Clase 15 - Ley de Àmpere - Maxwell. Corrientesde Desplazamiento.

Prof. Juan Mauricio Matera

24 de mayo de 2019

Repaso

I Ecuaciones del electromagnetismo en sistemas dependientes deltiempoI Ley de Gauss para el Campo Eléctrico∫

S~E · d ~S = 1

ε0

∫VρdV

dondeρ es la densidad de carga eléctrica yS es la superficiecerrada que limita aV

I Ley de Gauss para el Campo Magnético∫S~B · d ~S = 0

(No hay cargas -monopolos- magnéticos)

I Ley de Faraday-Maxwell∫C~E · d ~= −

∫S

d~Bdt · d

~S

dondeC es una curva cerrada que rodea aS

I Fuerza de Lorentz sobre cargas puntuales en movimiento

~FEM =∑

iqi(~E + ~vi × ~B) .

I Ley de Ampère ∫C~B · d ~= µ0

∫S~j · d ~S

donde~j es la densidad de corriente eléctrica.

La Ley de Ampère-Maxwell y Corriente dedesplazamiento

Inconsistencia de la Ley de Ampère en sistemasdependientes del tiempo

Si aplicamos la Ley de Ampèrea un capacitor de placasparalelas durante su proceso decarga, nos encontramos unaambiguedad:I La corriente de carga que

atraviesa la superficieS esII Ninguna carga atraviesa S ′

I Tanto S como S ′ estánlimitadas por C. Entonces,¿Quienes son ~j y S en elsegundo miembro de∫

C~B · d ~= µ0

∫S~j · d ~S

?

La corriente de desplazamiento

James C. Maxwell observóqueS y S ′ forman unasuperficie cerrada y por lotanto, según la Ley de Gaussy el principio deconservación de la cargaeléctrica

0 = dQdt −I = ε0

ddt

∫S∪S′

~E ·d ~S−I

donde~E es el campo eléctricogenerado por las cargasacumuladas en la armadura.

De esta manera, definiendo

~j =~jC +~jD

conI ~jC la densidad de

corriente deconducción, debida a losportadores de carga, y

I ~jD = ε0d~Edt la densidad

de corriente dedesplazamiento

∫S∪S′

~j · d ~S =∫S∪S′

(~jC +~jD) · d ~S =∫S∪S′

(ε0d~Edt + jC ) · d ~S

= dQdt − I = 0 y por lo tanto,

∫S~j · dS =

∫S′~j · dS

I LlamamosaID =

∫S~jD · d ~S la

Corriente dedesplazamiento a travésde S.

I Las líneas de corrientetotal son cerradas.

I La ecuación de Ampèrees remplazada entoncespor la Ley deAmpère-Maxwell∫C~B·d ~= µ0

∫S~jC ·d ~S+µ0ε0

∫S

d~Edt ·d

~S

I En ausencia de cargas,nótese la similitud de estaexpresión con la Ley deFaraday-Maxwell∫C~E · d ~= −

∫S

d~Bdt · d

~S

Ecuaciones de Maxwell (Forma Integral)I Ley de Gauss: Para toda superficie

cerradaS,∫S~E ·dS = QS

ε0

∫S~B·dS = 0

I Ley de Faraday-Maxwell. Para todasuperficieS limitada por una curvaC,∫

C~E · d ~= −

∫S

∂~B∂t · d

~S

I Ley de Ampère-Maxwell. Para todasuperficie $ {S}$ limitada por unacurvaC,∫

C~B · d ~= µ0~jcond + µ0ε0

∫S

∂~E∂t · d

~S

Forma diferencial de las Ecuaciones de Maxwell.

Teorema de la divergenciaPara cualquier superficie cerradaS, cualquier volumenV limitado poresta, y cualquier campo vectorial~A diferenciable en una región quecontiene aV, ∫

S~A · d ~S =

∫V∇ · ~AdV

donde∇ · ~A = ∂~Ax∂x + ∂~Ay

∂y + ∂~Az∂z es la divergencia del campo~A

Ley de Gauss en forma diferencial

∫S~E · d ~S =

∫V∇ · ~EdV = 1

ε0

∫VρdV

y

∫S~B · d ~S =

∫V∇ · ~BdV = 0

Luego,

∇ · ~E = ρ/ε0 y ∇ · ~B = 0

Teorema de Stokes

Para cualquier curva cerradaC,cualquier superficieS limitadapor esta, y cualquier campovectorial~A diferenciable en unaregión que contiene aS,∫

C~A · d ~=

∫S∇× ~A · d ~S

donde∇×~A =

∥∥∥∥∥∥∥ux uy uz∂∂x

∂∂y

∂∂z

~Ax ~Ay ~Az

∥∥∥∥∥∥∥es el rotor del campo ~A

Ley de Faraday-Maxwell en forma diferencial

∫C~E · d ~=

∫S∇× ~E · d~S = −

∫S

d~Bdt · d

~S

para cualquier superficieS. Luego,

∇× ~E = −∂~B∂t

Ley de Ampère-Maxwell en forma diferencial

∫C~B · d ~=

∫S∇× ~B · d~S =

∫S

(µ0~jC + µ0ε0d~Edt ) · d ~S

para cualquier superficie S. Luego,

∇× ~B = µ0~jC + µ0ε0∂~E∂t

Notar que

∇ · (~jC + ε0∂~E∂t ) = ∇ ·~jC + ∂ρ

∂t = ∇ · (∇~Bµ0

) = 0

que no es otra cosa que la Ecuación de Continuidad.

I La Ley de Ampère sólo podía ser cierta en situaciones estáticas

Ecuaciones de Maxwell en Forma Diferencial

∇ · ~E = ρ/ε0

∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B∂t

∇× ~B = µ0~jC + µ0ε0∂~E∂t

I Tienen validez generalI Establecen relaciones locales sobre las derivadas de los

campos.

Ecuaciones de Maxwell en el vacío.

Ecuaciones de Maxwell en el Vacío

En ausencia de cargas eléctricas,

∇ · ~E = 0∇ · ~B = 0

∇× ~E = −∂~B∂t

∇× ~B = µ0ε0∂~E∂t

ó, utilizando las identidades

I ∇×∇× ~A = ∇(∇ · ~A)−∇2~A donde el operador laplacianose aplica sobre cada componente.

I ∇× d~Adt = d∇×~A

dtI ∇ · (∇× ~A) = 0

∇× (∇× ~B) = µ0ε0∇×∂~E∂t

∇(∇ · ~B)−∇2~B = µ0ε0∂∇× ~E∂t

−∇2~B = −µ0ε0∂2~B∂t2

∇× (∇× ~E ) = −∇× ∂~B∂t

∇(∇ · ~E )−∇2~E = −∂∇×~B

∂t

−∇2~E = −µ0ε0∂2~E∂t2

De donde vemos que tanto las componentes de~E como de~B en elvacío satisfacen la Ecuación de ondas con velocidad depropagación

c = 1√ε0µ0

= 1√8.86× 10−12F/m× 4π10−7Tm/A

= 2.99×108m/s

Ondas (Electromagnéticas) en 3 DimensionesI Soluciones de la Ecuación de onda vectorial tridimensional:

c2∂2~A∂t2 = ∂2~A

∂x2 + ∂2~A∂y2 + ∂2~A

∂z2

dondeI ~A(t, ~x) es un campo vectorial.I c = 2.99× 108m/s es la velocidad de propagación de las

ondas.

I Es análoga a la ecuación para las óndas mecánicas en un medioelástico.

I Las ondas electromagnéticas son transversales:~A oscila en elplano perpendicular a la dirección de propagación.

I Las soluciones de esta ecuación pueden escribirse como lasuperposición de ondas planas.

Consecuencias

I Al cambiar la distribución de cargas en una región del espacio,se producen ondas electromagnéticas.

I Estas perturbaciones se propagan a la velocidad c = 1√ε0µ0

I A distancias grandes de una distribución de cargas, el cambioen los campos debido a un cambio en la distribución de cargasy corrientes se manifiesta “retardado” en un tiempoT = d/c,donded es la distancia entre la distribución de cargas y elpunto de observación

I Las fuerzas eléctricas y magnéticas que ejercen dos partícula enmovimiento entre sí no cumplen el principio de acción yreacción: la conservación de la cantidad de movimiento sólo serecupera pensando a los campos como entidadesindependientes.

Teoría de las ondas electromagnéticas de MaxwellI Desarrollada por James C.

Maxwell en 1862.I La luz es una onda

electromagnética que resultade las perturbaciones sobrelos camposelectromagnéticos.

I Las perturbaciones sonproducidas por el movimientode partículas cargadas.

I La teoría predice que la luzse propaga en el vacío conuna velocidad característicac ≈ 2, 99m/s, que se reduceal atravesar mediosmateriales.

I La velocidad de propagaciónen el vacío es independientedel sistema de referencia!

I La luz visible forma sólo unapequeña parte del espectroelectromagnético.

I La analizaremos con detalleestos conceptos en lo quequeda del curso.

Teoría de las ondas electromagnéticas de MaxwellI Desarrollada por James C.

Maxwell en 1862.I La luz es una onda

electromagnética que resultade las perturbaciones sobrelos camposelectromagnéticos.

I Las perturbaciones sonproducidas por el movimientode partículas cargadas.

I La teoría predice que la luzse propaga en el vacío conuna velocidad característicac ≈ 2, 99m/s, que se reduceal atravesar mediosmateriales.

I La velocidad de propagaciónen el vacío es independientedel sistema de referencia!

I La luz visible forma sólo unapequeña parte del espectroelectromagnético.

I La analizaremos con detalleestos conceptos en lo quequeda del curso.