GUSTAVO A. DUFFOUR 120

Existen muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo, como ser las oscilaciones de una masa sobre un resorte, el movimiento de un péndulo y las vibraciones de un instrumento musical de cuerda.

Otros numerosos sistemas también muestran movimiento oscilatorio. Por ejemplo, las moléculas en un sólido oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio; en circuitos de corriente alterna, el voltaje, la corriente y la carga ecléctica varían periódicamente con el tiempo.

En Física se ha idealizado un tipo de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este. Este movimiento se llama movimiento armónico simple (MAS). Se dice que una prtícula se mueve con un movimiento armónico simple cuando su desplazamiento desde el punto de equilibrio, varía en el tiempo t, de acuerdo con la relación:

f: f(t) = A cos (ω t + φ) A, es la amplitud del movimiento. La constante ω recibe el nombre de frecuencia angular, y el ángulo constante φ se llama constante de fase. El período T, del movimiento es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo y viene dado por: 2T = π

ω

Leonhard Euler (Suiza, 1707–1783) El verdadero autor del actual simbolismo y de la expresión analítica de la trigonometría fue Euler. En su “Introductio” (1748) dio una exposición admirablemente fundada de toda la teoría de las funciones trigonométricas, incluyendo su desarrollo en serie. Euler estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemática en 1733. En 1741 fue profesor de matemática en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión, –antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total, al final de su vida– Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas. Fue uno de los últimos hombres que pudo tener un conocimiento acabado de todas las matemáticas de su época.

Péndulo de Foucault

MATEMÁTICA DE CUARTO 121

8

FUNCIONES

ANGULARES 1 – MEDIDA DE UN ÁNGULO

1.1. DEFINICIÓN El ángulo α se mide por la longitud del arco AP , con una unidad apropiada para medir ángulos. Según cual sea la unidad usada, se tendrán diferentes sistemas para medir ángulos.

1.2. SISTEMAS DE MEDIDAS

En trigonometría suelen emplearse dos unidades distintas para medir ángulos, que originan dos sistemas de medidas: el sexagesimal y el circular. Sistema sexagesimal Unidad: grado

Se toma como unidad el grado sexagesimal, o simplemente grado, que se define como: Una de las 360 partes en que se divide la circunferencia. Por lo tanto, se tiene que:

Una circunferencia equivale a 360º

El grado se divide a su vez en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.

α

P

A

Recordemos que, mientras que el símbolo ° se utiliza para indicar grados, no se utiliza ningún símbolo para indicar la medida en radianes. La división de una circunferencia en 360 grados es muy arbitraria, debida a los antiguos babilonios, a quienes les agradaban los múltiplos de 60. La medida de un ángulo en grados es ampliamente usada en ingeniería y en las ciencias físicas, principalmente en astronomía, navegación y topografía. El método más corriente para localizar una estrella en el cielo, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. La posición de un objeto en la superficie de la Tierra se mide en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich, en Inglaterra. La división en 2π partes es fundamental. Los radianes se usan casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el cálculo, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, de las funciones angulares, en especial para las derivadas y la expresión de series infinitas.

GUSTAVO A. DUFFOUR 122

Sistema circular Unidad: radián

En este sistema se toma como unidad de medida el radián, que se define como: El ángulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia a la cual pertenece.

1.3. RELACIÓN ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y EL CIRCULAR

Dado que en una circunferencia de perímetro 2πR hay 360º, se tendrá: Si R → 1 radián

Toda la circunferencia ? 2πR → x radianes x 1 2 R 2 radianesR

π= = π

*

Medida en grados 360º 180º 90º 60º 45º 30º

Medida en radianes 2 2 3 4 6π π π ππ π

R R

Fórmulas de conversión:

180 radianesgrados ×=

πgradosradianes180

π ×=

USANDO LA CALCULADORA Al hacer cálculos con la calculadora, se debe controlar en qué modo se encuentra. Modo D o DEG para trabajar en grados. Modo R o RAD para trabajar en radianes. El modo G o GRA no significa grados, significa GRADIANES.

Se supone que el lector tiene algún conocimiento de las tres relaciones trigonométricas básicas: seno, coseno y tangente. Estas relaciones se estudian en los cursos de trigonometría de años anteriores, al resolver problemas diversos que relacionan los lados y los ángulos de un triángulo (véase el capítulo 7 en este mismo texto). Las relaciones trigonométricas son muy importantes, no solo por su relación con los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo, sino por las propiedades que poseen como funciones angulares definidas en los números reales (véase la página 123).

MATEMÁTICA DE CUARTO 123

2 – CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Una circunferencia de radio unidad, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas, se llama circunferencia trigonométrica; y el círculo que determina, círculo trigonométrico. Al punto A se lo toma como origen de medida de los ángulos y el punto P, de posición variable sobre la circunferencia trigonométrica, se llama extremo del arco AP . La circunferencia se considera orientada positivamente en el sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj, o sea, ABA'B'. Los diámetros principales (horizontal y vertical) dividen al círculo trigonométrico en cuatro cuadrantes, numerados en la figura.

Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

3 – FUNCIONES ANGULARES 3.1. DEFINICIONES

Dado que el radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad: d(O, P) = 1 en el

triángulo rectángulo OMP de la figura, se tendrá:

sen α = d(M,P) cos α = d(O,M)

De donde es posible definir el seno y el coseno de un ángulo como:

SENO En una circunferencia trigonométrica, el seno de un ángulo es la distancia medida desde el

extremo del arco AP al diámetro horizontal sobre la perpendicular.

COSENO

En una circunferencia trigonométrica, el coseno de un ángulo es la distancia medida desde el pie de la perpendicular anterior (véase seno), al centro de la circunferencia.

y

x A

o α

I P II

III IV

A’

B

B’

y

x oα

P

A M

GUSTAVO A. DUFFOUR 124

Estrategias para probar identidades

1) Transformar el lado de la

igualdad más complicado, hasta que sea igual al más sencillo.

2) Transformar ambos lados de la identidad hasta llegar a la misma expresión.

Recuérdese que es incorrecto pasar las expresiones de un lado al otro del signo de igual. Hacerlo implica dar por cierta la identidad que se quiere demostrar.

En la resolución de

ecuaciones trigonométricas, se deben considerar

siempre las condiciones de existencia.

Por lo tanto, las soluciones

se deben dar en condiciones de

existencia.

7 – EJERCICIOS PROPUESTOS Véanse los resultados en la página 204. 127) Verificar las siguientes identidades, «en condiciones de existencia»: 1) ( sen α + cos α) 2 + ( sen α – cos α) 2 = 2

2) (1 + sen α)(1 – sen α) = (cos α)2

3) (1 + cos α)(1 – cos α) = (sen α)2

4) (tg α)(cotg α) = 1

5) (tg α) 2 (cos α) 2 + (cotg α) 2 (sen α) 2 = 1

6) (sen α)(sec α) = tg α 128) Completar en [0, 2π). sen( . . . ) = sen x sen( . . . ) = sen (π + x)

tg (x) = ( . . . ) sen( . . . ) = sen (π – x)

cos (π + x) = ( . . . ) cos (π – x) = ( . . . ) 129) A partir de las representaciones gráficas de las funciones seno y coseno, bosquejar

las representaciones gráficas de las siguientes funciones: f: f(x) = – sen x g :g (x) = – cos x h: h(x) = 1 – sen x j: j(x) = – 1 – cos x 130) Resolver las siguientes ecuaciones en: [ 0, 2π). 1) 2(sen x) = 1 2) 3(sen x) = 4 – sen x

3) 3(tg x) = 3 4) tg (2x – π) = 1

5) sen x = 3 (cos x)

6) (sen x)2 + sen x – 2 =0

7) 2(sen x)2 = 3(cos x)

8) (cos x) 2 = 3(sen x) 2

9) 3(tg x) = 2(cos x)

10) ( ) ( )x x x2 sen tg cos− =

11) 3(sen x) = 4 – 5(tg x)(cos x)