Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΟΜΑΔΑ I) Όνομα: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Διαγώνισμα Μαθηματικά Β΄ Τρίμηνο Τμήμα: . . . . . Ημερομηνία: 15 / 02 / 2016

ΒΑΘΜΟΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.) Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Β.) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης y x 2x 3

x 3 2 0 1 2 y

Γ.) Δίνεται η συνάρτηση y 2x 1. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας τιμών. x 3 2 1 5 0

ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται τα σημεία Α(2, 5), Β(6, 2), Γ(3, 1). Να βρείτε:

α.) τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από τον άξονα x΄x. β.) τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από τον άξονα y΄y. γ.) την απόσταση ΑΒ.

ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση y x λ.

α.) Να βρείτε το λ, ώστε το σημείο Α 3, 1 να ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης.

β.) Να βρείτε σημείο της συνάρτησης με τετμημένη 2. γ.) Να βρείτε σημείο της συνάρτησης με τεταγμένη 3.

ΘΕΜΑ 4ο Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. α.) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(3, 6), Β(4, 1), Γ(0, -3), Δ(3, 0), Ε(-6, -2) είναι σημεία

της γραφικής παράστασης β.) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης με τετμημένη 1 και -5 γ.) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης με τεταγμένη 3 και -2

ΟΜΑΔΑ Ι

ΘΕΜΑ 1ο (Β)

y = x2 + 2x − 3

Για x = −3 έχουμε:

y = (−3)2 + 2(−3) − 3

y = 9 − 6 − 3

y = 9 − 9 = 0

Δηλαδή x = −3, 𝐲 = 𝟎

Για x = −2 έχουμε:

y = (−2)2 + 2(−2) − 3

y = 4 − 4 − 3

y = 0 − 3 = −3

Δηλαδή x = −2, 𝐲 = −𝟑

Για x = 0 έχουμε:

y = 02 + 2 ∙ 0 − 3

y = 0 + 0 − 3

y = −3

Δηλαδή x = 0, 𝐲 = −𝟑

Για x = 1 έχουμε:

y = 12 + 2 ∙ 1 − 3

y = 1 + 2 − 3

y = 3 − 3 = 0

Δηλαδή x = 1, 𝐲 = 𝟎

Για x = 2 έχουμε:

y = 22 + 2 ∙ 2 − 3

y = 4 + 4 − 3

y = 8 − 3 = 5

Δηλαδή x = 2, 𝐲 = 𝟓

x −3 −2 0 1 2

y 𝟎 −𝟑 −𝟑 𝟎 𝟓

ΘΕΜΑ 1ο (Γ)

y = 2x − 1

Για x = −3

y = 2(−3) − 1

y = −6 − 1

y = −7

Δηλαδή x = −3, 𝐲 = −𝟕

Για y = −1

−1 = 2x − 1

−1 + 1 = 2x

0 = 2x 0

2=

2x

2

x = 0

Δηλαδή 𝐱 = 𝟎, y = −1

Για x = 2

y = 2 ∙ 2 − 1

y = 4 − 1

y = 3

Δηλαδή x = 2, 𝐲 = 𝟑

Για y = 5

5 = 2x − 1

5 + 1 = 2x

6 = 2x 6

2=

2x

2

x = 3

Δηλαδή 𝐱 = 𝟑, y = 5

Για y = 0

0 = 2x − 1

0 + 1 = 2x

1 = 2x 1

2=

2x

2

x =1

2

Δηλαδή 𝐱 =𝟏

𝟐, y = 0

x −3 𝟎 2 𝟑 𝟏

𝟐

𝑦 −𝟕 −1 𝟑 5 0

ΟΜΑΔΑ Ι

ΘΕΜΑ 2ο

Τα σημεία που δίνονται είναι τα: Α(2, 5), Β(6, 2), Γ(3, 1)

ΘΕΜΑ 2ο (α)

Η απόσταση του Α(2, 5) από τον άξονα x΄x είναι : 5

Η απόσταση του Β(6, 2) από τον άξονα x΄x είναι : 2

Η απόσταση του Γ(3, 1) από τον άξονα x΄x είναι : 1

ΘΕΜΑ 2ο (β)

Η απόσταση του Α(2, 5) από τον άξονα y΄y είναι : 2

Η απόσταση του Β(6, 2) από τον άξονα y΄y είναι : 6

Η απόσταση του Γ(3, 1) από τον άξονα y΄y είναι : 3

ΘΕΜΑ 2ο (γ)

Το σημείο Δ στο διπλανό σχήμα έχει συντεταγμένες Δ(2, 2). Οπότε

το μήκος ΔΒ είναι : 𝚫𝚩 = 𝟒,

ενώ το μήκος ΔΑ είναι : 𝚫𝚨 = 𝟑

Οπότε αφού το τρίγωνο ΑΔΒ είναι ορθογώνιο με Δ̂=90ο, από το

Πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

ΘΕΜΑ 3

y = x + λ

ΘΕΜΑ 3 (α)

Το σημείο Α(-3, 1) είναι σημείο της συνάρτησης y = x + λ άρα θα την

επαληθεύει, δηλαδή

1 = −3 + λ ή 1 + 3 = λ ή λ = 4

Άρα για να είναι το σημείο Α σημείο της συνάρτησης y = x + λ θα πρέπει το

𝛌 = 𝟒 και η συνάρτηση θα γίνει :

𝐲 = 𝐱 + 𝟒.

ΘΕΜΑ 3 (β)

Τετμημένη 2 σημαίνει x = 2, οπότε αν στην παραπάνω συνάρτηση y = x + 4

βάλουμε x = 4, θα έχουμε: y = 2 + 4 = 6.

Άρα το σημείο της συνάρτησης y = x + 4 με τετμημένη 2 είναι το σημείο (𝟐, 𝟔).

ΘΕΜΑ 3 (γ)

Τεταγμένη 3, σημαίνει y = 3, οπότε αν στην παραπάνω συνάρτηση y = x + 4

βάλουμε όπου y = 3, θα έχουμε:

Άρα το σημείο της συνάρτησης y = x + 4 με τεταγμένη y = 3 είναι το σημείο

(−𝟏, 𝟑).

ΑΒ2 = ΔΒ2 + ΔΑ2

ΑΒ2 = 42 + 32

ΑΒ2 = 16 + 9 = 25

ΑΒ = √25

𝚨𝚩 = 𝟓

3 = x + 4

3 − 4 = x

x = −1

ΟΜΑΔΑ Ι

ΘΕΜΑ 4 (α)

Α(3, 6) δεν είναι σημείο της συνάρτησης

Β(4, 1) είναι σημείο της συνάρτησης

Γ(0, -3) δεν είναι σημείο της συνάρτησης

Δ(3, 0) είναι σημείο της συνάρτησης

Ε(-6, -2) δεν είναι σημείο της συνάρτησης

ΘΕΜΑ 4 (β)

Το σημείο της γραφικής παράστασης με τετμημένη 1 είναι το (1, 2)

Το σημείο της γραφικής παράστασης με τετμημένη -5 είναι το (−5, −2)

ΘΕΜΑ 4 (γ)

Το σημείο της γραφικής παράστασης με τεταγμένη 3 είναι το (6, 3)

Τα σημεία της γραφικής παράστασης με τεταγμένη -2 είναι: (−7, −2), (−5, −2)

Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΟΜΑΔΑ II) Όνομα: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Διαγώνισμα Μαθηματικά Β΄ Τρίμηνο Τμήμα: . . . . . Ημερομηνία: 15 / 02 / 2016

ΒΑΘΜΟΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.) Τι ονομάζεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; Β.) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών της συνάρτησης y 2x x 1

x 2 1 0 1 2 y

Γ.) Δίνεται η συνάρτηση y 3x 2. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας τιμών. x 3 2 5 2 1

ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται τα σημεία Α 1, 3 , Β 2, 1 , Γ 1, 5 . Να βρείτε:

α.) τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από τον άξονα x΄x. β.) τις αποστάσεις των παραπάνω σημείων από τον άξονα y΄y. γ.) την απόσταση ΒΓ.

ΘΕΜΑ 3ο Δίνεται η συνάρτηση y αx 2.

α.) Να βρείτε το α, ώστε το σημείο Α 1, 4 να ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης.

β.) Να βρείτε σημείο της συνάρτησης με τετμημένη 3. γ.) Να βρείτε σημείο/σημεία της συνάρτησης με τεταγμένη 2.

ΘΕΜΑ 4ο Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. α.) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(4, -1), Β(-4, 1), Γ(1, 2), Δ(2, 0), Ε(2, -2) είναι σημεία

της γραφικής παράστασης β.) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης με τετμημένη -2 και -1 γ.) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης με τεταγμένη 2 και -3

ΟΜΑΔΑ ΙΙ

ΘΕΜΑ 1ο (Β)

y = 2x2 − x + 1

Για x = −2 έχουμε:

y = 2(−2)2 − (−2) + 1

y = 2(+4) + 2 + 1

y = 8 + 2 + 1

y = 11

Δηλαδή x = −2, 𝐲 = 𝟏𝟏

Για x = −1 έχουμε:

y = 2(−1)2 − (−1) + 1

y = 2(+1) + 1 + 1

y = 2 + 1 + 1

y = 4

Δηλαδή x = −1, 𝐲 = 𝟒

Για x = 0 έχουμε:

y = 2 ∙ 02 − 0 + 1

y = 0 + 0 + 1

y = 0 + 1

y = 1

Δηλαδή x = 0, 𝐲 = 𝟏

Για x = 1 έχουμε:

y = 2 ∙ 12 − 1 + 1

y = 2 ∙ 1 − 1 + 1

y = 2 − 1 + 1

y = 2

Δηλαδή x = 1, 𝐲 = 𝟐

Για x = 2 έχουμε:

y = 2 ∙ 22 − 2 + 1

y = 2 ∙ 4 − 2 + 1

y = 8 − 2 + 1

y = 7

Δηλαδή x = 2, 𝐲 = 𝟕

x −2 −1 0 1 2

y 𝟏𝟏 𝟒 𝟏 𝟐 𝟕

ΘΕΜΑ 2ο (Γ)

y = 3x − 2

Για x = −3 έχουμε:

y = 3 ∙ (−3) − 2

y = −9 − 2

y = −11

Δηλαδή x = −3, 𝐲 = −𝟏𝟏

Για y = −5 έχουμε:

−5 = 3x − 2

−5 + 2 = 3x

−3 = 3x

−3

3=

3x

3

x = −1

Δηλαδή 𝐱 = −𝟏, y = −5

Για x = 2 έχουμε:

y = 3 ∙ 2 − 2

y = 6 − 2

y = 4

Δηλαδή x = 2, 𝐲 = 𝟒

Για y = −2 έχουμε:

−2 = 3x − 2

−2 + 2 = 3x

0 = 3x 0

3=

3x

3

x = 0

Δηλαδή 𝐱 = 𝟎, y = −2

Για y = 1 έχουμε:

1 = 3x − 2

1 + 2 = 3x

3 = 3x 3

3=

3x

3

x = 1

Δηλαδή 𝐱 = 𝟏, y = 1

x −3 −𝟏 2 𝟎 𝟏

𝑦 −𝟏𝟏 −5 𝟒 −2 1

ΟΜΑΔΑ ΙΙ

ΘΕΜΑ 2ο Δίνονται τα σημεία: Α(−1, 3), Β(2, −1), Γ(−1, −5)

ΘΕΜΑ 2ο (α)

Η απόσταση του Α(−1, 3) από τον άξονα x΄x είναι: 3.

Η απόσταση του Β(2, −1) από τον άξονα x΄x είναι: 1.

Η απόσταση του Γ(−1, −5) από τον άξονα x΄x είναι: 5.

ΘΕΜΑ 2ο (β)

Η απόσταση του Α(−1, 3) από τον άξονα y΄y είναι: 1.

Η απόσταση του Β(2, −1) από τον άξονα y΄y είναι: 2.

Η απόσταση του Γ(−1, −5) από τον άξονα y΄y είναι: 1.

ΘΕΜΑ 2ο (γ)

Το σημείο Δ στο διπλανό σχήμα έχει συντεταγμένες

Δ(2, −5). Οπότε το μήκος 𝚫𝚩 = 𝟒

το μήκος 𝚫𝚪 = 𝟑

Οπότε αφού το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ορθογώνιο με

Δ̂=90ο , από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε:

ΘΕΜΑ 3ο y = αx + 2

ΘΕΜΑ 3 (α)

Το σημείο Α(1, 4) είναι σημείο της συνάρτησης y = α𝑥 + 2, άρα θα την επαληθεύει,

δηλαδή

1 = α ∙ 1 + 2

4 − 2 = 1α

2 = α ή 𝛂 = 𝟐

Άρα για να είναι το σημείο Α(1, 4) σημείο της συνάρτησης y = α𝑥 + 2 πρέπει το

𝜶 = 𝟐 και η συνάρτηση θα γίνει: 𝐲 = 𝟐𝐱 + 𝟐

ΘΕΜΑ 3 (β)

Τετμημένη 3 σημαίνει x=3. Οπότε αν στην παραπάνω συνάρτηση y = 2x + 2 βάλουμε

x = 3 θα έχουμε: y = 2 ∙ 3 + 2 = 6 + 2 = 8

Άρα το σημείο της συνάρτησης y = 2x + 2 με τετμημένη 3 είναι το σημείο (3, 8).

ΘΕΜΑ 3 (γ)

Τεταγμένη 2 σημαίνει y = 2, οπότε αν στην συνάρτηση y = 2x + 2 βάλουμε με y = 2,

θα έχουμε: 2 = 2x + 2 ή 2 − 2 = 2x ή 0 = 2x ή 0

2=

2x

2 ή x = 0

Άρα το σημείο της συνάρτησης y = 2x + 2 με τεταγμένη 2 είναι το σημείο (0, 2).

ΒΓ2 = ΔΒ2 + ΔΓ2

ΒΓ2 = 42 + 32

ΒΓ2 = 16 + 9

ΒΓ2 = 25

ΒΓ = √25

𝚩𝚪 = 𝟓

ΟΜΑΔΑ ΙΙ

ΘΕΜΑ 4 (α)

Α(4, −1) δεν είναι σημείο της συνάρτησης

Β(−4, 1) δεν είναι σημείο της συνάρτησης

Γ(1, 2) είναι σημείο της συνάρτησης

Δ(2, 0) είναι σημείο της συνάρτησης

Ε(2, −2) δεν είναι σημείο της συνάρτησης

ΘΕΜΑ 4 (β)

Το σημείο της γραφικής παράστασης με τετμημένη -2 είναι: (−2, 2)

Το σημείο της γραφικής παράστασης με τετμημένη -1 είναι: (−1, 4)

ΘΕΜΑ 4 (γ)

Το σημείο (τα σημεία) της γραφικής παράστασης με τεταγμένη 2 είναι: (−2, 2), (1, 2).

Το σημείο (τα σημεία) της γραφικής παράστασης με τεταγμένη -3 είναι: (6, −3)