώς και β) το παραµετρικό σύστηµα πουυποβοηθά τη µελέτη και αναπαράσταση tensegrity πλεγµάτων. Τέλος παρουσιάζεταιµια σειρά από παραδείγµατα tensegrity χωρο-κατασκευών, υλοποιηµένων και µη, οιοποίες χαρακτηρίζονται από πολύ ενδιαφέρουσα γεωµετρική µορφή.

Στέλιος Μαρκάτης, Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Εφαρµοσµένων ΜαθηµατικώνΦυσικών Επιστηµών Ε.Μ.Π.

«Κορυφογραµµές επιφανειών που δίνονται υπό πεπλεγµένη µορφή»

Περίληψη

Είναι γνωστό ότι στο τυχαίο σηµείο µιας επιφάνειας υπάρχουν δύο κύριες κατευ-θύνσεις, κάθετες µεταξύ τους, κατά τις οποίες η κάθετη καµπυλότητα λαµβάνει ακρό-τατες τιµές, εξαιρουµένων των οµφαλικών σηµείων, όπου όλες οι κάθετες καµπυλό-τητες είναι ίσες. Υπάρχουν, δηλαδή, δύο διανυσµατικά πεδία επάνω στην επιφάνεια,κάθετα µεταξύ τους, µε ιδιάζοντα σηµεία τα οµφαλικά, η ολοκλήρωση των οποίωνδίνει δύο οικογένειες γραµµών κυρίων καµπυλοτήτων παντού καθέτων µεταξύ τους.

Κατά µήκος µιας γραµµής κύριας καµπυλότητας, η κάθετη καµπυλότητα µεταβάλ-λεται και σε κάποια σηµεία αυτή λαµβάνει ακρότατες τιµές. Τα σηµεία αυτά είναι κορυ-φές της καµπύλης. Οι κορυφές των καµπύλων της κάθε οικογένειας σχηµατίζουνάλλες καµπύλες στην επιφάνεια που λέγονται κορυφογραµµές. Στα σηµεία των κορυ-φογραµµών, η επιφάνεια έχει την ιδιότητα να καµπυλώνεται περισσότερο ή λιγότεροαπό ότι στα υπόλοιπα σηµεία της. Στην παρούσα ανακοίνωση αποδεικνύονται σχέσειςγια τον εντοπισµό των κορυφογραµµών µιας επιφάνειας όταν αυτή δίνεται υπόπεπλεγµένη µορφή.

Γιώργος Ορφανόπουλος, Αρχιτέκτων Μηχανικός Πανεπιστηµίου Πατρών

«Fractals, µέτρο τάξης και αταξίας στο Χώρο»

Περίληψη

Από την γεωµετρία και την δοµή της φύσης θα εξετάσουµε τους σχηµατισµούς των«fractal», µιας γεωµετρίας που κυβερνάται από την έννοια της αυτο-οµοιότητας καιτης ατέρµονης επανάληψης της ίδιας της γεωµετρίας αυτής σε άλλες κλίµακες. Θα εξε-τάσουµε την σχέση της γεωµετρίας αυτής µε την αρχιτεκτονική καθώς και άλλα επι-στηµονικά πεδία που αγγίζει.

Θα αναφερθούµε σύντοµα στις σχέσεις των fractals µε φυσικούς σχηµατισµούςκαθώς και στους τρόπους αξιοποίησης των ιδιοτήτων τους. Αναλυτικότερα εξετάζεταικαι αξιολογείται η χρήση τους ως εργαλείο οργάνωσης του χώρου από αρχιτέκτονεςκαι πολεοδόµους. Συνοπτικά αναφερόµαστε σε εργαλεία όπως η µέτρηση του «fractaldimension» και οι δυνατότητες τους καθώς και παραδείγµατα χρήσης της fractal γεω-µετρίας από πρωτόγονους πολιτισµούς αλλά και σε σύγχρονα υλοποιηµένα παραδείγ-µατα οργάνωσης χώρου.

Ακόµη παρουσιάζονται στοιχεία από έρευνες πάνω στον αντίκτυπο που προκαλούν


τα fractal στον άνθρωπο και ο συσχετισµός τους µε βιολογικά χαρακτηριστικά τουανθρώπου, όπως θεωρίες που συνδέουν την fractal οργάνωση και γεωµετρία στοφυσικό περιβάλλον µε την γοητεία που αυτή η γεωµετρία ασκεί ανέκαθεν στον άνθρω-πο. Ακόµη περουσιάζονται και θεωρίες που συνδέουν το ανθρώπινο νευρικό σύστηµαµε «time fractals» και ερµηνεύουν τη βαθύτερη σύνδεση ανάµεσα στον τρόπο λει-τουργίας του εγκεφάλου µε τον τρόπο απορρόφησης και ερµηνείας του περιβάλλονταχώρου µας.

Τέλος παραθέτουµε κάποια ερωτήµατα ως προς την περαιτέρω µελέτη πάνω στηνγεωµετρία αυτή και καταλήγουµε σε συµπεράσµατα ως προς την επίδραση, σε µεγά-λη κλίµακα κυρίως, τέτοιων γεωµετριών στον άνθρωπο.

Λέξεις κλειδιά: Fractals, αυτό-οµοιότητα, πολλαπλότητα κλίµακας, πολυπλοκότητα,χώρος.

Αλέξανδρος Τσίγκας, Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και∆ιοίκησης ∆.Π.Θ., υποψ. ∆ιδάκτωρ Τµήµατος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ∆.Π.Θ.

«Το Φαινόµενο της Γεωµετρίας ως ο Βασικός Παράγων στην δηµιουργίαΑρχιτεκτονικού Τόπου»

Περίληψη

Στην εργασία αυτή επιχειρείται µία φαινοµενολογική προσέγγιση της Γεωµετρίας(Husserl 2003) στην επινόηση και δηµιουργία αρχιτεκτονικών τόπων. Φαινοµενολογι-κή προσέγγιση σηµαίνει, ότι η Γεωµετρία αντιµετωπίζεται ως φαινόµενο πέρα από τουςνόµους που διέπουν µια αυστηρή επιστήµη. Η βασική διαφορά µεταξύ αυστηρής επι-στήµης και της φαινοµενολογικής προσέγγισής της έγκειται στο γεγονός ότι η καθαρήεπιστήµη έχει ως στόχο την αφαίρεση της ανθρώπινης ύπαρξης από τους νόµους πουτην διέπουν, ενώ µία φαινοµενολογική προσέγγιση της επιστήµης έχει ως σηµείο ανα-φοράς την ανθρώπινη ύπαρξη, ως εδωνά-είναι µέσα-στον-κόσµο, αυτό που οHeidegger ονοµάζει da-sein, in-der-Welt-sein (Heidegger 2006) και όχι µόνο το περι-βάλλον όπως αναφέρει ο Noberg-Schultz (Noberg-Schultz 1976). Στο πέρασµα επο-µένως από την επιστήµη της Γεωµετρίας στην δηµιουργία αρχιτεκτονικών τόπων, ηφαινοµενολογική προσέγγιση της Γεωµετρίας είναι εκ των ων ουκ άνευ, εφόσον οσκοπός της Αρχιτεκτονικής είναι να δηµιουργεί τόπους κατοικίας του ανθρώπου(Heidegger 1972) δηλαδή ιδίους τόπους νόησης και αίσθησης. Ο Heidegger υπενθυ-µίζει ότι ο νοήµων άνθρωπος είναι κατά πρώτον ένας κάτοικος (Heidegger 1989). Επο-µένως η κατοικία είναι ο συµπλέκτης νόησης και αίσθησης που υλοποιείται από τηναρχιτεκτονική. Η δηµιουργία αρχιτεκτονικού τόπου παρέχει οίκο έτσι ώστε να κατα-στεί η κατοικία µέριµνα για τον άνθρωπο. Σε αυτή την παλινδρόµηση µεταξύ νόησηςκαι αίσθησης, ο/η αρχιτέκτων καλείται να επιλέξει την αναλογία δύο τµηµάτων: νόη-σης – κατοίκησης και κατοίκησης – αίσθησης. Το σηµείο που θα επιλέξει να τοποθε-τήσει την κατοίκηση θα εξαρτηθεί από το τι είδους τόπο κατοίκησης θα θελήσει να επι-τύχει (Τσίγκας 2012). Η σύµπλεξη νόησης και αίσθησης γίνεται πραγµατικότητα µε τηνβοήθεια της Γεωµετρίας που πρέπει να έχει την ικανότητα να αποκαλύπτει τον τόποµέσω της δικής της αποκάλυψης ως φαινόµενο. Η Γεωµετρία καλείται να αναλάβει τηνµετατροπή των ιδεών σε µέσα-στον-κόσµο αίσθηση και εποµένως να άρει την ανωνυ-


µία της µάζας για να ανακτήσει η ανθρώπινη ύπαρξη την επωνυµία του ενός µέσα-στον-κόσµο.

Με την βοήθεια της θεωρίας του τόπου (Τσίγκας 2009) πραγµατοποιείται στηνεργασία αυτή µια φαινοµενολογική προσέγγιση της επιστήµης της Γεωµετρίας και τοπέρασµά της στην πρακτική της αρχιτεκτονικής. Το δοµικό στοιχείο στο πέρασµα αυτόείναι η µορφή, η οποία από νοητική µετατοπίζεται σε αισθητική σε µια διαδικασία από-συµβολοποίησης (de-sign process) τόπων κατοίκησης. Παραφράζοντας τον Cassiererισχυριζόµαστε ότι η θεωρία του τόπου θα διευκολύνει και θα αναβαθµίσει την διαδι-κασία από-συµβολοποίησης. Η έρευνα και η δηµιουργία στην αρχιτεκτονική εντάσσο-νται στον κόσµο της ατοµικότητας και της διαφοροποίησης και η θεωρία του τόπουενισχύει ένα µεθοδικό τρόπο αποκάλυψης νέων στοιχείων για την σύµπλεξη της επι-στήµης της Γεωµετρίας µε την πρακτική της αρχιτεκτονικής.

Σηµειώσεις1. Cassirer E (1995) The Philosophy of Symbolic Forms, Volume 4, Yale

University Press, New Haven and London2. Heidegger M (2006) Sein und Zeit, Max Niemayer Verlag, Tübingen3. Heidegger M (1971) Poetry, Language, Thought (translated by Albert

Hofstadter), Harper Colophon Books, New York4. Heidegger M (1989) Aufenthalte, Vittorio Clostermann, Frankfurt a.M5. Husserl E (2003) Η προέλευση της Γεωµετρίας, Εκδόσεις Εκκρεµές6. Noberg-Schultz C (1976) Genius Loci, towards a phenomenology of

Architecture, Rizolli, New York7. Τσίγκας Α (2009) Η σηµασία της φαινοµενολογίας στην αρχιτεκτονική της

κατοικίας και της πόλης σήµερα και στο µέλλον. Πρακτικά συνεδρίου: Η σηµα-σία της φιλοσοφίας στην αρχιτεκτονική εκπαίδευση, Πάτρα

8. Τσίγκας Α (2012) Προλεγόµενα σε µια Φαινοµενολογία της ΑρχιτεκτονικήςΊδρυµα Έφης και Παναγιώτη Μιχελή, Επετειακός τόµος, τεύχος 46

Λέξεις κλειδιά: Γεωµετρία, φαινοµενολογία, τόπος, χώρος, µορφή, design.


Ανδρέας Αρβανιτογεώργος, Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπι-στηµίου Πατρών /Μαρίνα Σταθά, Μαθηµατικός Πανεπιστηµίου Πατρών, µεταπτυχια-κή φοιτήτρια Τµήµατος Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών

«Επίλυση ενός προβλήµατος κατασκευής µε χρήση θεωρίας καµπυλών»

Περίληψη

Ένα συνηθισµένο πρόβληµα της µηχανικής είναι η στήριξη υψηλών κυλινδρικώνεπιφανειών σχετικά µικρής διαµέτρου (π.χ. βιοµηχανικής καπνοδόχου). Συνήθως ηστήριξη αυτή γίνεται µε περίπτυξη λεπτής µεταλλικής λωρίδας γύρω από την επιφά-νεια, η οποία είναι κοµµένη σε κοµµάτια και βοηθάει την στήριξη.

Στην παρουσίαση αυτή θα χρησιµοποιήσουµε απλές έννοιες από θεωρία καµπυ-λών στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο (π.χ. µήκος τόξου, καµπυλότητα κλπ) προ-κειµένου να δώσουµε µια απλή ακριβή λύση στο πρόβληµα αυτό.

Εµµανουήλ Βαϊρακτάρης, ∆ρ Μαθηµατικός και Πολιτικός Μηχανικός, ΣυνεργάτηςΤµήµατος Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά /Κωνσταντίνος ∆ηµάκος,Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

«Γεωµετρία και Μηχανική µε έµφαση στην ∆οµική Μηχανική των Κατα-σκευών»

Περίληψη

Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται η αλληλεπίδραση της Μηχανικής µε την Γεωµε-τρία και πιο συγκεκριµένα περιγράφεται η ανάγκη της γνώσης της γεωµετρίας απότους Μηχανικούς και πιο συγκεκριµένα από ∆οµικούς Μηχανικούς, τα αποτελέσµατατης ελλιπούς γνώσης αλλά και κάποιες προτάσεις για την βελτίωση της εκπαίδευσηςσε αυτόν το τοµέα.

Οι πρώτες αναφορές στην Γεωµετρία αποδίδονται στον 20ο αιώνα π.Χ στην Μεσο-ποταµία και την Αίγυπτο [1], η δε σχέση της µε την ∆οµική Μηχανική ανάγεται στηνεποχή των πυραµίδων [2]. Όπως προκύπτει από την βιβλιογραφία, η Γεωµετρία δηµι-ουργήθηκε και αναπτύχθηκε για να καλύψει πρακτικά προβλήµατα κυρίως των µηχα-νικών αλλά και άλλων επιστηµόνων της εποχής. Η διαχρονικότητα της πρότασηςαυτής φτάνει µέχρι και τις µέρες µας όπως αναφέρει και ο Camerota [3].

Η σχέση Μηχανικής και Γεωµετρίας, η επιρροή αλλά και η ανάγκη γνώσης τηςΓεωµετρίας από τους Μηχανικούς γενικά αλλά και πιο συγκεκριµένα από τους ∆οµι-κούς µηχανικούς (πέρα από τη προηγούµενη παράγραφο) προκύπτει και από σύγχρο-νη βιβλιογραφία [4], [5], [6]. Η παραπάνω πρόταση ενισχύεται και από πιο συγκεκρι-µένες θεωρήσεις της µηχανικής όπως π.χ. η γεωµετρική έννοια των τάσεων, γεωµε-τρική ευστάθεια των κατασκευών [2] και η αρχή των δυνατών έργων [7]. Η έλλειψη

ΙV. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ


γνώσης της γεωµετρίας κάνει πιο δύσκολή την κατανόηση των περισσοτέρων εννοι-ών της ∆οµικής Μηχανικής αφού όπως προκύπτει και από σύγχρονες αναφορές µεγά-λο µέρος αυτής θεµελιώνεται σε γεωµετρικές αρχές ή χρησιµοποιεί σε µεγάλο εύροςτην γεωµετρία [2].

Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται - γενικότερα στην Ευρώπη - µείωση της διδα-σκαλίας της Γεωµετρίας στα προγράµµατα σπουδών της Ανώτατης Εκπαίδευσης [2],[8], [9]. Η ανάγκη δε στην σύγχρονη εποχή για γνώση της γεωµετρίας από τους ∆οµι-κούς Μηχανικούς ενισχύεται από το γεγονός της δηµιουργίας και ανάπτυξης νέων επι-στηµονικών εργαλείων (π.χ. τα πεπερασµένα στοιχεία) για την χρήση των οποίων ηγνώση της γεωµετρίας είναι απολύτως απαραίτητη.

Αυτό αναγνωρίζει και η Βασιλική Ακαδηµία των Μηχανικών σε πρόσφατες µελέτεςτης [9] οι οποίες τονίζουν την ανάγκη διδασκαλίας της Γεωµετρίας. Οι παραπάνωµελέτες εντοπίζουν την έλλειψη διδασκαλίας των µαθηµατικών στα Τεχνικά Πανεπι-στήµια και την αποδίδουν µεταξύ άλλων και στην έλλειψη των απαραίτητων γνώσε-ων από τους καθηγητές. Επισηµαίνεται ότι οι παραπάνω µελέτες πραγµατοποιήθηκανµε την ουσιαστική συνεισφορά µεγάλων τεχνικών εταιρειών της Ευρώπης [9], [10], οιοποίες αναδεικνύουν και υποδεικνύουν την ανάγκη αύξησης των θεωρητικών µαθη-µάτων στην εκπαίδευση των µηχανικών.

Οι παραπάνω µελέτες κατέληξαν στο γεγονός ότι η γεωµετρία είναι ένα σηµαντι-κό κοµµάτι της εκπαίδευσης των µηχανικών, ότι η έλλειψη ποιότητας των µηχανικώνστο Ηνωµένο Βασίλειο και η ανάγκη εισαγωγής µηχανικών από άλλες χώρες οφείλε-ται στην µη επαρκή διδασκαλία των µαθηµατικών και στη µείωση της διδασκαλίας τουςσε σχολικό και προπτυχιακό επίπεδο [9].

Προκειµένου να αναιρεθούν όλα τα παραπάνω πρέπει να αναπροσαρµοστούν ταπρογράµµατα σπουδών των µαθηµατικών τµηµάτων µε κατεύθυνση την βελτίωση τωνσπουδών στην Γεωµετρία. Θα πρέπει να αναδειχθεί και να βελτιωθεί η διδασκαλία τηςΓεωµετρίας µε την δηµιουργία των κατάλληλων µέσων (βιβλία, οπτικοακουστικόυλικό) σε σχολικό επίπεδο (πρωτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση). Τέλος, θαπρέπει να βελτιωθεί ποσοτικά και ποιοτικά η διδασκαλία της γεωµετρίας στις Σχο-λές/Τµήµατα που αφορούν σε Μηχανικούς.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ[1] Geometry,Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Geometry#History_of_geo-

metry[2] K.-E. Kurrer. The History of the Theory of Structures: From Arch Analysis to

Computational Mechanics, Wiley-VCH, 2008.[3] Camerota, Teaching Euclid in a Practical Context: Linear Perspective and

Practical Geometry, Science & Education (2006) 15:323–334.[4] Department of Pure Mathematics and Mathematical Statistics, Centre for the

Mathematical Sciences, University of Cambridge, Why do we study geometry?Answers through the ages, OPENING FESTIVITIES OF THE FAULKES INSTITUTEFOR GEOMETRY, 2002

[5] Van De Straat, R., Shepherd, P. and Winslow, P., 2011. Computation andgeometry in structural design and analysis. In: 2011 IASS Annual Symposium:IABSE-IASS 2011: Taller, Longer, Lighter, 20-23 September 2011, London.

[6] LACHAUER, L., and KOTNIK, T., Geometry of Structural Form, In: Advances of.

IV. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 51

Architectural Geometry 2010, Vienna, Austria, 2010, pp. 193-203.[7] http://www.strucalc.com/general-engineering/structural-engineering-and-

geometry/[8] Anna Guagnini, Higher education and the engineering profession in Italy: The

Scuole of Milan and Turin, 1859–1914, MINERVA, Volume 26, Number 4, 512-548, DOI: 10.1007/BF01096496

[9] Mathematics for Engineering: An ASL Qualification for the Advanced Diploma inEngineering, http://www.raeng.org.uk/education/diploma/maths/

[10]Mathematics for Engineering: An ASL Qualification for the Advanced Diploma inEngineering,http://www.raeng.org.uk/education/scet/pdf/Engineering graduates for industryreport.pdf

Σάββας Βασιλειάδης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι. Πειραιά/Αργυρώ Καλλιβρετάκη, Εργαστηριακή Συνεργάτιδα, Τµήµα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι.Πειραιά /Χριστόφορος Προβατίδης, Καθηγητής, Σχολή Μηχανολόγων ΜηχανικώνΕ.Μ.Π. /Μαρία Ραγκούση, Καθηγήτρια, Τµήµα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι. Πειραιά /ΣτέλιοςΠοτηράκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τµήµα Ηλεκτρονικής Τ.Ε.Ι. Πειραιά

«Ο Ρόλος της Γεωµετρίας στην Υπολογιστική Μοντελοποίηση Υφασµάτων»

Περίληψη

Τα υφάσµατα είναι σύνθετες ινώδεις δοµές που για χιλιάδες χρόνια εξυπηρέτησανκυρίως ανάγκες ένδυσης και σε κάποιο βαθµό τεχνικές χρήσεις. Οι συνεστραµµένεςίνες συγκροτούσαν τα νήµατα και αυτά µε τη σειρά τους αλληλοπλέκονταν για να δια-µορφωθεί το ύφασµα. Η πολυπλοκότητα της κατασκευής τους υπαγορεύτηκε ιστορι-κά και εξελικτικά από το πλαίσιο των απαιτήσεων αντοχής και άνεσης. Μέχρι πρό-σφατα η µηχανική συµπεριφορά των υφασµάτων αφηνόταν στην εκτίµηση των έµπει-ρων σχεδιαστών, οι οποίοι έπρεπε να χρησιµοποιήσουν υφάσµατα κατάλληλων ιδιο-τήτων ώστε να επιτύχουν το επιθυµητό αισθητικό κυρίως αποτέλεσµα.

Οι ολοένα αυξανόµενες τεχνικές χρήσεις των υφασµάτων απαιτούν εξαιρετικήακρίβεια στον υπολογισµό της µηχανικής τους συµπεριφοράς. Τα υφάσµατα αποτε-λούν πλέον βασικό δοµικό στοιχείο των σύνθετων υλικών που ολοένα και περισσότε-ρο χρησιµοποιούνται σε αεροδιαστηµικές, δοµικές, ιατρικές κτλ εφαρµογές όπως καισε πολυλειτουργικά προϊόντα. Οι ανάγκες ακριβούς πρόβλεψης της συµπεριφοράςτους, επιβάλλουν τη θεώρηση των υφασµάτων ως τρισδιάστατων δοµών µε συµµετο-χή πολλών σωµάτων που αλληλεπιδρούν.

Οι αναλυτικοί υπολογισµοί για την πρόβλεψη της µηχανικής τους συµπεριφοράςκατέληγαν µόνο σε ενδεικτικές και προσεγγιστικές λύσεις, αφού τα δοµικά – γεωµε-τρικά στοιχεία των υφασµάτων δεν ήταν εύκολο να µετρηθούν και να αποτυπωθούνδεδοµένης της µεγάλης και έντονης παραµόρφωσης των ινωδών υλικών υπό εξαιρε-τικά χαµηλά φορτία και επίσης λόγω της πολύπλοκης κατασκευής τους, που καθιστούναδύνατη την εφαρµογή των κλασσικών µεθόδων υπολογισµού, οι οποίες αναφέρονταικυρίως σε κανονικές διατοµές και σχήµατα.

Τελευταία, η υπολογιστική µοντελοποίηση χρησιµοποιείται ολοένα και περισσότε-


ρο µε κύριο εργαλείο την µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων. Η µέθοδος αυτήαπαιτεί την γεωµετρική αναπαράσταση των σωµάτων της υπό ανάλυση δοµής στονυπολογιστή, την διαίρεσή τους σε πεπερασµένα στοιχεία µε την κατασκευή του πλέγ-µατος, για να ακολουθήσει στη συνέχεια η υπολογιστική επίλυση του προβλήµατοςµε τελική φάση την απεικόνιση των αποτελεσµάτων. ∆ηλαδή είτε πρόκειται για ανα-λυτική, είτε για υπολογιστική προσέγγιση, η επίλυση του προβλήµατος απαιτεί τηνγεωµετρική απεικόνιση του υφάσµατος. Η δοµική του όµως ιδιαιτερότητα καθιστάπρακτικά αδύνατη τη µέτρηση των επιµέρους διαστάσεων. Εποµένως απαιτείται ηανάπτυξη µεθόδων από τις οποίες να προκύπτει η συνολική γεωµετρική εικόνα τουυφάσµατος µε δεδοµένα µόνο τα στοιχεία, τα οποία είναι δυνατόν να µετρηθούνµακροσκοπικά.

Σε αντίθεση µε τα υπόλοιπα προβλήµατα που επιλύονται µε υπολογιστικές µεθό-δους, στα οποία οι διαστάσεις των σωµάτων είναι µετρήσιµες ή άµεσα υπολογίσιµες, ηµηχανική των υφασµάτων απαιτεί προηγουµένως την φάση της γεωµετρικής µοντε-λοποίησης προκειµένου να γίνει δυνατή στη συνέχεια η γεωµετρική υπολογιστικήαπεικόνιση της δοµής των υφασµάτων. Η ακρίβεια της γεωµετρικής µοντελοποίησηςεπιδρά σοβαρά στην ακρίβεια της συνολικής υπολογιστικής ανάλυσης: τα ακριβέστε-ρα µηχανικά µοντέλα στηρίζονται σε ακριβέστερα γεωµετρικά µοντέλα. Παραδείγµατατέτοιων γεωµετρικών µοντέλων παρατίθενται για υφαντά και πλεκτά υφάσµατα τωνπιο σηµαντικών κατηγοριών. Είναι σηµαντικό να επισηµανθεί ότι ακόµα και η µελέτητης ηλεκτρικής συµπεριφοράς των αγώγιµων υφασµάτων περνά από τη µηχανική καιεποµένως από την γεωµετρική µοντελοποίηση.

Εποµένως είναι εξαιρετικής σηµασίας η ανάπτυξη ακριβέστερων και ευκολόχρη-στων γεωµετρικών µοντέλων των διαφόρων δοµών υφασµάτων, προκειµένου να γίνειδυνατή η πρόβλεψη των µηχανικών τους ιδιοτήτων ήδη από τη φάση του σχεδιασµούτους και οπωσδήποτε πριν τη φάση της κατασκευής, ώστε να εξυπηρετηθεί η ανά-πτυξη νέων προϊόντων και δοµών.

Λέξεις κλειδιά: Υπολογιστική Μοντελοποίηση, Γεωµετρική Απεικόνιση, Υφάσµατα.

Ανδρεάνα Παπαντωνίου, Αρχιτέκτων Μηχανικός Πανεπιστηµίου Πατρών, MA ΙΑΑC- UPC Βαρκελώνης

«Κατασκευή ξύλινου κελύφους καµπυλόµορφης γεωµετρίας: Η περίπτωσητου συστήµατος “Waffle-Structure”»

Περίληψη

Οι εξελίξεις στον τοµέα της τεχνολογίας παρουσιάζουν µεγάλο ενδιαφέρον για τησύγχρονη αρχιτεκτονική. Οι κατασκευαστικές δυνατότητες, σε συνδυασµό µε τις σύγ-χρονες ψηφιακές εφαρµογές, µπορούν να οδηγήσουν σε πρωτοποριακό και πρωτότυ-πο σχεδιασµό και να παράγουν αρχιτεκτονικές µορφές που η επίλυσή τους δεν µπο-ρεί να αντιµετωπιστεί συµβατικά. Τέτοιες αρχιτεκτονικές µορφές αντιµετωπίζονταισυχνά σαν σύνθετα γεωµετρικά προβλήµατα και η επίλυσή τους αποτελεί πρόκλησηγια τη σύγχρονη αρχιτεκτονική. Η τάση για την αναζήτηση πολύπλοκων αρχιτεκτονι-κών µορφών - κελυφών οδηγεί στην ανάγκη για εύρεση νέων λύσεων, στον τοµέατου σχεδιασµού και της κατασκευής. Το ζήτηµα της υλοποίησης τέτοιων λύσεων είναι


ιδιαίτερα σηµαντικό, και εστιάζεται στην χρήση καινοτόµων µεθόδων σχεδιασµού,υπολογισµού και κατασκευής.

Στην εργασία αυτή διερευνάται ένας τρόπος περιγραφής µιας επιφάνειας σύνθε-της καµπυλόµορφης γεωµετρίας - κελύφους, µε στόχο την φυσική υλοποίησή της.Πρόκειται για µία µέθοδο απλοποίησης µιας επιφάνειας που χαρακτηρίζεται από πολύ-πλοκες γεωµετρίες. Η περίπτωση του συστήµατος «Waffle-Structure», που υλοποιή-θηκε κατά το σχεδιασµό ενός πολυδιάστατου ξύλινου ενεργειακού κελύφους, βασίζε-ται στη λογική της ανάλυσης µιας τρισδιάστατης µορφής σε απλά επίπεδα στοιχεία,µέσα από τη δηµιουργία τοµών από δύο επίπεδα. Οι τοµές αυτές έχουν σαν αποτέλε-σµα τη δηµιουργία καµπύλων γραµµών «νευρώσεων», οι οποίες αποτελούν τα φέρο-ντα στοιχεία της κατασκευής. Η προσέγγιση αυτή αποτελεί ιδανική µέθοδο για τηνφυσική υλοποίηση µιας τέτοιας επιφάνειας, καθώς η καµπυλότητα που την χαρακτη-ρίζει µπορεί να εκφραστεί και να αναπαρασταθεί σε πραγµατικό επίπεδο µε µεγάληακρίβεια.

Πιο συγκεκριµένα, η ανάλυση της επιφάνειας γίνεται µε χρήση γραφικού αλγό-ριθµου (σε ψηφιακό περιβάλλον Rhino, Grasshopper plug-in), ο οποίος επιτρέπει τηδηµιουργία τοµών µε τα επίπεδα yOz (x=λ, λ παράµετρος) και xOz (y=ν, ν παράµε-τρος) του τρισορθογωνίου συστήµατος Oxyz, παίρνοντας καµπύλες ‘Splines curves’,οι οποίες και αποτελούν τις κατασκευαστικές γραµµές (Structural lines) της µορφήςτης επιφάνειας. Έτσι, δηµιουργείται ένα καµπυλόγραµµο σύστηµα συντεταγµένωνπάνω στην επιφάνεια όπου κάθε σηµείο που προκύπτει από την τοµή ζευγών καµπυ-λών αποτελεί σηµείο σύνδεσης της κατασκευής. Μέσα από τον αλγόριθµο µπορεί ναοριστεί η παράµετρος λ και ν, δηλαδή η απόσταση µεταξύ των τοµών, κατ’ επέκτασηη πυκνότητα των γραµµών, αλλά και το πλάτος και πάχος του υλικού που θα χρησι-µοποιηθεί. Η παραγόµενη µορφή είναι απόλυτα συνδεδεµένη µε τον ψηφιακό σχεδια-σµό σε συνδυασµό µε τη χρήση σύγχρονων µηχανηµάτων κατασκευής.

Λέξεις κλειδιά: Αρχιτεκτονική τεχνολογία, κατασκευαστικά συστήµατα, αρχιτεκτονικάκελύφη, πολύπλοκες γεωµετρίες, ψηφιακός σχεδιασµός.

Ευαγγελία Πέππα, ∆ρ Αρχιτέκτων Μηχανικός Ε.Μ.Π., Συνεργάτιδα Τµηµάτων Τοπο-γραφίας Τ.Ε.Ι. Αθήνας και Πολιτικών ∆οµικών Έργων Τ.Ε.Ι. Πειραιά

«Γεωµετρική Αναπαράσταση και Επίλυση Προβληµάτων Σχεδιασµού»

Περίληψη

Η διαδικασία αρχιτεκτονικού και µηχανοτεχνικού σχεδιασµού είναι δυνατό να θεω-ρηθεί ως διαδικασία επίλυσης προβλήµατος. Κατά τη διαδικασία αυτή χρησιµοποιού-νται διάφορα θεωρητικά και πρακτικά µέσα και εργαλεία που συνεισφέρουν στην επί-λυση του προβλήµατος. Μια ειδική κατηγορία εργαλείων µε ιδιαίτερη συνεισφορά στηνεπίλυση προβληµάτων σχεδιασµού είναι οι πάσης φύσεως αναπαραστάσεις, ο ρόλοςτων οποίων κατά την επίλυση δεν έχει διερευνηθεί αρκετά. Εδώ θα συζητηθεί ειδικό-τερα ο ρόλος των γεωµετρικών αναπαραστάσεων, δηλαδή των αναπαραστάσεων τηςγεωµετρικής µορφής ενός έργου που βασίζονται σε γεωµετρικά συστήµατα παράστα-σης, όπως αυτές υλοποιούνται στο σύστηµα του τεχνικού σχεδίου και στα συστήµαταCAD.


Οι αναπαραστάσεις αυτές συνιστούν συστήµατα τα οποία είναι δυνατό να θεωρη-θούν ως τυπικά συστήµατα, δηλαδή ως συστήµατα χειρισµού συµβόλων (αρχικά χωρίςνόηµα) σύµφωνα µε κανόνες, ώστε να προκύπτουν διάφορες διατάξεις των συµβόλωναυτών. Τα σύµβολα και οι κανόνες αποτελούν το «σχήµα» του συστήµατος, ενώ ηαπόδοση νοήµατος στα σύµβολα και η αντιστοίχησή τους µε τάξεις στοιχείων σε έναπεδίο αναφοράς αποτελεί την ερµηνεία (τη σηµασιολογία) του συστήµατος. Εν προ-κειµένω για τα συστήµατα γεωµετρικών αναπαραστάσεων, σύµβολα αποτελούν γεω-µετρικά αντικείµενα που, µε βάση γεωµετρικούς κανόνες συγκροτούν σύνθετες παρα-στάσεις συµβόλων, ερµηνεία των οποίων αποτελεί η γεωµετρική µορφή τεχνηµάτωνκαι τεχνικών έργων, που συνιστούν το πεδίο αναφοράς. Υποστηρίζεται ότι, για τασυστήµατα αυτά, η δοµή του συστήµατος και οι διεργασίες που παρέχει συµβάλλουνστην επίλυση προβληµάτων σχετικά µε το πεδίο αναφοράς, µέσω χειρισµών στις ανα-παραστάσεις βάσει των κανόνων του συστήµατος. Η συµβολή αυτή οφείλεται κυρίωςστο σύστηµα, ανεξάρτητα, σε µεγάλο βαθµό, από τις «ικανότητες» του υποκειµένουτου σχεδιασµού (πέρα από τη γνώση των κανόνων του συστήµατος), καθώς «από-ψεις» του προβλήµατος σχεδιασµού επιλύονται µε «µηχανικό» χειρισµό της αναπαρά-στασης βάσει των κανόνων –κάτι που µας επιτρέπει να πούµε ότι το σύστηµα έχειενσωµατωµένη «ευφυία» σχετικά µε την επίλυση των σχετικών προβληµάτων.

Με βάση το παραπάνω σκεπτικό, από την ανάλυση της δοµής του συστήµατοςτεχνικών σχεδίων που βασίζεται στο σύστηµα παράστασης σε δυο επίπεδα προβολήςκαι των συστηµάτων CAD, και τη διερεύνηση της συµβολής τους στην επίλυση προ-βληµάτων, µε βάση ορισµένους άξονες ενδιαφέροντος, προκύπτει ότι οι χειρισµοί τουστενού (γεωµετρικού) περιεχοµένου των παραστάσεων (αυτό που περιέχεται κυριο-λεκτικά στην αναπαράσταση), σύµφωνα µε τους (γεωµετρικούς) κανόνες του συστή-µατος, διασφαλίζουν ότι το αναπαριστώµενο τέχνηµα είναι γεωµετρικά δυνατό, άρακαι λογικά δυνατό, διατηρούν το γεωµετρικό νόηµα κατά τους µετασχηµατισµούς τωνπαραστάσεων και επιτρέπουν το συµπερασµό γεωµετρικών ιδιοτήτων του τεχνήµατοςµε σηµασία στο σχεδιασµό του. Η γεωµετρική δοµή του συστήµατος επιτρέπει την επί-λυση γεωµετρικών και µετρικών προβληµάτων που σχετίζονται µε τη µορφή τουτεχνήµατος. Μηχανοτεχνικές θεωρίες είναι δυνατό να βασίζονται στο γεωµετρικόπεριεχόµενο της αναπαράστασης για τον συµπερασµό φυσικών και τεχνικών χαρα-κτηριστικών του αναπαριστώµενου. Επίσης, το σύστηµα υποστηρίζει κάποιου είδουςαπό-οργάνωση των προβληµάτων σχεδιασµού: διαφορετικές «πτυχές» του προβλή-µατος εξετάζονται στα διαφορετικά σχέδια προβολών και ανάλογα µε τη σχεδιαστικήκλίµακα. Η παραπάνω συµβολή φαίνεται ακόµα σαφέστερα στα συστήµατα CAD, σταοποία η γεωµετρική αναπαράσταση και οι γεωµετρικοί κανόνες χειρισµού της µηχανο-ποιούνται σε σηµαντικό βαθµό και είναι ακόµα πιο εµφανής η δυνατότητα επίλυσηςπτυχών του προβλήµατος σχεδιασµού ενός τεχνήµατος µε µηχανικό χειρισµό της γεω-µετρικής αναπαράστασής του.

Λέξεις κλειδιά: γεωµετρική αναπαράσταση, επίλυση προβληµάτων σχεδιασµού, τεχνι-κό σχέδιο, CAD, αναπαράσταση και επίλυση προβλήµατος.


Βασίλειος ∆ρακόπουλος, ∆ρ Τµήµατος Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Αθηνών, Σχο-λικός Σύµβουλος Πληροφορικής, µέλος Σ.Ε.Π. του Ε.Α.Π.

«Η επιστηµονική και καλλιτεχνική δηµιουργία ως αρωγοί στην εκπαιδευτικήδιαδικασία»

Περίληψη

Είναι γνωστό ότι από την αρχαιότητα ακόµη οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν την ίδιαλέξη, «τέχνη», για να δηλώσουν την καλλιτεχνική έκφραση αλλά και την τεχνική δρα-στηριότητα. Εάν κάποιος µεταγενέστερος κριτικός τέχνης παρακολουθούσε δια µέσουτων αιώνων την πορεία αυτού που σήµερα ονοµάζουµε τέχνη, θα διαπίστωνε ότι στησηµερινή εποχή ο ρόλος των καλλιτεχνών έχει µεταβληθεί λόγω της επιρροής τηνοποία έχει ασκήσει στο έργο τους η «ηλεκτρονική εποχή». Ο προβληµατισµός γύρωαπό τη σχέση Επιστήµης και Τέχνης είναι απότοκος µιας συνεχώς µεταβαλλόµενηςπραγµατικότητας εξ αιτίας των νέων τεχνολογικών επιτευγµάτων. Σ’ όλες τις εποχέςαναδείχθηκαν εξέχουσες καλλιτεχνικές φυσιογνωµίες οι οποίες χρησιµοποίησαν τηγεωµετρία ως βασικό συστατικό της τεχνικής τους (βλ. [4]).

Η Γεωµετρία των Μορφοκλασµάτων συγκαταλέγεται µεταξύ των επιστηµονικώνθεµάτων τα οποία έχουν χρησιµοποιηθεί περισσότερο και έχουν κερδίσει την προτίµη-ση αρκετών καλλιτεχνών (βλ. [1]). ∆εν είναι τυχαίο ότι την τελευταία τριακονταετίαγίνεται λόγος περί Μορφοκλασµατικής Τέχνης. Οι περισσότεροι οµιλούν περί ωραίωνεικόνων, ενώ οι πιο προχωρηµένοι πιστεύουν ότι πρόκειται περί αφηρηµένης τέχνηςπροερχοµένης από συγκεκριµένες εξισώσεις. Στην πραγµατικότητα πρόκειται για µίαµορφή Αλγοριθµικής Τέχνης δηµιουργηθησοµένη υπολογίζοντας µορφοκλασµατικάαντικείµενα και αναπαριστώντας τα αποτελέσµατα του υπολογισµού αυτού ως ακίνη-τες εικόνες, κινούµενες εικόνες και µέσα. Πρόκειται για έναν συνδυασµό Τέχνης Η/Υκαι Ψηφιακής Τέχνης οι οποίες αποτελούν µέρος της Τέχνης των Νέων Μέσων. Ταέργα τέχνης τα οποία δηµιουργούνται µε µαθηµατικό τρόπο και ιδιαιτέρως µε την βοή-θεια της τεχνολογίας, διαφέρουν από άλλες µορφές τέχνης επειδή καλλιεργούν µιαγόνιµη διασταύρωση µεταξύ τέχνης και επιστήµης (βλ. [3]).

Η παραδοσιακή γεωµετρία βασίζεται στα τρίγωνα, τα τετράγωνα, τους κύκλους,τις ελλείψεις κ.ά. Εποµένως, η έλλειψη µίας γεωµετρίας η οποία να περιγράφει σπει-ροειδείς καµπύλες και ίνες οι οποίες περιελίσσονται ώστε να παράγουν σχήµατα οιλεπτοµέρειες των οποίων χάνονται προς το άπειρο, ήταν κάτι παραπάνω από εµφα-νής. Ο Γάλλο-Πολωνικής καταγωγής µαθηµατικός Benoit Mandelbrot κατόρθωσε, µετη βοήθεια ενός H/Υ, να συλλάβει την πρώτη εικόνα αυτής της νέας γεωµετρίας, ενώη δηµοσίευση του βιβλίου του [2] έκανε δηµοφιλή την Μορφοκλασµατική Γεωµετρίαέχοντας ως αποτέλεσµα τη δηµιουργία ανάλογων εντυπωσιακών σχηµάτων. Η ανακά-λυψη των µορφοκλασµάτων φανέρωσε τα µυστικά της γεωµετρικής πολυπλοκότηταςτης φύσης και προσέφερε µια νέα ορολογία µέσω της οποίας δυνάµεθα να περιγρά-

V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ


ψουµε, µεταξύ άλλων, νέφη, δένδρα και σπόγγους κατά τον ίδιο τρόπο µε τον οποίοθα περιγράφαµε τις διακλαδώσεις των αιµοφόρων αγγείων και τους πνεύµονες. Οκαλύτερος τρόπος για να εκφράσει κανείς τη σχέση µεταξύ τυχαίας µεταβολής καιαπόλυτης αιτιοκρατίας ως νόµο της φύσης είναι να πει ότι η Γεωµετρία των µορφο-κλασµάτων είναι η Γεωµετρία του Χάους.

Στη σηµερινή εποχή έχει αναγνωρισθεί η σηµασία της εικόνας ως το χρησιµότεροµέσο περιγραφής πολύπλοκων αφηρηµένων σχέσεων. Πολλοί άνθρωποι χρησιµοποι-ούν την αίσθηση του ωραίου, όχι τόσο για την ανεύρεση της αλήθειας, παρά για πλη-ρότητα και για την κατανόηση διαφόρων φυσικών διεργασιών. Η Γραφική Η/Υ, ωςµέσο απεικόνισης και ως εργαλείο µάθησης, προκαλεί το ενδιαφέρον δηµιουργώνταςκίνητρο για την κατανόηση και ερµηνεία διαφόρων επιστηµονικών αντικειµένων. Επί-σης, µε τη βοήθεια οπτικοποιήσεων, περιγράφονται και αναπαριστώνται πολύπλοκεςσχέσεις σε µικρό χρονικό διάστηµα. Η οπτική αυτή έκφραση αφυπνίζει ικανοποιώνταςακόµη και αισθητικές αναζητήσεις, διότι η χρήση εικόνων, κατά την εκπαιδευτική δια-δικασία, βοηθά στην κατανόηση διαφόρων εννοιών µέσω αρχικού εντυπωσιασµού.

Λέξεις κλειδιά: Γραφική Η/Υ, Χάος, Μορφοκλασµατική Γεωµετρία, ∆υναµικά Συστήµα-τα, Επαναληπτικές Μέθοδοι, Μορφοκλασµατική τέχνη.

Key words: Computer Graphics, Chaos, Fractal Geometry, Dynamic Systems,Iterative Methods, Fractal Art.

ΑΝΑΦΟΡΕΣ[1] Bool F. H., Kist J. R., Locher J. L. and Wierda F., M. C. Escher: His life and

complete graphic work, Abrams, New York, 1982.[2] Mandelbrot B. B., The fractal geometry of nature, W. H. Freeman, New York, 1982.[3] ∆ρακόπουλος Β. και Κόκκινος Χαρ., Ο συγκερασµός επιστήµης και τέχνης και η

ανάπτυξη ενός νέου πεδίου: Αρχικές επισηµάνσεις προς µία τεχνοεπιστήµη, Πρα-κτικά 1ου ∆ιεθνούς ∆ιεπιστηµονικού Συνεδρίου «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ», ΤόµοςΑ’, Ε.Ε.Φ., 2005, 48–53.

[4] Φίλη Χριστίνα Π., Γεωµετρία και τέχνη: ∆ύο παράλληλες αναζητήσεις, 17ο Πανελ-λήνιο Συνέδριο Μαθηµατικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., 2000, 482–507.

Κωνσταντίνος Καζαµιάκης, Αρχιτέκτων Μηχανικός Ε.Μ.Π., Αγρονόµος ΤοπογράφοςΜηχανικός Α.Π.Θ.

«Η Γεωµετρία στο Μυθιστόρηµα του Χάρι Μούλις “Η Ανακάλυψη του Ουρα-νού”»

Περίληψη

Στο απεριόριστο σύµπαν το περίγραµµα δεν είναι πουθενά αλλά το κέντρο είναιπαντού. Η επίγνωση ότι το καθ`οµοίωση του Θεού σώµα καθορίζεται από δύο τέλειαγεωµετρικά σχήµατα τοποθέτησε τον άνθρωπο στο κέντρο της κοσµικήςαρµονίας.Αυτό ήταν µια κολοσσιαία ανακάλυψη για τους ουµανιστές αρχιτέκτονες,όπως ο Παλάντιο.

Ο Κουΐντεν δεν άφησε από τα µάτια του το λευκό τετράγωνο και τον λευκό κύκλοµε το φιορίνι στο κέντρο τους.

V. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ 57

Μήπως το ορθογώνιο πάει ένα βήµα πιο πέρα από το τετράγωνο?Αλλά ούτε ο κύκλος θα γινόταν αυτοµάτως µία έλλειψη, µε δύο εστίες: η τροχιά

της Γης γύρω από τον Ήλιο!Απόσπασµα από το µυθιστόρηµα του Χάρι Μούλις(1927-2010) “η ανακάλυψη του

ουρανού” που είναι το αριστούργηµα του.Ο Χάρι Μούλις είναι ο σηµαντικότερος µυθιστοριογράφος της Ολλανδίας όλων των

εποχών και από τους σηµαντικότερους σύγχρονους συγγραφείς.

Ασπασία Παπαδοπεράκη, Γλύπτρια

«Η τάξη της Γεωµετρίας και των αριθµών στην Τέχνη του Θησαυρού των Σιφ-νίων στους ∆ελφούς»

Περίληψη

Σ’ αυτήν την µελέτη, για τον Θησαυρό των Σιφνίων, θα δεχτούµε έναν αρχιτεχνί-τη, πρωτοµάστορα – γλύπτης ίσως και αρχιτέκτονας µαζί – που έδιδε την αρχική χάρα-ξη και σαν οδηγός έδιδε την δυνατότητα µιας γραφής µε ενότητα. Πολλοί γλύπτες καιµαρµαράδες δούλεψαν κατόπιν, κυρίως στα διακοσµητικά στοιχεία, ακολουθώνταςαυτήν την αρχική χάραξη. Επόµενο είναι να υπάρχουν έτσι και µικροαλλοιώσεις καιµικροεπεµβάσεις προσωπικές. Αλλά πάνω απ’ όλα πρέπει να δεχθούµε και να σταθού-µε στο όραµα του πρωτοµάστορα, είτε γλύπτη είτε αρχιτέκτονα µαζί.

Το όραµα αυτό, στα σπουδαία έργα µιας µεγάλης καλλιτεχνικής µορφής, είναιόραµα µέσα από την εποχή του µε µια κίνηση προς το µέλλον.

Το όραµα στο θέµα δεν πειθαρχείται συνειδητά, παρά βγαίνει από την συνύπαρξηµιας αυθόρµητης δηµιουργίας και µιας λογικής προΰπαρξης, που δεν κατευθύνεταιαπό πουθενά, παρά από την πείρα και την µακρόχρονη αποτύπωσή της. Έτσι γράφε-ται διακριτικά και ελεύθερα µε την οµορφιά µιας ελεύθερης γραφής.

Την ελεύθερη αυτή γραφή έρχεται να πειθαρχήσει η τάξη της γεωµετρίας και τωναριθµών, σε µια µεγάλη περίοδο της αρχαιότητας, όπου ανήκει και το δηµιούργηµαπου αναλύουµε.

Ένα αντιπροσωπευτικό δείγµα γεωµετρικής τελειότητας, καλυµµένο εκπληκτικά,ώστε να δίδεται µε απλότητα η οµορφιά και µε κυρίαρχη θέση η γλυπτική. Ένα από ταµεγαλύτερα αριστουργήµατα της αρχαϊκής γλυπτικής.

Ως γλύπτες έχουµε την υποχρέωση να τονίσουµε την σηµασία της τάξης στα δηµι-ουργήµατα της αρχαιότητας, µιας τάξης που ήταν προϋπόθεση αναγκαία και συνεπήςγια τους µεγάλους φιλόσοφους µας Ηράκλειτο, Πυθαγόριους, Πλάτωνα, Αριστοτέλη.

Ιάκωβος Ποταµιάνος, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τµήµα Θεάτρου Α.Π.Θ.

«Η Γεωµετρία του Φωτός ως Παράγων Γέννησης της Μορφής και τουΧώρου»

Περίληψη

Έναν από τους βασικούς µοχλούς εκπαίδευσης της φαντασίας και του οραµατι-σµού αποτελεί η γεωµετρία. Παρέχει ένα πλαίσιο συστηµατικής οργάνωσης της σκέ-


ψης και ταυτόχρονα αναπτύσσει την δυνατότητα του νου να συλλαµβάνει υπάρχου-σες, αλλά και να οραµατίζεται µη υλοποιηµένες διαµορφώσεις σε δύο και τρεις δια-στάσεις.

Η γεωµετρία, όταν δεν περιορίζεται σε ασκήσεις επί χάρτου, επικεντρώνεται συνή-θως σε πράγµατα τα οποία διαθέτουν υλικότητα. Εφαρµόζεται, δηλαδή, επί της ύληςάµεσα χωρίς την παρεµβολή άλλου µέσου, προσδίδοντας µορφή σε αυτήν. Σπανιότε-ρη είναι η περίπτωση της διερεύνησης της γεωµετρίας ενός άϋλου µέσου, όπως τηςγεωµετρίας του φωτός, µε στόχο την µορφοποίηση της ύλης ή του χώρου επί τη βάσειτης συµπεριφοράς αυτού.

Σε ορισµένες ιστορικές περιόδους, όµως, η τάση αυτή εµφανίζεται και εξασκείταιµε επιµονή για να εξυπηρετήσει εξειδικευµένες ανάγκες. Τέτοιου είδους γεωµετρικοίοραµατισµοί στο άϋλο µέσον του φωτός φαίνεται να οδήγησαν αφενός στην µορφήτου αρχαίου ελληνικού ναού και της λεπτοµερούς επεξεργασίας των µερών του καιαφετέρου στην διαµόρφωση του χώρου στην βυζαντινή εκκλησία.

Η εργασία αυτή παρουσιάζει ορισµένες διατάξεις που έχουν την βάση τους στηνγεωµετρία της κίνησης του φωτός οι οποίες έπαιξαν σηµαντικό ρόλο στην µορφοπλα-σία των ανωτέρω κτιρίων.

Κυριακή Τσιλίκα, Μαθηµατικός Α.Π.Θ., ∆ρ Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ.,∆ιδάσκουσα Τµήµατος Οικονοµικών Επιστηµών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας, Συνεργάτι-δα Τµήµατος ∆ιοίκησης και ∆ιαχείρισης Έργων Τ.Ε.Ι. Λάρισας

«Η Γεωµετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: µια ιστορική ανα-δροµή»

Περίληψη

Η Γεωµετρία δεν είναι µόνο µετρήσεις, σχήµατα και όγκοι, είναι συµµετρία, ρυθ-µός, αναλογίες και αρµονία. Στοιχεία απαραίτητα σε κάθε τεχνική ή καλλιτεχνική δηµι-ουργία. Η φύση είναι το µεγαλύτερο εργαστήριο διαµόρφωσης της ύλης και σχηµατο-ποίησης των σωµάτων, «αεί ο Θεός γεωµετρεί». Από τη φύση αντλούν σχήµατα, µεγέ-θη και αναλογίες οι καλλιτέχνες, µεθόδους και πρακτικές οι τεχνικοί.

Η πρώτη απόπειρα µέτρησης και αποτύπωσης σχηµάτων και µεγεθών των αντι-κειµένων, αποδίδεται ιστορικά σε δύο ευρηµατικούς αρχαίους λαούς, τους Βαβυλώνι-ους και τους Αιγύπτιους. Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά, χρησιµοποίησαν ένα είδοςαρίθµησης και ένα πρωτόγονο µετρικό σύστηµα, για τις ανάγκες των συναλλαγώντους. Οι Αιγύπτιοι επίσης, από ανάγκη επαναπροσδιορισµού των συνόρων των εκτά-σεων που καλλιεργούσαν εκατέρωθεν του Νείλου, τα οποία κατάστρεφαν τα πληµµυ-ρικά φαινόµενα του ποταµού, εφηύραν µεθόδους µέτρησης της γης, τέτοιες που ναξαναβρίσκουν το µέγεθος και τα όρια των αγροτεµαχίων τους, τα οποία είχε σβήσει τονερό. Με τον τρόπο αυτό άρχισε η µέθοδος µέτρησης της γης, η Γεωµετρία. Την ίδιαεποχή, στην Αίγυπτο η κατασκευή τεράστιων τεχνικών και καλλιτεχνικών έργων(πυραµίδες, ογκώδη αγάλµατα) υποχρεώνει και τους τεχνίτες να χρησιµοποιήσουνµεθόδους µέτρησης επιφανειών και όγκων και να θεµελιώσουν τις κατασκευές τους σεσχήµατα που να εξασφαλίζουν στατική επάρκεια και αισθητική πληρότητα. Τα εντυ-πωσιακά τεχνικά και καλλιτεχνικά έργα των Αιγυπτίων µαρτυρούν, τη µεγάλη γεωµε-


τρική τους γνώση και τις τεχνικές τους ικανότητες. ∆ίκαια λοιπόν, ο Ιστορικός τοπο-θετεί τη γέννηση της Γεωµετρίας στην αρχαία Αίγυπτο.

Η Γεωµετρία θεµελιώθηκε και απέκτησε θεωρητική υπόσταση από τους αρχαίουςΈλληνες, από τον 6ο π.Χ. αιώνα και µετά, µε τους αρχαίους διδασκάλους Θαλή,Ευκλείδη, Πυθαγόρα. Και δεν είναι τυχαίο ότι, αυτό έγινε στην περίοδο ακµής τηςελληνικής φιλοσοφίας και της τέχνης. Η φιλοσοφία και τα µαθηµατικά άνθισαν στηναρχαία Ελλάδα από τη ίδια αιτία, την αγάπη των Ελλήνων για τη γνώση «καθ’ εαυ-τήν». Στην πραγµατικότητα τα µαθηµατικά για τους αρχαίους Έλληνες ήταν µία απότις πλευρές της φιλοσοφίας. Έτσι εξηγείται και η επιγραφή «Μειδής αγεωµέτρητοςεισίτω» που είχε τοποθετήσει ο Πλάτων επάνω από την είσοδο της φιλοσοφικής τουΣχολής. Τα µαθηµατικά για τον Πλάτωνα, ήταν η απαραίτητη προπαιδεία για τη φιλο-σοφία.

Για την εκτέλεση µεγάλων έργων χρειάζονται οι καλοί τεχνίτες, για τη δηµιουργίακαλλιτεχνηµάτων οι ταλαντούχοι καλλιτέχνες. Η επιδεξιότητα, µόνο, δεν είναι αρκετήστον καλό τεχνίτη, είναι απαραίτητη και η γνώση των βασικών γεωµετρικών κανόνων.Χωρίς αυτούς ο τεχνίτης είναι αντιπαραγωγικός και τα έργα του κακότεχνα. Ακόµη,χωρίς τις κατάλληλες αναλογίες, το σωστό σχήµα και µέγεθος, ένα καλλιτεχνικό ήµηχανικό έργο δεν έχει την απαιτούµενη αισθητική και καλλιτεχνική, αξία. ∆εν αρκείµόνο το ταλέντο, ακόµη και εάν αυτό είναι όσο του Leonardo da Vinci, αφού και εκεί-νος θεωρούσε αναγκαία, τη γνώση και τη χρήση της Γεωµετρίας, στα έργα του. Οευφυής µηχανικός Αρχιµήδης, χωρίς τη βαθειά γνώση της Γεωµετρίας, παρά την εφευ-ρετικότητά του, ίσως να µην είχε σχεδιάσει όλα αυτά που του αποδίδουν.

Λέξεις κλειδιά: Leonardo da Vinci, Αρχιµήδης, καλλιτεχνικά έργα, µηχανικές εφευρέ-σεις.

Χριστίνα Φίλη, Καθηγήτρια, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επι-στηµών Ε.Μ.Π.

«Η Γεωµετρικοποίηση της Προοπτικής από τον Alberti»

Περίληψη

Αν και τα Μαθηµατικά για τους αρχαίους Ελληνες ήταν ενα µέσο για να απεικονί-σουν τις ιδέες τους στο χώρο, αν και η πρόοδος τους στη Γεωµετρία παραµένει ακόµακαι σήµερα ένα αξεπέραστο γεγονός, δεν θέλησαν να κάνουν ένα ακόµα βήµα, βήµαπου τόλµησε η Αναγέννηση, να τµήσουν δηλαδή την οπτική πυραµίδα µ’ ένα επίπεδοκαι να προχωρήσουν έτσι σε µια «αναπαράσταση» του χώρου.

Βασικά εργαλεία για τον καλλιτέχνη της Αναγέννησης είναι τα Μαθηµατικά και ιδι-αίτερα η γεωµετρία. Οι µεταφράσεις των ελληνικών έργων έπαιξαν αποφασιστικό ρόλογια την αναβίωση της γεωµετρίας. Η υπεροχή των Ιταλών καλλιτεχνών –επιστηµόνωνθα επιβάλει στην υπόλοιπη Ευρώπη µια καινούργια τεχνική, βασισµένη σε στέρεο θεω-ρητικό υπόβαθρο, την αναγεννησιακή προοπτική.

Ο Alberti µελέτησε συστηµατικά τον Ευκλείδη και δανείστηκε αρκετά απο τηνγλώσσα των ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ, σχετικά µε τους πρώτους ορισµούς. Βασιζόµενος στον µεγά-λο Αλεξανδρινό κωδικοποιεί την «νόµιµη κατασκευή». Για τον σπουδαίo “homouniversalis” η ζωγραφική «δεν ειναι παρά η τοµή της οπτικής πυραµίδας κατά δοθεί-


σα απόσταση. Οταν καθορισθεί το κέντρο και οι ακτίνες µιας επιφάνειας, η ζωγραφι-κή θα αποτελείται απο γραµµές και χρώµατα».

Σταµάτης Ψαρράς, Αρχιτέκτων Μηχανικός Πανεπιστηµίου Πατρών

1. «Ο Αρµονογράφος – Μουσικές Εξισώσεις»

Περίληψη

Στην Αρχιτεκτονική βρισκόµαστε σε µία συνεχή αναζήτηση νέων µορφών καιεµπειριών. Πηγή έµπνευσης µπορεί να αποτελέσει η φύση, οι παρατηρήσεις µέσα απότο µικροσκόπιο ακόµα και µορφές που παράγουµε µέσα από πειράµατα εξοµοίωσηςτης φύσης. Όµως η αναπαραγωγή της µορφής χωρίς πρώτα την κατανόηση των“κανόνων” από τους οποίους προήλθε, δεσµεύει το τελικό αποτέλεσµα ενώ πολλέςφορές η προσπάθεια διαφοροποίησής της µπορεί να µας αποµακρύνει από την λογικήτου σχεδιασµού της. Πρέπει λοιπόν να κατανοήσουµε τις αρχές της.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν µία σειρά από πειράµατα που συνδέουν τηνΜουσική µε την Αρχιτεκτονική όπως είναι αυτό του Αρµονογράφου. Ο Αρµονογρά-φος έχει σαν σκοπό να χρησιµοποιήσει έµµεσα ή άµεσα στοιχεία της µουσικής ώστενα τα µετατρέψει σε απεικονίσεις πάνω στο χαρτί. Ο τρόπος που λειτουργεί παρου-σιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθώς συνδυάζει τις αναλογίες της κλίµακας του Πυθα-γόρα και την εξίσωση της γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης. Αυτό µας δίνει δύο στοι-χεία που σχετίζονται άµεσα µε τα µαθηµατικά, της αναλογίας και της εξίσωσης. ΗΠυθαγόρας απέδειξε µε ένα όργανο δικιάς του εµπνεύσεως (το µονόχορδο) τα σηµείαστα οποία πρέπει να κατατµήσουµε µία χορδή ώστε να ακουστούν οι εφτά µουσικέςνότες: οι αναλογίες αυτής της κατάτµησης αποτελούν και την κλίµακα. Τα βασικά δια-στήµατα είναι αυτό µιας οκτάβας που δίνεται από το 1/2 της χορδής, το διάστηµα τηςπέµπτης από τα 2/3 της και το διάστηµα της τέταρτης από τα 3/4 της. Αυτές οι ανα-λογίες εισάγονται σε εξισώσεις γραµµικής αρµονικής ταλάντωσης αυξοµειώνονταςτην συχνότητα ή και το πλάτος της ταλάντωσης ώστε να µας δώσουν συντεταγµένεςκάθε σηµείου του σχεδίου. Ο Αρµονογράγος συνδυάζει δύο εκκρεµή που έχουν τηνδιεύθυνση της κίνησής τους κάθετα και µεταφέρουν την ταλάντωση τους το ένα σεένα µολύβι και το άλλο σε ένα χαρτί. Βάζοντας τις συχνότητες των εκκρεµών σε ανα-λογία τέτοια όπως τις νότες του Πυθαγόρα παρατηρούµε την εικόνα που δηµιουργεί-ται.

Η κατανόηση της λειτουργίας των µορφών που παράγει ο αρµονογράφος και οεντοπισµός των παραγόντων από τους οποίους εξαρτάται, µας δίνει την δυνατότητανα ελέγξουµε το αποτέλεσµα και να δηµιουργήσουµε τα νέα, πρωτότυπα σχέδια. Ενώταυτόχρονα, ο εντοπισµός των πιθανόν λύσεων µας δίνει ένα τυπολόγιο που θα µπο-ρούσε να επεξεργαστεί µε διάφορους τρόπους.

Τέλος έγινε προσπάθεια να αναχθεί µε την ίδια λογική η λειτουργία του Αρµονο-γράφου στις τρεις διαστάσεις, κάτι τέτοιο µας δίνει την δυνατότητα της άµεσης συσχέ-τισης των αποτελεσµάτων του µε αρχιτεκτονικούς χώρους. Οι καµπύλες που ορίζουντους χώρους αυτούς έχουν την αρµονία των αναλογιών από όπου προήλθαν, κάτι πουτις καθιστά ιδιαίτερα ελκυστικές, ενώ το σχήµα τους µπορεί εύκολα να γίνει αφορµήέµπνευσης για την λειτουργίας τους. Συγκεκριµένα, στην εργασία αυτή χρησιµοποιή-


θηκαν οι καµπύλες ως ανοιχτοί ηµιυπαίθριοι χώροι που µέσα τους λαµβάνουν χώραδιάφορα µουσικά και ηχητικά δρώµενα.

2. «Πάρκο D# – Γεωµετρικές Αντιστίξεις»

Περίληψη

Η Αρχιτεκτονική και η Μουσική αν και χρησιµοποιούν τελείως διαφορετικά µέσαως τέχνες, έχουν πολλά κοινά στοιχεία. Οι δηµιουργοί και των δύο τεχνών χρησιµο-ποιούν πολλές φορές κοινά εργαλεία και βασίζονται σε αναλογίες και µαθηµατικέςσχέσεις. Ταυτόχρονα, ο άνθρωπος αντιλαµβάνεται τα έργα τους µε αντίστοιχους κανό-νες και µηχανισµούς, που έχουν ερµηνευθεί από τη δεκαετία του ’50 µέσα από τηνψυχολογία της Gestalt. Προσπάθειες µετατροπής της µουσικής σε χώρο έχουν γίνεικαι στο παρεθόν µε δηµοφιλέστερα τα παραδείγµατα του Γιάννη Ξενάκη, ο οποίοςχρησιµοποίησε τα µαθηµατικά στο City of Music για να εκφράσει µέσα από την αρχι-τεκτονική την πολυπλοκότητα της µουσικής και της εµπειρίας των ήχων.

Ο σχεδιασµός µίας συνεπούς µεταφοράς των βασικών χαρακτηριστικών της µου-σικής σε γεωµετρία στον χώρο, µετατρέποντας την γραµµικότητα του χρόνου κατά τοάκουσµα ενός µουσικού κοµµατιού σε µία συνεχή διαδροµή, αποτέλεσε τον βασικόστόχο στην έρευνα αυτή. Η προσέγγιση αυτή έγινε µε την επιλογή ενός µουσικού κοµ-µατιού, συγκεκριµένα, το Air από την σουίτα για έγχορδα σε D major του Bach (BWV1068). Το µουσικό κοµµάτι χρησιµοποιείται σαν µία βάση δεδοµένων, τα οποία µετάαπό την εφαρµογή αλγορίθµων µετατρέπονται σε χωρικά στοιχεία. Η ανάλυση τουκοµµατιού σε υποσύνολα (επανάληψης, αντίστιξης, έντασης κ.α.) συνέβαλλε σηµα-ντικά στην κατανόηση της εσωτερικής δοµής και στην µονοσήµαντη αντιστοίχηση τηςκάθε νότας σε µία γεωµετρία. Για τον πειραµατισµό αυτής της ιδέας χρησιµοποιήθηκεο υπαίθριος χώρος µπροστά από την Εθνική Γλυπτοθήκη µε σκοπό την επέκταση τουχώρου, ως πολιτιστικό πάρκο.

Για να επιτευχθεί η παραγωγή της γεωµετρίας της διαδροµής και των στοιχείωνπου την αποτελούν, έπρεπε να εφαρµοστούν µία σειρά από γεωµετρικές παραµετρο-ποιήσεις στα µουσικά δεδοµένα. Απαραίτητη ήταν επίσης η χρήση αλγόριθµων, πουχρησιµοποιήθηκαν για να διασφαλίσουν την διαφορετική τροποποίηση των µουσικώνδεδοµένων ανάλογα µε το υποσύνολα στα οποία ανήκουν. Τα γεωµετρικά σχήµατααυτά ήταν τριών κατηγοριών (τραπεζοειδές, ορθογώνιο, ορθογώνιο παραλληλεπίπε-δο) ώστε να ανταποκρίνονται στα τρία βασικότερα υποσύνολα και η επιλογή της θέσηςκαι της µορφής τους έγινε µε βάση µία ιεράρχηση σπουδαιότητας.

Το τελικό αποτέλεσµα στην γενική του µορφή φαίνεται να έχει µία πολύπλοκηγεωµετρία στην οποία όµως τοπικά, µπορεί ο επισκέπτης να βρει τις ίδιες µαθηµατικέςσχέσεις µε αυτές του µουσικού κοµµατιού.


000 PROTOSELIDA SEL - neolaia.gr€¦ · Μία ευθεία της Ελλειπτικής...

Documents

Transcript of 000 PROTOSELIDA SEL - neolaia.gr€¦ · Μία ευθεία της Ελλειπτικής...