ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

4o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

18/03/2017

ΘΕΜΑ Α

Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆ . Αν

( ) 0′ >f x για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆ , τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆ .

7 μονάδες

Α2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ . Πότε η ευθεία = +y xλ β λέγεται

ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞ ;

4 μονάδες

Α3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και παραγωγίσιμη στο

εσωτερικό του ∆ . Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ∆ ;

4 μονάδες

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το

μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.

β) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού 2≥ν , η οποία έχει ασύμπτωτη

γ) Αν ( ) ln=f x x για κάθε 0≠x , τότε ( ) 1′ =f xx

για κάθε 0≠x

δ) ( )′ =x xσυν ηµ για κάθε ∈ℝx

ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β , τότε η f παίρνει στο [ ],α β

μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m

10 μονάδες

ΘΕΜΑ B

Δίνεται η συνάρτηση ( )ln

=x

xf x e

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

B1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f

8 μονάδες

B2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το

σύνολο τιμών της

8 μονάδες

B3. i) Να αποδείξετε ότι, για 0>x , ισχύει η ισοδυναμία ( ) ( ) 44 4= ⇔ = xf x f x

3 μονάδες

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 4= xx , 0>x , έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις

1 2=x και 2 4=x

6 μονάδες

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )ln 1= − +xf x xα , 1> −x , όπου 0>α και 1≠α

Γ1. Αν για κάθε 1> −x ισχύει ( ) 1≥f x , να βρείτε το α

8 μονάδες

Για = eα

Γ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή

5 μονάδες

Γ3. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα

διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f

6 μονάδες

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( )

11

3 13 01 2

− − − + =− −

ff

x x έχει τουλάχιστον μια

ρίζα στο ( )1,2

6 μονάδες

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ , με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι:

● ( ) 0′′ ≠f x για κάθε ∈ℝx

● ( ) ( ) ( )2 00

2

−′ <

f ff και

● ( ) ( )

0

1 2 1lim 0→

+ − −=

h

f h f h

h

Δ1. Να αποδείξετε ότι η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ

7 μονάδες

Δ2. Να αποδείξετε ότι ( )1 0′ =f (4 μονάδες) , καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει

ελάχιστο στο 0 1=x (2 μονάδες)

6 μονάδες

Δ3. Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )2= − −g x F x F x , όπου F μια

παράγουσα της f

i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής

6 μονάδες

ii. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο με

τετμημένη 0 1=x και στη συνέχεια να λύσετε στο ℝ την εξίσωση

( ) ( ) ( )( )2 2 1 1− − = −F x F x f x

6 μονάδες

Καλή Επιτυχία!

Θανάσης Κοπάδης

Μαθηματικός