4 Böen- und Wirbelerregung eines Schornsteins

Praxisseminar 2006 (Aktualisierung 2011)

Institut für Stahlbau – TU Braunschweig Seite 4-1

4 Böen- und Wirbelerregung

eines Schornsteins

Berechnungsbeispiel nach DIN 1055-4

Dr.-Ing. Mathias Clobes Dipl.-Ing. Andreas Willecke



4.1 Tragwerk

Außendurchmesser Da = 1067…813 mm

Höhe h = 40 m

Wandstärke t = 6,3 mm

Rohdichte Stahl ρSt = 7,85 to/m³

Strukturdämpfung δs = 0,014 (Innenrohr & Dämmung, h/Da > 26, DIN V 4133:2007-07)

Fußring Kerbfall 71

4.2 Standort

Standort Braunschweig

Windzone 2 Bild A.1

Geländekategorie II Tab. B.1

Topographiebeiwert ct = 1,0 Gl. (B.1)

(Kein exponierter Hügel oder Geländesprung)

Referenzwindgeschwindigkeit vm,10min = vref = 25,0 m/s Bild A.1

Luftdichte ρ = 1,25 kg/m³ 7.1 (2)

Mindesthöhe zmin = 4 m Tab. B.2

Kopfmasse

(In

nen

roh

r u

nd

Däm

mu

ng

)



4.3 Tragwerk und Standort StTools



4.4 Statische Windlast

Die Lasten werden für jeden Bauwerksabschnitt j ermittelt und in Knoten zusammen-gefasst. Für jeden Abschnitt j ist die

Windlast infolge Böenreaktion ( )wj fj m j refF G c q z A= ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (C.1)

wj,mG F= ⋅

Es wird zunächst die Windlast infolge des 10-min-Mittel Windes berechnet. Die Er-mittlung des Böenreaktionsfaktor G erfolgt in Abschnitt 4.7.

Die Datenermittlung für jeden Bauwerksabschnitt erfolgt sinnvoller Weise in einer Tabelle. Hier wird eine Teilung in 10 Abschnitte vorgenommen. Diese Tabelle wird im Zuge dieses Rechenbeispiels fortlaufend ausgefüllt.

4.4.1 Bezugsflächen in den Bauwerksabschnitten

Abschnittslänge lj

Abschnittsbreite bj (hier Außendurchmesser)

Bezugsfläche ref , j j jA l b= ⋅ Gl. (33)

Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

b

[m]

Aref

[m²]

10 40,0 4,6 0,813 3,74

9 35,4 4,6 0,813 3,74

8 30,8 4,6 0,813 3,74

7 26,2 4,6 0,813 3,74

6 21,6 4,6 0,813 3,74

5 17,0 1,0 0,940 0,94

4 16,0 4,0 1,067 4,27

3 12,0 4,0 1,067 4,27

2 8,0 4,0 1,067 4,27

1 4,0 4,0 1,067 4,27



4.4.2 Profil der mittleren Windgeschwindigkeit

Windgeschwindigkeit (Gk II) 0,16

m

zv (z) 1,00 25

10

= ⋅ ⋅

für z > zmin Tab. B.2

m

v (z) 0,86 25= ⋅ für z ≤ zmin

Geschwindigkeitsdruck ( )2

m

m

v zq (z)

1600= Gl. (3)

4.4.3 Profil der Böenwindgeschwindigkeit

Böenwindgeschw. (GK II) 0,12

zv (z) 1,45 25

10

= ⋅ ⋅

für z > zmin Tab. B.2

v(z) 1,3 25= ⋅ für z ≤ zmin

4.4.4 Aerodynamischer Kraftbeiwert

Bei Kreiszylindern ist der aerodynamische Kraftbeiwert eine Funktion der Reynolds-Zahl und der Rauhigkeit der Oberfläche, bei schlanken Bauwerken darüber hinaus ebenso von der Schlankheit.

f f ,0c c λψ= ⋅ Gl. (30)

Grundkraftbeiwert cf,0 = cf,0(Re,k/b) Bild 19

Reynolds-Zahl Re = b v / ν Gl. (31)

mit ν = 1,5⋅10-5 m²/s (kinem. Zähigkeit der Luft)

v = Böenwindgeschwindigkeit



Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

b

[m]

Aref

[m²]

vm,j

[m/s]

qm,j

[kN/m²]

v

[m/s] Re

10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 42,8 2,3·106

9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 42,2 2,3·106

8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 41,5 2,2·106

7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 40,7 2,2·106

6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 39,8 2,2·106

5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 38,6 2,4·106

4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 38,4 2,7·106

3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 37,1 2,6·106

2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 35,3 2,5·106

1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 32,5 2,3·106

Rauhigkeitshöhe k = 0,2 mm (Stahl, beschichtet) E-DIN4133

Bild 19 – Grundkraftbeiwert cf,0 von Zylindern mit unedlicher Schlankheit

cf,0 = 0,77 … 0,79

4 4

0, 2 0,2

813 1067

1,9 10 2,5 10

k b

− −

=

= ⋅ ⋅

…

…



Da es sich um einen einzeln stehenden Schornstein handelt, muss kein Erhöhungs-faktor für den Grundkraftbeiwert berücksichtigt werden. (12.7.2)

Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

b

[m]

Aref

[m²]

vm,j

[m/s]

qm,j

[kN/m²] Re cf,0

10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 2,3·106 0,79

9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 2,3·106 0,79

8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 2,2·106 0,79

7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 2,2·106 0,79

6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 2,2·106 0,79

5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 2,4·106 0,78

4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 2,7·106 0,78

3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 2,6·106 0,78

2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 2,5·106 0,78

1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 2,3·106 0,77

4.4.5 Abminderungsfaktor für die Schlankheit

Tabelle 16 – Effektive Schlankheit λ für Zylinder (Auszug)

effektive Schlankheit [ ]50 min 0,7 l / b ; 70 0,7 50 / 0,92 38λ≥ = ⋅ = ⋅ =

(mit gemittelter Breite b)

[ ]15 min l / b ; 70 15 / 0,92 16λ< = = =

40

16 3838 10m 32

35mλ

−= + ⋅ = (lineare Interpolation)

Völligkeitsgrad ϕ = 1,0 Gl. (40)



λ

Bild 29 - Abminderungsfaktor ψλ in Abhängigkeit von der effektiven Schlankheit λ und für verschie-dene Völligkeitsgrade ϕ

Damit sind alle Angaben zur Berechnung der Windlasten infolge des 10-min-Mittel Windes vorhanden.

10-min Mittelwert der Windlast ( )wj,m fj m j refF c q z A= ⋅ ⋅

Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

b

[m]

Aref

[m²]

vm,j

[m/s]

qm,j

[kN/m²] Re cf,0 ψλ cf

Fwj,m

[kN]

10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 2,3·106 0,79

0,83

0,66 1,51

9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 2,3·106 0,79 0,66 1,46

8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 2,2·106 0,79 0,66 1,38

7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 2,2·106 0,79 0,66 1,31

6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 2,2·106 0,79 0,66 1,23

5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 2,4·106 0,78 0,65 0,28

4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 2,7·106 0,78 0,65 1,25

3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 2,6·106 0,78 0,65 1,14

2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 2,5·106 0,78 0,65 1,00

1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 2,3·106 0,77 0,64 0,79

0,833

32



4.5 Eigenfrequenzen und -formen (z.B. aus FE-Berechnung)

Der Schornstein wird zu dessen rechnerischen Beschreibung in zehn Abschnitte un-terteilt. Die Massen werden in Knoten zusammengefasst.



4.6 StTools: Eigenfrequenzen



4.7 Böenreaktionsfaktor

Böenreaktionsfaktor 2 2

v e o xG 1 2 g I (z ) Q R= + ⋅ ⋅ ⋅ + Gl. (C.4)

4.7.1 Winddaten in der effektiven Höhe

effektive Höhe e

min

z 0,6 h 0,6 40 24 m

4 m z

= ⋅ = ⋅ =

≥ = Bild C.1

mittl. Windgeschwindigkeit ( )0,16 0,16

em e ref

z 24v z 1,0 v 1,0 25 28,8 m s

10 10

= ⋅ = ⋅ =

Tab. B.2

Turbulenzintensität ( )0.16 0,16

ev e

z 24I z 0,19 0,19 0,17

10 10

− − = = =

Tab. B.2

Integrallängenmaß ( ) ei e

zL z 300

300

ε = ⋅

Gl. (C.9)

Exponent (GKII) 0, 26ε = Tab. C.1

( )0,26

i e

24L z 300 155 m

300

= ⋅ =

4.7.2 Böengrundanteil

� Hinweis: über b und h wird die Korrelation der Bauwerksdrücke in horizontaler und vertikaler Richtung berücksichtigt. Bei abgestufter Breite führt die Wahl des kleinsten Durchmessers zur konservativen Lösung beim Böengrundanteil!

Bauwerksbreite b 0,81m =

Bauwerkshöhe h 40m=

Böengrundanteil 2

0 0,63

i e

1Q

b h1 0,9

L (z )

= +

+ ⋅

Gl. (C.10)



i e

b h 0,81 400,26

L (z ) 155

+ += =

2

0 0,63

1Q 0,72

1 0,9 0, 26= =

+ ⋅

4.7.3 Spektrale Dichtefunktion (Windspektrum)

Frequenz der Grundschwingung 1,x 1n f 0,50Hz= =

Normierte Eigenfrequenz 1,x i e

1,x

m e

n L (z ) 0,50 155N 2,69

v (z ) 28,8

⋅ ⋅= = = Gl. (C.13)

Dimensionsloses Windspektrum ( )( )

1,x

N 1,x 5 3

1,x

6,8 NR N

1 10, 2 N

⋅=

+ ⋅ Gl. (C.12)

( )N 5 3

6,8 2,69R 0,069

1 10, 2 2,69

⋅= =

+ ⋅

Bild C.5 – Dimensionslose spektrale Dichtefunktion RN

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,001 0,010 0,100 1,000 10,000

(b+h)/Li(ze)

Q02

2,7

0,069

0,72

0,26



4.7.4 Aerodynamische Übertragungsfunktion

aerodynamische

Übertragungsfunktion -2

l 2

1 1R - (1- e )

2

η

η η⋅= ⋅

⋅ für η > 0 Gl. (C.14)

lR 1= für η = 1

1,x

i e

4,6 N l

L (z )η

⋅ ⋅= mit l = h, b.

Für die Gebäudehöhe 1,x

h

i e

4,6 N h 4,6 2,69 403,19

L (z ) 155η

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = Gl. (C.15)

( )-2 3,19

h 2

1 1R - 1- e 0, 264

3,19 2 3,19

⋅= ⋅ =⋅

Für die Gebäudebreite 1,x

b

i e

4,6 N b 4,6 2,69 0,810,06

L (z ) 155η

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = Gl. (C.16)

( )-2 0,06

b 2

1 1R - 1- e 0,961

0,06 2 0,06

⋅= ⋅ =⋅

Bild C.6 - Aerodynamische Übertragungsfunktionsfunktion Rl (l=h bzw. b)

⇒ erfasst die Windlastreduktion

infolge der Korrelationsbeziehun-

gen des Winddrucks über die Ge-

bäudebreite b und die Gebäude-

höhe h.

3,19hη =0,06bη =

0, 26

0,96



4.7.5 Log. Dämpfungsdekrement

s a d

δ δ δ δ= + + Gl. (F.7)

Strukturdämpfung s

δ für Stahlschornsteine DIN V 4133: 2007-07

0,014s

δ = Seite 4-2

äquivalente Masse in der 1.EF

2

1,

01,

2

1,

0

( )

( )

h

x

x h

x

m z dz

m

z dz

⋅Φ

=

Φ

∫

∫

Kno

ten

Höhe z [m]

∆z [m]

Mj [kg] Φ Φ2

Mj⋅Φ2 ∫Φ2

10 40,0

714 1 1 714

4,6 3,857 9 35,4 1129 0,823 0,677 764

4,6 2,523 8 30,8 1129 0,648 0,420 474

4,6 1,502 7 26,2 1129 0,483 0,233 263

4,6 0,794 6 21,6 1129 0,334 0,112 126

4,6 0,361 5 17,0 697 0,213 0,045 31,6

1,0 0,041 4 16,0 702 0,191 0,036 25,6

4,0 0,098 3 12,0 1139 0,113 0,013 14,5

4,0 0,032 2 8,0 1139 0,053 0,003 3,2

4,0 0,006 1 4,0 1139 0,014 0,000 0

4,0 0

0

0 0 0

2416 9,213

1,

2416kg262 kg/m

9,213mx

m ≈ =

Aerodynamische Dämpfung ( )fa m e

1,x 1,x

b cv z

2 n m

ρδ

⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ Gl. (F.9)

a

1, 25 0,81 0,6628,8 0,073

2 0,50 262δ

⋅ ⋅= ⋅ =

⋅ ⋅

( ) ( )

( )( ) ( )

102 2

1, 1,

10

2 29

2, 1, 12

1,

002

=

+

=

⋅Φ ≈ ⋅Φ

Φ + ΦΦ ≈ ⋅∆

∑∫

∑∫

h

x j x j

j

hx j x j

x

j

m z dz M z

z zz dz z



4.7.6 Resonanz-Antwortanteil

Resonanz-Antwortanteil 2

2

x N h bR R R R2

πδ

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

Gl. (C.11)

2

2

xR 0,069 0,264 0,961 0,992 (0,014 0,073)

π= ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ +

4.7.7 Statistischer Spitzenfaktor

Statistischer Spitzenfaktor E

E

0,6g 2 ln( t)

2 ln( t)ν

ν= ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ Gl. (C.5)

erwartete Frequenz Gl. (C.6) der Böenreaktion

erwartete Frequenz Gl. (C.7) der Böenrektion bei quasi-statischem Trag- verhalten

i e i e

b h b hS 0, 46 10,58

L (z ) L (z )

+ ⋅= ⋅ + ⋅

Gl. (C.8)

0,81 40 0,81 40

S 0, 46 10,58 0,51155 155

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ =

E,0 0,615

28,8 10,25 Hz

155 1,11 0,51ν = ⋅ =

⋅

2 2

E

0, 25 0,72 0,50 0,990,42 Hz

0,72 0,99ν

⋅ + ⋅= =

+

Spitzenfaktor g 0,6

g 2 ln(0,42 600) 3,502 ln(0, 42 600)

= ⋅ ⋅ + =⋅ ⋅

Böenreaktionsfaktor G 2 2

v e o xG 1 2 g I (z ) Q R= + ⋅ ⋅ ⋅ +

G 1 2 3,50 0,17 0,72 0,99 2,55= + ⋅ ⋅ ⋅ + =

2 2 2 2

E,0 0 1,x x

E 2 2

0 x

Q n R

Q R

νν

⋅ + ⋅=

+

m eE,0 0,615

i e

v (z ) 1

L (z ) 1,11 Sν = ⋅

⋅



4.8 StTools Böenreaktionsfaktor



4.9 Schnittgrößen und Biegespannungen

Auf sicherer Seite liegend werden die Windkräfte in der Handrechnung vollständig am oberen Elementende angesetzt.

Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

b

[m]

Aref

[m²]

vm,j

[m/s]

qm,j

[kN/m²] Re cf,0 ψ cf

Fwj,m

[kN] G

Fw

[kN]

Mw

[kNm]

10 40,0 4,6 0,813 3,74 31,2 0,61 2,3·106 0,79

0,83

0,66 1,51

2,55

3,84 0

9 35,4 4,6 0,813 3,74 30,6 0,59 2,3·106 0,79 0,66 1,46 3,71 17,7

8 30,8 4,6 0,813 3,74 29,9 0,56 2,2·106 0,79 0,66 1,38 3,52 52,4

7 26,2 4,6 0,813 3,74 29,2 0,53 2,2·106 0,79 0,66 1,31 3,34 103

6 21,6 4,6 0,813 3,74 28,3 0,50 2,2·106 0,79 0,66 1,23 3,14 169

5 17,0 1,0 0,940 0,94 27,2 0,46 2,4·106 0,78 0,65 0,28 0,72 250

4 16,0 4,0 1,067 4,27 27,0 0,45 2,7·106 0,78 0,65 1,25 3,18 268

3 12,0 4,0 1,067 4,27 25,7 0,41 2,6·106 0,78 0,65 1,14 2,9 354

2 8,0 4,0 1,067 4,27 24,1 0,36 2,5·106 0,78 0,65 1,00 2,55 452

1 4,0 4,0 1,067 4,27 21,5 0,29 2,3·106 0,77 0,64 0,79 2,02 559

Am Fußpunkt: 675

Verlauf der Windbelastung über die Bauwerkshöhe



4.10 StTools: Schnittgrößen



4.11 Wirbelerregung in der Grundschwingungsform (1.EF)

Querschwingungsamplitude F w lat 2

1 1max y b K K c

St Sc= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (D.4)

4.11.1 Kritische Windgeschwindigkeit

kritische Windgeschwindigkeit 1,y

crit ,1

b nv

St

⋅= Gl. (D.1)

Breite im Bereich der Wirbel- 0,81 b m= Seite 4-2 erregung

1. Eigenfrequenz 1,y 1,xn n 0,50Hz= = Seite 4-3

Strouhalzahl St = 0,18 Tab. D.1

Tabelle D.1 - Strouhalzahl St und aerodyn. Erregerkraftbeiwert clat,0 für versch. Querschnittsformen (Auszug)

crit ,1

0,81 0,50 mv 2, 25 s0,18

⋅= =

keine Wirbelerregung wenn crit ,1 m,Ljv 1,25 v> ⋅ Gl. (D.2)

Da Lj noch nicht feststeht, wird Lj zu 6 b = 4,9 m geschätzt. Tab. D.3

m,Lj crit ,1

4,9m mv (40m ) 30,9 vs2

− = ≫

⇒ Wirbelerregung muss untersucht werden.



4.11.2 Aerodynamischer Erregerkraftbeiwert

Grundwert clat,0 = clat,0(Re) Bild (D.2)

Reynolds-Zahl ( ) crit ,1 5

crit ,1 5 5

b v 0,81 2, 25Re v 1,22 10

1,5 10 1,5 10− −

⋅ ⋅= = = ⋅

⋅ ⋅ Gl. (D.6)

Bild D.2 - Grundwert des aerodyn. Erregerkraftbeiwertes clat,o für Kreiszylinder in Abhängigkeit der Reynoldszahl Re (vkrit)

lat,0c 0,7=

Der aerodynamische Kraftbeiwert ist abhängig vom Verhältnis der kritischen Windge-schwindigkeit zur mittleren Windgeschwindigkeit

crit ,i

m,Lj

v 2,250,07 0,83

v 30,9= = < Tab. D.2

lat lat ,0c c 0, 7⇒ = =

Tabelle D.2 – Aerodynamischer Erregerkraftbeiwert clat in Abhängigkeit vom Verhältnis der kritischen Windgeschwindigkeit vcrit,i/vm,Lj

0,70

1,2⋅105



4.11.3 Scrutonzahl

Scrutonzahl 1,y

2

2 mSc

b

δ

ρ

⋅ ⋅=

⋅ Gl. (D.5)

Äquivalente Masse 1,y 1,xm m 262kg / m= = vgl. Seite 4-15

Log. Dämpfungsdekrement 0,014s

δ δ= = vgl. Seite 4-2

� Achtung: Die aerodynamische Dämpfung ist nur bei Starkwindereignissen in Windrichtung wirksam vorhanden. Deshalb darf diese hier nicht angesetzt werden.

1,y

2 2

2 m 2 262 0,014Sc 8,95

b 1,25 0,81

δ

ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

4.11.4 Beiwert der Schwingungsform

Beiwert der Schwingungsform

( )

( )

1,

0

2

1,

0

4

h

y

h

y

z dz

K

z dzπ

Φ

=

⋅ Φ

∫

∫ Gl. (D.10)

oder einfacher 0,13K ≈ Tab. D.4

Tabelle D.4 - Wirklängenfaktor KW und Beiwert der Schwingungsform K (Auszug)



4.11.5 Wirklängenfaktor (Korrelationslängenfaktor)

Wirklängenfaktor

( )

( )

,

1

1,

0

j

n

i y

j L

w h

y

z dz

K

z dz

=

Φ

=

Φ

∑ ∫

∫ Gl. (D.7)

oder einfacher 2

/ / /13 1

/ / 3 /

j j j

w

L b L b L bK

h b h b h b

= − +

Tab. D.4

� Hinweis: Die Wirklänge Lj ist abhängig von der gesuchten Querschwingungsamp-litude (Lock-in-Effekt). Deshalb muss die Wirklänge Lj zunächst geschätzt und die Schätzung am Ende überprüft werden. Gegebenenfalls sind mehrere Iterationsschrit-te (i.d.R weniger als 4) erforderlich.

1. Iterationsschritt

bezogene Wirklänge (geschätzt)

Wirklängenfaktor 2

4,86 / 0,81 4,86 / 0,81 1 4,86 / 0,813 1

40 / 0,81 40 / 0,81 3 40 / 0,81w

K

= − +

0,318w

K =


1 1max y b K K c

St Sc= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (D.4)

F 2

1max y 0,81 0,318 0,13 0,7 0,081m

0,18 8,94= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

Überprüfung der Wirklänge

Tabelle D.3 – Wirklänge in Abhängigkeit von der Schwingwegamplitude yF,j

bezogene Wirklänge (vorhanden) j

j

L6 L 6 0,81m 4,86m

b= ⇒ = ⋅ = √ Tab. D.3

Iterationsende

→ max yF = 0,081m

F, jy 0,0810,1

b 0,81= =

j

j

L6 L 6 b 6 0,81m 4,86m

b= ⇒ = ⋅ = ⋅ =



4.11.6 Einwirkung infolge Querschwingungen

Erregerkräfte ( ) ( ) ( )2

1 j j 1,y 1,y j FF z M 2 n z max yπ= ⋅ ⋅ ⋅ Φ ⋅ Gl. (D.3)

Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

Mj

[kg]

n1,y

[Hz] Φ

maxyF

[m]

F1

[kN]

10 40,0 4,6 714

0,50

1

0,081

0,57

9 35,4 4,6 1129 0,823 0,74

8 30,8 4,6 1129 0,648 0,58

7 26,2 4,6 1129 0,483 0,44

6 21,6 4,6 1129 0,334 0,30

5 17,0 1,0 697 0,213 0,12

4 16,0 4,0 702 0,191 0,11

3 12,0 4,0 1139 0,113 0,10

2 8,0 4,0 1139 0,053 0,05

1 4,0 4,0 1139 0,014 0,01

Maximale Spannung (charakteristisch) 215 N mmσ =

4.11.7 Spannungsschwingspiele

Anzahl der Schwingspiele

2

crit ,i

0

v2

vcrit ,i7

i,y 0

0

vN 6,3 10 T n e

vε

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Gl. (D.9)

N 200 T≥ ⋅

Entwurfslebensdauer T 50= Jahre

0 m,Lj

1 1v v 30,9 6,18m / s

5 5= ⋅ = ⋅ =

0 0,3ε =

22 2,25

7 6,18

7

2,25N 6,3 10 50 0,50 0,3 e

6,18

5, 48 10

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅



4.12 StTools: Wirbelerregung in der Grundschwingungsform (1.EF)



4.13 Wirbelerregung in der 2. Eigenform


kritische Windgeschwindigkeit 2,y

crit ,2

b nv

St

⋅= Gl. (D.1)

Breite im Bereich der Wirbel- b 0,81m = Seite 4-2 erregung

2. Eigenfrequenz 2,yn 2,51Hz=

crit ,2

0,81 2,51 mv 11,30 s0,18

⋅= =

m,Lj crit ,2

4,9m mv (40m ) 30,9 vs2

− = ≫ Gl. (D.2)

⇒ Wirbelerregung muss untersucht werden.

4.13.2 aerodynamischer Erregerkraftbeiwert

Reynolds-Zahl ( ) 5kritcrit 6

b v 0,81 11,30Re v 6,1 10

15 10ν −

⋅ ⋅= = = ⋅

⋅ Gl. (D.6)

lat ,0c 0, 2⇒ = Bild (D.2)

crit ,2

m,Lj

v 11,290,37 0,83

v 30,9= = < Tab. D.2

lat lat ,0c c 0, 2⇒ = =



4.13.3 Äquivalente Masse

in der 2. EF 2,ym vgl. Seite 4-12

Kno

ten Höhe

z [m]

∆z

[m]

Mj

[kg] Φ Φ2 Mj⋅Φ2 ∫Φ2

10 40,0

714 1 1 714

4,6 2,604

9 35,4 1129 0,363 0,132 149

4,6 0,400

8 30,8 1129 -0,204 0,042 47,0

4,6 0,959

7 26,2 1129 -0,612 0,375 423

4,6 2,286

6 21,6 1129 -0,787 0,619 699

4,6 2,599

5 17,0 697 -0,715 0,511 356

1,0 0,482

4 16,0 702 -0,672 0,452 317

4,0 1,342

3 12,0 1139 -0,468 0,219 249

4,0 0,564

2 8,0 1139 -0,250 0,063 71,2

4,0 0,136

1 4,0 1139 -0,073 0,005 6,1 4,0 0,010

0 0

0 0 0

3031 11,382

2,y

3031kgm 266 kg/m

11,382 m≈ =

4.13.4 Scrutonzahl

Scrutonzahl 2,y

2

2 mSc

b

δ

ρ

⋅ ⋅=

⋅ Gl. (D.5)

2

2 266 0,014Sc 9,09

1, 25 0,81

⋅ ⋅= =

⋅

( ) ( )

( )( ) ( )

102 2

2, 2,

10

2 29

2, 2, 12

2,

002

=

+

=

⋅Φ ≈ ⋅Φ

Φ +ΦΦ ≈ ⋅∆

∑∫

∑∫

h

y j y j

j

hy j y j

y

j

m z dz M z

z zz dz z



4.13.5 Beiwert der Schwingungsform

Beiwert der Schwingungsform

( )

( )

1,

0

2

1,

0

4

h

y

z

h

y

z

z dz

K

z dzπ

=

=

Φ

=

⋅ Φ

∫

∫ Gl. (D.10)

Kno

ten Höhe

z [m]

∆z

[m] Φ ∫|Φ| Φ2 ∫Φ2

10 40,0

1

1

4,6 3,135 2,604 9 35,4 0,363 0,132

4,6 1,304 0,400 8 30,8 -0,204 0,042

4,6 1,877 0,959 7 26,2 -0,612 0,375

4,6 3,218 2,286 6 21,6 -0,787 0,619

4,6 3,432 2,599 5 17,0 -0,715 0,511

1,0 0,694 0,482 4 16,0 -0,672 0,452

4,0 2,280 1,342 3 12,0 -0,468 0,219

4,0 1,436 0,564 2 8,0 -0,250 0,063

4,0 0,646 0,136 1 4,0 -0,073 0,005

4,0 0,146 0,010

0 0 0

18,190 11,382

18,190

0,1274 11,382

Kπ

= =⋅ ⋅



1. Iterationsschritt

bezogene Wirklänge (geschätzt) 1 21 2

L L6 L L 6 0,81m 4,86m

b b= = ⇒ = = ⋅ =

Wirklängenfaktor

( )

( )

,

1

1,

0

j

n

i y

j L

w h

y

z dz

K

z dz

=

Φ

=

Φ

∑ ∫

∫

4,86 1 0,33 0,69 0,750,64 0,77

2 2 2 2 2

18,190

0,373

wK

+ + + + + =

=


1 1max y b K K c

St Sc= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Gl. (D.4)

F 2

1 1max y 0,81 0,373 0,127 0,2 0,026m

0,18 9,09= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Überprüfung der Wirklänge F,2y 0,0230,029 0,1

b 0,81= = <

F,1y 0,0230,77 0,020 0,1

b 0,81= ⋅ = <

bezogene Wirklänge (vorhanden) j

j

L6 L 6 0,81m 4,86m

b= ⇒ = ⋅ = Τ

Iterationsende

→ max yF = 0,026m



4.13.6 Einwirkung infolge Querschwingungen

Erregerkräfte ( ) ( ) ( )2

2 j j 2,y 2,y j FF z M 2 n z max yπ= ⋅ ⋅ ⋅ Φ ⋅ Gl. (D.3)

Kno

ten Höhe

z [m]

lj

[m]

Mj

[kg]

n2,y

[Hz] Φ

maxyF

[m]

F1

[kN]

10 40,0 4,6 714

2,51

1

0,029

5,15

9 35,4 4,6 1129 0,363 2,96

8 30,8 4,6 1129 -0,204 -1,66

7 26,2 4,6 1129 -0,612 -4,98

6 21,6 4,6 1129 -0,787 -6,41

5 17,0 1,0 697 -0,715 -3,59

4 16,0 4,0 702 -0,672 -3,40

3 12,0 4,0 1139 -0,468 -3,38

2 8,0 4,0 1139 -0,250 -2,05

1 4,0 4,0 1139 -0,073 -0,60

Maximale Spannung (charakteristisch) 231N mmσ =

4.13.7 Spannungsschwingspiele


22 11,30

7 6,1811,30N 6,3 10 50 2,51 0,3 e

6,18

−

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

82,80 10= ⋅



4.14 Wirbelerregung in der 3. Eigenform


kritische Windgeschwindigkeit crit ,3

0,81 7,04 m mv 31,7 1, 25 30,9s s0,18

⋅= = < ⋅

⇒ Wirbelerregung müsste untersucht werden. Vorgehen wie zuvor. Wird hier nicht gezeigt.



4.15 Schadensakkumulation am Fußpunkt

Kerbfall 71 2

A 71N mmσ∆ =

2

R A0,73 0,73 71 51,8 N mmσ σ∆ ≈ ⋅∆ = ⋅ =

Schadensakkumulation nach Palmgren-Miner

Eigenform Spannungs-

schwingbreite ∆σ = 2 · σ [N/mm²]

Bruchlast-spielzahl

n


N

Schädi-gung n/N

1. 2 · 15 = 30 7,8⋅107 5,48⋅107 0,70

2. 2 · 31 = 62 3,1⋅106 2,80⋅108 90

90,7 >>1

Der Schornstein erreicht durch Schwingungen in der 2. Eigenform die Entwurfsle-bensdauer von 50 Jahren nicht.

Hinweis: die Verweise E-DIN 4133 in diesem Dokument beziehen sich auf den Anhang A des Nor-menausschusses DIN 4133 vom Januar 2006.

4 Böen- und Wirbelerregung eines Schornsteins

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