4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte

Translation:

Rotation:

festx

y

zφ ωe

td

dω

Momentane Winkelgeschwindigkeit

Allgemein: Überlagerung

Σ

Inertialsystem( ruhendes

Referenzsystem )r m F

~beschleunigtes,

rotierendes System

r~

0r

Σ

Inertialsystem( ruhendes

Referenzsystem )r m F

~beschleunigtes,

rotierendes System

r~

0r

Kinematik (vgl. Theorie):0rrr

~

r~

ωωv~

ω2r~

ωraa~

0

r~

ωrvv~

ωtd

d

t~d

d0

Translation Rotation

Dynamik:

r~

ωωmv~

ωm2r~

ωmrmFa~

m 0

Trägheitskräfte („Scheinkräfte”)

0ω

Σ Σ~

0r

0ra

Beispiel 1: Geradlinig beschleunigte Bewegung

amFrmFa~

m 0

Σ

WaageΣ~

m

eaa

egmF

Realisierung:

Anzeige der Waage:

1mm~ ga

gamgm

Freier Fall: 0m~ga „Schwerelosigkeit”

Rakete: m11m~g10a

Sturzflug: 0m~ga (falls Masse an Waage fixiert)

Beispiel 2: Gleichförmige Rotation

x

y

z const.ω

0r0

Σ~

mF

0ω,0rm 0

ω

m.zF

Zentrifugal-kraft

r~

ωωmv~

ωm2Fa~

m

Coriolis-Kraft

Zentrifugal-kraft

Coriolis-Kraft: v-abhängig v,ωv~

ωm2F C

Zentrifugalkraft:

radial, -abhängig

r~

ωωmF Z

r~

F = 0

Beispiel: Raumfahrt

Σ~

zF

mgFG

Schwerelosigkeit im Orbit

Künstliche Schwerkraft

„Unten“ = radial

ω

zF

zF

zF

zF

Geostationäre Bahn: Satellit Erde

Σ1. Sichtweise: in Erde, nicht rotierend

KreisbewegunglZentripetaG FF

Σ~2. Sichtweise: erdfest, rotierend

feste Position ( Kräftefreiheit )lZentrifugaG FF

Σ~

3. Sichtweise: im Satellit, nicht rotierend

feste Position ( Kräftefreiheit )

nTranslatio0G FrmF

Σ~

Σ~

Beispiel: Geodit (Erdform) Rotationsellipsoid

definiert NN (Normal-Null), RÄquator RPol 20 km

Beispiel: Gezeiten

Flutberg Flutberg

Erde

Mond

Mondω

~

Schwerpunkt: Σ

GravF

ZF

GravF

ZFGravF

ZF

GravF

ZF

Gravitationskraft des Mondes

Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt

ω

Sω

α

ω

~

Erde

Beispiel: Foucault-Pendel

ZF

α

sinαωω S

Pendel hängt „schief“

~ : CorioliskraftPendelebene

(Aufsicht, Nordhalbkugel)

v~

CF

v~ωF SC

Σ: Erde dreht sich unter Pendel durch

Berlin: 52,5 TS 30,25 h

S 11,9 h

Beispiel: Hurricane

4.2. Dynamik des starren Körpers4.2.1. Bewegung des starren Körpers

Def.: Starrer Körper System von Massenpunkten fester Relativkoord.

dm

dV

Mr

O

dVrρM

DichterρdVrρdm

Homogene Körper

.constrρ

Komponenten der Bewegung:

1. Translation: Massenpunkte laufen auf kongruenten Bahnen

2. Rotation: Massenpunkte laufen auf konzentrischen Kreisen

Def.: Massenmittelpunkt (MMP) M

dmr

dVrρ

dVrrρR

Folgerung: Gesamtimpuls

Bewegungsgl.:

RMmdrmdrpdP dtd

extFRMP

Translationsbewegung: Der MMP bewegt sich wie ein Massen-punkt der Masse M unter dem Einfluss der externen Kräfte.

Dieser Teil ist also gewöhnliche Punktmechanik.

Dieses Kapitel: Rotationsbewegung um den ruhenden MMP

Experimentelle Bestimmung des Massenmittelpunkts:

MMP

Mg

.Stabile Lage

Experiment:

MMP

Experiment: Stabilität des schiefen Turms

MMP MMP

MMP

Mg Mg Mg

stabilstabil labillabil instabilinstabil

Drehachse(nicht notwendig um MMP)

ω

dmr

4.2.2. Rotationsenergie

mdrωmdrωmdvT 22212

212

21

rot

Def.: Trägheitsmoment (bezüglich der Drehachse)

mdrJ 2 2mkg1J

Folgerung: 221

rot ωJT

Beispiel: Vollzylinder ( Tafelrechnung)

R Achse

zL0

RMJ 221

VZ

Vergleich:

Vollzylinder: Hohlzylinder:

Vollkugel: Hohlkugel:

RMJ 221

VZ RMJ 2

52

VK RMJ 2

HZ RMJ 2

32

HK

HZHKVZVK JJJJ 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1

Beispiel: „Rollende“ Zylinder

h

M

Δtω

Zylinder auf schiefer Ebene

M Abrollender Faden

Energiebilanz ( Tafelrechnung ) 3

2

tΔ

tΔ

VZ

HZ

Beispiel: Maxwell-Rad

Drehachse2r

R

Faden

m

h

M

MTafelrechnung hg2

1

hg2hv

2

2

rm

RM2

ω

Folgerung: Steinerscher Satz

S

MMPTotale kinetische Energie:

Rotation um MMP: 2S2

1MMProt ωJT

Translation von MMP:(Kreisbewegung um Achse)

221MMP

trans SωMT

Drehachse(nicht um MMP)Rotation um Drehachse:

221

rot ωJT

Steinerscher Satz: 2S SMJJ

Es reicht, Drehachsen zu betrachten, die durch den MMP gehen. Die Übersetzung auf parallelverschobene Achsen ist trivial.

4.2.3. Drehmoment und Drehimpuls ( vgl. Theorie)

Translation Rotation

Masse m Trägheitsmoment (bzgl. Drehachse)

mdrJ 2

Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeitrωv,ω

v

Kinetische Energie Rotationsenergie2

21 vmT 2

21

rot ωJT

Translation Rotation

p

Impuls Drehimpuls

i

ii prmdrrL

vmp JωJLω ωω eLL

Kraft Drehmoment i

ii FrM

F

Bewegungsgleichung

i

extiML

i

extiFp

Referenzpunkt

iF

ir

Bewegungsgleichung der Rotation:

i

extiML

Folgerung: DrehimpulserhaltungWirken keine äußeren Drehmomente auf einen Körper (bzgl. eines Referenzpunktes), bleibt der Drehimpuls (bzgl. des Referenzpunktes) konstant.

Beispiel: Drehschwingungen

M, J

R

Teller

Rückstell-feder

Dreh-achse

φ

t

Periode T

φ

(Tafelrechnung)

0JD tsina

DJπ2T

20 RMJJ

Steinerscher Satz

R R0

T2

R2

α M

D

π4α tan

2

MD

π4α tan

2

JD

π4 0

2

JD

π4 0

2

DJπ2T 2

0 RMJJ

Experiment: Rolle mit Faden

Kein Drehmoment

in

Komponenten

4.2.4. Trägheitstensor ( vgl. Theorie)

ωJmdrrL

3

1jjiji ωJL

3

1jjj

3

1iii eωω,eLL

mit

und mdrrδrJ,JJ jiij2

ijij

Trägheitstensor

• Trägheitstensor Körpereigenschaft, unabhängig von Drehachse

• symmetrisch:

• positiv definit:

jiij JJ 0rJr0r

L

1r

2r

Beispiel: Rotation des H2-Moleküls

H

H

ω

Feste Drehachse

S

11 pr

22 pr

ω||L

präzediert umL

ω

es wirkt extM

„Unwucht”

Beispiel: Körper mit Rotationssymmetrie

ω

Töpferei

S

Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse

Spezialfall: Drehung um Symmetrieachse

ωJLL,ω||L ω

ωJL

Zusammenhang von J bzgl. Drehachse mit Tensor : ωe

J

ωeωω,ωJL

ωJLeL ωω ωeJeωJeeL, ωωωω

Folgerung: ωω eJeJ

Folgerung: ωJωωJT 212

21

rot

y

z

x

ωe

P

Definition: Trägheitsellipsoid alle mit r 1rJr

ωω eJeJ

J

e

J

e ωω J1

2

PJ

eP rJ,r ω

Tafelrechnung steht senkrecht auf Trägheitsellipsoid

i.a. gilt

L

ω||L

Hauptachsen ξ, η, ζ stehen senkrecht auf Oberfläche

y

z

xξ

η

ζ

Hauptachsen des Trägheitsellipsoiden:

Drehung ( x , y , z ) ( , , )

sodass

ξηζ

ξ

η

ζ

JJJ,J000J000J

J

Hauptträgheitsmomente (HTM)

J

eP

ωr

große Halbachse mittlere Halbachse kleine Halbachse

Folgerung: fallsω||L

Hauptachse||ω

Definition:

Asymmetrische Kreisel: Jζ Jη Jξ Jζ

Symmetrische Kreisel: 2 HTMe gleich, z.B. Rotationskörper

Sphärische Kreisel: Jζ Jη Jξ Trägheitsellipsoid Kugel

N

OONO2 - Molekül

ζ

η

ξη

ζξ

Buch

Prolate Kreisel: Jζ < Jη Jξ Oblate Kreisel: Jζ Jη Jξ

ζη

ξ

a

a η

ξ

ζ

Kugel η

ξ

ζ

ξWürfel η

ζ

Definition: Freie Achsen Mögliche Drehachsen ohne äußere Drehmomente

const.ω

0M0L||ω )ext(tdLd

Wegen

folgt:

HauptachseL||ωAchse Freie

(samt Entartung bei Symmetrie)

Stabilität freier Achsen: ( vgl. Theorie)

große Halbachse stabil gegen kleine Störungmittlere Halbachse instabilkleine Halbachse stabil

4.3. Der Kreisel

Bisher: feste bzw. freie Drehachse

Kreisel: fester Punkt, bewegliche Drehachse

Beispiele:

(i) kräftefreie Körper fester Massenmittelpunkt (MMP)

(ii) gestützter Kreisel

Schwerpunkt S

Unterstützung in S

kräftefreier Kreisel

Unterstützung in S

kräftefreier Kreisel

Unterstützung jenseits S Gravitation

Drehmoment

Präzedierender Kreisel

Unterstützung jenseits S Gravitation

Drehmoment

Präzedierender Kreisel

4.3.1. Kräftefreier symmetrischer Kreisel

Symmetrieachse = Figurenachse = HauptachseSymmetrieachse = Figurenachse = Hauptachse

y

S

z

x

körperfestes, rotierendes Hauptachsensystemkörperfestes, rotierendes Hauptachsensystem

Jx Jy

const.L

(im raumfesten System)Lω

Drehachse

(körperfest)Drehachse

(körperfest)

Nutation

L um nutiert ω

Nutation von Figurenachse und Drehachse:

Lx

Ly

Lz

Lx , Ly , Lz: körperfeste

Komponenten

Lx , Ly , Lz: körperfeste

Komponenten

raum- und körperfeste Kugel:

const.L

körperfester Ellipsoid:

const.J

L

J

L

J

L

2

1T

z

2z

y

2y

x

2x

rot

• liegt auf SchnittkurveL

L

• rotiert im körperfesten System um SchnittkurveL

• Ellipsoid rotiert im raumfesten System um L

β

α

Nutation im raumfesten (nicht rotierenden System):

zFigurenachse

L

ω

zω

ω

ωJL

Lz

Jz ·

ωz

z

β

α

L

ω

Nutationskegel Öffnungswinkel α

Nutationskegel Öffnungswinkel α

Rastpolkegel, Öffnungswinkel βα(Ort der momentanen Drehachse)

Rastpolkegel, Öffnungswinkel βα(Ort der momentanen Drehachse)

Gangpolkegel, Öffnungswinkel β

(rollt auf Rastpolkegel ab)

Gangpolkegel, Öffnungswinkel β

(rollt auf Rastpolkegel ab)

4.3.2. Präzession des symmetrischen Kreisels Betrachte Figurenachse keine Nutation||ω||L

i) Präzession des Gyroskops:

Faden

Laufachse

m

Sr

gmF

L

ω

FrM

Pω

L

Pω

Ldd

Tafelrechnung ωJ

rgmωP

α

α r

gmF

ii) Kinderkreisel

ω

S

L

FrM

Pω

L

d LdLd

ωP

L

L

const.L||

α

αsinLL

( const. )

Tafelrechnung ωJ

rgmωP

iii) Kreiselkompass

Erddrehung ωEWest Ost

Drehmoment durch Erddrehung

Drehmoment durch Erddrehung

L

M

Nord – Süd – Ausrichtung

Nord – Süd – Ausrichtung

23,5°

iv) Erdpräzession

Erde(Rotationsellipsoid)

Eω

zur Sonne Ekliptik(Ebene der Erdumlaufbahn

um die Sonne)

S1

S2

1F

2F

1F

Sonnenanziehung Zentrifugalkraft

2F

Sonnenanziehung Zentrifugalkraft

2M

1M

pω

Jahre26000

π2ω p

Jahre26000

π2ω p

Zusätzlich: Rotationsachse Figurenachse Nutation Tage305

π2ω N

Tage305

π2ω N